多目标鲸鱼优化算法（Multi‑Objective Whale Optimization Algorithm, MOWOA）是基于单目标鲸鱼优化算法（WOA）扩展而来的多目标元启发式算法，核心是将座头鲸气泡网捕食行为与帕累托最优、非支配排序、外部存档等多目标优化机制融合，在平衡全局探索与局部开发的同时，高效逼近多目标优化问题（MOP）的帕累托最优前沿（PF）。其兼具WOA参数少、收敛快的优势，又适配多目标冲突场景，是工程与科学多目标优化的主流算法之一。
参考文献：
[1]I. R. Kumawat, S. J. Nanda and R. K. Maddila, “Multi-objective whale optimization,” TENCON 2017 – 2017 IEEE Region 10 Conference, Penang, Malaysia, 2017, pp. 2747-2752, doi: 10.1109/TENCON.2017.8228329.
一、算法基础与核心思想
1. 单目标WOA原理（MOWOA的基础）
WOA模拟座头鲸气泡网捕食的三种行为：
-
包围猎物（Encircling Prey）：向当前最优解靠近
D⃗=∣C⃗⋅X⃗∗(t)−X⃗(t)∣\\vec{D}=|\\vec{C}\\cdot\\vec{X}^*(t)-\\vec{X}(t)|D=∣C⋅X∗(t)−X(t)∣
X⃗(t+1)=X⃗∗(t)−A⃗⋅D⃗\\vec{X}(t+1)=\\vec{X}^*(t)-\\vec{A}\\cdot\\vec{D}X(t+1)=X∗(t)−A⋅D
其中：A⃗=2ar1⃗−a\\vec{A}=2a\\vec{r_1}-aA=2ar1−a，C⃗=2r2⃗\\vec{C}=2\\vec{r_2}C=2r2；aaa从2线性递减到0；r1⃗,r2⃗∈[0,1]\\vec{r_1},\\vec{r_2}\\in[0,1]r1,r2∈[0,1]随机向量；X⃗∗\\vec{X}^*X∗为当前最优解。 -
气泡网攻击（Bubble-net Attack）：两种策略（概率ppp选择）
- 收缩包围（Shrinking Encircling）：∣A∣<1|A|<1∣A∣<1时，缩小搜索范围（局部开发）
- 螺旋更新（Spiral Updating）：沿螺旋路径逼近最优解
X⃗(t+1)=D⃗′⋅ebl⋅cos(2πl)+X⃗∗(t)\\vec{X}(t+1)=\\vec{D}'\\cdot e^{bl}\\cdot\\cos(2\\pi l)+\\vec{X}^*(t)X(t+1)=D′⋅ebl⋅cos(2πl)+X∗(t)
其中：D⃗′=∣X⃗∗(t)−X⃗(t)∣\\vec{D}'=|\\vec{X}^*(t)-\\vec{X}(t)|D′=∣X∗(t)−X(t)∣；bbb为螺旋形状常数；l∈[−1,1]l\\in[-1,1]l∈[−1,1]随机数。
-
随机搜索（Search for Prey）：∣A∣>1|A|>1∣A∣>1时，随机选择个体引导，扩大搜索范围（全局探索）
D⃗=∣C⃗⋅X⃗rand(t)−X⃗(t)∣\\vec{D}=|\\vec{C}\\cdot\\vec{X}_{rand}(t)-\\vec{X}(t)|D=∣C⋅Xrand(t)−X(t)∣
X⃗(t+1)=X⃗rand(t)−A⃗⋅D⃗\\vec{X}(t+1)=\\vec{X}_{rand}(t)-\\vec{A}\\cdot\\vec{D}X(t+1)=Xrand(t)−A⋅D
2. MOWOA的核心扩展（多目标适配）
MOWOA在WOA基础上，引入多目标优化核心机制：
- 帕累托支配（Pareto Dominance）：判断解的优劣，寻找非支配解集
- 非支配排序（Non-dominated Sorting）：将种群划分为不同前沿（Front），优先保留前沿1的解
- 拥挤距离（Crowding Distance）：衡量解的分布稀疏度，维持种群多样性
- 外部存档（External Archive）：存储全局非支配解，作为迭代引导
- 领导者选择（Leader Selection）：从存档中选解引导搜索，避免单一个体主导
二、MOWOA算法流程（详细步骤）
1. 初始化
- 随机生成初始种群X⃗i(i=1,2,…,N)\\vec{X}_i(i=1,2,…,N)Xi(i=1,2,…,N)，NNN为种群规模
- 计算每个个体的多目标适应度值
- 初始化外部存档（Archive），存入初始非支配解
- 设置迭代次数TmaxT_{max}Tmax、参数aaa、bbb、ppp等
2. 迭代更新（核心循环）
For 迭代次数t=1t=1t=1 to TmaxT_{max}Tmax：
更新控制参数
- a=2−2tTmaxa=2-\\frac{2t}{T_{max}}a=2−Tmax2t（线性递减）
- 随机生成r1⃗,r2⃗,l,p\\vec{r_1},\\vec{r_2},l,pr1,r2,l,p（p∈[0,1]p\\in[0,1]p∈[0,1]）
- 计算A⃗=2ar1⃗−a\\vec{A}=2a\\vec{r_1}-aA=2ar1−a，C⃗=2r2⃗\\vec{C}=2\\vec{r_2}C=2r2
个体位置更新（基于多目标引导）
For 每个鲸鱼个体X⃗i\\vec{X}_iXi：
- 从外部存档中选择一个领导者解X⃗∗\\vec{X}^*X∗（常用随机/拥挤距离选择）
- 按概率ppp选择更新策略：
- Case 1：p≤0.5p\\le0.5p≤0.5
