控制理论前置知识——卷积

卷积的数学常识

线性时不变系统

想象你有一个线性时不变系统——比如一个音响、一个电路、或者一个弹簧。这个系统有一个非常简单的特性：

• 线性：如果你给系统一个输入 A，它产生输出 A′；给输入 B，产生输出 B′。那么同时给输入 A+B，输出就是 A′+B′（可叠加）。如果输入变成原来的两倍，输出也变成两倍（齐次性）。
• 时不变：如果你把输入推迟了 T 秒，那么输出也会推迟同样的 T 秒，形状完全不变。

冲激响应 g(t)

冲激响应 g(t) 描述。
g(t)的含义是：如果在 t=0 时刻给系统一个单位强度的瞬时冲击，那么系统在之后的每个时刻 t（t≥0）的输出就是 g(t)。
也就是说，g(t) 记录的是“从冲击发生的那一刻起，经过时间 t 后，系统还残留的影响有多大”。
注意：在信号与系统、控制论中冲激响应也表示为h(t)

时间符号定义

t：当前时间
τ：在过去的某个时刻
 t−τ：在过去的某个时刻到当前时刻的时间

卷积的物理定义

卷积就是一个“加权滑动叠加”的过程。 对于一个线性时不变系统，如果我们知道了它的“指纹”——也就是冲激响应 $g(t)$（系统对瞬时冲击的反应），那么对于任意输入信号 $f(t)$，系统在任意时刻 $t$ 的输出就等于：从开始到当前时刻 $t$ 为止，把过去每个时刻 $\tau$ 的输入值 $f(\tau )$ 乘以一个权重，然后全部加起来。而这个权重不是固定的，它取决于当前时刻与过去时刻的时间差 $t-\tau$，正好由系统的冲激响应 $g(t-\tau )$ 给出。

写成数学的理解描述形式就是：
$$y(t)={\int }_{\tau =-\infty }^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$
（如果输入从 0 开始，积分下限就是 0）
这个积分就是卷积。它就像一个对历史的加权积分，把输入信号的整个历史按照系统的“记忆方式”叠加起来，得到当前的反应。

卷积的数学定义

卷积有两种常见的形式：连续卷积和离散卷积。

连续卷积

对于两个定义在实数域上的函数 $f(t)$ 和 $g(t)$，它们的卷积定义为：
$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$
这里，$\tau$ 是积分变量，$t$ 是输出时刻。

离散卷积

对于两个离散序列 $f[n]$ 和 $g[n]$，它们的卷积定义为：
$$(f\ast g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m]$$
其中 $m$ 是求和指标。

通常，我们考虑的函数或序列只在有限区间内非零，因此积分或求和的上下限会相应截断。

卷积的解释

1. 系统的“指纹”——冲激响应 $g(t)$

我们先做一个实验：给系统一个极短促、极强的冲击（数学上叫“冲激信号”，用 $\delta (t)$ 表示）。这个冲击只在 $t=0$ 时刻存在，其他时刻为 0，但它的强度（面积）为 1。

系统会对这个冲击做出一个反应，比如音响会发出“嗒”的一声，电路会产生一个短暂的电压脉冲。这个反应就是系统的冲激响应，记作 $g(t)$。它描述了系统在受到一个瞬时冲击后的行为，就像系统的“指纹”，完全刻画了系统的动态特性。

2. 把任意输入信号 $f(t)$ 看作一连串连续冲击

现在，我们给系统一个任意的输入信号 $f(t)$。这个信号可能很复杂，比如一段音乐、一个电压波形。但我们可以用一种巧妙的方式来理解它：

把时间轴切分成无数个极短的小段，每段长度 $d\tau$。在每一个小段里，输入信号的值近似为常数。比如在时刻 $\tau$ 附近的一小段，输入的值是 $f(\tau )$。

那么，这一小段输入可以近似看作是一个小冲击，它的强度（面积）是 $f(\tau )\cdot d\tau$。因为这一小段持续了 $d\tau$ 这么长时间，幅度是 $f(\tau )$，所以总的“冲击量”就是 $f(\tau )d\tau$。

也就是说，整个输入信号 $f(t)$ 可以被看成是无穷多个、发生在不同时刻 $\tau$ 的小冲击的叠加。每个小冲击的强度为 $f(\tau )d\tau$，发生在时刻 $\tau$。

