【信息科学与工程学】【产品体系】第十三篇光刻机08 EUV光刻机的主要数学理论01-171主机测评

EUV 2nm光刻机系统的模型表格

EUV-D1-0001 ~ 0015

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0001

系统集成模型

集成工程制造

基于多物理场耦合与高阶控制的状态空间模型

EUV光刻系统集成高阶抽象模型

1. 问题定义：将整个EUV光刻机视为一个多输入、多输出、受多重扰动的超精密动态系统。 2. 核心状态定义：定义系统状态向量 x(t)，包含：工件台位置/速度、掩模台位置/速度、投影光学系统像差系数、光源功率/带宽/稳定度、腔室压力/温度、硅片形貌等。 3. 输入定义：定义控制输入向量 u(t)，包含：各运动轴控制电流/电压、可变形镜面驱动器电压、激光激发参数、气体流量控制阀开度、热控单元功率等。 4. 扰动定义：定义扰动向量 d(t)，包含：地面振动、声波振动、环境温度波动、电网波动、物料（液滴、气体）特性微小变化等。 5. 输出定义：定义观测输出向量 y(t)，包含：干涉仪/编码器读数、波前传感器数据、剂量传感器读数、套刻对准标记图像、关键尺寸扫描电镜测量值等。 6. 模型建立：建立连续时间非线性状态空间方程： dx(t)/dt = f( x(t), u(t), d(t), t ) y(t) = h( x(t), u(t), d(t), t ) 其中 f(·) 和 h(·) 是高度复杂的非线性函数，由后续所有子模型耦合构成。 7. 线性化与解耦：在标称工作点 (x₀, u₀) 附近进行线性化，得到线性时不变（LTI）近似模型： Δẋ(t) = A·Δx(t) + B·Δu(t) + E·Δd(t) Δy(t) = C·Δx(t) + D·Δu(t) 其中 A, B, C, D, E 为雅可比矩阵。然后通过模态分析、奇异值分解等方法进行解耦，将系统分解为特征模态（如刚体模态、弹性模态、热模态）。 8. 控制器设计：基于线性化模型，设计高阶鲁棒控制器（如 H∞， μ-synthesis），控制律为： Δu(s) = K(s)·Δe(s)，其中 Δe(s) = Δr(s) – Δy(s)，r为参考输入，K(s)为控制器传递函数矩阵。

系统套刻精度 < 1.5 nm (均值+3σ)，产率 > 150 wph (300mm晶圆)

控制理论（状态空间法）、力学、热力学、流体力学、光学

用于全系统仿真、性能预算分配、故障预测与健康管理、控制系统集成设计。特征：高维度、强非线性、多速率（从kHz的运动控制到Hz的热控制）、多延迟。

x: 系统状态向量 (高维)。 u: 控制输入向量。 y: 系统输出向量。 d: 扰动向量。 A, B, C, D, E: 状态空间矩阵。 K(s): 控制器传递函数矩阵。 f(·), h(·): 非线性状态与输出函数。

集合（状态集合）、逻辑（控制逻辑）、微积分（微分方程）、线性代数（矩阵运算）、优化（控制器优化）、稳定性（系统稳定性分析）、动力系统。

形式化、结构化、多领域术语融合。

时序：1. 调度系统触发新晶圆载入 (t₀)。2. 机械手将晶圆传送到预对准台 (t₀+δt₁)。3. 预对准与全局对准 (t₀+δt₂)。4. 晶圆传送到工件台并真空吸附 (t₀+δt₃)。5. 逐场曝光循环：a) 工件台/掩模台协同运动到位 (settling)， b) 硅片形貌测量与调焦调平， c) 精细对准， d) 曝光扫描（同步运动与激光脉冲触发）， e) 剂量控制闭环调整。6. 重复步骤5直到整片晶圆完成。7. 晶圆卸载。整个流程由顶层可编程逻辑控制器（PLC）序列控制，下层由实时计算机执行伺服控制。

物料流（晶圆、掩模版）、能量流（电能、激光、EUV光）、信息流（控制指令、传感器数据）、误差流（各类扰动到最终成像误差的传递）。可用排队网络、Petri网或基于事件的离散仿真建模。

软件：MATLAB/Simulink (系统建模)， ANSYS (多物理场)，专用实时仿真器。硬件：实时工控机、PLC、运动控制卡、传感器网络。

EUV-D1-0002

物理模型

光科学/等离子体物理

磁流体动力学与辐射转移耦合方程

激光激发等离子体（LPP）EUV产生模型

1. 激光与液滴相互作用：高功率CO₂激光脉冲（波长~10.6μm）聚焦于锡（Sn）液滴（直径~20-30μm）。激光能量被吸收，产生初始蒸气/等离子体。 2. 激光能量吸收：逆轫致吸收是主要机制。吸收系数 α_IB 为： α_IB = (n_e n_i Z^2 e^6 lnΛ) / (6√(3π) ε₀³ m_e c ħ ω³) * (1 – exp(-ħω/k_B T_e)) / (k_B T_e)^{1/2} 其中 n_e, n_i 为电子/离子数密度，Z 为平均电离度，lnΛ 为库仑对数，ω 为激光频率，T_e 为电子温度。 3. 等离子体膨胀与加热：描述等离子体流体动力学演化。质量、能量、动量守恒方程（简化一维球对称）： ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 ρ (∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + j×B(磁压项通常较小可忽略) ∂E/∂t + ∇·[(E+p)v] = ∇·(κ∇T) + S_{laser} – S_{rad} 其中 E = ρε + 1/2 ρv² 为总能量密度，S{laser} 为激光沉积源项，S{rad} 为辐射能量损失。 4. 原子物理与电离平衡：计算电离度分布 n_i^z (z为电荷态)。使用碰撞-辐射模型或局部热动平衡（LTE）近似： n_e n_i^{z+1} / n_i^z = (2/Λ_e^3) (g_{z+1}/g_z) exp(-I_z / k_B T_e)(Saha方程，LTE下) 其中 Λ_e = h/√(2π m_e k_B T_e) 为电子热波长，I_z 为z度电离离子的电离能。 5. EUV辐射发射：来自Sn离子的4p⁶4dⁿ – 4p⁵4dⁿ⁺¹ + 4p⁶4dⁿ⁻¹4f 跃迁（~13.5 nm）。光谱发射系数 j_λ 为： j_λ = (hc/(4πλ)) A_{ul} n_u φ(λ) 其中 A_{ul} 为自发辐射系数，n_u 为上能级布居数，φ(λ) 为谱线线型（多普勒展宽、斯塔克展宽为主）。 6. EUV辐射传输：辐射在等离子体中传输会被再吸收（光学厚）。辐射转移方程： dI_λ/ds = -α_λ I_λ + j_λ 其中 α_λ 为吸收系数。EUV收集镜（椭球镜）只能收集立体角 ΔΩ 内的辐射。

EUV转换效率（CE）~5-6%，带宽 ~0.3-0.5% BW，功率稳定性 <0.3% (3σ)。

磁流体力学、辐射转移理论、原子物理学、量子电动力学

用于光源设计与优化，预测EUV功率、光谱、碎屑产生。特征：极端非平衡态（T_e >> T_i）、强非线性、多尺度（时间：ns-μs；空间：μm-mm）。

n_e, n_i: 电子/离子数密度。 T_e, T_i: 电子/离子温度。 v: 等离子体流速。 p: 压强。 ρ: 质量密度。 I_λ: 辐射强度。 j_λ: 发射系数。 α_λ: 吸收系数。 Λ: 库仑对数。

偏微分方程、非线性、多物理场耦合、级数展开（Saha方程）、积分方程（辐射转移）、概率与统计（碰撞过程）。

高度专业化，涉及大量物理学术语和缩写。

1. 主脉冲激光触发 (t=0)。 2. 激光能量在液滴表层沉积，形成初始等离子体 (0 < t < 几个ns)。方程：激光脉冲包络 I(t)，沉积能量 Q = ∫α_IB I(t) dt。 3. 等离子体膨胀与能量再分配 (几个ns ~ 100ns)。解MHD方程组。 4. 激发、电离与EUV辐射 (峰值辐射时刻 ~几十ns)。解碰撞-辐射模型与辐射转移方程。 5. 等离子体冷却与碎屑扩散 (100ns ~ ms)。

能量流：激光光能 → 电子热能 → 离子动能/热能 + 辐射能（含EUV）。物质流：球形锡液滴 → 非球形等离子体云 → 高速离子/原子碎屑 + 低速微颗粒。流向由压力梯度、温度梯度和自生磁场决定。

软件：COMSOL (MHD模块)， FLYCHK， SCRAM。硬件：高功率激光器、液滴发生器、真空腔室、光谱仪。

EUV-D1-0003

物理/光学模型

光科学/界面科学

麦克斯韦方程组结合表面边界条件

EUV多层膜反射镜模型（布拉格反射体）

1. 基本原理：在~13.5 nm波长下，所有材料折射率 n ≈ 1 – δ + iβ，其中 δ, β <<1。利用薄膜干涉，周期性堆叠高、低吸收材料（如Mo/Si， Mo/Be），在界面处反射波相干增强。 2. 传输矩阵法：计算多层膜反射率 R 和透射率 T。对第k层膜，其特征矩阵 M_k 为： M_k = [ cos(γ_k), (i sin(γ_k))/η_k; i η_k sin(γ_k), cos(γ_k) ] 其中 γ_k = (2π/λ) n_k d_k cosθ_k 为相位厚度，η_k = n_k / cosθ_k (TE波) 或 η_k = n_k cosθ_k (TM波) 为光学导纳，θ_k为层内入射角。 3. 整个膜堆的特征矩阵：M = M_N * M_{N-1} * … * M_1。对于从基底（s）到入射介质（0）的堆栈，反射系数 r 和反射率 R 为： [1; η_0] * (1+r)/(1-r) = M * [1; η_s] `R =

^2 **4. 优化目标**：在中心波长 λ_0 和设计入射角 θ_0 下最大化 R。通过调整每层厚度 d_k（通常为 λ_0/(4n_k cosθ_k) 附近）和周期数 N 实现。 **5. 带宽与角谱**：反射带宽 Δλ/λ 与高低折射率差 Δn 成正比。入射角变化会导致中心波长漂移：λ(θ) ≈ λ_0 cosθ。 **6. 界面粗糙度与扩散**：实际界面非理想，降低反射率。采用 Debye-Waller 因子修正： R_actual = R_ideal * exp(-(4πσ_rough cosθ / λ)^2)` 其中 σ_rough 为界面均方根粗糙度。扩散层可用线性渐变折射率模型近似。

峰值反射率 R > 70%（Mo/Si，近垂直入射），带宽（FWHM）~0.6 nm，热负载下形变 < 50 pm RMS。

经典电动力学、薄膜光学、干涉理论

用于收集镜、照明镜、投影物镜多层膜设计，性能预测。特征：周期结构、对界面粗糙度极度敏感、热-光耦合效应显著。

n_k = 1 – δ_k + iβ_k: 第k层材料的复折射率。 d_k: 第k层物理厚度。 N: 膜堆总周期数。 θ_k: 第k层内的光线角度。 σ_rough: 界面粗糙度。 M_k: 单层特征矩阵。 λ_0: 设计中心波长。

线性代数（矩阵乘法）、复数运算、三角函数、优化（膜系优化）、微扰（粗糙度影响）。

技术性描述，强调参数和性能指标。

设计流程：1. 选择材料对（Mo/Si）。2. 设定目标波长和入射角。3. 初始化膜厚（λ/4）。4. 计算反射谱 R(λ)。5. 通过优化算法（如单纯形法、遗传算法）调整 d_k 以最大化 R(λ_0)。6. 引入界面粗糙度模型重新评估。7. 进行热力学形变分析。

EUV-D1-0004

控制模型

控制科学/流体力学

线性二次高斯（LQG）控制 + 前馈

液滴发生器同步控制模型

1. 被控对象模型：液滴发生器（Droplet Generator, DG）核心是压电陶瓷驱动喷嘴，产生均匀锡液滴。模型可简化为二阶线性系统： m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F_pzt + F_fluid F_pzt = α * V(t)(压电驱动力，与电压V成正比) F_fluid与腔内压力、流体粘性相关。传递函数： G(s) = X(s)/V(s) = K / (s²/ω_n² + 2ζ s/ω_n + 1) 其中 ω_n 为固有频率，ζ 为阻尼比，K 为增益。 2. 干扰建模：主要干扰是主激光脉冲触发时刻 t_laser 的要求。需要控制液滴在精确时刻 t_target 到达激光焦点。干扰包括：初始液滴位置/速度误差、气流扰动。 3. 状态空间表示：定义状态向量 x = [位置, 速度]^T。离散化后： x[k+1] = A_d * x[k] + B_d * u[k] + w[k] y[k] = C_d * x[k] + v[k] 其中 y[k] 为观测值（如通过背光成像测得的液滴位置），w[k], v[k] 为过程噪声和观测噪声。 4. 控制器设计：目标最小化液滴到达时间误差 e = t_arrival – t_target。采用LQG： a. 卡尔曼滤波器：估计系统状态 x_hat[k

k]。预测：`x_hat[k

k-1] = A_d * x_hat[k-1

k-1] 更新：x_hat[k

k] = x_hat[k

k-1] + K_f (y[k] – C_d * x_hat[k

k-1])` 其中 K_f 为卡尔曼增益。 b. 线性二次型调节器：基于状态估计，计算控制量 u[k] = -K_c * x_hat[k

k]，其中 K_c 通过最小化代价函数 J = Σ (x^T Q x + u^T R u) 求得。 c. 前馈控制：根据激光触发序列，提前注入一个开环控制信号 u_ff(t)，以抵消预期的动态延迟。

液滴位置重复精度 < 0.5 μm (3σ)，与激光触发时间同步误差 < 1 ns (RMS)。

经典控制理论（二阶系统）、现代控制理论（状态空间、最优估计与最优控制）

EUV-D1-0005

控制模型

控制科学/光学

比例-积分-微分（PID）与迭代学习控制（ILC）

激光脉冲能量与时序控制模型

1. 控制目标：稳定每个主激光脉冲的能量 E_pulse 到达设定值 E_set，并精确控制脉冲触发时刻 t_trigger 以匹配液滴到达时刻。 2. 脉冲能量控制：采用嵌套控制环。外环（能量环，速率 ~1-10 Hz）：测量脉冲能量 E_meas（通过剂量传感器），与 E_set 比较，通过PID控制器输出平均功率设定值 P_avg_set 给内环。 P_avg_set[k] = K_p * e_E[k] + K_i * Σ e_E[j] + K_d * (e_E[k] – e_E[k-1]) 其中 e_E[k] = E_set – E_meas[k]。内环（功率环，速率 ~kHz）：通过调节泵浦激光二极管电流 I_LD，控制激光器平均输出功率 P_avg 跟随 P_avg_set。模型为带延迟的一阶系统： P_avg(s) / I_LD(s) = K * exp(-τs) / (1 + Ts) 采用另一组PID控制器。 3. 时序同步控制：主激光脉冲由Q开关或腔倒空产生。触发信号由高精度时钟和液滴位置预测信号共同生成。同步误差 e_t = t_actual – t_desired 用于微调时钟相位或预测算法参数。 4. 迭代学习控制：激光脉冲能量存在重复性扰动（如与液滴周期相关的波动）。ILC利用前一周期的误差 e_E^{(n-1)}(t) 来修正当前周期的控制信号 u^{(n)}(t)： u^{(n)}(t) = u^{(n-1)}(t) + L * e^{(n-1)}(t+τ) 其中 L 为学习滤波器， τ 为超前补偿， n 为迭代次数。

脉冲能量稳定性 < 0.3% (3σ)，触发时间抖动 < 1 ns (RMS)。

经典控制理论（PID）、迭代学习控制、激光物理

用于维持稳定的EUV光源功率输出。特征：多回路控制、存在重复性和随机性扰动、高精度时间同步。

E_pulse, E_set, E_meas: 脉冲能量（设定、测量）。 P_avg, P_avg_set: 平均功率。 I_LD: 泵浦二极管电流。 K_p, K_i, K_d: PID参数。 K, τ, T: 激光器功率模型参数。 L: ILC学习滤波器。

微积分（积分、微分）、离散系统、迭代算法、收敛性分析。

描述控制回路和同步机制。

1. 初始化：加载能量设定曲线 E_set(t) 和触发时间序列 t_trigger[i]。 2. 时序同步：在 t_trigger[i] – t_prep 时刻，准备激光发射（充电、Q开关准备）。 3. 触发：在精确的 t_trigger[i] 时刻，发出触发信号，发射激光脉冲。 4. 能量测量：脉冲后，剂量传感器测量能量 E_meas[i]。 5. 能量控制计算：外环PID根据 E_meas[i] 和 E_set[i] 计算新的 P_avg_set。内环PID调整 I_LD。 6. ILC更新：当天工作结束后，处理全天能量误差序列 e_E[n]，更新ILC控制量 u_ILC 用于第二天。 7. 循环：对每个脉冲重复步骤2-5。

能量流：电网电能 → 泵浦激光能量 → 主激光脉冲能量 → 等离子体EUV辐射能。信息流：触发时钟信号 + 液滴位置预测信号 → 激光触发指令；剂量传感器信号 → 能量控制器 → 泵浦电流设定值。

软件：实时控制器的PID和ILC算法。硬件：高精度时钟源、快速光电探测器、能量计、激光电源与控制器。

EUV-D1-0006

光学模型

光科学/信息科学

标量/矢量衍射理论与像差展开

投影光学系统（PO）成像模型

1. 光瞳函数：描述投影物镜（由6个反射镜组成）的波前调制。在出瞳面，光瞳函数 P(ξ, η) 为： P(ξ, η) = A(ξ, η) * exp(i * 2π/λ * W(ξ, η)) 其中 A(ξ, η) 是振幅（照明）分布，通常为环形。W(ξ, η) 是波前像差函数。 2. 像差展开：W(ξ, η) 用泽尼克（Zernike）多项式展开： W(ρ, θ) = Σ_{n,m} a_{n}^{m} * Z_{n}^{m}(ρ, θ) 其中 ρ, θ 为归一化极坐标， a{n}^{m} 为泽尼克系数，描述离焦 (a{2}^{0})、像散 (a{2}^{-2}, a{2}^{2})、彗差 (a{3}^{-1}, a{3}^{1})、球差 (a_{4}^{0}) 等。 3. 成像过程（霍普金斯方程，部分相干成像）：掩模图案 T(x, y) 在照明角度 (α, β) 下，成像到硅片上的光强分布 I(x, y) 为： `I(x,y) = ∫∫ J(α,β)

∫∫ T(x,y) * h(x+Mα/λ, y+Mβ/λ; x,y) dxdy

² dα dβ 其中 J(α,β) 是照明光瞳的强度分布（通常为环形）， h 是相干点扩散函数， M 是投影物镜缩小倍率（通常为1/4）。 **4. 相干点扩散函数**：h(u,v; x,y) = ∫∫ P(ξ,η) * exp(i2π[(ξ-u)(x/M)+ (η-v)(y/M)]) dξ dη 简化后，成像过程可表示为传输交叉系数（TCC）模型： I(x,y) = Σ_k Σ_l Σ_m Σ_n TCC(k,l;m,n) * F(T)(k,l) * F(T)(m,n) * exp(i2π[(k-m)x+(l-n)y])` 其中 F(T) 是掩模透过率函数的傅里叶变换。 5. 分辨率与工艺窗口*：成像质量用关键尺寸（CD）、线边缘粗糙度（LER）和工艺窗口（焦距-曝光量矩阵，特别是共同工艺窗口）评价。

波前像差 < 0.5 nm RMS，像差稳定性 < 0.1 nm/hr，套刻精度 < 1.5 nm。

傅里叶光学、衍射理论、像差理论

用于评估和优化投影物镜的成像性能，指导像差测量与补偿。是计算光刻的基础。特征：部分相干、三维矢量效应（对高NA，需考虑偏振）、像差敏感度高。

P(ξ,η): 光瞳函数。 W(ξ,η): 波前像差。 a_{n}^{m}: 泽尼克系数。 J(α,β): 照明光瞳强度。 T(x,y): 掩模透过率函数。 h: 相干点扩散函数。 TCC: 传输交叉系数。 NA: 数值孔径。

傅里叶变换、卷积、级数展开（泽尼克多项式）、复数运算、线性系统理论。

高度数学化，使用大量光学和成像术语。

成像时序：1. 照明系统将EUV光以特定角度分布（环形、偶极等）照射到掩模上。2. 掩模的衍射光进入投影物镜光瞳。3. 物镜对衍射光进行滤波（由光瞳函数P定义）和汇聚。4. 在硅片光刻胶层上形成干涉图像。数学流程：给定掩模图案 T -> 计算其频谱 F(T) -> 与TCC核进行相关运算 -> 得到空间像光强分布 I(x,y)。

EUV-D1-0007

传感与估计模型

信息科学/控制科学

扩展卡尔曼滤波器（EKF）

硅片形貌与位置实时估计模型

1. 状态定义：需要估计硅片上每个曝光场（或细分网格）的高度（调焦）和倾斜（调平）。定义状态向量 x 为某一区域的6自由度位姿：x = [z, Rx, Ry, δx, δy, Rz]^T(高度，绕X/Y轴倾斜， X/Y平移，旋转)。 2. 传感器模型：使用多个（如4个）离轴倾斜传感器。每个传感器 i 测量的是其光斑照射点的高度差，输出信号 s_i 与局部高度和倾斜相关： s_i = a_i * z_local_i + b_i(线性近似) z_local_i ≈ z + Rx * dy_i + Ry * dx_i(小角度近似) 其中 (dx_i, dy_i) 是传感器 i 相对于场中心的坐标。 3. 系统动态模型：假设硅片在扫描曝光过程中位姿变化缓慢，用随机游走或低阶运动模型描述： x[k+1] = A * x[k] + w[k], 通常 A 近似为单位矩阵， w[k] 为过程噪声。 4. 观测模型：y[k] = H * x[k] + v[k]，其中 y 是传感器读数向量， H 是观测矩阵，其行由传感器模型系数 a_i, b_i 和几何位置决定， v 是观测噪声。 5. 扩展卡尔曼滤波：由于传感器模型可能存在非线性，采用EKF。预测步： `x̂[k

k-1] = f(x̂[k-1

k-1], u[k-1])(通常 f 为恒等映射) P[k

k-1] = A * P[k-1

k-1] * A^T + Q **更新步**： K[k] = P[k

k-1] * H^T * (H * P[k

k-1] * H^T + R)^{-1} x̂[k

k] = x̂[k

k-1] + K[k] * (y[k] – h(x̂[k

k-1])) P[k

EUV-D1-0008

热力学模型

热力学/超精密制造工程

有限元分析（FEA）与计算流体动力学（CFD）耦合

投影物镜热变形模型

1. 热源建模：EUV光被多层膜部分吸收，转化为热。热流密度 q(x,y) 分布与光强分布 I(x,y) 和膜层吸收率 α_abs 成正比： q(x,y) = α_abs * I(x,y) 吸收率 α_abs ≈ 1 – R (反射率)，对Mo/Si膜约30%。 2. 热传导方程：镜体内部温度场 T(x,y,z,t) 满足： ρ_m c_p ∂T/∂t = ∇·(k ∇T) + q_v 其中 ρ_m 为材料密度， c_p 为比热容， k 为热导率， q_v 为体热源（来自表面吸收热流，可作为边界条件或体源）。 3. 边界条件：包括辐射换热、与周围气体（氢、氦）的对流换热、与镜框的接触导热。辐射：q_rad = ε σ (T^4 – T_env^4)。对流：q_conv = h (T – T_gas)， h 为对流换热系数，由CFD计算得到。 4. 结构-热耦合：温度场变化导致热应变 ε_th = α_T * ΔT，其中 α_T 为热膨胀系数。在弹性力学中，总应变 ε_total = ε_mech + ε_th。应力-应变关系（胡克定律）：σ = C : ε_mech，其中 C 是弹性刚度张量。 5. 力学平衡方程：∇·σ + f = 0， f 为体力（通常为0）。联立热应变关系，求解位移场 u。 6. 光学效应：镜面位移 u 的法向分量导致面形误差 δz。通过泽尼克多项式拟合 δz，得到由热引起的像差系数变化 Δa_n^m。

