DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是基于密度的聚类算法，核心优势是能发现任意形状的聚类、自动识别离群点，无需提前指定聚类数量，这是 K-Means 等基于距离的聚类算法做不到的。
一、核心概念
DBSCAN 用 “密度” 定义聚类：聚类是空间中密度相连的点的集合，噪声是密度过低的孤立点。
1. 两个超参数
DBSCAN 仅需两个人工设置的超参数，是参数极少的聚类算法：
- ε（Epsilon，邻域半径）：以某个点为中心，半径为 ε 的圆形区域，称为该点的ε- 邻域（二维）和ε- 球（高维）。
- MinPts（最小点数）：一个点的 ε- 邻域内至少包含的点数，其中包括自身，是判断点类型的核心阈值。
2. 三种点的类型
DBSCAN 将数据集中的点分为 3 类，点的类型决定了聚类的生成逻辑：
3. 两个密度关系
点与点之间的密度关系，是连接成聚类的 “纽带”，决定了哪些点属于同一个聚类：
4. 聚类的定义
DBSCAN 中，一个聚类是满足以下两个条件的最大点集：
总结：聚类是由核心点及其密度可达的所有点组成的集合，边界点依附核心点存在，噪声点无任何核心点支撑。
二、数学公式
设数据集为
，其中
为 d 维空间中的数据点，n为样本数；
设距离函数为
（常用欧氏距离，DBSCAN 可兼容任意距离函数，如曼哈顿、余弦距离）；
超参数：邻域半径ε>0，最小点数MinPts≥2，可以记作一般 MinPts≥维度 + 1，如二维数据 MinPts≥3）。
1. 点p的 ε- 邻域
解释：
表示数据集中所有与p的距离≤ε 的点的集合，集合的元素个数记为∣Nε(p)∣。
2. 核心点
p 是核心点 ⟺ 
解释：ε- 邻域内的点数以及自身点≥MinPts，p即为核心点。
3. 直接密度可达
q 从 p 直接密度可达⟺p 是核心点 且 q∈Nε(p)；
解释：仅核心点能让其他点直接密度可达，边界点（噪声点）无法触发该关系。
4. 密度可达
若存在点序列
，使得
从直接密度可达（i=0,1,…,m−1），则称q从p密度可达。
记为p⟶ε,MinPtsq
解释：直接密度可达的传递闭包，核心点 A 的 ε- 邻域内的核心点 B，其 ε- 邻域内的点 C，从 A 密度可达。
5. 密度相连
若存在点o∈D，使得p从o密度可达且q从o密度可达，则称p和q密度相连。
解释：密度相连的点共享同一个 “核心点祖先”，属于同一个聚类。
6. 噪声点
p 是噪声点⟺∄核心点 o∈D, 使得 p∈Nε(o)。
解释：不存在任何核心点，使得p落在其 ε- 邻域内，p即为噪声点。
三、数学计算
模块一：导入必须库
import numpy as np # 数值计算，处理数组（核心）
import matplotlib.pyplot as plt # 数据可视化–二维聚类展示
模块二：DBSCAN 类的初始化方法
def __init__(self, eps, min_pts):
self.eps = eps # 保存邻域半径ε
self.min_pts = min_pts # 保存最小点数MinPts
self.labels_ = None # 存储聚类标签，sklearn风格命名（下划线结尾表示训练后生成）
self.cluster_id = 0 # 聚类ID计数器，从0开始
模块三:欧氏距离计算
def _euclidean_distance(self, p, q):
return np.sqrt(np.sum((p – q) ** 2))
模块四：获取 ε- 邻域
- 核心辅助方法：根据索引找到目标点的所有 ε- 邻域点索引，存储索引比存储点本身更高效，尤其高维数据；
- 输入X是n×d的 numpy 数组，n 样本数，d 维度，p_idx是目标点的索引；
- 输出是邻域内所有点的索引列表，列表长度即为∣Nε(p)∣。
def _get_epsilon_neighborhood(self, X, p_idx):
neighbors = [] # 存储邻域内点的索引（而非点本身，节省内存）
p = X[p_idx] # 取出目标点p
for q_idx in range(X.shape[0]): # 遍历所有点
# 计算p和q的距离，≤eps则加入邻域
if self._euclidean_distance(p, X[q_idx]) <= self.eps:
neighbors.append(q_idx)
return neighbors
模块五：拟合方法
def fit(self, X):
n = X.shape[0] # 样本数n
# 初始化标签数组：全-1（噪声），int类型
self.labels_ = np.full(shape=n, fill_value=-1, dtype=int)
# 初始化访问标记数组：全False（未访问），bool类型
visited = np.full(shape=n, fill_value=False, dtype=bool)
# 遍历每个点，按顺序处理
for p_idx in range(n):
if visited[p_idx]: # 已访问的点直接跳过，避免重复处理