- 若∣A∣≤1|A|\\le1∣A∣≤1：包围/收缩，用X⃗∗\\vec{X}^*X∗更新
X⃗i(t+1)=X⃗∗(t)−A⃗⋅∣C⃗⋅X⃗∗(t)−X⃗i(t)∣\\vec{X}_i(t+1)=\\vec{X}^*(t)-\\vec{A}\\cdot|\\vec{C}\\cdot\\vec{X}^*(t)-\\vec{X}_i(t)|Xi(t+1)=X∗(t)−A⋅∣C⋅X∗(t)−Xi(t)∣ - 若∣A∣>1|A|>1∣A∣>1：随机搜索，选随机个体X⃗rand\\vec{X}_{rand}Xrand更新
X⃗i(t+1)=X⃗rand(t)−A⃗⋅∣C⃗⋅X⃗rand(t)−X⃗i(t)∣\\vec{X}_i(t+1)=\\vec{X}_{rand}(t)-\\vec{A}\\cdot|\\vec{C}\\cdot\\vec{X}_{rand}(t)-\\vec{X}_i(t)|Xi(t+1)=Xrand(t)−A⋅∣C⋅Xrand(t)−Xi(t)∣
- 若∣A∣≤1|A|\\le1∣A∣≤1：包围/收缩，用X⃗∗\\vec{X}^*X∗更新
- Case 2：p>0.5p>0.5p>0.5
- 螺旋气泡网攻击
X⃗i(t+1)=∣X⃗∗(t)−X⃗i(t)∣⋅ebl⋅cos(2πl)+X⃗∗(t)\\vec{X}_i(t+1)=|\\vec{X}^*(t)-\\vec{X}_i(t)|\\cdot e^{bl}\\cdot\\cos(2\\pi l)+\\vec{X}^*(t)Xi(t+1)=∣X∗(t)−Xi(t)∣⋅ebl⋅cos(2πl)+X∗(t)
- 螺旋气泡网攻击
- Case 1：p≤0.5p\\le0.5p≤0.5
环境选择（种群与存档更新）
- 合并当前种群+外部存档，得到混合种群
- 对混合种群执行非支配排序，划分前沿
- 按前沿优先级+拥挤距离筛选，保留NNN个个体作为新种群
- 更新外部存档：仅保留混合种群中的非支配解，控制存档规模
终止判断
- 达到TmaxT_{max}Tmax则停止，返回外部存档的帕累托最优解集
三、关键机制详解
1. 非支配排序与拥挤距离
- 非支配排序：将解按支配关系分层，前沿1为最优非支配集
- 拥挤距离：同一前沿内，解的目标空间分布度量；距离越大，多样性越好，用于筛选与存档维护
2. 外部存档（Archive）
- 作用：存储全局最优非支配解，作为迭代引导，避免丢失优质解
- 维护策略：
- 新解加入前，剔除被支配解
- 存档溢出时，按拥挤距离删除分布密集的解
- 常用网格法或拥挤距离法管理存档
3. 领导者选择策略
MOWOA不再依赖单一全局最优，而是从外部存档选领导者，常见策略：
- 随机选择：简单高效，保持多样性
- 拥挤距离优先：选分布稀疏的解，提升全局探索
- 偏好导向：按决策者偏好选解，适配工程决策
四、MOWOA的特点与优势
1. 核心优势
- 原理简洁，参数少：仅需种群规模、迭代次数、螺旋常数bbb等，易实现
- 探索-开发平衡好：aaa线性递减、∣A∣|A|∣A∣控制全局/局部搜索，避免早熟
- 多目标适配性强：结合帕累托机制，有效求解冲突目标
- 收敛速度快：相比NSGA-II、MOPSO等，在部分测试集上收敛更快
2. 局限性
- 高维、大规模问题时，非支配排序复杂度高
- 需合理设置存档规模，过小易丢失解，过大增加计算量
- 对离散/组合优化问题，需额外编码适配
五、应用场景
MOWOA广泛用于多目标优化决策场景：
- 工程设计：结构轻量化+强度优化、电路参数多目标设计
- 能源系统：风电/光伏出力优化（成本+效率+环保）
- 路径规划：机器人路径（距离+时间+能耗）
- 图像处理：特征选择（准确率+维度）、图像检索
- 通信网络：资源分配（吞吐量+延迟+能耗）
六、MOWOA应用
MOWOA用于求解46个多目标测试函数（ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-DTLZ7、WFG1-WFG10、UF1-UF10、CF1-CF10、Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3）以及1个工程应用（盘式制动器设计）,并采用IGD、GD、HV、SP进行评价。
6.1部分代码
close all;
clear ;
clc;
%%
% TestProblem测试问题说明：
%一共46个多目标测试函数，详情如下：
%1-5:ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、ZDT6
%6-12：DZDT1-DZDT7
%13-22：wfg1-wfg10
%23-32：uf1-uf10
%33-42：cf1-cf10
%43-46:Kursawe、Poloni、Viennet2、Viennet3
%47 盘式制动器设计 温泽宇,谢珺,谢刚,续欣莹.基于新型拥挤度距离的多目标麻雀搜索算法[J].计算机工程与应用,2021,57(22):102-109.
%%
TestProblem=47;%1-47
MultiObj = GetFunInfo(TestProblem);
MultiObjFnc=MultiObj.name;%问题名
% Parameters
params.Np = 100; % Population size
params.Nr = 100; % Repository size
params.maxgen =100; % Maximum number of generations
[x,f] = MOwoa(params,MultiObj);
6.2部分结果