镜面热形变导致的面形误差 < 0.1 nm RMS (在稳态下)，热稳定时间 < 1小时。

傅里叶热传导定律、纳维-斯托克斯方程（CFD）、弹性力学、热弹性理论

用于预测和补偿由EUV吸收发热引起的镜面热变形，是维持成像稳定的关键。特征：多物理场（热-流-固）强耦合、时间尺度长（分钟到小时）、非线性边界条件。

T: 温度场。 u: 位移场。 q: 热流密度。 α_abs: 吸收率。 ρ_m, c_p, k: 材料热物性。 α_T: 热膨胀系数。 C: 弹性刚度张量。 h: 对流换热系数。

偏微分方程、有限元方法、张量分析、耦合系统、瞬态分析。

工程分析语言，涉及热、力、光学术语。

1. 稳态热分析：给定恒定照明条件 I(x,y)，求解稳态温度场 T_ss(x,y,z)，满足 ∇·(k ∇T_ss) = 0 及带热源边界条件。 2. 瞬态热分析：从初始温度开始，求解 ∂T/∂t 方程，得到温度随时间演化 T(x,y,z,t)。 3. 热-结构耦合分析：将温度场 T 作为载荷，求解弹性力学方程，得到位移场 u(x,y,z,t)。 4. 光学面形提取：从位移场中提取光学表面法向位移 δz。 5. 像差计算：对 δz 进行泽尼克分解，得到热致像差 Δa_n^m。 6. 补偿：将 Δa_n^m 作为前馈信号，输入可变形镜面（DMs）或调整照明条件进行补偿。

能量流：EUV光能 → 镜面吸收 → 热能 → 温度梯度 → 热变形 → 面形误差 → 波前像差。物质流：冷却气体/液体带走热量，维持热平衡。

软件：ANSYS Mechanical/CFD, COMSOL Multiphysics, ZEMAX (光学分析插件)。硬件：投影物镜镜体、温度传感器、冷却系统。

EUV-D1-0009

化学模型

化学/半导体物理

光化学动力学方程（Dill 模型及其扩展）

化学放大胶（CAR）曝光与后烘（PEB）模型

1. 曝光过程：EUV光子（92 eV）被光刻胶中的光酸产生剂（PAG）吸收，产生酸（H+）。Dill 模型描述光强 I 和抑制剂浓度 M 的变化： ∂I(z,t)/∂z = -[A * M(z,t) + B] * I(z,t) ∂M(z,t)/∂t = -C * I(z,t) * M(z,t) 其中 A, B, C 为 Dill 参数（吸收系数、漂白速率常数）， z 为深度方向。 2. 酸扩散与催化反应（PEB过程）：曝光后烘烤时，产生的酸作为催化剂，促使保护基团脱保护（在正胶中），或交联剂反应（在负胶中）。酸浓度 [H] 和保护基团浓度 [P] 满足： ∂[H]/∂t = D_H ∇²[H] – k_{loss}[H] ∂[P]/∂t = -k_{rxn} [H]^m [P]^n 其中 D_H 为酸扩散系数， k{loss} 为酸淬灭速率常数， k{rxn} 为反应速率常数， m, n 为反应级数（常为1）。 3. 显影动力学：使用 Mack 模型，显影速率 R 与剩余保护基团浓度 [P] 相关： R = R_{max} * (a+1)*(1-[P])^n / (a + (1-[P])^n) + R_{min} 其中 R_max, R_min, a, n 为模型参数。通过求解移动边界问题，得到显影后的胶体轮廓。

关键尺寸均匀性 (CDU) < 0.5 nm (3σ)，线边缘粗糙度 (LER) < 1.0 nm (3σ)。

光化学、反应扩散方程、聚合物科学

用于模拟和优化EUV光刻胶的曝光、后烘和显影过程，预测最终图形轮廓。是计算光刻和工艺开发的核心。特征：多尺度（分子水平反应到宏观轮廓）、强非线性、参数敏感。

I: 光强。 M: 抑制剂浓度（或PAG浓度）。 [H]: 酸浓度。 [P]: 保护基团浓度。 A, B, C: Dill 参数。 D_H: 酸扩散系数。 k{loss}, k{rxn}: 反应速率常数。 R: 显影速率。

偏微分方程（反应-扩散）、动力学方程、参数拟合、非线性。

化学动力学描述，涉及浓度、反应速率等术语。

1. 曝光：EUV光入射，沿深度方向光强衰减 (Dill 方程)，产生空间分布的酸 [H]_0(x,y,z)。 2. 后烘：加热，酸开始扩散和催化反应。求解酸扩散方程和反应方程，得到烘烤后保护基团浓度分布 P。 3. 显影：将胶浸入显影液。根据 Mack 模型，胶-液界面以速率 R([P]) 向胶内推进，直到达到显影时间，得到最终三维轮廓。

物质流：EUV光子 → 被PAG吸收 → 产生酸分子 → 酸扩散 → 催化保护基团反应 → 改变胶溶解度 → 显影液溶解可溶部分。信息流：空间像光强分布 I(x,y,z) → 初始酸分布 → 催化后保护基团分布 → 显影速率分布 → 三维轮廓。

软件：PROLITH, SENTAURUS LITHOGRAPHY, Monte Carlo模拟器（用于stochastic effects）。硬件：涂胶显影Track、热板、显影槽。

EUV-D1-0010

控制模型

控制科学/声科学

自适应前馈与反馈主动振动控制

超精密工件台振动抑制模型

1. 振动传递路径：地面振动 d_ground 通过隔振平台传递到工件台基座，再传递到工件台；还有直接作用于工件台的力扰动 d_force（如扫描电机反作用力）。 2. 反馈控制：工件台本身是精密运动系统，已有高带宽位置反馈环。但对于超出伺服带宽（通常<1 kHz）的振动，反馈控制无能为力。 3. 前馈控制：使用加速度计测量基座振动 a_base，经过前馈滤波器 F(z) 产生补偿力 u_ff 注入到工件台作动器。目标是使振动响应 y 最小化。基于自适应滤波理论（如FxLMS算法）。 4. 系统辨识：需要辨识从补偿力 u 到振动响应 y 的次级路径传递函数 S(z)。通常用白噪声激励，通过相关分析或自适应滤波辨识。 5. 自适应前馈控制：采用滤波-X最小均方（FxLMS）算法更新前馈滤波器系数 w：参考信号 x[n] = a_base[n] (经可能的相位调整)。滤波输出：u_ff[n] = w^T[n] * x[n](向量点乘)。误差信号：e[n] = y[n](在振动控制点测得的残留加速度/位移)。系数更新：w[n+1] = w[n] – μ * e[n] * (s_hat conv x)[n] 其中 μ 为步长， s_hat 是次级路径 S(z) 的估计模型的脉冲响应， (s_hat conv x) 是滤波-X信号。 6. 多重控制：在多个自由度（如垂直、水平）和多个位置施加前馈控制。

振动隔离效率 > 60 dB @ 100 Hz，控制后残留振动位移 < 0.1 nm RMS (> 10 Hz)。

振动理论、自适应控制、数字信号处理

用于抑制从地面和内部产生的振动，确保工件台在扫描和定位时的绝对稳定性。特征：宽频带（几Hz到几千Hz）、多输入多输出、需在线自适应。

d_ground, d_force: 振动扰动。 a_base: 基座加速度参考信号。 y: 受控点振动响应（残留）。 u_ff: 前馈控制力。 S(z): 次级路径传递函数。 w: 前馈滤波器系数向量。 μ: LMS步长。

信号处理（滤波、卷积）、自适应算法、最速下降法、系统辨识。

振动控制和信号处理领域的专业术语。

1. 系统辨识阶段：注入测试信号，辨识次级路径 S(z) 的模型 s_hat。 2. 初始化：设置前馈滤波器系数 w 初始值为零。 3. 实时控制循环 (在高速DSP/FPGA中执行)： a. 采集参考加速度信号 x[n] 和误差信号 e[n]。 b. 计算滤波-X信号：r[n] = s_hat conv x(卷积)。 c. 更新滤波器系数：w[n+1] = w[n] – μ * e[n] * r[n]。 d. 计算前馈控制输出：u_ff[n] = w^T[n] * x[n]。 e. 输出 u_ff[n] 到作动器。 4. 连续运行，使 w 自适应收敛以最小化 e[n] 的均方值。

能量流：地面振动机械能 → 通过隔振器 → 工件台振动动能。控制能量：前馈控制力 u_ff 注入作动器，产生反向振动能量以抵消干扰能量。信息流：参考传感器信号 → 前馈控制器 → 控制力 → 作动器 → 结构响应 + 干扰 → 误差传感器信号 → 控制器更新。

软件：实时DSP/FPGA中的自适应滤波算法。硬件：高灵敏度加速度计、音圈电机/压电作动器、高速数据采集与处理卡。

EUV-D1-0011

计算模型

计算机科学/信息科学

稀疏矩阵求解与快速傅里叶变换加速

掩模三维电磁场仿真（FDTD/RCWA）

1. 问题描述：EUV掩模是三维结构（吸收体，如TaBN，在多层膜衬底上），特征尺寸与波长相当，必须求解麦克斯韦方程组的全波解。 2. 时域有限差分（FDTD）：直接在时域离散化麦克斯韦旋度方程： ∇ × E = -μ ∂H/∂t ∇ × H = ε ∂E/∂t + σ E 采用Yee网格，在时空上交错离散 E 和 H 场分量。通过时间步进求解整个计算域内的场分布。 3. 严格耦合波分析（RCWA）：针对周期性结构。将掩模的介电常数分布 ε(x,y,z) 和电磁场用傅里叶级数展开。在谱域求解亥姆霍兹方程，得到每个空间谐波的振幅。利用散射矩阵（S-matrix）法处理多层结构。 4. 近场到远场变换：计算出的掩模表面近场 E_near，通过角谱理论或等效原理，计算其衍射到投影物镜入瞳的远场 E_diffracted： E_diffracted(k_x, k_y) = FFT{E_near(x,y) * exp(i k_z z)}(简化形式) 其中 k_x, k_y 为空间频率，对应衍射级次。 5. 输出：得到掩模的角谱，即不同照明角度下的衍射效率，作为后续成像模型的输入。

仿真精度要求：关键尺寸误差 < 0.1 nm，边缘放置误差 < 0.05 nm。

计算电磁学、傅里叶光学、数值分析

用于精确预测EUV掩模的衍射特性，是计算光刻中光学临近效应修正（OPC）和源掩模优化（SMO）的基础。特征：计算密集型、高内存消耗、需高性能计算。

E, H: 电场和磁场矢量。 ε, μ, σ: 介电常数、磁导率、电导率。 k_x, k_y, k_z: 波矢分量。 Yee网格参数: Δx, Δy, Δz, Δt。

偏微分方程（麦克斯韦方程组）、数值离散、傅里叶分析、线性代数（大型稀疏矩阵）、并行计算。

计算电磁学和数值方法的专业语言。

FDTD流程：1. 几何建模和网格划分。2. 设置激励源（平面波）。3. 时间步进循环：a. 更新 H 场（根据 E 场）；b. 更新 E 场（根据 H 场）；c. 应用边界条件（如PML）。4. 达到稳态后，在观测面记录时谐场。5. 傅里叶变换得到频域结果。 RCWA流程：1. 将掩模结构切片，每层介电常数进行傅里叶展开。2. 为每层建立特征值问题，求解模式。3. 用 S-矩阵算法连接各层，计算整体反射和透射系数。4. 得到衍射级次的振幅和相位。

场流：入射平面波 → 在掩模三维结构边界发生散射 → 产生复杂近场分布 → 传播到远场（衍射谱）。信息流：掩模GDSII图案 → 三维介电常数分布 → 数值求解麦克斯韦方程组 → 衍射效率图谱。

软件：ANSYS Lumerical FDTD, Synopsys Sentaurus Lithography EM, 内部开发的RCWA代码。硬件：高性能计算集群（CPU/GPU）。

EUV-D1-0012

优化模型

计算机科学/信息科学

梯度下降/拟牛顿法/遗传算法与并行计算

源掩模联合优化（SMO）模型

1. 目标函数：最小化成像误差。常用目标函数为 EPE（边缘放置误差）的平方和，或工艺窗口（PW）的倒数。设 M 为掩模透射率分布（可优化变量）， S 为光源强度分布（可优化变量），目标函数 F(M,S) 为： F(M,S) = Σ_i w_i * EPE_i(M, S)^2 + R(M) 其中 w_i 为权重， R(M) 为掩模复杂度正则化项（惩罚过于复杂的图案，利于制造）。 2. 约束条件： a. 掩模约束：M(x,y) ∈ {0, 1}（二元掩模）或 [0, 1]（灰阶/衰减PSM）。 b. 光源约束：S(α,β) ≥ 0，且总光强固定 ∫∫ S dαdβ = 1。 c. 成像模型约束：由成像模型（如TCC公式 D1-0006）计算光强 I(M,S)。 3. 优化方法：由于变量维度高（掩模像素数 + 光源像素数），且目标函数非凸，采用梯度下降结合随机优化。 a. 计算梯度：利用伴随方法（Adjoint Method）高效计算目标函数 F 对 M 和 S 的梯度 ∇M F 和 ∇S F。 b. 迭代更新： M_{k+1} = P_M ( M_k – η_M * ∇_M F(M_k, S_k) ) S_{k+1} = P_S ( S_k – η_S * ∇_S F(M_k, S_k) ) 其中 P_M, P_S 是投影算子，将结果投影到可行集（如将 M 二值化，将 S 归一化）。η 为步长。 c. 全局探索：结合遗传算法或模拟退火避免陷入局部最优。

优化后工艺窗口面积提升 > 20%， EPE 均值 < 1 nm。

非线性规划、计算光刻、成像光学

在给定的投影物镜条件下，协同优化照明光源形状和掩模图形，以最大化工艺窗口和成像保真度。是分辨率增强技术（RET）的核心。特征：大规模、非凸、多变量、计算代价极高。

M: 掩模透射率分布（优化变量）。 S: 光源强度分布（优化变量）。 F: 目标函数（如EPE平方和）。 EPE_i: 第i个评估点的边缘放置误差。 R(M): 正则化项。 ∇M F, ∇S F: 梯度。

优化理论、梯度计算、约束优化、大规模非线性问题、并行计算。

优化领域的术语，如“目标函数”、“梯度”、“正则化”。

1. 初始化：加载目标图案，初始化掩模 M0（为目标图案的二值化）和光源 S0（通常为传统照明，如环形）。 2. 成像仿真：使用当前 M_k 和 S_k，通过成像模型计算光强分布 I_k。 3. 计算误差：将 I_k 与阈值比较，生成轮廓，计算所有评估点的 EPE 和目标函数 F_k。 4. 判断收敛：如果 F_k 小于阈值或迭代次数达到上限，停止；否则继续。 5. 计算梯度：利用伴随法计算 ∇M F 和 ∇S F。 6. 变量更新：沿梯度反方向更新 M 和 S，并投影到可行集。 7. 循环：回到步骤2，进行下一次迭代 (k=k+1)。

信息流：目标图案 → 成像模型 → 计算EPE/F → 伴随法求梯度 → 更新 M 和 S → 新成像仿真。优化流：在掩模空间和光源空间的巨大解空间中，通过梯度信息导航，寻找使成像误差最小的 (M, S) 组合。

软件：ASML Tachyon SMO, Synopsys Proteus, Brion (TSMC) 等。硬件：大规模计算农场（数千CPU核心）。

EUV-D1-0013

流体力学模型

流体力学/界面科学

稀薄气体动力学（DSMC 或玻尔兹曼方程）

真空与微环境气体流场模型

1. 流态判断：EUV光刻腔室压力范围广（光源区~10Pa，光学区~10^-3 Pa，工件台区~10^-2 Pa）。克努森数 Kn = λ / L，其中 λ 为分子平均自由程， L 为特征尺寸。在低压下 Kn 较大，需用稀薄气体动力学。 2. 直接模拟蒙特卡洛（DSMC）方法：模拟气体分子运动与碰撞。 a. 分子运动：每个模拟分子代表大量真实分子，在时间步长 Δt 内自由运动：r_new = r_old + v * Δt。 b. 分子碰撞：在网格单元内，随机选择分子对进行碰撞，碰撞后速度按动量能量守恒和特定散射模型（如变径硬球模型 VHS）重新分配。 c. 边界条件：处理分子与壁面的相互作用（漫反射、镜面反射、吸附）。 3. 宏观量统计：在每个网格单元内，对分子速度进行统计，得到宏观速度 u、数密度 n、温度 T、压强 p： n = N_c / V_c u = (1/N_c) Σ v_i `T = (m/(3k_B N_c)) Σ

v_i – u

^2 p = n k_B T` 其中 N_c 为单元内模拟分子数， V_c 为单元体积。 4. 应用：模拟氢气在腔室中的流动，以评估其对EUV光的吸收、对碎屑的清除效率，以及热传递。

气体密度分布预测误差 < 5%，碎粒清除效率模拟与实验偏差 < 10%。

气体动力学理论、统计力学、蒙特卡洛方法

用于设计EUV系统的真空子系统、气体阻挡层（用于保护光学元件免受污染）、以及热管理。特征：稀薄流、三维复杂几何、瞬态模拟。

Kn: 克努森数。 λ: 分子平均自由程。 r, v: 分子位置和速度矢量。 N_c: 单元内模拟分子数。 n, u, T, p: 宏观数密度、流速、温度、压强。 Δt: DSMC 时间步长。

概率与统计（蒙特卡洛模拟）、分子运动学、统计平均、随机过程。

计算流体动力学和统计物理的语言。

1. 初始化：设定计算域网格、初始气体条件（n, u, T）、边界条件。 2. 时间步进循环： a. 运动：所有分子根据当前速度移动。 b. 索引：将分子重新索引到网格单元中。 c. 碰撞：在每个单元内，根据碰撞概率随机选择分子对进行碰撞，更新碰撞后速度。 d. 采样：对宏观量进行采样统计（可每N步采样一次）。 e. 边界处理：处理离开计算域或撞击壁面的分子。 3. 稳态判断：当宏观量统计平均值不再有明显变化，达到稳态。输出平均流场。

EUV-D1-0014

材料模型

半导体物理/化学

密度泛函理论（DFT）与分子动力学（MD）

多层膜材料界面扩散与反应模型

1. 原子尺度建模：使用 DFT 计算 Mo/Si 或 Mo/Be 界面处的形成能、界面能、扩散势垒。构建包含数十到上百个原子的超胞模型。 2. 扩散系数计算：通过过渡态理论（Nudged Elastic Band, NEB 方法）寻找扩散路径和鞍点，计算活化能 E_a。扩散系数 D 为： D = D_0 exp(-E_a / k_B T) 其中 D_0 为指前因子，可通过分子动力学模拟或经验公式估计。 3. 分子动力学模拟：在更高温度下，运行经典分子动力学模拟，观察界面原子在 ps-ns 时间尺度的互扩散过程。采用嵌入原子法（EAM）等经验势函数描述原子间相互作用。跟踪浓度剖面 c(z,t) 的演化。 4. 连续扩散模型：将原子尺度信息上转为连续模型。在界面区域，互扩散满足菲克第二定律： ∂c/∂t = ∂/∂z ( D(c) ∂c/∂z ) 其中扩散系数 D 可能依赖于浓度 c。初始条件为阶梯函数，边界条件为零通量。 5. 光学特性计算：扩散后的浓度剖面 c(z) 导致折射率剖面 n(z) 变化。根据有效介质理论（如 Maxwell-Garnett 公式）计算混合层的等效光学常数，再代入传输矩阵模型（D1-0003）计算反射率损失。

界面宽度预测与实验测量（TEM/EELS）误差 < 0.2 nm，反射率损失预测误差 < 0.5%。

量子力学、统计力学、扩散理论、固体物理

用于理解多层膜在沉积和退火过程中的界面互扩散，预测其对反射率和热稳定性的影响，指导界面工程（如插入扩散阻挡层）。特征：多尺度（电子-原子-连续）、计算成本高。

E_a: 扩散活化能。 D: 扩散系数。 c(z,t): 浓度随深度和时间分布。 n(z), k(z): 复折射率剖面。 T: 温度。 t: 退火时间。

量子力学计算、偏微分方程（扩散方程）、最优化（NEB方法）、统计采样（MD）。

材料科学和计算物理的专业术语。

1. DFT计算：构建 Mo/Si 界面原子结构，进行几何优化得到基态构型。 2. 扩散势垒计算：用 NEB 方法在 Mo 和 Si 原子间寻找扩散路径，计算活化能 E_a。 3. MD模拟：基于 DFT 或 EAM 势，在更高温度下运行 MD，直接观察扩散过程，提取 D_0。 4. 参数上转换：将原子尺度得到的 E_a, D_0 代入阿伦尼乌斯公式，得到宏观扩散系数 D(T)。 5. 连续扩散模拟：求解扩散方程，得到不同退火时间后的浓度剖面 c(z,t)。 6. 光学性能评估：将 c(z) 转换为 n(z), k(z)，用传输矩阵法计算反射率 R(λ)。

物质流：在热驱动下， Mo 原子向 Si 层扩散， Si 原子向 Mo 层扩散，形成互扩散层。信息流：原子坐标/势能 → 扩散路径/能垒 → 扩散系数 → 浓度剖面方程 → 光学常数剖面 → 反射率。

软件：VASP, Quantum ESPRESSO (DFT)； LAMMPS, GROMACS (MD)； COMSOL/自编代码（扩散方程）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0015

信息论模型

信息科学/密码科学

香农信息论与信道容量

对准标记信号检测与解码模型

1. 对准标记：硅片上的对准标记是特殊衍射光栅。照明光（通常为可见光或红外光）照射后产生衍射信号，被传感器接收。 2. 信号模型：接收到的信号 s(t) 包含标记位置信息 x，并受噪声 n(t) 污染： s(t) = A * h(t – τ(x)) + n(t) 其中 A 为信号幅度， h(t) 是标记和光学系统的点扩散函数， τ 是与位置 x 相关的时延（或相位）， n(t) 为加性高斯白噪声（AWGN）。 3. 最大似然估计：在 AWGN 下，位置 x 的最大似然估计是使接收信号与模板信号相关性最大的 x： x_hat = argmax_x ∫ s(t) * h(t – τ(x)) dt 这等效于匹配滤波器。 4. 估计精度（克莱默-拉奥下界, CRLB）：任何无偏估计量方差的下界。对于信号模型，位置估计的方差下界为： Var(x_hat) ≥ 1 / ( SNR * (2π B_{eff})^2 ) 其中 SNR 是信噪比， B_eff 是信号 h(t) 的有效带宽。这意味着高带宽标记和高SNR可获得高精度。 5. 多标记与编码：使用多个标记和编码（如Barker码、m序列）可以提高抗噪能力和消除模糊性。通过相关解码提取位置信息。