continue
visited[p_idx] = True # 标记为已访问
neighbors = self._get_epsilon_neighborhood(X, p_idx) # 找ε-邻域
# 情况1：邻域点数<min_pts → 噪声点，标签保持-1
if len(neighbors) < self.min_pts:
self.labels_[p_idx] = -1
# 情况2：邻域点数≥min_pts → 核心点，扩展生成新聚类
else:
self._expand_cluster(X, p_idx, neighbors, visited)
self.cluster_id += 1 # 聚类生成后，ID+1
模块六：聚类扩展方法
这是 DBSCAN 的核心实现，负责循环吸收所有密度可达的点，用列表模拟队列实现循环扩展，比递归更稳定，避免栈溢出：
def _expand_cluster(self, X, p_idx, neighbors, visited):
# 第一步：将核心点分配到当前聚类（cluster_id）
self.labels_[p_idx] = self.cluster_id
# 用列表实现队列，i为队列指针，从0开始遍历
i = 0
while i < len(neighbors):
q_idx = neighbors[i] # 取出队列中的第i个点q
# 若q未访问，先标记为已访问，并检查是否为核心点
if not visited[q_idx]:
visited[q_idx] = True
q_neighbors = self._get_epsilon_neighborhood(X, q_idx) # 找q的ε-邻域
# 若q是核心点，将其邻域加入队列，继续扩展（密度可达）
if len(q_neighbors) >= self.min_pts:
# 集合去重→列表，避免队列中出现重复索引，节省计算
neighbors = list(set(neighbors + q_neighbors))
# 若q未分配聚类（标签-1），分配到当前聚类
if self.labels_[q_idx] == -1:
self.labels_[q_idx] = self.cluster_id
# 指针后移，处理下一个点
i += 1
模块七：测试代码
if __name__ == "__main__":
from sklearn.datasets import make_moons, make_blobs
np.random.seed(42) # 固定随机种子，结果可复现
X1, _ = make_moons(n_samples=200, noise=0.05) # 两个月牙形（非凸）
X2, _ = make_blobs(n_samples=100, centers=[[1, 1]], cluster_std=0.1) # 高斯凸聚类
X = np.vstack([X1, X2]) # 合并数据
noise = np.random.randn(30, 2) * 0.5 + [0, 2] # 30个随机噪声点
X = np.vstack([X, noise])
# 初始化DBSCAN，训练
dbscan = DBSCAN(eps=0.15, min_pts=5)
dbscan.fit(X)
labels = dbscan.labels_
# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 6))
# 绘制聚类点
for cluster in set(labels) – {-1}:
mask = labels == cluster
plt.scatter(X[mask, 0], X[mask, 1], label=f'Cluster {cluster}', s=50)
# 绘制噪声点（黑色×）
plt.scatter(X[labels==-1, 0], X[labels==-1, 1], c='black', marker='x', label='Noise', s=50)
plt.title('DBSCAN Clustering Result', fontsize=14)
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()
# 输出聚类统计信息
n_clusters = len(set(labels)) – (1 if -1 in labels else 0)
n_noise = list(labels).count(-1)
print(f"检测到的聚类数：{n_clusters}")
print(f"检测到的噪声点数：{n_noise}")
运行结果
检测到的聚类数：36 检测到的噪声点数：32
四、结语
- DBSCAN 是基于密度的聚类，用ε- 邻域和MinPts定义密度，将点分为核心点、边界点、噪声点；
- 聚类由核心点及其所有密度可达的点组成，边界点依附核心点，噪声点无核心点支撑；
- 核心逻辑是核心点的 ε- 邻域扩展，将所有密度相连的点纳入同一个聚类。
感谢大家的观看！如果有不足，请大家的批评指正！