3. 每个小冲击都会引起一个响应

现在，由于系统是线性的，每个小冲击都会独立地产生一个响应。而且由于系统是时不变的，如果一个小冲击发生在时刻 $\tau$，那么它产生的响应应该和发生在 0 时刻的冲激响应 $g(t)$ 形状一样，但整体向右平移 $\tau$ 秒，并且强度要乘以这个小冲击的大小。

• 发生在 0 时刻、强度为 1 的冲击 $\to$ 响应：$g(t)$
• 发生在 $\tau$ 时刻、强度为 $f(\tau )d\tau$ 的冲击 $\to$ 响应：$f(\tau )d\tau \cdot g(t-\tau )$

注意 $g(t-\tau )$ 的意思是：原来在 0 时刻的响应函数 $g(t)$，现在被推迟到了 $\tau$ 时刻才开始出现，所以自变量变成了 $t-\tau$（当 $t<\tau$ 时，$g(t-\tau )=0$，表示未来发生的冲击不会影响过去）。

4. 在某个观察时刻 $t$，把所有响应叠加起来

现在我们要问：在任意一个固定的时刻 $t$，系统的输出是多少？

在时刻 $t$，系统正在输出的值，是所有发生在 $t$ 时刻之前（以及恰好 $t$ 时刻）的小冲击，在此时刻留下的贡献的总和。

• 发生在很早以前 $\tau =-\infty$ 的冲击，如果它的响应足够长，可能还在影响 $t$ 时刻。
• 发生在 $\tau =t$ 的冲击，它的响应刚刚开始（$g(0)$ 部分）。
• 发生在 $\tau >t$ 的冲击（未来）还没有发生，所以贡献为 0。

所以，我们要把从负无穷到 $t$ 的所有时刻 $\tau$ 的小冲击产生的响应加起来。每个小冲击的贡献是 $f(\tau )d\tau \cdot g(t-\tau )$。

求和（积分）就得到：
$$y(t)={\int }_{\tau =-\infty }^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

由于通常我们考虑的信号在负无穷处为 0，积分下限可以写成 $-\infty$。但如果你愿意，也可以把积分限扩展到整个实数轴，因为当 $\tau >t$ 时，$g(t-\tau )=0$（因果系统），所以实际上就是上面的式子。写成标准的卷积形式，通常积分限是整个实数轴：
$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

这就是卷积的公式。

5. 为什么叫“卷积”？

这个运算中，我们把 $g(\tau )$ 先翻转成 $g(-\tau )$，然后向右滑动 $t$ 得到 $g(t-\tau )$，再与 $f(\tau )$ 相乘后积分。翻转和滑动这两个动作“卷”在一起，所以叫卷积。

6. 一个简单的例子：酒杯中的红酒

再回到那个酒杯的例子。假设你往酒杯里倒酒，倒酒的速度是 $f(\tau )$（比如每秒多少毫升）。每一滴酒倒进去后，不会立刻均匀散开，而是会有一个浓度随时间变化的分布——这可以看作系统的冲激响应 $g(t)$。比如刚倒进去时局部浓度很高，然后慢慢扩散，最后均匀。

那么在某个时刻 $t$，酒杯里某一点的浓度，就是之前所有时刻倒进去的酒，经过扩散后残留到现在的浓度的总和。这正是卷积：

• 在时刻 $\tau$ 倒进去的酒量是 $f(\tau )d\tau$，
• 它扩散到时刻 $t$ 的贡献是 $f(\tau )d\tau \times g(t-\tau )$（因为从 $\tau$ 到 $t$ 经过了 $t-\tau$ 时间，扩散程度由 $g$ 决定），
• 把所有 $\tau$ 的贡献加起来（积分），就得到当前浓度。

总结

卷积是一种将一个函数“涂抹”到另一个函数上的操作，它描述了系统的历史影响如何累积。通过翻转、平移、相乘和累加，卷积将一个函数与另一个函数结合，产生一个新的函数。

卷积的过程拆解：

一个直观的例子：
假设一个系统的冲激响应 $g(t)=e^{-t}$（$t\ge 0$），即系统对瞬时冲击的响应是指数衰减的。那么对于任意输入 $f(t)$，输出为：
$$y(t)={\int }_0^{t}f(\tau )e^{-(t-\tau )}d\tau$$
这正是一个从0到t的积分，其中每个过去的输入 $f(\tau )$ 被乘以一个随时间间隔 $t-\tau$ 衰减的权重。