对准精度（Alignment Accuracy） < 0.5 nm (均值+3σ)，可重复性 (Precision) < 0.3 nm (3σ)。

信号检测与估计理论、信息论、编码理论

用于从含有噪声的传感器信号中高精度、高鲁棒性地提取硅片和掩模的位置信息，是实现套刻（Overlay）的基础。特征：低信噪比、存在多径干扰、需实时处理。

s(t): 接收信号。 h(t): 标记/系统脉冲响应。 n(t): 加性噪声。 x: 待估计的位置。 x_hat: 位置估计值。 SNR: 信噪比。 B_eff: 信号有效带宽。

概率与统计（最大似然估计、CRLB）、信号处理（相关、匹配滤波）、信息论（信道容量

EUV-D1-0016 ~ 0035

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0016

控制模型

控制理论/信息科学

前馈-反馈复合控制与干扰观测

工件台六自由度（6-DoF）纳米级轨迹跟踪控制模型

1. 参考轨迹生成：根据曝光图形和扫描速度，生成各自由度（X, Y, Z, Rx, Ry, Rz）的期望位置、速度、加速度轨迹 r(t), ṙ(t), r̈(t)。 2. 前馈控制：基于逆动力学模型计算前馈力 u_ff = M̂ r̈ + Ĉ ṙ + Ĝ，其中 M̂, Ĉ, Ĝ 是估计的质量矩阵、科里奥利/离心力矩阵和重力项。 3. 反馈控制：测量实际位姿 y(t)，计算跟踪误差 e = r – y。设计PID或状态反馈控制器 u_fb = K_p e + K_i ∫ e dt + K_d ė。 4. 干扰观测器：估计并补偿未建模动态和外部扰动 d。观测器方程：d̂ = Q(s) * (u – M_n s² y)，其中 M_n 为标称质量， Q(s) 为低通滤波器，用于在有效频带内估计扰动。 5. 总控制量：u_total = u_ff + u_fb – d̂。

跟踪误差（RMS）< 1 nm，同步误差 < 2 nm。

牛顿-欧拉方程、PID控制、干扰观测器（DOB）理论、逆动力学

用于控制工件台在高速扫描（>1 m/s）和高加速度（>10 m/s²）下的纳米级定位精度，是光刻机吞吐量和 overlay 精度的核心。特征：多输入多输出、强耦合、非线性、存在摩擦和振动扰动。

r, y, e：期望轨迹、实际输出、误差向量（6×1）。 u_ff, u_fb, d̂, u_total：前馈、反馈、估计扰动、总控制力向量。 M, C, G：动力学模型矩阵。 K_p, K_i, K_d：PID增益矩阵。 Q(s)：低通滤波器传递函数。

微分方程、矩阵运算、频域滤波、逆模型计算。

运动控制和机器人学的术语。

1. 轨迹规划：上位机下发曝光序列，生成平滑的参考轨迹 r(t)。 2. 前馈计算：在每个控制周期，根据 r, ṙ, r̈实时计算 u_ff。 3. 传感器采样：读取激光干涉仪等传感器数据，得到 y(t)。 4. 误差计算与反馈：计算 e(t)，通过PID算法生成 u_fb。 5. 扰动观测：根据 u_total和 y，通过DOB滤波器更新 d̂。 6. 力合成与输出：u_total = u_ff + u_fb – d̂，输出到音圈电机等执行器。 7. 循环：以高频（~10 kHz）重复步骤2-6。

能量/信号流：参考指令 -> 前馈（逆动力学）-> 反馈（误差校正）-> 扰动补偿 -> 执行器 -> 工件台动力学 -> 输出位姿 -> 传感器反馈。扰动流：外部振动、摩擦力、模型误差 -> 作为扰动 d作用于对象 -> 被DOB观测并前馈补偿。

软件：实时运动控制软件（如 ACS, TwinCAT），包含轨迹生成、控制算法、驱动器接口。硬件：多轴控制器、高分辨率位置传感器（激光干涉仪）、高带宽执行器（音圈电机、直线电机）。

EUV-D1-0017

控制模型

控制理论/信息科学

基于泽尼克系数的多变量反馈与前馈

投影物镜高阶像差主动补偿控制模型

1. 像差测量：利用像差传感器（如 SH-WFS）测量波前，分解得到泽尼克系数向量 Z_meas = [a1, a2, …, a_n]^T。 2. 像差设定点：根据光学设计，确定目标泽尼克系数 Z_ref（通常许多项为0）。 3. 反馈控制：计算像差误差 e_z = Z_ref – Z_meas。设计多变量控制器（如积分控制器）：u_fb = K_z ∫ e_z dt，其中 K_z为增益矩阵。 4. 前馈与解耦：物镜像差与多个致动器（如可变形镜促动器、透镜微调机构）相关，存在耦合。控制量 u与像差变化 ΔZ的关系由影响函数矩阵 A描述：ΔZ = A u。前馈或反馈解耦可通过 u = A⁺ ΔZ_desired计算，其中 A⁺是伪逆。 5. 温度前馈：根据物镜温度场模型 T(x,y,z)，预测热致像差 Z_thermal = f(T)，并前馈补偿。

像差补偿后，残余波前误差（RMS）< 0.5 nm。

泽尼克多项式、波前传感、多变量控制、影响函数、热光学效应

用于在线测量并主动校正投影物镜因重力、热负载、制造残余应力等引起的像差，特别是高阶像差，确保成像质量。特征：慢变扰动、多通道控制、强耦合、需高稳定性。

Z_meas, Z_ref, e_z：测量、参考、误差的泽尼克系数向量。 u_fb, u_ff：反馈和前馈控制向量（致动器驱动信号）。 A：影响函数矩阵（像差对致动器的响应矩阵）。 K_z：积分增益矩阵。 T：温度场。

线性代数（矩阵伪逆）、积分控制、参数估计（温度-像差模型）。

自适应光学和精密光学的语言。

1. 周期性测量：像差传感器以较低频率（如 0.1-1 Hz）采集波前，计算 Z_meas。 2. 误差计算：e_z = Z_ref – Z_meas。 3. 反馈更新：u_fb[k] = u_fb[k-1] + K_z * e_z * Δt。 4. 前馈叠加：根据实时温度读数，计算热致像差前馈量 u_thermal。总控制量 u = u_fb + u_thermal。 5. 驱动致动器：将 u转换为电压/电流，驱动可变形镜或微位移机构，改变光学面形。 6. 稳定性监控：监控像差变化趋势，判断系统是否稳定。

信息流：物镜波前 -> 像差传感器 -> 泽尼克系数分解 -> 与设定值比较 -> 反馈控制器 -> 前馈补偿（温度）-> 驱动信号 -> 致动器 -> 改变光学面形 -> 修正波前。扰动流：热负载、重力方向变化 -> 引起物镜形变和折射率变化 -> 产生像差 -> 被传感器测量并补偿。

软件：像差控制专用软件，集成波前处理、控制算法、温度模型。硬件：可变形镜（DM）或透镜微调机构、高精度像差传感器（Shack-Hartmann 波前传感器）、温度传感器网络。

EUV-D1-0018

控制模型

控制理论/信息科学

模型预测控制（MPC）

多变量、强耦合、大延迟的热管理系统模型预测控制

1. 预测模型：建立热系统的离散状态空间模型： x(k+1) = A x(k) + B u(k) + B_d d(k) y(k) = C x(k) 其中 x为状态（如各节点温度）， u为控制量（如泵速、阀门开度、加热器功率）， d为可测扰动（如环境温度、设备发热功率）， y为输出（关键点温度）。 2. 滚动优化：在每个时刻 k，基于当前状态 x(k)，求解未来 N_p步内的最优控制序列 `U_k = {u(k

k), …, u(k+N_c-1

k)}，最小化目标函数： J = Σ_{i=1}^{N_p}

y(k+i

k) – r(k+i)

Q² + Σ{i=0}^{N_c-1}

Δu(k+i

EUV-D1-0019

控制模型

控制理论/信息科学

基于干扰观测器（DOB）的鲁棒控制

对模型不确定性和外部扰动强鲁棒性的运动控制模型

1. 标称模型：选择被控对象的一个简单、易逆的标称模型 P_n(s)。例如，对于运动系统，P_n(s) = 1/(m_n s²)，其中 m_n为标称质量。 2. 干扰观测器结构：实际对象 P(s) = P_n(s) + ΔP(s)。DOB 通过将实际控制输入 u和输出 y与标称模型比较来估计总扰动 d_total（包含外部扰动和模型不确定性 ΔP的影响）： d̂ = Q(s) * [P_n^{-1}(s) y – u]。 3. 低通滤波器 Q(s)：Q(s)设计为低通滤波器，其带宽决定了DOB的有效频带。在低频段，Q≈1，扰动被高精度估计和补偿；在高频段，Q≈0， DOB关闭以避免放大测量噪声。 4. 补偿控制：从总控制量 u中减去估计的扰动：u' = u – d̂。等效地，系统在 Q(s)带宽内表现得像标称模型 P_n(s)。 5. 结合反馈控制器：外环设计反馈控制器 C(s)针对标称模型 P_n(s)进行设计，以实现期望的性能（如跟踪、稳定性）。

在DOB带宽内，系统对参数变化（如质量±20%）和外部力扰动（如振动）的敏感性显著降低，性能接近标称系统。

内模原理、鲁棒控制、扰动估计与补偿

用于提高运动系统（如工件台、掩模台）在存在模型不确定性（摩擦变化、负载变化）和未知外部扰动（地面振动、气流力）时的控制精度和稳定性。特征：不依赖于精确模型、增强低频扰动抑制、结构相对简单。

P_n(s)：标称对象传递函数。 P(s)：实际对象传递函数。 Q(s)：低通滤波器传递函数。 d̂：估计的总扰动。 u, y：控制输入和系统输出。 C(s)：外环反馈控制器。

传递函数代数、频域滤波、系统逆。

鲁棒控制和扰动抑制的专业术语。

1. 控制量计算：外环控制器根据参考 r和输出 y计算控制量 u_c = C(s)*(r-y)。 2. 扰动估计：并行计算 d̂ = Q(s) * [P_n^{-1}(s) y – u]，其中 u是最终作用于对象的控制量。 3. 扰动补偿：u = u_c – d̂。 4. 输出：u作用于实际对象 P(s)，产生输出 y。 5. 循环：持续进行。

信号流：参考 r-> 外环控制器 C(s)-> 产生 u_c-> 减去估计扰动 d̂-> 得到净控制量 u-> 实际对象 P(s)-> 输出 y。扰动流：外部扰动 d和模型失配 ΔP-> 共同作用影响输出 y-> 被DOB观测器通过比较 y和标称模型输出估计出来 -> 反馈补偿。

软件：集成DOB模块的实时控制代码。硬件：高带宽执行器和传感器，以支持DOB的有效运行。

EUV-D1-0020

控制模型

控制理论/信息科学

基于波前斜率的闭环校正

自适应光学（AO）系统波前校正控制模型

1. 波前传感： Shack-Hartmann 传感器将入射波前分割成子孔径阵列，每个子孔径测量局部波前斜率 s_x, s_y。 2. 斜率到像差：将斜率向量 s通过重构矩阵 R映射到致动器（如可变形镜DM）的控制命令 u：u = R s。R通常通过测量影响函数矩阵 A（致动器到斜率的响应）并求伪逆得到：R = A⁺。 3. 积分反馈控制：为了抑制残余误差和漂移，采用积分控制器：u(k) = u(k-1) + G * s(k)，其中 G为积分增益矩阵，通常取 G = γ R， γ为标量增益。 4. 控制带宽：系统闭环带宽由控制回路延迟和增益决定。需设计增益 γ以在稳定性和收敛速度间取得平衡。 5. 非线性处理：对于大像差，可能需采用迭代或优化算法（如随机并行梯度下降）直接优化像质评价函数（如斯特列尔比）。

校正后，波前残差 RMS 可达 λ/20 ~ λ/50（在可见光或红外波段），系统带宽可达几十到几百赫兹。

几何光学（子孔径斜率）、线性代数（矩阵重构）、积分控制、优化理论

用于实时校正投影物镜或照明系统中的动态波前像差，例如由气流湍流、热波动引起的像差，是保证 EUV 光刻系统长期稳定成像的关键技术之一。特征：高速、多通道、基于梯度的反馈。

s：波前斜率测量向量（2N x 1， N为子孔径数）。 u：致动器驱动向量（M x 1）。 A：影响函数矩阵（斜率对致动器的响应， 2N x M）。 R：重构矩阵（M x 2N）。 G, γ：积分增益矩阵和标量增益。

线性代数（伪逆、矩阵乘法）、离散时间积分、迭代优化。

自适应光学和波前控制的专业术语。

1. 采集：AO相机曝光，读取所有子孔径的光斑质心偏移，计算斜率向量 s。 2. 重构：计算控制增量 Δu = R s。 3. 积分：更新致动器命令：u(k) = u(k-1) + γ Δu。 4. 输出：将 u(k)转换为电压，施加于DM。 5. 等待：等待下一个控制周期（由相机帧率和处理时间决定），返回步骤1。

信息流：畸变波前 -> 波前传感器（分光、子孔径成像）-> 计算斜率 -> 重构矩阵 -> 生成控制增量 -> 积分累加 -> 驱动DM -> DM变形产生共轭波前 -> 与入射波前叠加 -> 输出校正后波前。误差流：校正残余、传感器噪声、时间延迟 -> 形成闭环反馈以持续抑制。

软件：实时波前处理与控制软件（如用C++实现）。硬件：高速相机、可变形镜（DM）、实时处理器（FPGA/GPU）、分光器。

EUV-D1-0021

信息科学模型

计算机科学/信息论

流处理与无损/有损压缩算法

光刻机实时数据流处理与压缩模型

1. 数据源识别：识别高速数据源，如干涉仪（~MHz采样）、图像传感器（~kHz帧率）、传感器网络等。数据格式包括时间序列、图像、事件日志。 2. 流处理架构：采用发布-订阅模式或流处理框架（如 Apache Kafka, Flink）。定义数据管道：采集 -> 缓冲 -> 预处理（滤波、校准）-> 特征提取/压缩 -> 存储/转发。 3. 压缩算法选择： – 无损压缩：用于关键参数（如位置、温度），采用 LZ77, LZ4, Zstandard 等算法。原理：查找重复模式，用（距离，长度）对替换。 – 有损压缩：用于图像或非关键监控数据，采用 JPEG2000（小波变换+量化+熵编码）或自定义的差分压缩。例如，对于缓变信号，存储差值而非绝对值。 4. 带宽与精度权衡：根据通信带宽 B和数据产生速率 R，计算所需压缩比 CR = R / B。调整压缩参数（如量化步长）以满足 CR和最大允许失真 D_max。

压缩后，数据体积减少 50%-95%，同时保证关键信息的重构误差在允许范围内（如位置误差 < 0.1% FS）。

信息论（熵、率失真理论）、数据压缩算法、流处理计算

用于处理光刻机海量实时传感器数据，降低存储和传输开销，同时为上层控制系统和数据分析提供及时、准确的信息。特征：高吞吐、低延迟、异构数据、需保证数据完整性或可控失真。

R：原始数据速率（bits/s）。 B：可用带宽（bits/s）。 CR：压缩比。 D：失真度量（如 MSE）。 D_max：最大允许失真。

编码理论、信号处理（变换、量化）、统计（数据分布）。

数据工程和实时系统的语言。

1. 数据采集：各传感器节点按固定频率采样，生成原始数据包。 2. 本地缓冲与预处理：在边缘设备或数据采集卡上进行初步时间戳对齐、野值剔除。 3. 压缩决策：根据数据标签和预设策略，选择无损或有损压缩算法及参数。 4. 压缩执行：运行压缩算法，生成压缩后的数据块。 5. 传输/存储：将压缩数据块通过总线或网络发送到中央存储或实时分析引擎。 6. 解压（按需）：在消费端，根据需要解压数据用于显示、分析或控制。

数据流：物理信号 -> 传感器 -> ADC -> 原始数字流 -> 流处理节点（压缩）-> 压缩比特流 -> 网络/总线 -> 存储/分析系统。控制流：配置管理下发压缩策略 -> 各处理节点加载策略 -> 根据数据特征动态调整参数（可选）。

软件：流处理框架（Apache Flink）、压缩库（zlib, LZ4, libjpeg）、自定义数据处理器。硬件：高速数据采集卡、边缘计算网关、高带宽网络交换机、大容量存储阵列。

EUV-D1-0022

信息科学模型

计算机科学/密码学

非对称加密与数字签名

制造数据安全传输与存储模型

1. 机密性：采用非对称加密（如 RSA-OAEP, ECIES）保护传输中的数据。发送方用接收方的公钥 PK_B加密对称会话密钥 K_sess和部分数据：`C = Enc(PK_B, K_sess)

SymEnc(K_sess, Data)。 **2. 完整性**：使用哈希函数（如 SHA-256）生成数据摘要H = Hash(Data)。与数据一同传输或存储。 **3. 身份认证与不可否认性**：采用数字签名（如 RSA-PSS, ECDSA）。发送方用其私钥SK_A对数据摘要签名：Sig = Sign(SK_A, H)。接收方用发送方公钥PK_A验证签名Verify(PK_A, H, Sig)`。 4. 访问控制：结合基于角色的访问控制（RBAC），对存储的数据进行加密，密钥分发给授权用户/系统。 5. 密钥管理：使用硬件安全模块（HSM）或可信平台模块（TPM）安全地生成、存储和使用密钥。

加密强度满足当前密码学标准（如 AES-256, RSA-2048/ECC-256），能抵御已知攻击。签名验证失败概率极低。

公钥密码学、数字签名、哈希函数、密钥管理

用于保护光刻机设计文件、工艺配方、测量数据、控制指令等敏感信息在传输（如从设计中心到fab）和存储过程中的机密性、完整性和真实性，防止工业间谍和恶意篡改。特征：高安全性要求、需平衡性能开销、长期数据保存。

PK, SK：公钥和私钥对。 K_sess：对称会话密钥。 C：密文。 H：哈希值（消息摘要）。 Sig：数字签名。 Data：明文数据。

数论（大整数运算、椭圆曲线）、概率算法（签名）、确定性算法（哈希）。

密码学和信息安全的专业术语。

1. 发送端： a. 生成随机对称密钥 K_sess。 b. 用 K_sess加密数据：C_data = SymEnc(K_sess, Data)。 c. 用接收方公钥 PK_B加密 K_sess：C_key = Enc(PK_B, K_sess)。 d. 计算数据哈希 H = Hash(Data)。 e. 用发送方私钥 SK_A对 H签名：Sig = Sign(SK_A, H)。 f. 发送 `C_key

EUV-D1-0023

信息科学模型

人工智能/机器学习

深度神经网络（如 CNN, LSTM）回归模型

基于深度学习的 overlay 误差预测与补偿模型

1. 特征工程：输入特征包括：历史 overlay 测量数据 O_hist、工艺参数（剂量、焦距、温度等）P、设备状态数据 S、版图图形特征 G（如密度、周长）。 2. 网络架构：采用混合网络。CNN分支处理版图图形特征（栅格化图像）， LSTM分支处理时间序列的工艺和设备数据，全连接层融合所有特征。输出为预测的 overlay 误差向量 Ô（X, Y方向）。 3. 损失函数：均方误差（MSE）：L = 1/N Σ (O_true – Ô)²。可加入正则化项防止过拟合。 4. 训练：使用历史生产批次的大量数据，以最小化 L为目标，通过反向传播和优化器（如 Adam）更新网络权重 W。 5. 补偿：将预测的 overlay 误差 Ô前馈到光刻机控制系统中，调整曝光位置进行补偿。

预测 overlay 误差的精度（RMSE）可达实际测量值的 10-30%，显著减少需要实际测量的频率和 overlay 残差。

深度学习、卷积神经网络、循环神经网络、统计学习理论

用于预测下一片晶圆或下一道工艺的 overlay 误差，实现基于预测的前馈补偿，减少对离线测量的依赖，提高生产效率和 overlay 控制精度。特征：数据驱动、处理高维异构特征、需大量标注数据。

O_true, Ô：真实的 overlay 测量值和网络预测值。 P, S, G：工艺参数、设备状态、图形特征向量/张量。 W：神经网络权重参数。 L：损失函数值。

张量运算、梯度下降、反向传播、矩阵分解（用于特征提取）。

机器学习和深度学习的术语。

1. 离线训练： a. 数据收集与清洗，构建带标签的数据集 { (P, S, G, O_true)_i }。 b. 划分训练集、验证集、测试集。 c. 定义网络结构，初始化权重。 d. 迭代训练：前向传播计算预测 Ô和损失 L，反向传播计算梯度，更新权重。 e. 在验证集上评估，防止过拟合。保存最佳模型。 2. 在线预测与补偿： a. 实时采集当前晶圆的特征 P_new, S_new, G_new。 b. 加载训练好的模型，输入特征，得到预测 overlay Ô_new。 c. 将 Ô_new发送给光刻机控制系统，作为曝光位置的偏移量进行补偿。

数据流：生产过程产生多源数据 -> 数据预处理与特征提取 -> 输入训练好的 DNN 模型 -> 输出 overlay 预测 -> 发送补偿指令至曝光系统。学习流：历史数据 -> 模型训练 -> 更新权重 -> 得到预测能力。

软件：深度学习框架（PyTorch, TensorFlow）、模型部署工具（TensorRT, ONNX Runtime）、与制造执行系统（MES）的接口。硬件：用于训练的高性能 GPU 服务器；用于在线推理的工业 PC 或边缘 AI 加速卡。

EUV-D1-0024

信息科学模型

人工智能/机器学习

卷积神经网络（CNN）分类与目标检测模型

缺陷图像自动分类与根因分析模型

1. 数据准备：收集大量缺陷图像，由专家标注缺陷类别（如颗粒、桥接、缺失、刮伤等）和可能的原因（如设备A、工艺B）。数据增强（旋转、缩放、翻转）以增加样本多样性。 2. 分类模型：使用预训练的 CNN（如 ResNet, EfficientNet）作为特征提取器，接全连接层和 softmax 输出层，进行多类别缺陷分类。损失函数为交叉熵：L = -Σ y_true * log(y_pred)。 3. 检测与分割模型（可选）：对于需要定位的缺陷，使用目标检测网络（如 YOLO, Faster R-CNN）或实例分割网络（如 Mask R-CNN）。 4. 根因关联：将缺陷分类结果与生产上下文数据（设备ID、工艺步骤、参数）结合，使用规则引擎或另一个机器学习模型（如决策树、梯度提升机）推断最可能的根本原因。 5. 模型部署：将训练好的模型集成到自动光学检测（AOI）系统或离线分析软件中。

缺陷分类准确率 > 95%（在平衡数据集上），根因推断准确率 > 80%，大幅减少人工复检时间。

计算机视觉、深度学习、模式识别、统计推断

用于自动识别和分类晶圆上的缺陷图案，并关联工艺和设备数据，快速定位问题根源，加速故障排查和工艺改进。特征：图像识别、多类别、高准确率要求、与生产数据融合。

I：输入缺陷图像（张量）。 y_true, y_pred：真实的缺陷类别标签和模型预测的概率分布。 L：损失函数值。 BBox, Mask：预测的缺陷边界框或掩模。

