P1017 [NOIP 2000 提高组] 进制转换

题目描述

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数：将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置为指数，以 $10$ 为底数的幂之和的形式。例如 $123$ 可表示为 $1\times 10^2+2\times 10^1+3\times 10^0$ 这样的形式。

与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置为指数，以 $2$ 为底数的幂之和的形式。

一般说来，任何一个正整数 $R$ 或一个负整数 $-R$ 都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以 $R$ 或 $-R$ 为基数，则需要用到的数码为 $0,1,\dots ,R-1$。

例如当 $R=7$ 时,所需用到的数码是 $0,1,2,3,4,5,6$，这与其是 $R$ 或 $-R$ 无关。如果作为基数的数绝对值超过 $10$，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于 $9$ 的数码。例如对 $16$ 进制数来说,用 $A$ 表示 $10$，用 $B$ 表示 $11$，用 $C$ 表示 $12$，以此类推。

在负进制数中是用 $-R $ 作为基数，例如 $-15$（十进制）相当于 $(110001{)}_{-2}$（$-2$进制），并且它可以被表示为 $2$ 的幂级数的和数：

$$(110001{)}_{-2}=1\times (-2{)}^5+1\times (-2{)}^4+0\times (-2{)}^3+0\times (-2{)}^2+0\times (-2{)}^1+1\times (-2{)}^0$$

设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负进制下的数。

输入格式

输入的每行有两个输入数据。

第一个是十进制数 $n$。第二个是负进制数的基数 $R$。

输出格式

输出此负进制数及其基数，若此基数的绝对值超过 $10$，则参照 $16$ 进制的方式处理。

输入输出样例 #1

输入 #1

30000 -2

输出 #1

30000=11011010101110000(base-2)

输入输出样例 #2

输入 #2

-20000 -2

输出 #2

-20000=1111011000100000(base-2)

输入输出样例 #3

输入 #3

28800 -16

输出 #3

28800=19180(base-16)

输入输出样例 #4

输入 #4

-25000 -16

输出 #4

-25000=7FB8(base-16)

说明/提示

数据范围

对于 $100\%$ 的数据，$-20\le R\le -2$，$|n|\le 37336$。

题目解析

代码功能

将十进制整数n转换为r进制数（r可以是负数）

核心思路

1. 递归转换函数 zhuan(n, r)

void zhuan(int n, int r)
{
if(n==0) return ; // 递归终止条件
int m=n%r; // 取余数

if(m<0) m-=r, n+=r; // 处理负数取余的问题
if(m>=10) m='A'+m–10; // 将10以上的余数转为A-F
else m+='0'; // 将0-9转为字符

zhuan(n/r, r); // 递归处理高位
printf("%c",m); // 输出当前位
return ;
}

2. 关键处理：负数取余修正

if(m<0) m-=r, n+=r;

这是最巧妙的部分！为什么需要这个？

• 在C++中，负数取余结果可能是负数（如：-5 % 2 = -1）
• 但在进制转换中，余数应该始终为非负数
• 通过m-=r将负余数转为正数，同时n+=r调整被除数

3. 执行示例

以n=10, r=2为例：

zhuan(10,2):
m=0 → '0'
zhuan(5,2):
m=1 → '1'
zhuan(2,2):
m=0 → '0'
zhuan(1,2):
m=1 → '1'
zhuan(0,2): return
输出'1'
输出'0'
输出'1'
输出'0'
结果：1010(base2)

4. 主函数流程

int main()
{
int n,r;
cin>>n>>r; // 输入数字和进制
cout<<n<<"="; // 输出格式
zhuan(n,r); // 递归转换
printf("(base%d)",r); // 输出进制
return 0;
}

算法特点

【贴上代码~】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

void zhuan(int n,int r)
{
if(n==0) return ;
int m=n%r;

if(m<0) m-=r,n+=r;
if(m>=10) m='A'+m–10;
else m+='0';

zhuan(n/r,r);

printf("%c",m);
return ;
}
int main()
{
int n,r;
string ans="";
cin>>n>>r;
cout<<n<<"=";
zhuan(n,r);
printf("(base%d)",r);
return 0;//完结撒花
}