卷积运算、池化、非线性激活、损失函数优化。

计算机视觉和缺陷分析的术语。

1. 离线训练： a. 标注缺陷图像库。 b. 训练分类/检测模型，优化网络参数。 c. 验证模型性能，调整超参数。 d. 训练根因分析模型（基于缺陷类别和生产数据）。 2. 在线检测： a. AOI系统扫描晶圆，捕获疑似缺陷图像。 b. 预处理图像（裁剪、归一化）。 c. 输入训练好的 CNN 模型，得到缺陷类别和置信度。 d. 结合该片晶圆的生产记录，运行根因分析模型，输出最可能的原因和建议措施。 e. 结果报告给工程师或触发自动控制。

信息流：晶圆 -> AOI扫描 -> 缺陷图像 -> CNN模型 -> 缺陷类别 -> 根因分析模型（结合生产上下文）-> 根本原因推测。决策流：根据根因分析结果，触发警报、调整工艺参数、安排设备维护。

软件：计算机视觉库（OpenCV）、深度学习框架、缺陷分析与管理系统软件。硬件：高分辨率 AOI 扫描设备、GPU 加速的推理服务器。

EUV-D1-0025

信息科学模型

运筹学/优化理论

混合整数线性规划（MILP）

光刻机调度与产能优化模型

1. 问题定义：给定一组待加工晶圆批 J，每批有工艺路线（包含光刻步骤）、加工时间 p_j、到期时间 d_j、优先级 w_j。光刻机为资源 M，可能有多台。目标是最小化总加权完成时间或最大化产能利用率。 2. 决策变量： – x_{jmt}：二进制变量，晶圆批 j是否在机器 m上于时间 t开始加工。 – C_j：连续变量，晶圆批 j的完成时间。 3. 目标函数：例如，最小化总加权完成时间：min Σ_j w_j * C_j。 4. 约束： – 每批只能在一台机器上加工一次：Σ_m Σ_t x_{jmt} = 1。 – 机器能力约束：在任意时刻，一台机器最多加工一批。 – 工艺顺序约束：对于同一批的不同工序，前序完成时间 ≤ 后序开始时间。 – 资源约束（如掩模可用性）。 5. 求解：使用 MILP 求解器（如 CPLEX, Gurobi）寻找最优或近似最优解。

求解得到调度方案，可提升设备利用率 5-15%，降低平均生产周期。

运筹学、调度理论、整数规划、组合优化

用于在半导体制造车间中，为多台光刻机安排晶圆加工顺序，优化产能、交货期和设备利用率，是高级计划与排程（APS）系统的核心。特征：NP难问题、大规模、多约束、需实时或近实时求解。

J, M：晶圆批集合和机器集合。 p_j, d_j, w_j：加工时间、到期时间、权重。 x_{jmt}：二进制调度决策变量。 C_j：完成时间变量。

整数线性规划、约束建模、组合优化。

运筹学和生产调度的语言。

1. 数据输入：从制造执行系统（MES）获取待排程工单、设备状态、工艺信息。 2. 模型构建：根据当前情况，实例化 MILP 模型的目标函数和约束。 3. 求解：调用求解器，在给定时间限制内求解模型。 4. 方案输出：获得 x_{jmt}和 C_j的值，即详细的调度甘特图。 5. 下发与监控：将调度方案下发至 MES 和设备，监控执行情况，出现扰动（如设备故障）时重新调度。

工单流：工单进入系统 -> 等待资源（光刻机）-> 根据调度方案分配机器和开始时间 -> 加工 -> 完成 -> 流向下一工序。优化流：当前状态和工单信息 -> 构建优化模型 -> 求解 -> 生成调度指令 -> 影响工单流。

软件：MILP 求解器、调度优化软件（自研或商用APS）、与 MES 的集成接口。硬件：运行优化软件的服务器。

EUV-D1-0026

材料模型

材料科学/固体力学

细观力学与均匀化方法

低热膨胀系数（LTEM）材料的微结构-性能关联模型

1. 微结构表征：通过显微技术（如SEM, TEM）获取材料的微观结构，包括晶粒尺寸、形状、取向分布、第二相分布等。将其数字化为代表性体积单元（RVE）。 2. 本构关系：定义各相（如晶粒、玻璃相、气孔）的材料属性：弹性模量 E_i，泊松比 ν_i，热膨胀系数 α_i。 3. 均匀化理论：在 RVE 上施加宏观应变 ε̄或温度变化 ΔT，通过有限元法求解微观应力应变场。宏观应力 σ̄和宏观热膨胀系数 ᾱ通过体积平均得到： σ̄ = 1/V ∫_V σ dV ᾱ = (ε̄_thermal) / ΔT，其中 ε̄_thermal是仅由 ΔT引起的宏观应变。 4. 性能预测：改变微结构参数（如晶粒尺寸分布、孔隙率），重复均匀化计算，建立“微结构 -> 宏观性能（E, ν, α）”的定量关系。 5. 逆向设计：给定目标性能（如 α≈0），优化微结构参数。

预测的宏观热膨胀系数与实验测量值的偏差 < 10%。

连续介质力学、均匀化理论、细观力学、有限元法

用于理解和设计用于光刻机投影物镜镜筒、工件台基座等的低热膨胀材料（如 Zerodur, ULE），通过关联其微观组织与宏观热膨胀行为，指导材料制备工艺优化，实现极高的尺寸稳定性。特征：跨尺度（微米到厘米）、多相、关注热-力耦合性能。

ε̄, σ̄：宏观应变和应力张量。 ᾱ：宏观热膨胀系数张量。 E_i, ν_i, α_i：第 i 相材料的弹性模量、泊松比、热膨胀系数。 V：RVE 的体积。

张量分析、体积平均、有限元求解偏微分方程。

材料力学和计算材料科学的语言。

1. 微结构建模：基于实际材料图像或参数化模型，生成包含多相的 RVE 几何模型。 2. 网格划分与属性赋予：对 RVE 进行有限元网格划分，为每个单元赋予相应的材料属性。 3. 边界条件施加：在 RVE 边界上施加周期性边界条件或均匀位移/温度边界条件，以代表宏观均匀场。 4. 求解：运行有限元分析，计算在机械载荷或热载荷下的微观应力应变场。 5. 后处理与均匀化：对结果进行体积平均，计算宏观弹性张量 C̄和热膨胀张量 ᾱ。 6. 参数化研究：系统性地改变微结构参数，重复步骤1-5，构建数据库或代理模型。

信息流：真实材料 -> 微结构表征 -> 数字化 RVE -> 均匀化计算 -> 宏观有效性能。设计流：目标性能 -> 通过模型反推所需的微结构特征 -> 指导材料合成与加工。

软件：有限元软件（Abaqus, ANSYS）及其二次开发、均匀化专用代码（如 DAMASK）。硬件：用于微观结构表征的电子显微镜、用于计算的服务器。

EUV-D1-0027

材料模型

材料科学/表面工程

分子束外延（MBE）或磁控溅射动力学模型

抗辐照、低缺陷多层膜（Mo/Si）生长模型

1. 沉积过程建模：模拟原子/分子从靶材溅射或蒸发，传输到基底，并在基底表面吸附、扩散、成核、生长的过程。采用 Kinetic Monte Carlo (KMC) 或分子动力学（MD）方法。 2. 表面扩散：吸附原子的表面扩散由激活能 E_diff控制，跳跃率 ν = ν_0 exp(-E_diff/(k_B T))。 3. 成核与生长：当扩散原子相遇形成稳定核（尺寸超过临界核尺寸），核生长为岛。界面能 γ影响岛的形状和合并。 4. 层状生长与粗糙度：对于 Mo/Si 多层膜，目标是实现原子级平坦的界面。模型需考虑不同材料间的浸润性、互扩散、以及应力积累。表面粗糙度 σ随时间/厚度演化，目标是抑制其增长。 5. 辐照效应：模拟 EUV 光子或二次电子轰击对膜层结构的影响，如原子位移、界面混合。

模拟生长的膜层界面宽度（粗糙度）与实验测量（如 XRR）结果趋势一致，可用于优化沉积参数（如温度、速率）。

表面科学、薄膜生长理论、扩散理论、辐照损伤物理

用于理解和优化 EUV 掩模和光学元件中核心的多层膜反射镜的制备工艺，旨在获得高反射率、低应力、光滑界面和抗辐照性能。特征：原子尺度过程、非平衡态、多物理场耦合。

E_diff：表面扩散激活能。 ν_0：尝试频率。 T：基底温度。 γ：表面/界面能。 σ：表面均方根粗糙度。 Φ：沉积通量（原子/(面积·时间)）。

随机过程（KMC）、分子动力学方程、速率方程。

薄膜物理和表面科学的专业语言。

1. 初始化：设定基底晶体结构、温度 T、沉积通量 Φ。 2. 事件列表：列出所有可能事件：原子吸附、

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0036

计量模型

光学计量/信息科学

米氏散射理论与逆问题求解

基于散射测量的三维形貌与套刻误差（Overlay）测量模型

1. 正向模型：照明光（如宽带光）以一定角度入射被测结构（如光栅）。散射光强度 I(λ, θ)是波长 λ和散射角 θ的函数，由严格耦合波分析（RCWA）或有限元法计算，取决于结构参数 p（如线宽、高度、侧壁角）。 2. 测量：光谱仪或CCD在不同角度下测量散射光谱，得到测量向量 I_meas。 3. 逆问题求解：寻找结构参数 p，使得正向模型预测的散射谱 I_model(p)与测量谱 I_meas最佳匹配。构建目标函数 χ²(p) = Σ [I_meas – I_model(p)]² / σ²，其中 σ为测量噪声。通过非线性优化算法（如 Levenberg-Marquardt）最小化 χ²(p)。 4. Overlay 计算：分别测量两层结构，得到它们各自的关键尺寸和中心位置 (x1, y1)和 (x2, y2)。套刻误差 OVL = (x2-x1, y2-y1)。

重复性 < 0.1 nm，绝对精度 < 0.5 nm（依赖模型和校准）。

电磁散射理论、米氏理论、非线性最小二乘优化、逆问题

用于无接触、高速测量曝光后显影（ADI）或刻蚀后（AEI）图形的关键尺寸（CD）、侧壁角（SWA）、高度以及层间套刻误差。是光刻工艺监控的核心计量手段。特征：非破坏性、快速、对模型精度依赖高。

p：结构参数向量（CD, HT, SWA, pitch…）。 I_meas, I_model：测量和模型的散射光强向量（多波长/多角度）。 χ²：拟合优度函数。 OVL：套刻误差向量 (x, y)。 λ, θ：波长和角度。

电磁仿真、非线性优化、最小二乘法、灵敏度分析。

光学计量和逆问题求解的术语。

1. 校准：用标准样品校准测量系统，建立光学模型。 2. 测量：对准测量目标，采集多波长/多角度的散射光谱 I_meas。 3. 初始化：给出结构参数 p的初始猜测值。 4. 迭代优化： a. 用当前 p运行正向模型，计算 I_model(p)。 b. 计算残差和 χ²。 c. 计算 χ²对 p的梯度或雅可比矩阵。 d. 用优化算法更新 p。 e. 重复 a-d 直到 χ²收敛或达到最大迭代次数。 5. 输出：输出最优参数 p*，并计算套刻误差。

信息流：实际物理结构 -> 光与结构相互作用（散射）-> 测量散射信号 -> 基于物理模型反演 -> 得到结构参数。优化流：初始猜测 -> 正向计算 -> 比较实测 -> 计算误差 -> 更新参数 -> 迭代至收敛。

软件：散射测量分析软件（如 KLA AcuShape, Nanometrics NanoDiffract），集成 RCWA 和优化算法。硬件：光谱散射测量仪（Scatterometry）、高精度位移台。

EUV-D1-0037

计量模型

光学计量/信息科学

相移干涉术与相位解包裹

移相干涉仪（PSI）波前像差高精度测量模型

1. 干涉图采集：参考光和测试光干涉，产生干涉条纹。通过压电陶瓷（PZT）平移参考镜，引入已知的相移 δ，采集 N 帧（通常 N=4~20）相移干涉图 I_k(x,y), k=1,…,N。 2. 相位计算：对每个像素点 (x,y)，利用 N 步相移算法计算包裹相位 φ_w(x,y)： φ_w(x,y) = arctan[ Σ_k I_k sin(δ_k) / Σ_k I_k cos(δ_k) ]，结果被包裹在 (-π, π]。 3. 相位解包裹：采用路径跟踪法（如 Goldstein 算法）或最小二乘法，去除 2π跳变，得到连续的绝对相位 φ(x,y)。算法需处理噪声和欠采样区域。 4. 波前重建：绝对相位 φ(x,y)与光程差（OPD）和波前像差 W(x,y)的关系为：W(x,y) = (λ/(2π)) * φ(x,y)（对于反射式，单次通过，系数为 λ/(4π)）。 5. 像差分解：将波前 W用泽尼克多项式展开，得到像差系数。

重复性 < 0.001 λ RMS，绝对精度 < 0.01 λ RMS（λ 为测试光波长）。

干涉测量学、相移技术、相位解包裹理论、泽尼克多项式

用于超高精度测量光学元件（如 EUV 投影物镜、收集镜）的面形误差和透射波前像差，是光学系统装调、检测和像质评价的黄金标准。特征：极高精度、全场测量、对环境（振动、气流）极其敏感。

I_k：第 k 幅相移干涉图强度。 δ_k：第 k 步的相移量（通常 k2π/N）。 φ_w, φ：包裹相位和绝对相位（弧度）。 W：波前像差（长度单位）。 λ*：测试光波长。

三角函数、反正切运算、路径积分（解包裹）、最小二乘拟合。

光学干涉计量学术语。

1. 系统校准：校准相移器的线性度和 P-V 值。 2. 采集序列：控制 PZT 按预设步长移动，同步触发相机，采集 N 帧干涉图。 3. 相位计算：逐像素应用相移公式，得到包裹相位图 φ_w。 4. 相位解包裹：选择合适的解包裹算法，从 φ_w计算 φ。 5. 倾斜/离焦移除：移除非像差相关的倾斜和离焦项（可选）。 6. 泽尼克拟合：在圆形孔径内对 W进行泽尼克拟合，输出系数。

光路/信号流：测试光波前 -> 与参考光波前干涉 -> 形成空间调制的干涉条纹 -> 相移产生时序调制 -> 相机采集 -> 算法解调 -> 得到测试波前相位分布。数据处理流：原始干涉图 -> 相移计算 -> 包裹相位 -> 解包裹 -> 绝对相位 -> 波前 -> 像差分解。

软件：干涉仪控制与分析软件（如 Zygo MetroPro, 4D PhaseCam）。硬件：相移干涉仪（如 Fizeau, Twyman-Green）、高精度 PZT、温控隔振平台。

EUV-D1-0038

计量模型

声学计量/信号处理

声发射信号处理与模式识别

基于声发射（AE）的轴承早期故障诊断模型

1. 声发射信号：轴承故障（如剥落、裂纹）产生瞬态应力波，被压电传感器接收，输出为时域电压信号 v(t)，包含突发型 AE 事件和连续背景噪声。 2. 特征提取：从 v(t)或变换域提取特征： – 时域：幅值、振铃计数、能量、均方根（RMS）。 – 频域：通过快速傅里叶变换（FFT）得到功率谱密度（PSD），提取主导频率及其幅值。 – 时频域：通过短时傅里叶变换（STFT）或小波变换（WT）分析非平稳信号，得到时频谱。 3. 故障模式识别：将特征向量输入分类器（如支持向量机 SVM、深度学习网络）。训练分类器以区分正常状态、内圈故障、外圈故障、滚动体故障等模式。分类器输出故障类别及置信度。 4. 健康评估：基于特征趋势（如 RMS 值增长）或故障发展模型，预测剩余使用寿命（RUL）。

故障检测率（Recall）> 90%，分类准确率 > 85%，可实现早期预警（在振动信号异常前）。

声发射物理、信号处理、模式识别、机器学习

用于在线监测光刻机工件台、传送机器人等高精度运动系统的轴承健康状态，实现预测性维护，避免突发停机。特征：对早期微观损伤敏感、抗电磁干扰、需处理高噪声信号。

v(t)：原始声发射时域信号。 F：提取的特征向量。 PSD(f)：功率谱密度。 C：分类器输出的故障类别。 RUL：预测的剩余使用寿命。

信号变换（FFT, STFT, WT）、统计特征、分类算法（SVM, ANN）。

状态监测和故障诊断的术语。

1. 数据采集：AE 传感器持续采集信号，以固定时间窗 T_win分段。 2. 预处理：带通滤波，去除低频机械噪声和高频电子噪声。 3. 特征计算：对每个时间窗数据，计算预设的一组时域、频域、时频域特征，构成特征向量 F_i。 4. 在线分类：将 F_i输入训练好的分类模型，得到当前状态标签 C_i和置信度。 5. 趋势分析与报警：跟踪关键特征（如 RMS）的时间序列，若超过阈值或分类结果显示故障，则触发报警。

物理流：轴承内部缺陷扩展 -> 产生瞬态弹性波（AE）-> 传播至传感器 -> 转换为电信号。信息流：原始 AE 信号 -> 预处理 -> 特征提取 -> 分类/回归模型 -> 健康状态/故障类型/RUL。

软件：声发射分析软件（如 Vallen AMSY-6, Mistras），自定义特征提取与机器学习代码。硬件：宽带 AE 传感器、前置放大器、高速数据采集卡。

EUV-D1-0039

计量模型

热成像/图像处理

红外辐射理论与图像处理

基于红外热像仪的非接触式温度场测量与热缺陷识别模型

1. 红外辐射：物体发射的红外辐射强度 L(λ, T)由普朗克定律描述： L(λ, T) = ε(λ) * (2hc²/λ⁵) * 1/(exp(hc/(λk_B T)) – 1)，其中 ε为发射率， T为绝对温度。 2. 热像仪标定：通过黑体炉标定，建立探测器输出数字值 DN与目标温度 T的关系：T = f(DN, ε, τ, …)，考虑大气透过率 τ和背景辐射。 3. 温度场测量：对每个像素 (i,j)，根据其 DN值、预设的发射率 ε和标定曲线，计算温度 T(i,j)，得到二维温度场图像。 4. 热缺陷识别：通过图像处理识别异常温区： – 阈值分割：Mask = (T > T_threshold)。 – 区域生长/连通域分析：分割出独立的过热区域。 – 特征提取：计算各区域的面积、平均温度、最高温度、形状因子等。 5. 与 CAD 模型叠加：将热图像与设备 CAD 模型对齐，精确定位热缺陷的物理位置。

温度测量精度 ±2°C 或 ±2%（读数），空间分辨率取决于热像仪像素和视场。

红外物理、普朗克辐射定律、图像处理、计算机视觉

用于在线监测光刻机内发热部件（如电机、激光器、电源）的温度分布，检测散热不良、接触不良、过载等故障，进行热管理和可靠性评估。特征：非接触、全场、快速、对发射率敏感。

L(λ,T)：光谱辐射亮度。 ε：表面发射率（0~1）。 T：绝对温度 (K)。 DN：热像仪输出的数字值。 f(·)：标定函数（多项式或查找表）。 Mask：二值化缺陷掩膜。

黑体辐射公式、图像处理（分割、形态学）、坐标变换（2D-3D 配准）。

热成像和红外测温的术语。

1. 系统设置：设置热像仪参数（发射率、距离、环境温湿度）、对焦、选择合适的热范围。 2. 图像采集：触发热像仪拍摄红外热图，得到原始 DN矩阵。 3. 温度转换：对每个像素，应用标定曲线和发射率补偿，计算温度矩阵 T(i,j)。 4. 图像处理：对温度图像进行滤波降噪，然后运行缺陷检测算法，得到缺陷区域及其特征。 5. 分析与报告：将缺陷位置、温度等信息与设备状态关联，生成报告或报警。

能量/信息流：物体表面温度分布 -> 发射红外辐射 -> 大气传输 -> 热像仪镜头 -> 红外探测器 -> 转换为电信号 -> 数字化处理 -> 温度标定 -> 温度场图像 -> 缺陷分析。控制流：检测到过热 -> 触发冷却系统加强散热或降低负载。

软件：热像仪配套分析软件（如 FLIR Tools, Thermographic Suite），图像处理库（OpenCV）。硬件：红外热像仪（制冷或非制冷）、黑体炉（用于标定）。

EUV-D1-0040

计量模型

粒子检测/统计学

泊松分布与气溶胶动力学

洁净室空气中纳米颗粒物（AMC）浓度分布与溯源模型

1. 粒子计数：使用光学粒子计数器（OPC）或凝聚核粒子计数器（CPC）测量单位体积空气中的粒子数 N，按粒径通道 d_p分类。 2. 浓度计算：粒子浓度 C（颗粒数/立方米）为计数除以采样体积 V：C = N / V。由于粒子到达是随机的，计数误差服从泊松分布，标准偏差为 √N。 3. 空间分布建模：假设粒子源位于位置 r_s，强度为 S，在均匀流场和扩散作用下，空间浓度分布 C(r)满足对流-扩散方程： u·∇C = D ∇²C + S δ(r – r_s)，其中 u为气流速度， D为粒子扩散系数。在简单条件下有解析解（如点源高斯烟羽模型）。 4. 溯源分析：通过多点浓度测量，结合气流模拟，反推可能的污染源位置和强度。可采用最小二乘拟合或贝叶斯推理。

粒子浓度测量精度取决于计数器，通常优于 ±10%。溯源定位精度在几米范围内（依赖测量点密度和模型）。

气溶胶科学、对流-扩散方程、泊松统计、逆问题求解

用于监测光刻机所在洁净室的空气洁净度，检测并定位分子级（AMC）或颗粒污染源，评估其对工艺良率的影响，指导洁净室运行和维护。特征：极低浓度测量、随机误差显著、需结合气流模型。

C：粒子数浓度 (#/m³)。 N：采样计数。 V：采样体积 (m³)。 d_p：粒子直径。 u, D：气流速度和粒子扩散系数。 S, r_s：源强和源位置。

泊松分布、偏微分方程（对流-扩散）、统计推断、优化。

气溶胶监测和洁净室技术的语言。

1. 布点采样：在关键区域（如光刻机进气口、回风口、工艺设备周围）布置粒子计数器，同步或轮巡采样。 2. 数据收集：记录各点的粒径分布和浓度时间序列。 3. 背景扣除：扣除洁净室本底浓度。 4. 模型拟合/仿真： a. 正向：假设污染源位置和强度，用对流-扩散模型计算各点浓度，与实测比较。 b. 逆向：基于实测数据，优化求解源参数 S和 r_s，使模型预测与实测的差异最小。 5. 报告：输出污染源可能的位置和贡献度。

物质流：污染源释放粒子 -> 在气流携带和扩散作用下形成空间浓度分布 -> 被采样点捕获计数。信息流：多点浓度测量数据 -> 结合气流场信息（CFD或实测）-> 溯源模型（正向/逆向）-> 推断污染源特性。

软件：粒子计数器数据采集软件、CFD软件（用于气流场）、溯源分析脚本。硬件：高灵敏度粒子计数器（OPC, CPC）、多点采样系统。

EUV-D1-0041

优化模型

数学规划/优化理论

非线性规划与传输交叉系数（TCC）

光刻机照明系统光源-掩模联合优化（SMO）模型

1. 目标函数：最小化成像误差，如边缘放置误差（EPE）的平方和，或最大化工艺窗口（PW）。设 J为光源分布（优化变量）， M为掩模图形（优化变量），目标函数为 F(J, M)。 2. 成像模型约束：成像过程由传输交叉系数（TCC）描述， TCC是 J和投影物镜光瞳函数 P的函数。空间像 I是 TCC和掩模频谱的函数。这是一个复杂的非线性约束。 3. 变量与约束： – 光源约束：J(ξ,η) ≥ 0，且总光强归一化 ∫∫ J dξdη = 1。 – 掩模约束：M(x,y) ∈ {0, 1}（二元）或 [0, 1]（衰减相移）。 4. 求解方法：由于变量维度高、非凸，采用梯度下降结合随机优化。利用伴随方法（Adjoint Method）高效计算目标函数对 J和 M的梯度 ∇_J F和 ∇_M F。迭代更新： J_{k+1} = Proj[J_k – α_J ∇_J F] M_{k+1} = Proj[M_k – α_M ∇_M F] 其中 Proj[·]是投影算子，将变量映射到可行集。 5. 输出：优化的光源分布 J*和掩模数据 M*。

优化后工艺窗口面积可提升 20-50%，或 EPE 降低 30-70%。

成像光学、非线性规划、梯度优化、伴随方法

在给定投影物镜条件下，协同优化照明光源形状和掩模图形，以最大化成像工艺窗口，是 2nm 及以下节点分辨率增强技术（RET）的核心。特征：计算密集、非凸、大规模优化。

J：光源强度分布（在光瞳面）。 M：掩模透射率分布。 F：目标函数（如 EPE RMS）。 TCC：传输交叉系数。 ∇J F, ∇M F：梯度。 α_J, α_M：学习率。

梯度计算、非线性规划、投影梯度下降、大规模优化。

计算光刻和优化的专业术语。

1. 初始化：加载目标图案，初始化 J0（如传统照明）、M0（目标图案二值化）。 2. 成像仿真：用当前 J_k, M_k计算 TCC 和空间像 I_k。 3. 计算目标：从 I_k提取轮廓，计算 EPE 和 F_k。 4. 梯度计算：利用伴随法，计算目标函数对光源和掩模的梯度。 5. 变量更新：沿梯度反方向更新 J和 M，并投影到可行集。 6. 收敛判断：如果 F_k变化小于阈值或达到最大迭代，停止；否则 k=k+1，返回步骤2。

信息流：目标图形 -> 成像模型 -> 计算性能指标 -> 伴随法求梯度 -> 更新光源和掩模变量 -> 新成像仿真。优化流：在巨大的解空间（光源+掩模）中，沿着梯度下降方向，寻找使成像保真度最高的组合。

软件：专业 SMO 软件（ASML Tachyon, Synopsys Proteus）。硬件：高性能计算集群（数千 CPU 核心）。

EUV-D1-0042

优化模型

数学规划/优化理论

多目标优化与像差平衡

投影物镜光学设计（像差平衡与公差分配）优化模型

1. 设计变量：光学系统参数 p（如曲率半径、厚度、材料折射率、非球面系数、元件位置）。 2. 评价函数：像质评价函数 Φ(p)，通常是多种像差（用泽尼克系数 Z_i或波前差 RMS 表示）的加权平方和： Φ(p) = Σ_i w_i * [Z_i(p) – Z_i_target]²，权重 w_i反映不同像差的重要性。 3. 约束：系统约束，如总长、后工作距、镜片中心/边缘厚度、光线遮拦等。 4. 优化算法：采用阻尼最小二乘法（DLS）或全局优化算法（如遗传算法）。DLS 迭代求解： (J^T J + μ I) Δp = -J^T f，其中 J是像差对设计变量的雅可比矩阵， f是像差残差向量， μ是阻尼因子。更新 p = p + Δp。 5. 公差分析：优化后，对设计变量施加制造和装调公差 δp，通过蒙特卡洛分析评估系统性能（如波前 RMS）的统计分布，确保良率。

优化后波前像差 RMS << 1 nm，在给定公差下，系统性能良率 > 99%。

几何光学、像差理论、阻尼最小二乘法、公差分析

用于设计 EUV 投影物镜（通常 6 镜或 8 镜），在给定架构下，优化镜面形状和位置，平衡各种像差，达到衍射极限成像质量，并分配合理的制造公差。特征：强非线性、多变量、多目标、需全局探索。

p：设计变量向量。 Φ：评价函数值。 Z_i(p)：第 i 项像差（作为 p 的函数）。 w_i：权重。 J：雅可比矩阵（∂Z_i/∂p_j）。 δp：公差向量。

非线性最小二乘、矩阵运算、蒙特卡洛模拟、统计。

光学设计优化的术语。

1. 初始设计：根据经验或专利，设定初始光学结构 p0。 2. 光线追迹：追迹多条光线，计算像差 Z_i(p)。 3. 评价函数计算：计算 Φ(p)。 4. 灵敏度分析：计算雅可比矩阵 J（通过有限差分或解析）。 5. 求解正规方程：求解 DLS 方程，得到变量增量 Δp。 6. 更新与迭代：p = p + Δp，重复步骤2-5直到 Φ收敛。 7. 公差分析：在 p*附近随机抽样 p + δp，统计性能分布。

设计流：初始结构 -> 性能评估 -> 灵敏度分析 -> 计算更新方向 -> 修改结构 -> 迭代优化 -> 收敛到局部/全局最优。像差流：光线通过不完美系统 -> 产生各种像差 -> 优化调整系统参数 -> 抵消/平衡像差 -> 达到最优像质。

软件：光学设计软件（CODE V, ZEMAX, Synopsys OSLO）。硬件：用于优化和公差分析的高性能工作站。

EUV-D1-0043

优化模型

数学规划/优化理论

混合整数线性规划（MILP）

工件台与掩模台运动轨迹与曝光序列协同优化模型

1. 问题定义：确定工件台（WS）和掩模台（RS）的扫描运动轨迹（速度曲线）和步进顺序，以最小化总曝光时间，同时满足动力学约束和同步误差约束。 2. 决策变量： – 连续变量：各阶段的开始时间、结束时间、速度、加速度。 – 二进制变量：场序、扫描方向。 3. 目标函数：最小化总时间：min T_total = Σ (t_scan_i + t_step_i)。 4. 约束： – 运动学：v(t) ≤ v_max， a(t) ≤ a_max， jerk(t) ≤ j_max。 – 同步：工件台和掩模台在扫描期间必须保持精确的速度比例（通常 4:1）。 – 顺序：每个场必须被曝光一次且仅一次。 – 物理限制：行程范围。 5. 求解：将连续时间问题离散化，用 MILP 建模，调用求解器求解。

优化后，总晶圆曝光时间可减少 5-15%，同时保证运动平滑和同步精度。

运动规划、混合整数规划、最优控制

用于优化光刻机扫描曝光过程，规划工件台和掩模台的运动轨迹，在满足动力学极限和严格同步要求的前提下，最大化扫描速度，提高产率。特征：组合与连续变量混合、强耦合约束、实时性要求。

T_total：总曝光时间。 t_scan_i, t_step_i：第 i 场的扫描时间和步进时间。 v_max, a_max, j_max：最大速度、加速度、加加速度。二进制变量：表示场序和方向。

混合整数线性规划、运动学方程、图论（路径规划）。

运动规划和调度的术语。

1. 输入：晶圆地图（场布局）、各场尺寸、扫描速度范围、动力学参数。 2. 建模：将问题转化为 MILP 模型，定义变量、目标和约束。 3. 求解：调用 MILP 求解器（如 Gurobi, CPLEX）求解。 4. 输出轨迹：解析解，得到每个场的扫描速度曲线、步进路径和精确时间表。 5. 执行：运动控制器加载优化后的轨迹，控制双台执行。

运动流：工件台步进到新场 -> 加速到扫描速度 -> 与掩模台同步扫描曝光 -> 减速停止 -> 步进到下一场。优化流：工艺需求与设备参数 -> 构建优化模型 -> 求解 -> 生成最优运动指令序列 -> 驱动设备。

软件：运动规划与优化库、MILP 求解器、与运动控制器的接口。硬件：多轴运动控制器、高动态性能的工件台和掩模台。

EUV-D1-0044

优化模型

启发式算法/人工智能

遗传算法（GA）与有限元分析（FEA）

基于遗传算法（GA）的光刻机冷却流道拓扑优化模型

1. 设计变量编码：将设计域（如镜座或工件台结构）离散为网格，每个单元有一个二进制变量 x_e ∈ {0,1}表示材料（1）或流道（0）。所有 x_e构成一个染色体。 2. 适应度函数：通过 FEA 计算每个设计的性能指标 F。例如，F = 1 / (w1 * ΔT_max + w2 * ΔP)，其中 ΔT_max是最高温升， ΔP是流道压降， w1, w2是权重。目标是最大化 F。 3. 遗传操作： – 选择：根据适应度比例选择父代染色体。 – 交叉：随机交换两个父代染色体的部分基因。 – 变异：以较小概率随机翻转某些基因位（0变1或1变0）。 4. 迭代进化：生成新种群，重复评估适应度和遗传操作，直到达到最大代数或收敛。 5. 后处理：对最优染色体进行平滑、过滤，得到可制造的流道形状。

优化后的流道设计可在相同泵功下，将热点温度降低 20-40%，或相同温升下压降降低 30-50%。

进化计算、拓扑优化、计算流体动力学/传热学

用于自动设计光刻机中关键部件（投影物镜镜座、工件台）的内部冷却流道布局，在空间约束下，最大化散热能力，最小化流阻，实现均匀温度控制。特征：拓扑自由、处理复杂目标、计算量大。

x_e：单元材料存在性（0/1）。 F：适应度函数值。 ΔT_max：最高温升。 ΔP：流道压降。 w1, w2：权重系数。种群大小、交叉率、变异率：GA 参数。

二进制编码、选择、交叉、变异算子、适应度评估（调用 FEA）。

进化计算和拓扑优化的术语。

1. 初始化：随机生成初始种群（一组随机流道拓扑）。 2. 适应度评估：对种群中每个个体，进行 CFD/CHT 仿真，计算 ΔT_max和 ΔP，进而计算适应度 F。 3. 选择：根据 F选择优良个体进入交配池。 4. 交叉与变异：对交配池中的个体进行交叉和变异操作，生成子代种群。 5. 迭代：用子代替代父代，重复步骤2-4，直到满足终止条件。 6. 结果提取：输出适应度最高的个体作为最优流道拓扑。

设计流：随机初始设计 -> 性能评估（FEA）-> 选择好设计 -> 交叉变异产生新设计 -> 迭代进化 -> 收敛到高性能拓扑。物理流：冷却液流入 -> 流经优化后的复杂流道 -> 高效带走热量 -> 流出。

软件：拓扑优化软件（如 ANSYS Topology Optimization, nTopology），自研 GA 代码与 FEA 软件（如 Fluent, OpenFOAM）耦合。硬件：高性能计算集群，用于并行 FEA 评估。

EUV-D1-0045

优化模型

博弈论/决策理论

合作博弈与 Shapley 值分配

多项目晶圆（MPW）光刻资源配置与优先级决策模型

1. 参与者与联盟：多个芯片设计项目（参与者）共享一次光刻机 MPW 流片机会。它们可以形成联盟 S以组合其版图，共享掩模和晶圆成本。 2. 特征函数：定义联盟 S的价值 v(S)，如总预期收益减去共享掩模和流片成本。v(∅)=0。 3. 收益分配：需要将总联盟价值 v(N)（N 为所有参与者）公平地分配给各参与者 i。Shapley 值 φ_i(v)是一种分配方案： `φ_i(v) = Σ_{S ⊆ N{i}} [

! (

–

-1)! /

!] * [v(S ∪ {i}) – v(S)] 表示参与者i` 对所有可能联盟的边际贡献的平均值。 4. 优先级决策：基于各参与者的 Shapley 值、紧急程度、战略重要性等，综合确定其在 MPW 中的资源分配优先级（如面积、测试结构数量）。

提供一种公平、透明、激励相容的 MPW 成本分摊和优先级决策方法，减少争议。

EUV-D1-0046

物理模型

量子光学/统计物理

泊松光子统计与散粒噪声

极紫外光子统计与散粒噪声极限模型

1. 光子统计：理想激光或热光源的光子到达计数服从泊松分布。在时间 T内，平均光子数 <N> = P T / (ħω)，其中 P为平均功率， ħω为单光子能量。实际检测到的光子数 N的概率为： P(N) = (<N>^N / N!) exp(-<N>)。 2. 散粒噪声：泊松分布的标准差为 σ_N = √<N>。这导致光电流或光强测量的信噪比（SNR）为： SNR = <N> / σ_N = √<N>。这称为散粒噪声极限。对于 EUV， ħω ≈ 92 eV，在典型剂量下，<N>有限，散粒噪声是限制测量精度和成像线边缘粗糙度（LER）的根本物理因素之一。 3. 噪声等效功率：探测器能够分辨的最小信号功率，对应于 SNR=1：NEP = √(2e I_dark B) / R（对于受限的暗电流噪声），其中 R为响应度， B为带宽。

散粒噪声决定了 EUV 光刻中剂量控制和成像的最终精度极限。例如，要控制剂量误差 < 0.5%，需要吸收 > 40,000 个光子。

量子光学、泊松过程、散粒噪声理论

用于评估 EUV 光刻中，由于光子的量子本性所引入的基本噪声极限，包括剂量测量的精度、光源功率稳定性测量的极限、以及对光刻胶曝光随机性（导致 LER）的影响。特征：量子力学本质、不可消除、决定了系统的理论性能边界。

<N>：平均光子数。 P(N)：探测到 N 个光子的概率。 σ_N：光子数涨落的标准差。 SNR：信噪比。 NEP：噪声等效功率。 ħω：单光子能量（~92 eV）。

泊松分布、标准差计算、信噪比分析。

量子光学和噪声分析的术语。

1. 参数确定：给定 EUV 光功率 P、测量时间 T或带宽 B，计算平均光子数 <N>。 2. 噪声分析：计算散粒噪声引起的计数标准差 σ_N = √<N>。 3. 精度评估：计算由于散粒噪声导致的光强或剂量测量的相对不确定度：δP/P ≈ σ_N/<N> = 1/√<N>。 4. 系统设计：根据所需的测量或控制精度，反推所需的最小平均光子数 <N>_min或最小剂量。

物理流：相干/热光场 -> 光子以离散形式被吸收 -> 吸收事件在时间上随机分布（泊松过程）-> 导致测量信号涨落（散粒噪声）。信息流：平均光强信息 -> 受到光子计数随机涨落的污染 -> 限制了从光信号中提取信息的精度。

软件：用于噪声分析和预算的数学工具（如 MATLAB）。硬件：用于验证的单光子探测器或高灵敏度辐射计。

EUV-D1-0047

物理模型

固体物理/输运理论

玻尔兹曼输运方程与声子散射

极紫外掩模（EUV Mask）吸收层（如 TaBN）的热导与应力模型

1. 热传导微观机制：热量通过声子（晶格振动量子）传输。声子分布函数 f(r, q, t)满足玻尔兹曼输运方程（BTE）： ∂f/∂t + v_g·∇_r f = (∂f/∂t)_{scat}，其中 v_g为声子群速度，右边为散射项（包括声子-声子、声子-缺陷、声子-边界散射）。 2. 热导率：在弛豫时间近似下，热导率 κ为： κ = 1/3 Σ_{q,s} C_{q,s} v_{g,q,s} Λ_{q,s}，求和遍及所有声子模式（波矢 q，支 s）， C为模式热容， Λ = v_g τ为平均自由程， τ为弛豫时间。 3. 纳米尺度效应：当吸收层厚度接近或小于声子平均自由程时，边界散射占主导，有效热导率 κ_eff显著降低（尺寸效应）。 4. 热-应力耦合：温度场 T(r)变化产生热应变 ε_th = α ΔT，其中 α为热膨胀系数。在约束条件下产生热应力 σ_th，满足弹性力学平衡方程。

预测的热导率与实验测量值在考虑尺寸效应后趋势一致。用于评估掩模局部加热和热变形。

固体物理、声子输运、玻尔兹曼方程、热弹性力学

用于评估 EUV 掩模吸收层在 EUV 照射下的局部温升、热扩散以及由此产生的热应力，这对于评估掩模的形变、寿命和成像性能至关重要。特征：非平衡输运、尺寸效应显著、多场耦合。

f(r,q,t)：声子分布函数。 v_g：声子群速度。 τ：弛豫时间。 κ：体材料热导率。 κ_eff：有效（纳米尺度）热导率。 α：热膨胀系数。 ε_th, σ_th：热应变和热应力。

积分-微分方程（BTE）、平均自由程计算、热弹性耦合。

微纳尺度传热和固体物理的语言。

1. 声子谱计算：通过第一性原理计算材料的声子色散关系 ω(q,s)和群速度 v_g(q,s)。 2. 散射率计算：计算各声子模式的散射率 1/τ（包括 Umklapp, 缺陷, 边界散射）。 3. 求解 BTE：在给定温度梯度和边界条件下，求解 BTE 得到声子分布，或使用弛豫时间近似计算热流和有效热导率 κ_eff。 4. 热分析：将 κ_eff代入热传导方程，计算 EUV 照射下的温度场 T(r)。 5. 应力分析：将 T(r)作为热载荷，进行热-应力耦合分析，得到应力场。

能量流：EUV 光子被吸收层吸收 -> 转化为热能（激发声子）-> 声子扩散输运热量 -> 边界散射限制热流 -> 形成非均匀温度场 -> 产生热应力。信息流：材料微观结构（原子种类、键合、缺陷、尺寸） -> 决定声子谱和散射 -> 决定热导率 -> 影响宏观温度场和应力场。

软件：第一性原理软件（VASP, Quantum ESPRESSO）、声子输运求解器（如 ShengBTE）、有限元软件（用于宏观热应力）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0048

物理模型

电磁学/微波工程

射频放电与阻抗匹配网络模型

射频离子源（用于清洁或等离子体处理）的放电与阻抗匹配模型

1. 射频放电模型：射频功率通过匹配网络和电极耦合到低压气体，产生等离子体。等离子体阻抗 Z_p = R_p + jX_p是电子密度 n_e、电子温度 T_e、频率 ω等的函数。常用等效电路模型，将等离子体视为与鞘层电容串联的电阻。 2. 阻抗匹配网络：通常采用 L 型或 π 型网络，由可变电容 C1, C2和/或电感 L组成。匹配目标是使从射频源看向负载的阻抗 Z_in等于源阻抗（通常 50Ω），以实现最大功率传输，反射系数 Γ=0。 3. 匹配条件：对于 L 型网络，匹配条件为： Z_in = jX_2 + (R_p + jX_p) // jX_1 = 50，其中 X_1, X_2是电抗（容抗或感抗）。求解此方程得到 C1, C2的设置值。 4. 自动匹配：通过检测正向功率 P_fwd和反射功率 P_refl，控制电机调整可变电容，最小化反射系数 `

= √(P_refl/P_fwd)`。

匹配后，电压驻波比（VSWR）< 1.2，反射功率 < 1% 的入射功率。

等离子体物理、射频电路理论、阻抗匹配、自动控制

用于驱动和优化 EUV 光学元件在线清洁（如氢等离子体清洁）的射频离子源，确保射频功率高效、稳定地耦合到等离子体中，维持稳定的清洁过程。特征：非线性负载、阻抗随工艺条件变化、需快速自动匹配。

Z_p：等离子体阻抗（复数）。 R_p, X_p：等离子体电阻和电抗。 Z_in：从源看向负载的输入阻抗。 Γ：反射系数。 P_fwd, P_refl：正向和反射功率。 C1, C2, L：匹配网络元件值。

复数阻抗计算、电路理论、优化（最小化反射）。

射频工程和等离子体源的术语。

1. 点火：启动气体流和射频功率，击穿气体形成等离子体。 2. 阻抗检测：定向耦合器测量 P_fwd和 P_refl，计算 `

EUV-D1-0049

物理模型

声学/流体力学

欧拉方程与激波捕捉方法

超音速气体喷射（用于碎屑 mitigation）的激波结构与流体动力学模型

1. 控制方程：可压缩欧拉方程（忽略黏性）： ∂U/∂t + ∇·F(U) = 0 U = [ρ, ρu, ρv, ρw, E]^T F = [ρu, ρu²+p, ρuv, ρuw, u(E+p)]^T(x方向) 其中 E = ρe + 1/2 ρ(u²+v²+w²)为总能量密度， e为内能，与压强 p通过状态方程联系（如理想气体 p = (γ-1)ρe）。 2. 数值方法：采用有限体积法，结合高分辨率激波捕捉格式（如 Roe, AUSM+）离散对流项。时间推进采用显式或隐式方法。 3. 激波结构：超音速射流在出口膨胀，形成膨胀扇，随后在环境压力下可能形成桶状激波和马赫盘。激波位置和强度由压比（喷嘴压力/环境压力）决定。 4. 与碎屑相互作用：模拟高速气流对锡碎屑的动量传递和携带效应，评估清除效率。

模拟可预测射流核心长度、激波位置、压力分布，与纹影/阴影成像结果定性一致。

计算流体动力学、可压缩流、激波理论、欧拉方程

用于设计和优化 EUV 光源中用于清除锡碎屑的超音速气体（如氢）喷射系统，理解其复杂的波系结构和对碎屑的动力学作用，以提高收集镜寿命。特征：可压缩、高速、存在间断（激波）、多维。

U：守恒变量向量。 F：对流通量向量。 ρ, u, v, w, p, E：密度、速度分量、压强、总能量密度。 γ：比热比。压比：喷嘴总压与环境静压之比。

双曲型偏微分方程、有限体积法、黎曼解算器、激波捕捉。

计算流体动力学（可压缩流）的术语。

1. 前处理：建立喷嘴和腔室的二维/三维计算域网格，设定边界条件（压力入口、压力出口、壁面）。 2. 初始化：设定初始流场（通常为静止环境气体）。 3. 时间迭代：在每个时间步： a. 计算每个单元界面上的数值通量（使用黎曼解算器）。 b. 更新守恒变量 U。 c. 从 U解出原始变量 ρ, u, v, w, p。 4. 收敛：迭代直至流场达到稳态或周期性稳态。 5. 后处理：可视化流线、马赫数云图、压力等值线，分析激波结构。

物质/动量流：高压气体从喷嘴喷出 -> 膨胀加速至超音速 -> 形成复杂波系（膨胀扇、压缩波、激波）-> 与环境气体混合 -> 对路径上的碎屑施加拖曳力 -> 将其带离光学路径。计算流：控制方程离散 -> 数值通量计算 -> 时间积分更新 -> 得到流场解。

软件：CFD 软件（ANSYS Fluent, SU2, OpenFOAM）。硬件：高性能计算集群，用于三维瞬态可压缩流模拟。

EUV-D1-0050

物理模型

固体力学/接触力学

分形表面接触与热传导模型

晶圆与静电卡盘（E-chuck）间的接触热阻与形变模型

1. 粗糙表面表征：接触表面具有分形特征。表面轮廓 z(x,y)用 Weierstrass-Mandelbrot 函数描述，其功率谱服从幂律。关键参数：分形维数 D，特征长度尺度 G。 2. 弹性接触模型：基于 GW 或 MB 模型，但引入分形。真实接触面积 A_r是施加载荷 F和表面形貌的函数。对于弹性接触，A_r ∝ F^{2/(3-D)}（对于某些分形范围）。 3. 接触热导：热流通过微凸体接触点传导。接触热导 h_c与真实接触面积 A_r和接触点平均热导率有关。对于弹塑性接触，有更复杂的模型，如 Cooper-Mikic-Yovanovich (CMY) 模型： h_c = 1.25 k_s (m/σ) (P/H)^{0.95}，其中 k_s为综合热导率， m为平均斜率， σ为 RMS 粗糙度， P为接触压力， H为较软材料的硬度。 4. 形变计算：基于接触力学计算接触压力分布和晶圆局部变形（翘曲）。

预测的接触热导与实验测量值在同一数量级，可用于优化卡盘表面处理和吸附压力。

接触力学、分形几何、传热学、弹塑性理论

用于量化晶圆与静电卡盘之间的热接触电阻，这是影响晶圆温度均匀性和 overlay 性能的关键因素。模型用于优化卡盘表面粗糙度、吸附压力和 clamping 策略。特征：多尺度（从纳米粗糙度到宏观变形）、非线性、强经验性。

D, G：表面分形维数和特征长度尺度。 A_r：真实接触面积。 F, P：总载荷和接触压力。 h_c：接触热导 (W/(m²·K))。 k_s, m, σ, H：材料热导、平均斜率、粗糙度、硬度。

分形函数、接触力学、热传导方程、经验公式。

接触力学和界面传热的术语。

1. 表面测量：用白光干涉仪或原子力显微镜测量卡盘和晶圆背面的表面形貌，提取分形参数或统计参数 (m, σ)。 2. 接触分析：给定吸附压力 P，利用接触模型计算真实接触面积 A_r和接触点压力分布。 3. 热导计算：基于 A_r或统计参数，利用 CMY 等模型计算平均接触热导 h_c。 4. 热-力耦合分析：将 h_c作为边界条件，进行晶圆-卡盘系统的共轭传热分析，得到晶圆温度场。同时计算接触压力引起的晶圆弹性变形。 5. 优化：调整表面处理、吸附电压等，重新计算，以最小化温度不均匀性和变形。

能量流：卡盘冷却液带走热量 -> 热量通过固体传导至卡盘表面 -> 通过微凸体接触点（和间隙气体）传导至晶圆 -> 晶圆被加热/冷却。力/形变流：静电吸附力 -> 产生接触压力 -> 使粗糙表面发生弹塑性变形 -> 形成真实接触面积 -> 同时导致晶圆轻微翘曲。

软件：接触力学专用软件（如 COMSOL with Contact Module），自建分形接触模型代码。硬件：表面轮廓仪、热像仪、压力传感薄膜。

EUV-D1-0051

计算模型

离散元法（DEM）

软球模型与 Hertz-Mindlin 接触力学

锡碎屑在收集镜表面的碰撞、粘附与清除过程模型

1. 粒子运动：每个碎屑粒子 i的运动由牛顿第二定律描述： m_i d²r_i/dt² = Σ_j (F_{cn,ij} + F_{ct,ij}) + F_{adh,ij} + F_{drag,i} + m_i g I_i dω_i/dt = Σ_j (M_{t,ij} + M_{r,ij}) 2. 接触力模型：采用 Hertz-Mindlin 模型。法向力 F_{cn}基于 Hertz 接触理论；切向力 F_{ct}基于 Mindlin 理论，并考虑滑动摩擦；力矩 M_t, M_r来自切向力和滚动摩擦。 3. 粘附力：对于微米/亚微米粒子，范德华力 F_{vdW}可能占主导。常用 Johnson-Kendall-Roberts (JKR) 或 Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) 模型修正接触力学。 4. 流体拖曳力：`F_{drag} = 1/2 C_d ρ_g A_p

u_g – u_p

(u_g – u_p)，其中C_d为拖曳系数，ρ_g为气体密度，A_p为粒子投影面积，u_g, u_p` 为气体和粒子速度。 5. 时间积分：使用显式 Verlet 或 Velocity-Verlet 算法更新粒子的位置和速度。

模拟可定性预测碎屑在镜面的沉积分布、团聚现象，以及被气流清除的效率。

离散元法、接触力学、颗粒流体动力学、范德华力

用于模拟 EUV 光源中产生的锡碎屑（液滴、固体颗粒）在收集镜表面的运动、碰撞、粘附和被缓冲气体清除的过程，评估不同缓解策略（如气体喷射、防护膜）的有效性。特征：多粒子系统、短程相互作用、计算成本随粒子数增加而剧增。

r_i, v_i, ω_i：粒子 i 的位置、速度、角速度。 m_i, I_i：质量和转动惯量。 F{cn}, F{ct}：法向和切向接触力。 F_{adh}：粘附力（如范德华力）。 F_{drag}：流体拖曳力。 M_t, M_r：切向和滚动摩擦力矩。

牛顿运动方程、Hertz-Mindlin 接触模型、显式时间积分、邻居列表。

颗粒系统和离散元模拟的术语。

1. 初始化：在计算域内生成粒子，设定初始位置、速度、粒径分布。定义边界（镜面、腔壁）。 2. 邻居搜索：在每个时间步，建立粒子间的邻居列表（如 using Verlet list or cell linked-list）。 3. 力计算：对每个粒子 i，计算与所有邻居 j 的接触力、粘附力，以及流体拖曳力、重力等。 4. 运动积分：根据合力合合力矩，更新每个粒子的速度、角速度、位置和方向。 5. 边界处理：处理粒子与边界的碰撞（反射、吸收、粘附）。 6. 循环：重复步骤2-5，模拟颗粒系统的演化。

EUV-D1-0052

计算模型

计算流体力学（CFD）

格子玻尔兹曼方法（LBM）

微尺度、多组分气体流动与反应输运模型

1. 格子玻尔兹曼方程：在离散速度空间 {e_α}上，粒子分布函数 f_α(r, t)的演化方程为： f_α(r + e_α Δt, t+Δt) – f_α(r, t) = Ω_α 其中碰撞算子 Ω_α常用 BGK 近似：Ω_α = -(1/τ) [f_α – f_α^{eq}]， τ为弛豫时间，与流体粘度相关。 2. 平衡分布函数：f_α^{eq} = w_α ρ [1 + (e_α·u)/c_s² + (e_α·u)²/(2c_s⁴) – u²/(2c_s²)]，其中 w_α为权值， c_s为格子声速。 3. 宏观量：流体密度 ρ = Σ_α f_α，动量 ρ u = Σ_α f_α e_α。 4. 多组分与反应：为每种组分 k定义一个分布函数 f_α^k。组分间通过外力项（如扩散驱动力）或反应项耦合。反应速率可通过 Arrhenius 型公式引入源项。 5. 边界条件：实现无滑移（反弹格式）、压力/速度入口出口等。

LBM 擅长处理复杂几何、多相流和微尺度流动，计算效率在某些问题上高于传统 CFD。

动理学理论、格子玻尔兹曼方法、计算流体动力学

用于模拟 EUV 光刻机中复杂的微尺度气流，例如真空腔内稀薄气体传输、气体阻挡层内多组分（H₂, He, Sn蒸气）的混合与反应、以及微通道内的流动与传热。特征：介观方法、天然并行、易处理复杂边界。

f_α：离散速度分布函数。 e_α：离散速度向量。 Ω_α：碰撞算子。 τ：弛豫时间。 ρ, u：宏观密度和速度。 c_s：格子声速。

离散速度模型、演化方程、统计平均。

计算流体动力学（介观方法）的术语。

1. 初始化：在计算网格上初始化分布函数 f_α，设定初始宏观场 ρ, u。 2. 碰撞：在每个网格点，计算碰撞项，更新分布函数：f_α' = f_α + Ω_α。 3. 迁移：将碰撞后的分布函数 f_α'沿其速度方向 e_α流到相邻网格点：f_α(r+e_α, t+1) = f_α'(r, t)。 4. 边界处理：在边界网格点执行边界条件。 5. 宏观量计算：从新的分布函数计算每个网格点的 ρ和 u。 6. 循环：重复步骤2-5，直到达到稳态或完成瞬态模拟。

信息流：介观分布函数 -> 碰撞（趋向局部平衡）-> 迁移（对流）-> 宏观量统计 -> 作为下一次碰撞的输入。物理流：流体微团的速度分布 -> 通过碰撞弛豫 -> 通过对流输运 -> 形成宏观流动。

软件：LBM 专用软件（Palabos, OpenLB），或通用 CFD 软件的 LBM 模块。硬件：高性能计算集群，LBM 尤其适合 GPU 加速。

EUV-D1-0053

计算模型

固体力学/断裂力学

扩展有限元法（XFEM）

材料（如陶瓷、硅）在热-力载荷下的裂纹萌生与扩展模型

1. 位移场近似：在标准有限元近似基础上，通过附加函数来模拟不连续性（裂纹）。位移场 u^h(x)表示为： u^h(x) = Σ_{i∈I} N_i(x) u_i + Σ_{j∈J} N_j(x) H(x) a_j + Σ_{k∈K} N_k(x) (Σ_{l=1}^4 F_l(x) b_k^l) 其中第一项为标准有限元部分，第二项用 Heaviside 函数 H(x)描述裂纹面的强不连续，第三项用裂尖渐近函数 F_l(x)描述裂尖奇异性。 2. 裂纹扩展准则：基于线弹性断裂力学（LEFM），当裂尖的应力强度因子 K_I, K_II达到材料的断裂韧性 K_{Ic}时，裂纹扩展。或基于内聚区模型（CZM）的损伤力学准则。 3. 裂纹扩展方向：通常取最大周向应力方向或最大能量释放率方向。 4. 水平集方法：常用水平集函数 φ(x)和 ψ(x)隐式地描述裂纹面的位置和扩展前沿，便于处理复杂的裂纹拓扑变化。

XFEM 可以在不重划网格的情况下模拟裂纹沿任意路径的扩展，精度高，但计算复杂。

断裂力学、有限元法、水平集方法、内聚区模型

用于评估光刻机中脆性材料部件（如陶瓷导轨、硅镜基板）在热循环或机械冲击载荷下的裂纹萌生与扩展风险，进行疲劳寿命预测和可靠性设计。特征：处理强不连续性、裂纹路径任意、结合损伤力学。

u^h：近似位移场。 N_i：标准形函数。 H(x)：Heaviside 阶跃函数。 F_l(x)：裂尖渐近函数（描述 √r 奇异性）。 a_j, b_k^l：附加自由度。 K_I, K_{Ic}：I 型应力强度因子和断裂韧性。 φ, ψ：水平集函数。

扩展的形函数、断裂力学判据、水平集函数演化。

计算断裂力学的专业术语。

1. 初始裂纹定义：定义初始裂纹的位置和方向（通过水平集函数或几何定义）。 2. 施加载荷：施加热载荷或机械载荷。 3. 求解：组装包含标准自由度和附加自由度的系统方程，求解位移场和应力场。 4. 裂尖参数计算：在裂尖区域，计算应力强度因子 K_I, K_II或 J 积分。 5. 扩展判断：检查裂纹扩展准则（如 K_I ≥ K_{Ic}）。如果满足，计算扩展方向 θ和扩展增量 Δa。 6. 裂纹更新：更新水平集函数以描述新的裂纹前沿位置。 7. 迭代：重复步骤3-6，模拟裂纹的逐步扩展。

损伤流：局部应力集中 -> 达到材料强度 -> 裂纹萌生 -> 裂尖应力场驱动裂纹扩展 -> 裂纹路径改变应力分布 -> 可能导致失稳断裂。计算流：含裂纹的几何 -> XFEM 离散 -> 求解力学场 -> 评估裂尖参数 -> 判断是否扩展 -> 更新裂纹几何 -> 新的求解步。

软件：支持 XFEM 的有限元软件（Abaqus, ANSYS, COMSOL）。硬件：高性能计算服务器。

EUV-D1-0054

计算模型

计算流体力学

光滑粒子流体动力学（SPH）

大变形自由表面流动（如锡液滴生成、飞溅）模型

1. 核近似：任何场量 A(r)通过核函数 W的积分近似： <A(r)> = ∫ A(r') W(r-r', h) dr' ≈ Σ_j (m_j/ρ_j) A_j W(r-r_j, h)。 2. 控制方程的 SPH 离散：

编号

类别

领域

模型名称

EUV-D1-0001	物理模型	等离子体物理/原子物理	激光激发等离子体（LPP）EUV光源辐射模型
EUV-D1-0002	物理模型	等离子体物理/流体力学	辐射磁流体力学（RMHD）模型
EUV-D1-0003	物理模型	原子物理/光谱学	细致能级模型（DCA）或碰撞辐射模型（CRM）
EUV-D1-0004	物理模型	光学/热力学	多层膜反射镜热变形与应力模型
EUV-D1-0005	物理模型	光学/电磁学	严格耦合波分析（RCWA）或时域有限差分（FDTD）
EUV-D1-0006	物理模型	力学/声学	投影物镜系统微振动传递路径分析（TPA）模型
EUV-D1-0007	物理模型	流体力学/热力学	晶圆台气浮轴承与静压导轨流固热耦合模型
EUV-D1-0008	物理模型	静电学/粒子动力学	极紫外光刻胶（EUV PR）中二次电子产生与能量沉积模型
EUV-D1-0009	物理模型	表面科学/化学	真空腔室内碳氢化合物污染沉积与清洗模型
EUV-D1-0010	物理模型	固体物理/热力学	锡液滴与碎屑对收集镜热冲击与损伤模型
EUV-D1-0011	计算模型	计算流体力学（CFD）	光刻机内部洁净气流组织与热管理模型
EUV-D1-0012	计算模型	有限元分析（FEA）	光刻机整机结构动力学与模态分析模型
EUV-D1-0013	计算模型	分子动力学（MD）	极紫外光刻胶显影过程的分子尺度模型
EUV-D1-0014	计算模型	蒙特卡洛方法	极紫外光在投影物镜中的散射与吸收模型
EUV-D1-0015	计算模型	边界元法（BEM）	静电卡盘（E-chuck）吸附力与热传导模型
EUV-D1-0016	控制模型	控制理论/信息科学	工件台六自由度（6-DoF）纳米级轨迹跟踪控制模型
EUV-D1-0017	控制模型	控制理论/信息科学	投影物镜高阶像差主动补偿控制模型
EUV-D1-0018	控制模型	控制理论/信息科学	多变量、强耦合、大延迟的热管理系统模型预测控制（MPC）
EUV-D1-0019	控制模型	控制理论/信息科学	基于干扰观测器（DOB）的鲁棒运动控制模型
EUV-D1-0020	控制模型	控制理论/信息科学	自适应光学（AO）系统波前校正控制模型
EUV-D1-0021	信息科学模型	计算机科学/信息论	光刻机实时数据流处理与压缩模型
EUV-D1-0022	信息科学模型	计算机科学/密码学	制造数据安全传输与存储模型
EUV-D1-0023	信息科学模型	人工智能/机器学习	基于深度学习的 overlay 误差预测与补偿模型
EUV-D1-0024	信息科学模型	人工智能/机器学习	缺陷图像自动分类与根因分析模型
EUV-D1-0025	信息科学模型	运筹学/优化理论	光刻机调度与产能优化模型
EUV-D1-0026	材料模型	材料科学/固体力学	低热膨胀系数（LTEM）材料（如微晶玻璃、SiC）的微结构-性能关联模型
EUV-D1-0027	材料模型	材料科学/表面工程	抗辐照、低缺陷多层膜（Mo/Si）生长模型
EUV-D1-0028	材料模型	材料科学/高分子化学	极紫外光刻胶化学放大机制与酸扩散模型
EUV-D1-0029	材料模型	材料科学/电化学	电化学机械抛光（ECMP）垫与抛光液交互模型
EUV-D1-0030	材料模型	材料科学/热力学	相变材料（PCM）用于热管理的封装与循环稳定性模型
EUV-D1-0031	系统模型	系统工程/可靠性工程	光刻机系统可靠性框图（RBD）与故障树分析（FTA）模型
EUV-D1-0032	系统模型	系统工程/性能建模	光刻机整体吞吐量（Throughput）综合模型
EUV-D1-0033	系统模型	系统工程/接口管理	光刻机与涂胶显影机（Track）的接口与协同控制模型
EUV-D1-0034	系统模型	人机工程学/认知科学	光刻机操作员人机界面（HMI）与决策支持模型
EUV-D1-0035	系统模型	供应链管理/物流	光刻机关键部件全球供应链风险与韧性模型
EUV-D1-0036	计量模型	光学计量/信息科学	基于散射测量的三维形貌与套刻误差（Overlay）测量模型
EUV-D1-0037	计量模型	光学计量/信息科学	移相干涉仪（PSI）波前像差高精度测量模型
EUV-D1-0038	计量模型	声学计量/信号处理	基于声发射（AE）的轴承早期故障诊断模型
EUV-D1-0039	计量模型	热成像/图像处理	基于红外热像仪的非接触式温度场测量与热缺陷识别模型
EUV-D1-0040	计量模型	粒子检测/统计学	洁净室空气中纳米颗粒物（AMC）浓度分布与溯源模型
EUV-D1-0041	优化模型	数学规划/优化理论	光刻机照明系统（Illumination）光源-掩模联合优化（SMO）模型
EUV-D1-0042	优化模型	数学规划/优化理论	投影物镜光学设计（像差平衡与公差分配）优化模型
EUV-D1-0043	优化模型	数学规划/优化理论	工件台运动轨迹与曝光序列（Reticle Stage & Wafer Stage）协同优化模型
EUV-D1-0044	优化模型	启发式算法/人工智能	基于遗传算法（GA）的光刻机冷却流道拓扑优化模型
EUV-D1-0045	优化模型	博弈论/决策理论	多项目晶圆（MPW）光刻资源配置与优先级决策模型
EUV-D1-0046	物理模型	量子光学/统计物理	极紫外光子统计与散粒噪声极限模型
EUV-D1-0047	物理模型	固体物理/输运理论	极紫外掩模（EUV Mask）吸收层（如TaBN）的热导与应力模型
EUV-D1-0048	物理模型	电磁学/微波工程	射频离子源（用于清洁或等离子体处理）的放电与阻抗匹配模型
EUV-D1-0049	物理模型	声学/流体力学	超音速气体喷射（用于碎屑 mitigation）的激波结构与流体动力学模型
EUV-D1-0050	物理模型	固体力学/接触力学	晶圆与静电卡盘（E-chuck）间的接触热阻与形变模型
EUV-D1-0051	计算模型	离散元法（DEM）	锡碎屑在收集镜表面的碰撞、粘附与清除过程模型
EUV-D1-0052	计算模型	格子玻尔兹曼方法（LBM）	微尺度、多组分气体流动与反应输运模型（如真空腔内残留气体）
EUV-D1-0053	计算模型	扩展有限元法（XFEM）	材料（如陶瓷、硅）在热-力载荷下的裂纹萌生与扩展模型
EUV-D1-0054	计算模型	光滑粒子流体动力学（SPH）	大变形自由表面流动（如锡液滴生成、飞溅）模型
EUV-D1-0055	计算模型	相场模型（Phase-Field）	材料相变、晶粒生长与微观组织演化模型
EUV-D1-0056	控制模型	自适应控制/系统辨识	时变、非线性系统（如热变形）的在线参数辨识与自适应控制模型
EUV-D1-0057	控制模型	滑模控制/变结构控制	对参数摄动和外部扰动强鲁棒性的高精度定位控制模型
EUV-D1-0058	控制模型	迭代学习控制（ILC）	周期性重复误差（如工件台扫描运动误差）的前馈补偿模型
EUV-D1-0059	控制模型	模糊控制/神经网络控制	难以精确建模的复杂过程（如某些清洗工艺）的智能控制模型
EUV-D1-0060	控制模型	容错控制/健康管理	传感器或执行器部分失效下的系统重构与降级运行控制模型
EUV-D1-0061	信息科学模型	数据挖掘/知识发现	海量制造数据（Big Data）中的相关性分析与知识图谱构建模型
EUV-D1-0062	信息科学模型	数字孪生/虚拟仿真	光刻机物理实体在信息空间的实时映射与预测性维护模型
EUV-D1-0063	信息科学模型	区块链/分布式账本	关键部件（如物镜）全生命周期数据可信追溯模型
EUV-D1-0064	信息科学模型	自然语言处理（NLP）	技术文档、故障报告自动分析与知识提取模型
EUV-D1-0065	信息科学模型	计算机视觉/增强现实（AR）	基于视觉的精密装配引导与远程专家协助模型
EUV-D1-0066	材料模型	第一性原理计算（DFT）	新材料（如新型光刻胶、抗污染涂层）的电子结构与性能预测模型
EUV-D1-0067	材料模型	相图计算（CALPHAD）	多元合金体系（如焊料、靶材）的相平衡与热力学性质模型
EUV-D1-0068	材料模型	晶体塑性有限元（CPFEM）	多晶材料（如金属结构件）在循环载荷下的疲劳与蠕变模型
EUV-D1-0069	材料模型	表面能与润湿性模型	液滴（如水、清洗液）在微纳结构表面的铺展与去润湿模型
EUV-D1-0070	材料模型	辐照损伤与缺陷演化模型	材料（如光学元件、传感器）在极紫外及粒子辐照下的性能退化模型
EUV-D1-0071	系统模型	基于模型的系统工程（MBSE）	光刻机需求、功能、逻辑、物理架构的统一建模与验证模型
EUV-D1-0072	系统模型	多学科设计优化（MDO）	考虑光学、机械、热、控制等多学科耦合的系统级性能优化模型
EUV-D1-0073	系统模型	动态系统建模与仿真	光刻机启动、运行、停机等全工况动态行为模型
EUV-D1-0074	系统模型	成本建模与生命周期评估（LCA）	光刻机制造、运行、维护的全生命周期成本与环境影响模型
EUV-D1-0075	系统模型	技术成熟度（TRL）与制造成熟度（MRL）评估模型	新技术、新部件从研发到量产的全过程风险评估与推进模型
EUV-D1-0076	计量模型	椭偏仪与光谱反射计模型	薄膜厚度、光学常数（n,k）的高精度测量与反演模型
EUV-D1-0077	计量模型	原子力显微镜（AFM）与扫描探针模型	表面粗糙度、纳米力学性能（模量、硬度）的测量与表征模型
EUV-D1-0078	计量模型	X射线光电子能谱（XPS）与俄歇电子能谱（AES）模型	表面元素成分、化学态与污染物的定性与定量分析模型
EUV-D1-0079	计量模型	白光干涉仪（WLI）与共聚焦显微镜模型	三维表面形貌与大范围台阶高度的快速测量模型
EUV-D1-0080	计量模型	四极杆质谱（QMS）与残余气体分析（RGA）模型	真空腔内气体成分、分压与泄漏源的实时监测与诊断模型
EUV-D1-0081	优化模型	鲁棒优化（Robust Optimization）	考虑工艺参数波动（如剂量、焦距）的光刻工艺窗口（PW）最大化模型
EUV-D1-0082	优化模型	随机规划（Stochastic Programming）	考虑设备故障、物料延迟等不确定性的生产计划与调度模型
EUV-D1-0083	优化模型	多目标优化（Pareto Optimality）	权衡吞吐量（Throughput）、套刻精度（Overlay）、线宽均匀性（CDU）等多目标的折衷优化模型
EUV-D1-0084	优化模型	拓扑优化（Topology Optimization）	在给定载荷与约束下，实现轻量化、高刚度、低热变形的结构材料分布优化模型
EUV-D1-0085	优化模型	贝叶斯优化（Bayesian Optimization）	针对昂贵、黑箱实验（如新工艺配方调试）的高效全局参数寻优模型
EUV-D1-0086	物理模型	非平衡态热力学与熵产模型	光刻机能量流分析与废热回收潜力评估模型
EUV-D1-0087	物理模型	微纳尺度传热（声子输运）模型	纳米结构（如FinFET）在曝光过程中的局部温升与热扩散模型
EUV-D1-0088	物理模型	电迁移与应力迁移模型	芯片互连线在高电流密度下的可靠性失效模型
EUV-D1-0089	物理模型	磁流体动力学（MHD）模型	液态金属（如锡）在电磁场约束下的流动与稳定性模型
EUV-D1-0090	物理模型	光力学（Optomechanics）模型	光辐射压力引起的光学元件微位移及其对系统稳定性影响模型
EUV-D1-0091	计算模型	代理模型（Surrogate Model）与降阶模型（ROM）	替代高保真仿真、用于快速优化与不确定性分析的简化模型
EUV-D1-0092	计算模型	异构并行计算与GPU加速模型	大规模科学计算任务（如全场光学仿真）的并行化与加速策略模型
EUV-D1-0093	计算模型	不确定性量化（UQ）与敏感性分析（SA）模型	评估输入参数不确定性对输出结果影响的传播与重要性排序模型
EUV-D1-0094	计算模型	逆向设计与生成模型	给定目标性能（如特定光强分布），反向生成结构或光学元件参数的模型
EUV-D1-0095	计算模型	多尺度建模与跨尺度关联模型	连接原子尺度、微观尺度、宏观尺度的材料与性能预测统一框架模型
EUV-D1-0096	控制模型	事件触发控制与网络化控制模型	资源受限下（如通信带宽），保证性能的最优采样与控制决策模型
EUV-D1-0097	控制模型	分布式协同控制模型	多智能体系统（如多个冷却单元）的协同一致与优化运行模型
EUV-D1-0098	控制模型	学习型模型预测控制（LMPC）	结合数据驱动学习与模型预测，处理复杂非线性与不确定性的控制模型
EUV-D1-0099	控制模型	分数阶控制模型	描述具有记忆、遗传特性的过程（如黏弹性材料）的先进控制模型
EUV-D1-0100	控制模型	量子控制模型	基于量子力学原理，对量子系统（如未来量子传感器）的精密操控模型
EUV-D1-0101	信息科学模型	联邦学习（Federated Learning）模型	在保护数据隐私前提下，跨多个工厂/设备协同训练AI模型
EUV-D1-0102	信息科学模型	数字线程（Digital Thread）模型	贯穿产品设计、制造、运维全流程的数据连续性与追溯性模型
EUV-D1-0103	信息科学模型	因果推断（Causal Inference）模型	从观测数据中识别工艺参数与最终性能之间的因果关系模型
EUV-D1-0104	信息科学模型	主动学习（Active Learning）模型	智能选择最具信息量的样本进行测量或仿真，以高效构建高精度模型的策略
EUV-D1-0105	信息科学模型	强化学习（Reinforcement Learning）用于自主决策	让系统（如调度系统、维护机器人）通过试错与环境交互，学习最优策略的模型
EUV-D1-0106	材料模型	自修复材料模型	材料在损伤后自主修复其性能的机理与动力学模型
EUV-D1-0107	材料模型	超材料（Metamaterial）设计模型	具有天然材料所不具备的超常物理性质（如负折射率、完美吸收）的人工结构设计模型
EUV-D1-0108	材料模型	高通量计算与实验（HTE）集成模型	快速筛选与发现新材料的自动化计算与实验平台的数据分析模型
EUV-D1-0109	材料模型	界面与界面相（Interphase）模型	异质材料结合处（如焊点、涂层/基底）的结构、性能与失效模型
EUV-D1-0110	材料模型	环境老化与耐久性模型	材料在长期使用环境下（温度、湿度、辐照）的性能退化预测模型
EUV-D1-0111	系统模型	韧性工程（Resilience Engineering）模型	系统在遭受内部故障或外部冲击后，保持或快速恢复核心功能的能力模型
EUV-D1-0112	系统模型	社会技术系统（Socio-Technical System）模型	考虑技术系统与操作人员、组织流程、管理制度相互作用的整体效能模型
EUV-D1-0113	系统模型	基于仿真的采办（Simulation-Based Acquisition）模型	在装备采办早期，利用仿真评估不同技术方案与供应商的模型
EUV-D1-0114	系统模型	开放系统架构（OSA）与模块化模型	支持即插即用、快速升级的光刻机软硬件架构设计与接口标准模型
EUV-D1-0115	系统模型	生态系统与平台商业模式模型	光刻机作为核心，连接芯片设计、制造、设备、材料、软件等各方的价值网络与协同创新模型

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0016

控制模型

控制理论/信息科学

前馈-反馈复合控制与干扰观测

工件台六自由度（6-DoF）纳米级轨迹跟踪控制模型

跟踪误差（RMS）< 1 nm，同步误差 < 2 nm。

牛顿-欧拉方程、PID控制、干扰观测器（DOB）理论、逆动力学

微分方程、矩阵运算、频域滤波、逆模型计算。

运动控制和机器人学的术语。

EUV-D1-0017

控制模型

控制理论/信息科学

基于泽尼克系数的多变量反馈与前馈

投影物镜高阶像差主动补偿控制模型

像差补偿后，残余波前误差（RMS）< 0.5 nm。

泽尼克多项式、波前传感、多变量控制、影响函数、热光学效应

线性代数（矩阵伪逆）、积分控制、参数估计（温度-像差模型）。

自适应光学和精密光学的语言。

EUV-D1-0018

控制模型

控制理论/信息科学

模型预测控制（MPC）

多变量、强耦合、大延迟的热管理系统模型预测控制

k), …, u(k+N_c-1

k)}，最小化目标函数： J = Σ_{i=1}^{N_p}

y(k+i

k) – r(k+i)

Q² + Σ{i=0}^{N_c-1}

Δu(k+i

EUV-D1-0019

控制模型

控制理论/信息科学

基于干扰观测器（DOB）的鲁棒控制

对模型不确定性和外部扰动强鲁棒性的运动控制模型

在DOB带宽内，系统对参数变化（如质量±20%）和外部力扰动（如振动）的敏感性显著降低，性能接近标称系统。

内模原理、鲁棒控制、扰动估计与补偿

传递函数代数、频域滤波、系统逆。

鲁棒控制和扰动抑制的专业术语。

软件：集成DOB模块的实时控制代码。硬件：高带宽执行器和传感器，以支持DOB的有效运行。

EUV-D1-0020

控制模型

控制理论/信息科学

基于波前斜率的闭环校正

自适应光学（AO）系统波前校正控制模型

校正后，波前残差 RMS 可达 λ/20 ~ λ/50（在可见光或红外波段），系统带宽可达几十到几百赫兹。

几何光学（子孔径斜率）、线性代数（矩阵重构）、积分控制、优化理论

线性代数（伪逆、矩阵乘法）、离散时间积分、迭代优化。

自适应光学和波前控制的专业术语。

软件：实时波前处理与控制软件（如用C++实现）。硬件：高速相机、可变形镜（DM）、实时处理器（FPGA/GPU）、分光器。

EUV-D1-0021

信息科学模型

计算机科学/信息论

流处理与无损/有损压缩算法

光刻机实时数据流处理与压缩模型

压缩后，数据体积减少 50%-95%，同时保证关键信息的重构误差在允许范围内（如位置误差 < 0.1% FS）。

信息论（熵、率失真理论）、数据压缩算法、流处理计算

R：原始数据速率（bits/s）。 B：可用带宽（bits/s）。 CR：压缩比。 D：失真度量（如 MSE）。 D_max：最大允许失真。

编码理论、信号处理（变换、量化）、统计（数据分布）。

数据工程和实时系统的语言。

EUV-D1-0022

信息科学模型

计算机科学/密码学

非对称加密与数字签名

制造数据安全传输与存储模型

1. 机密性：采用非对称加密（如 RSA-OAEP, ECIES）保护传输中的数据。发送方用接收方的公钥 PK_B加密对称会话密钥 K_sess和部分数据：`C = Enc(PK_B, K_sess)

加密强度满足当前密码学标准（如 AES-256, RSA-2048/ECC-256），能抵御已知攻击。签名验证失败概率极低。

公钥密码学、数字签名、哈希函数、密钥管理

PK, SK：公钥和私钥对。 K_sess：对称会话密钥。 C：密文。 H：哈希值（消息摘要）。 Sig：数字签名。 Data：明文数据。

数论（大整数运算、椭圆曲线）、概率算法（签名）、确定性算法（哈希）。

密码学和信息安全的专业术语。

EUV-D1-0023

信息科学模型

人工智能/机器学习

深度神经网络（如 CNN, LSTM）回归模型

基于深度学习的 overlay 误差预测与补偿模型

预测 overlay 误差的精度（RMSE）可达实际测量值的 10-30%，显著减少需要实际测量的频率和 overlay 残差。

深度学习、卷积神经网络、循环神经网络、统计学习理论

O_true, Ô：真实的 overlay 测量值和网络预测值。 P, S, G：工艺参数、设备状态、图形特征向量/张量。 W：神经网络权重参数。 L：损失函数值。

张量运算、梯度下降、反向传播、矩阵分解（用于特征提取）。

机器学习和深度学习的术语。

EUV-D1-0024

信息科学模型

人工智能/机器学习

卷积神经网络（CNN）分类与目标检测模型

缺陷图像自动分类与根因分析模型

缺陷分类准确率 > 95%（在平衡数据集上），根因推断准确率 > 80%，大幅减少人工复检时间。

计算机视觉、深度学习、模式识别、统计推断

I：输入缺陷图像（张量）。 y_true, y_pred：真实的缺陷类别标签和模型预测的概率分布。 L：损失函数值。 BBox, Mask：预测的缺陷边界框或掩模。

卷积运算、池化、非线性激活、损失函数优化。

计算机视觉和缺陷分析的术语。

软件：计算机视觉库（OpenCV）、深度学习框架、缺陷分析与管理系统软件。硬件：高分辨率 AOI 扫描设备、GPU 加速的推理服务器。

EUV-D1-0025

信息科学模型

运筹学/优化理论

混合整数线性规划（MILP）

光刻机调度与产能优化模型

求解得到调度方案，可提升设备利用率 5-15%，降低平均生产周期。

运筹学、调度理论、整数规划、组合优化

J, M：晶圆批集合和机器集合。 p_j, d_j, w_j：加工时间、到期时间、权重。 x_{jmt}：二进制调度决策变量。 C_j：完成时间变量。

整数线性规划、约束建模、组合优化。

运筹学和生产调度的语言。

软件：MILP 求解器、调度优化软件（自研或商用APS）、与 MES 的集成接口。硬件：运行优化软件的服务器。

EUV-D1-0026

材料模型

材料科学/固体力学

细观力学与均匀化方法

低热膨胀系数（LTEM）材料的微结构-性能关联模型

预测的宏观热膨胀系数与实验测量值的偏差 < 10%。

连续介质力学、均匀化理论、细观力学、有限元法

ε̄, σ̄：宏观应变和应力张量。 ᾱ：宏观热膨胀系数张量。 E_i, ν_i, α_i：第 i 相材料的弹性模量、泊松比、热膨胀系数。 V：RVE 的体积。

张量分析、体积平均、有限元求解偏微分方程。

材料力学和计算材料科学的语言。

软件：有限元软件（Abaqus, ANSYS）及其二次开发、均匀化专用代码（如 DAMASK）。硬件：用于微观结构表征的电子显微镜、用于计算的服务器。

EUV-D1-0027

材料模型

材料科学/表面工程

分子束外延（MBE）或磁控溅射动力学模型

抗辐照、低缺陷多层膜（Mo/Si）生长模型

模拟生长的膜层界面宽度（粗糙度）与实验测量（如 XRR）结果趋势一致，可用于优化沉积参数（如温度、速率）。

表面科学、薄膜生长理论、扩散理论、辐照损伤物理

E_diff：表面扩散激活能。 ν_0：尝试频率。 T：基底温度。 γ：表面/界面能。 σ：表面均方根粗糙度。 Φ：沉积通量（原子/(面积·时间)）。

随机过程（KMC）、分子动力学方程、速率方程。

薄膜物理和表面科学的专业语言。

1. 初始化：设定基底晶体结构、温度 T、沉积通量 Φ。 2. 事件列表：列出所有可能事件：原子吸附、

好的，这是 EUV-D1-0028 ~ 0035 共8个模型的详细版本。

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0028

计算模型

热力学/固体力学

热-结构耦合有限元分析

光刻机结构件（如镜筒、工件台）在非均匀热载荷下的热变形预测模型

1. 热传导分析：求解瞬态或稳态热传导方程： ρ c_p ∂T/∂t = ∇·(k∇T) + Q，其中 Q为热源（如电机发热、环境辐射）。给定边界条件（对流、辐射、固定温度）。 2. 热应变计算：从温度场 T(x,y,z)计算热应变：ε_th = α (T – T_ref)，其中 α为热膨胀系数， T_ref为参考温度（无应力状态）。 3. 结构力学分析：将热应变作为初应变施加到结构上，求解力学平衡方程： ∇·σ + f = 0，本构关系 σ = C : (ε – ε_th)，其中 C为弹性刚度张量， ε为总应变。 4. 位移与应力输出：得到位移场 u和应力场 σ。位移场即热变形。

对于米级结构，热变形预测精度可达亚微米级，与干涉仪测量结果吻合良好。

傅里叶热传导定律、弹性力学、热弹性理论

用于预测和补偿光刻机中由热源（如电机、电子设备、环境温度波动）引起的结构热变形，特别是投影物镜镜筒和工件台的热稳定性分析。特征：多物理场耦合、非线性（材料属性随温度变化）、计算量大。

T：温度场。 u：位移场。 ε_th, ε：热应变和总应变张量。 σ：应力张量。 ρ, c_p, k：密度、比热容、导热系数。 α：热膨胀系数。 Q：热源密度。

偏微分方程（热传导、弹性力学）、有限元离散、耦合场分析。

计算力学和多物理场仿真的术语。

1. 前处理：建立结构几何模型，划分网格，定义材料属性（k, c_p, ρ, α, E, ν）。 2. 热分析：施加热边界条件和热载荷，求解稳态或瞬态温度场 T。 3. 结构分析：将温度场作为体载荷映射到结构网格，施加力学边界条件（固定约束），求解位移场 u。 4. 后处理：可视化变形云图，提取关键点位移，评估对系统性能（如 overlay）的影响。

能量流：热源产生热量 -> 通过传导、对流、辐射传递 -> 形成温度场 -> 引起热膨胀 -> 产生热应力和变形。数据流：几何与材料 -> 热分析 -> 温度场 -> 作为载荷输入结构分析 -> 位移/应力场。

软件：多物理场仿真软件（ANSYS Mechanical, COMSOL, ABAQUS）。硬件：高性能计算工作站。

EUV-D1-0029

计算模型

流体力学/稀薄气体动力学

直接模拟蒙特卡洛（DSMC）与计算流体力学（CFD）耦合

光刻机内部（特别是真空腔室和气体锁）的稀薄气体流动与污染物输运模型

1. 流区判断：根据克努森数 Kn = λ/L（分子平均自由程/特征长度）判断流态。Kn > 10为自由分子流，0.1 < Kn < 10为过渡流，Kn < 0.1为连续流。 2. 方法选择： – 连续流区：采用基于 Navier-Stokes 方程的 CFD。 – 过渡/自由分子流区：采用 DSMC。模拟大量模拟粒子，每个粒子代表大量真实气体分子。粒子运动和碰撞基于概率处理。 3. 耦合策略：在连续流与稀薄流交界处设置耦合界面，交换质量、动量和能量通量。 4. 污染物输运：将污染物（如碳氢化合物、颗粒）视为另一种组分，跟踪其输运和沉积。

DSMC 能准确模拟过渡流和自由分子流，预测压力分布、气流模式和污染物传输路径，与实验测量定性一致。

玻尔兹曼方程、分子运动论、稀薄气体动力学、计算流体力学

用于分析和优化 EUV 光刻机真空系统的气流设计，包括气体锁（Load Lock）、传输腔室、以及用于清除碎屑的氢气流场。预测压力分布、气流速度、以及污染物（如锡碎屑、碳氢化合物）的传输和沉积位置，指导净化策略。特征：跨尺度、粒子-连续耦合、统计模拟。

Kn：克努森数。模拟粒子：具有位置、速度、内能属性的粒子。碰撞截面：决定粒子碰撞概率。宏观量：通过粒子统计平均得到的密度、速度、温度。

蒙特卡洛方法、分子碰撞动力学、统计平均、耦合界面通量交换。

计算流体动力学和稀薄气体模拟的术语。

1. 几何与网格：建立真空腔室几何模型，划分网格。在稀薄区域，网格尺寸需小于分子平均自由程。 2. 初始化：在计算域内初始化模拟粒子，赋予符合初始条件的速度分布。 3. 循环迭代：每个时间步： a. 运动：粒子沿直线运动，与边界作用（镜面反射、漫反射、吸附）。 b. 索引：将粒子索引到网格。 c. 碰撞：在网格内随机选择粒子对进行碰撞计算。 d. 采样：统计宏观量。 4. 耦合：在耦合界面，将 DSMC 区域的宏观通量作为 CFD 区域的边界条件，反之亦然。 5. 稳态/瞬态：运行至达到稳态或完成瞬态过程分析。

分子流：气体分子运动 -> 与壁面碰撞（反射/吸附）-> 形成宏观流动和压力分布。模拟流：初始化粒子 -> 运动与碰撞循环 -> 统计宏观量 -> 与 CFD 区域耦合 -> 得到全场解。

软件：DSMC 软件（DS2V, dsmcFoam）、CFD 软件（ANSYS Fluent, OpenFOAM）及耦合接口。硬件：高性能计算集群（DSMC 计算量大）。

EUV-D1-0030

控制模型

振动控制/主动阻尼

基于压电作动器的主动振动控制与模态滤波

抑制光刻机精密结构（如投影物镜、测量框架）低频振动模型

1. 系统辨识：通过激振测试，获得结构的模态参数（频率 ω_i、阻尼比 ζ_i、振型 φ_i）。状态空间模型： ẋ = A x + B u y = C x + D u 2. 模态滤波：从传感器信号 y中提取特定模态的坐标 q_i。利用振型矩阵的伪逆或观测器设计。 3. 控制器设计：对目标模态设计独立控制器（如正位置反馈 PPF）： u_i = -g_i * (s/(s²+2ζ_{f,i}ω_{f,i}s+ω_{f,i}²)) * q_i 其中 g_i为增益， ω_{f,i} ≈ ω_i， ζ_{f,i}为滤波器阻尼。PPF 提供负刚度，增加模态阻尼。 4. 控制分配：将各模态控制力 u_i根据作动器位置加权分配，合成总控制信号 u。

可将关键结构（如镜筒）在 1-100 Hz 频段内的振动 RMS 值降低 60-90%。

模态分析、状态空间控制、正位置反馈、振动主动控制

用于主动抑制由地面振动、内部运动部件（如工件台）反作用力等引起的光刻机关键结构振动，提高成像稳定性和 overlay 精度。特征：针对低频模态、多输入多输出、基于模态。

x：状态向量（位移、速度）。 A, B, C, D：状态空间矩阵。 q_i：第 i 阶模态坐标。 φ_i：第 i 阶振型向量。 u_i, g_i：对第 i 阶模态的控制力和增益。 ω_i, ζ_i：模态频率和阻尼比。

模态分解、状态空间、频域设计（PPF）、控制分配。

振动控制和结构动力学的术语。

1. 建模与辨识：通过实验模态分析获得精确的模态模型。 2. 传感器/作动器布置：根据振型，优化压电片（PZT）或音圈电机（VCM）的位置。 3. 控制器设计：为每个需要抑制的模态设计 PPF 或其他控制器（如 LQG）。 4. 实现：将控制器离散化，在实时处理器（DSP/FPGA）上实现。 5. 运行：传感器测量振动 -> 模态滤波提取模态坐标 -> 各模态控制器计算控制力 -> 控制分配 -> 作动器输出力 -> 抑制振动。

振动流：扰动源（地面、内部）-> 激励结构共振 -> 产生有害振动。控制流：传感器检测振动 -> 控制器计算反作用力 -> 作动器施加力 -> 抵消/阻尼振动。

软件：控制系统设计软件（MATLAB/Simulink）、模态分析软件（LMS Test.Lab）。硬件：压电作动器/传感器、高带宽功率放大器、实时控制器。

EUV-D1-0031

控制模型

过程控制/剂量控制

前馈-反馈复合控制与实时剂量校正

EUV 曝光过程中的光强（剂量）精密控制模型

1. 剂量定义：曝光剂量 D = ∫ I(t) dt，其中 I(t)为焦平面光强。 2. 前馈控制：基于预设的剂量图 D_set(x,y)和已知的扫描速度 v与光强空间分布 I0(x,y)，计算所需的脉冲能量设定值 E_set(t)或占空比。考虑激光触发延迟和脉冲到脉冲（P2P）能量波动统计模型。 3. 反馈控制：实时测量每个脉冲的能量 E_meas(t)，与设定值比较得到误差 e(t)。采用 PI 控制器调整后续脉冲的触发参数（如激光注入能量、 timing），以消除误差： u(t) = K_p e(t) + K_i ∫ e(τ) dτ。 4. 实时校正：根据在线测量的实际曝光剂量（通过剂量传感器），对后续曝光区域进行微调，补偿长期漂移或空间不均匀性。

剂量控制精度可达 0.5% 以内（3σ），满足 CD 均匀性要求。

过程控制、前馈控制、反馈控制、随机过程

用于确保晶圆上每个曝光点的剂量精确一致，这是控制关键尺寸（CD）均匀性的关键。通过前馈基于轨迹规划，反馈抑制脉冲能量波动，实现纳米级制程的剂量稳定性。特征：高速（kHz 脉冲）、高精度、处理随机波动。

D_set(x,y)：设定剂量图。 I(t), E(t)：光强和脉冲能量。 e(t)：剂量误差。 K_p, K_i：PI 控制器参数。 v：扫描速度。剂量传感器信号：实时剂量测量值。

积分控制、前馈补偿、随机过程滤波。

光刻过程控制和剂量管理的术语。

1. 规划：根据版图和扫描路径，生成剂量图 D_set和对应的能量设定序列 E_set(t)。 2. 前馈：在曝光开始前，加载 E_set(t)序列。 3. 曝光循环：对于每个脉冲： a. 触发激光，产生 EUV 脉冲。 b. 测量脉冲能量 E_meas。 c. 计算误差 e = E_set – E_meas。 d. PI 控制器根据 e更新下一个脉冲的触发参数。 e. 剂量传感器积分累计剂量。 4. 实时校正：根据已曝光区域的剂量测量，微调后续区域的 E_set。

剂量流：设定剂量 -> 前馈计算脉冲能量 -> 激光产生脉冲 -> 部分能量被反射镜收集 -> 到达晶圆 -> 剂量传感器监测 -> 反馈调整后续脉冲。控制流：剂量误差 -> PI 控制器 -> 调整激光参数 -> 影响下一个脉冲能量 -> 闭环控制。

软件：剂量控制算法，集成在光刻机控制软件中。硬件：快速剂量传感器、激光触发器、高速控制器。

EUV-D1-0032

材料模型

光化学/高分子物理

光刻胶曝光、后烘与显影动力学模型（Notch 模型或更复杂的随机模型）

化学放大光刻胶（CAR）在 EUV 曝光下的三维轮廓演化模型

1. 曝光：EUV 光子被光刻胶吸收，产生光生酸（PAG 分解）。酸浓度 [H⁺]分布由 Dill 模型描述： ∂I/∂z = -(A[M] + B)I ∂[M]/∂t = -C I [M] 其中 I为光强， [M]为 PAG 浓度， A, B, C为 Dill 参数。酸产率与吸收剂量相关。 2. 后烘（PEB）：酸在加热下扩散并催化保护基团脱保护反应。采用反应-扩散方程： ∂[H⁺]/∂t = D_H ∇²[H⁺] ∂[PG]/∂t = -k [H⁺]^m [PG]^n 其中 [PG]为保护基团浓度， D_H为酸扩散系数， k为反应速率常数。 3. 显影：脱保护区域在显影液中溶解速率加快。采用 Mack 开发模型：溶解速率 R与剩余保护基团浓度 [PG]关系： R = R_max (a+1)(1-[PG])^n / (a + (1-[PG])^n) + R_min。通过 Level Set 或 Cell 方法模拟显影界面推进，得到三维轮廓。

模型可预测线宽、侧壁角、粗糙度等，与 SEM 测量结果在合理参数下吻合，用于 OPC 和工艺窗口分析。

光化学动力学、反应扩散方程、界面演化、Level Set 方法

用于模拟和优化 EUV 光刻胶的成像性能，预测曝光后光刻胶的三维形貌，评估工艺窗口（聚焦-曝光矩阵），并为光学邻近效应校正（OPC）提供输入。特征：多尺度（从分子反应到宏观形貌）、参数敏感、与底层物理化学过程紧密相关。

I(x,y,z)：光强分布。 [M], [H⁺], [PG]：PAG、酸、保护基团浓度分布。 A, B, C：Dill 参数。 D_H, k, m, n：酸扩散系数、反应常数、反应级数。 R：显影溶解速率。 R_max, R_min, a, n：Mack 模型参数。

偏微分方程（反应扩散）、Level Set 方程、显影动力学。

光刻工艺模拟和光化学的术语。

1. 光学成像：计算掩模图形在光刻胶内的三维光强分布 I(x,y,z)。 2. 曝光：求解 Dill 方程，得到曝光后酸浓度分布 [H⁺]_0。 3. 后烘：在给定 PEB 温度和时间下，求解反应-扩散方程，得到 PEB 后保护基团浓度分布 [PG]。 4. 显影：以 [PG]分布作为初始条件，根据 Mack 模型计算各点溶解速率 R，用 Level Set 方法模拟显影液与光刻胶界面运动，直到显影时间结束，得到最终三维轮廓。

化学流：EUV 光子 -> 激发 PAG 产生酸 -> 酸扩散并催化反应 -> 改变聚合物溶解度 -> 显影液选择性溶解 -> 形成图形。模拟流：光强分布 -> 酸生成 -> 酸扩散与反应 -> 溶解度分布 -> 界面演化 -> 三维轮廓。

软件：光刻工艺仿真软件（Sentaurus Lithography, PROLITH, Dr.LiTHO）。硬件：高性能计算服务器。

EUV-D1-0033

系统模型

等离子体物理/辐射传输

激光激发等离子体（LPP）EUV 光源的辐射流体动力学模型

锡液滴被高功率激光击中产生高温高密度等离子体并辐射 EUV 光的全过程模型

1. 激光-液滴相互作用：纳秒激光脉冲照射锡液滴，通过逆轫致吸收等机制沉积能量，使液滴迅速加热、电离，形成等离子体。 2. 等离子体膨胀与辐射：高温等离子体（~30-50 eV）向真空膨胀，同时通过碰撞激发和去激发辐射光子，包括 EUV（13.5 nm, 2%带宽）。辐射输运方程描述光子传播和吸收。 3. 辐射流体力学方程：耦合流体力学方程与辐射输运方程： ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 ∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv + p) = -S_r ∂E/∂t + ∇·[(E+p)v] = -∇·q + Q_laser – Q_rad 其中 S_r为辐射反冲， Q_rad为辐射能量损失。 4. EUV 收集效率：考虑等离子体大小、位置、空间分布对收集镜立体角的覆盖。

模型可预测 EUV 转换效率（CE）、光谱、空间分布等，用于优化激光参数（能量、脉宽、波长）和液滴参数（尺寸、速度）。

辐射流体力学、激光等离子体相互作用、辐射输运、原子物理

用于设计和优化 EUV 光源，最大化 13.5 nm 处的 EUV 光功率和转换效率，同时最小化碎屑产生。通过模拟理解激光参数、液滴参数对等离子体形成和 EUV 辐射的影响。特征：极端物理条件（高温高压）、多物理场强耦合、计算极其昂贵。

ρ, v, p, E：等离子体密度、速度、压强、总能量密度。 T_e, T_i：电子温度和离子温度。 I_ν：辐射强度（随频率 ν 和方向）。 Q_laser：激光能量沉积源项。 Q_rad：辐射能量损失率。 CE：转换效率（EUV 能量/激光能量）。

辐射流体力学方程组（质量、动量、能量守恒）、辐射输运方程、状态方程（理想气体或更复杂的模型）。

等离子体物理和辐射输运的语言。

1. 初始化：设定初始锡液滴的密度、温度、速度分布。 2. 激光沉积：在计算域内加入激光能量源项 Q_laser(x,t)，模拟激光能量吸收和沉积。 3. 流体动力学演化：求解辐射流体力学方程组，模拟等离子体的形成、膨胀和冷却。 4. 辐射计算：在每个时间步，根据局部等离子体状态（T_e, n_e, 离子布居）计算辐射发射和吸收系数，求解辐射输运方程，更新辐射场和能量损失 Q_rad。 5. 输出：计算 EUV 光功率、光谱、角分布、转换效率等。

能量流：激光能量 -> 被液滴吸收 -> 加热电离形成等离子体 -> 等离子体膨胀并辐射（包括 EUV）-> 能量以辐射和动能形式耗散。模拟流：初始条件 -> 激光源项 -> 流体力学+辐射耦合求解 -> 等离子体状态和辐射场演化 -> 输出性能指标。

软件：辐射流体力学代码（FLASH, HELIOS-CR, OpenFOAM 扩展）。硬件：超算中心（需要大量 CPU/GPU 资源）。

EUV-D1-0034

计量模型

成像/逆问题

基于 aerial image 的掩模缺陷检测与分类模型

利用光学成像（ aerial image）检测和分类掩模版上缺陷（如凸起、凹陷、污染）的模型

1. 正向成像模型：模拟无缺陷理想掩模的 aerial image I_ideal(x,y)。采用部分相干成像模型（Hopkins 方法或源点积分）。 2. 缺陷影响建模：将缺陷视为对掩模透射函数 T(x,y)的扰动 ΔT(x,y)。计算有缺陷时的 aerial image I_defect(x,y)。 3. 差异信号生成：计算差异图像 ΔI = I_defect – I_ideal。 4. 检测与分类：对 ΔI应用阈值或更复杂的检测算法（如匹配滤波）定位缺陷。提取缺陷特征（如强度分布、形状、大小），输入分类器（如 SVM, 神经网络）判断缺陷类型（凸起、凹陷、颗粒）。 5. 可印刷性评估：将 aerial image 差异映射到晶圆上的 CD 变化或位置误差，评估缺陷对印刷图形的影响。

可检测到 aerial image 强度变化 ~1% 的缺陷，分类准确率 > 95%。

部分相干成像理论、图像处理、模式识别、机器学习

用于掩模版缺陷检测工具（如 AIMS），在不实际曝光晶圆的情况下，评估缺陷在特定成像条件下的可印刷性，指导掩模修复决策。特征：基于光学仿真、非接触、快速评估。

I_ideal, I_defect：无缺陷和有缺陷的 aerial image 强度分布。 T(x,y)：掩模透射函数（复振幅）。 ΔT：缺陷引起的透射扰动。 ΔI：差异图像。缺陷特征向量：用于分类的特征。

成像卷积、图像差分、特征提取、分类器。

光学计量和缺陷检测的术语。

1. 输入：掩模设计数据（GDSII）、缺陷坐标和近似尺寸/类型、成像条件（NA, σ, 照明模式）。 2. 正向仿真：计算无缺陷和有缺陷情况下的 aerial image。 3. 差异分析：生成 ΔI，应用检测算法定位缺陷。 4. 特征提取：从 ΔI中提取特征（如峰值强度、面积、矩）。 5. 分类：将特征向量输入预训练的分类模型，输出缺陷类型。 6. 评估：根据缺陷类型和强度，评估其对印刷图形的影响（通过规则或额外仿真）。

信息流：掩模设计+缺陷假设 -> 光学成像仿真 -> aerial image -> 差异计算 -> 缺陷检测与特征提取 -> 分类 -> 可印刷性判断。检测流：模拟成像 -> 对比理想与实际 -> 发现异常 -> 分析异常特征 -> 识别缺陷类型。

软件：光学仿真软件（PROLITH, Solid-EUV）、图像处理与机器学习库（OpenCV, scikit-learn）。硬件：高性能工作站（用于仿真）。

EUV-D1-0035

计量模型

图像处理/信号处理

基于模板匹配与亚像素插值的掩模-晶圆对准模型

通过识别对准标记（如光栅）实现掩模与晶圆高精度位置对准的模型

1. 图像采集：照明系统照射晶圆和掩模上的对准标记，成像传感器采集标记图像 I(x,y)。 2. 模板匹配：使用参考模板 T(x,y)（理想标记图像或从设计数据生成）在搜索区域内与采集图像进行互相关计算： C(u,v) = Σ_{x,y} [I(x,y) – Ī] [T(x-u, y-v) – T̄]。找到互相关峰值位置 (u₀, v₀)，作为粗对准位置。 3. 亚像素定位：在粗对准位置附近，对互相关函数进行亚像素插值（如二次曲面拟合、重心法），得到亚像素精度的偏移量 (Δx, Δy)。 4. 位置解算：结合多个对准标记的测量值，通过最小二乘拟合，解算晶圆相对于掩模的平移 (X, Y)、旋转 θ和缩放 S等参数。 5. 补偿：将位置误差反馈给工件台和掩模台控制系统，进行实时补偿。

对准精度可达亚纳米级（~0.5 nm），是 overlay 控制的基础。

图像处理、信号处理、模板匹配、最小二乘拟合

用于光刻机的对准系统，在每次曝光前，精确测量掩模图形与晶圆上已有图形之间的相对位置偏差，确保层与层之间精确套刻。特征：高精度、高速度、鲁棒性（应对标记不对称、噪声等）。

I(x,y)：采集的对准标记图像。 T(x,y)：参考模板图像。 C(u,v)：互相关函数。 (Δx, Δy)：亚像素偏移量。 (X, Y, θ, S)：晶圆相对于掩模的位置参数（平移、旋转、缩放）。

二维互相关、插值、最小二乘法、几何变换。

图像处理和精密对准的术语。

1. 标记照明与成像：用特定波长和角度的光照射对准标记，传感器采集图像。 2. 预处理：对图像进行滤波、增强，去除噪声。 3. 粗匹配：在预设搜索窗口内进行模板匹配，找到互相关峰值，获得整数像素精度的偏移。 4. 精匹配：在峰值附近小区域内，通过亚像素算法计算更精确的偏移 (Δx, Δy)。 5. 多标记处理：对多个标记重复步骤 2-4。 6. 位置解算：利用所有标记的测量值，求解整体位置参数。 7. 反馈控制：将位置误差发送给运动控制系统进行补偿。

信号流：对准标记 -> 光学成像 -> 数字图像 -> 模板匹配 -> 亚像素定位 -> 位置参数解算 -> 控制指令。对准流：粗略预对准 -> 采集标记图像 -> 图像处理得到高精度位置偏差 -> 运动台补偿 -> 达到套刻要求。

软件：对准图像处理算法，集成在光刻机控制软件中。硬件：高分辨率 CCD/CMOS 传感器、专用照明光源、高速图像处理器。

EUV-D1-0036 ~ 0073

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0036

计量模型

光学计量/信息科学

米氏散射理论与逆问题求解

基于散射测量的三维形貌与套刻误差（Overlay）测量模型

重复性 < 0.1 nm，绝对精度 < 0.5 nm（依赖模型和校准）。

电磁散射理论、米氏理论、非线性最小二乘优化、逆问题

电磁仿真、非线性优化、最小二乘法、灵敏度分析。

光学计量和逆问题求解的术语。

软件：散射测量分析软件（如 KLA AcuShape, Nanometrics NanoDiffract），集成 RCWA 和优化算法。硬件：光谱散射测量仪（Scatterometry）、高精度位移台。

EUV-D1-0037

计量模型

光学计量/信息科学

相移干涉术与相位解包裹

移相干涉仪（PSI）波前像差高精度测量模型

重复性 < 0.001 λ RMS，绝对精度 < 0.01 λ RMS（λ 为测试光波长）。

干涉测量学、相移技术、相位解包裹理论、泽尼克多项式

三角函数、反正切运算、路径积分（解包裹）、最小二乘拟合。

光学干涉计量学术语。

软件：干涉仪控制与分析软件（如 Zygo MetroPro, 4D PhaseCam）。硬件：相移干涉仪（如 Fizeau, Twyman-Green）、高精度 PZT、温控隔振平台。

EUV-D1-0038

计量模型

声学计量/信号处理

声发射信号处理与模式识别

基于声发射（AE）的轴承早期故障诊断模型

故障检测率（Recall）> 90%，分类准确率 > 85%，可实现早期预警（在振动信号异常前）。

声发射物理、信号处理、模式识别、机器学习

v(t)：原始声发射时域信号。 F：提取的特征向量。 PSD(f)：功率谱密度。 C：分类器输出的故障类别。 RUL：预测的剩余使用寿命。

信号变换（FFT, STFT, WT）、统计特征、分类算法（SVM, ANN）。

状态监测和故障诊断的术语。

软件：声发射分析软件（如 Vallen AMSY-6, Mistras），自定义特征提取与机器学习代码。硬件：宽带 AE 传感器、前置放大器、高速数据采集卡。

EUV-D1-0039

计量模型

热成像/图像处理

红外辐射理论与图像处理

基于红外热像仪的非接触式温度场测量与热缺陷识别模型

温度测量精度 ±2°C 或 ±2%（读数），空间分辨率取决于热像仪像素和视场。

红外物理、普朗克辐射定律、图像处理、计算机视觉

黑体辐射公式、图像处理（分割、形态学）、坐标变换（2D-3D 配准）。

热成像和红外测温的术语。

软件：热像仪配套分析软件（如 FLIR Tools, Thermographic Suite），图像处理库（OpenCV）。硬件：红外热像仪（制冷或非制冷）、黑体炉（用于标定）。

EUV-D1-0040

计量模型

粒子检测/统计学

泊松分布与气溶胶动力学

洁净室空气中纳米颗粒物（AMC）浓度分布与溯源模型

粒子浓度测量精度取决于计数器，通常优于 ±10%。溯源定位精度在几米范围内（依赖测量点密度和模型）。

气溶胶科学、对流-扩散方程、泊松统计、逆问题求解

C：粒子数浓度 (#/m³)。 N：采样计数。 V：采样体积 (m³)。 d_p：粒子直径。 u, D：气流速度和粒子扩散系数。 S, r_s：源强和源位置。

泊松分布、偏微分方程（对流-扩散）、统计推断、优化。

气溶胶监测和洁净室技术的语言。

软件：粒子计数器数据采集软件、CFD软件（用于气流场）、溯源分析脚本。硬件：高灵敏度粒子计数器（OPC, CPC）、多点采样系统。

EUV-D1-0041

优化模型

数学规划/优化理论

非线性规划与传输交叉系数（TCC）

光刻机照明系统光源-掩模联合优化（SMO）模型

优化后工艺窗口面积可提升 20-50%，或 EPE 降低 30-70%。

成像光学、非线性规划、梯度优化、伴随方法

J：光源强度分布（在光瞳面）。 M：掩模透射率分布。 F：目标函数（如 EPE RMS）。 TCC：传输交叉系数。 ∇J F, ∇M F：梯度。 α_J, α_M：学习率。

梯度计算、非线性规划、投影梯度下降、大规模优化。

计算光刻和优化的专业术语。

软件：专业 SMO 软件（ASML Tachyon, Synopsys Proteus）。硬件：高性能计算集群（数千 CPU 核心）。

EUV-D1-0042

优化模型

数学规划/优化理论

多目标优化与像差平衡

投影物镜光学设计（像差平衡与公差分配）优化模型

优化后波前像差 RMS << 1 nm，在给定公差下，系统性能良率 > 99%。

几何光学、像差理论、阻尼最小二乘法、公差分析

p：设计变量向量。 Φ：评价函数值。 Z_i(p)：第 i 项像差（作为 p 的函数）。 w_i：权重。 J：雅可比矩阵（∂Z_i/∂p_j）。 δp：公差向量。

非线性最小二乘、矩阵运算、蒙特卡洛模拟、统计。

光学设计优化的术语。

软件：光学设计软件（CODE V, ZEMAX, Synopsys OSLO）。硬件：用于优化和公差分析的高性能工作站。

EUV-D1-0043

优化模型

数学规划/优化理论

混合整数线性规划（MILP）

工件台与掩模台运动轨迹与曝光序列协同优化模型

优化后，总晶圆曝光时间可减少 5-15%，同时保证运动平滑和同步精度。

运动规划、混合整数规划、最优控制

T_total：总曝光时间。 t_scan_i, t_step_i：第 i 场的扫描时间和步进时间。 v_max, a_max, j_max：最大速度、加速度、加加速度。二进制变量：表示场序和方向。

混合整数线性规划、运动学方程、图论（路径规划）。

运动规划和调度的术语。

软件：运动规划与优化库、MILP 求解器、与运动控制器的接口。硬件：多轴运动控制器、高动态性能的工件台和掩模台。

EUV-D1-0044

优化模型

启发式算法/人工智能

遗传算法（GA）与有限元分析（FEA）

基于遗传算法（GA）的光刻机冷却流道拓扑优化模型

优化后的流道设计可在相同泵功下，将热点温度降低 20-40%，或相同温升下压降降低 30-50%。

进化计算、拓扑优化、计算流体动力学/传热学

x_e：单元材料存在性（0/1）。 F：适应度函数值。 ΔT_max：最高温升。 ΔP：流道压降。 w1, w2：权重系数。种群大小、交叉率、变异率：GA 参数。

二进制编码、选择、交叉、变异算子、适应度评估（调用 FEA）。

进化计算和拓扑优化的术语。

EUV-D1-0045

优化模型

博弈论/决策理论

合作博弈与 Shapley 值分配

多项目晶圆（MPW）光刻资源配置与优先级决策模型

! (

–

-1)! /

提供一种公平、透明、激励相容的 MPW 成本分摊和优先级决策方法，减少争议。

EUV-D1-0046

物理模型

量子光学/统计物理

泊松光子统计与散粒噪声

极紫外光子统计与散粒噪声极限模型

散粒噪声决定了 EUV 光刻中剂量控制和成像的最终精度极限。例如，要控制剂量误差 < 0.5%，需要吸收 > 40,000 个光子。

量子光学、泊松过程、散粒噪声理论

<N>：平均光子数。 P(N)：探测到 N 个光子的概率。 σ_N：光子数涨落的标准差。 SNR：信噪比。 NEP：噪声等效功率。 ħω：单光子能量（~92 eV）。

泊松分布、标准差计算、信噪比分析。

量子光学和噪声分析的术语。

软件：用于噪声分析和预算的数学工具（如 MATLAB）。硬件：用于验证的单光子探测器或高灵敏度辐射计。

EUV-D1-0047

物理模型

固体物理/输运理论

玻尔兹曼输运方程与声子散射

极紫外掩模（EUV Mask）吸收层（如 TaBN）的热导与应力模型

预测的热导率与实验测量值在考虑尺寸效应后趋势一致。用于评估掩模局部加热和热变形。

固体物理、声子输运、玻尔兹曼方程、热弹性力学

积分-微分方程（BTE）、平均自由程计算、热弹性耦合。

微纳尺度传热和固体物理的语言。

软件：第一性原理软件（VASP, Quantum ESPRESSO）、声子输运求解器（如 ShengBTE）、有限元软件（用于宏观热应力）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0048

物理模型

电磁学/微波工程

射频放电与阻抗匹配网络模型

射频离子源（用于清洁或等离子体处理）的放电与阻抗匹配模型

= √(P_refl/P_fwd)`。

匹配后，电压驻波比（VSWR）< 1.2，反射功率 < 1% 的入射功率。

等离子体物理、射频电路理论、阻抗匹配、自动控制

复数阻抗计算、电路理论、优化（最小化反射）。

射频工程和等离子体源的术语。

1. 点火：启动气体流和射频功率，击穿气体形成等离子体。 2. 阻抗检测：定向耦合器测量 P_fwd和 P_refl，计算 `

EUV-D1-0049

物理模型

声学/流体力学

欧拉方程与激波捕捉方法

超音速气体喷射（用于碎屑 mitigation）的激波结构与流体动力学模型

模拟可预测射流核心长度、激波位置、压力分布，与纹影/阴影成像结果定性一致。

计算流体动力学、可压缩流、激波理论、欧拉方程

U：守恒变量向量。 F：对流通量向量。 ρ, u, v, w, p, E：密度、速度分量、压强、总能量密度。 γ：比热比。压比：喷嘴总压与环境静压之比。

双曲型偏微分方程、有限体积法、黎曼解算器、激波捕捉。

计算流体动力学（可压缩流）的术语。

软件：CFD 软件（ANSYS Fluent, SU2, OpenFOAM）。硬件：高性能计算集群，用于三维瞬态可压缩流模拟。

EUV-D1-0050

物理模型

固体力学/接触力学

分形表面接触与热传导模型

晶圆与静电卡盘（E-chuck）间的接触热阻与形变模型

预测的接触热导与实验测量值在同一数量级，可用于优化卡盘表面处理和吸附压力。

接触力学、分形几何、传热学、弹塑性理论

分形函数、接触力学、热传导方程、经验公式。

接触力学和界面传热的术语。

软件：接触力学专用软件（如 COMSOL with Contact Module），自建分形接触模型代码。硬件：表面轮廓仪、热像仪、压力传感薄膜。

EUV-D1-0051

计算模型

离散元法（DEM）

软球模型与 Hertz-Mindlin 接触力学

锡碎屑在收集镜表面的碰撞、粘附与清除过程模型

u_g – u_p

模拟可定性预测碎屑在镜面的沉积分布、团聚现象，以及被气流清除的效率。

离散元法、接触力学、颗粒流体动力学、范德华力

牛顿运动方程、Hertz-Mindlin 接触模型、显式时间积分、邻居列表。

颗粒系统和离散元模拟的术语。

EUV-D1-0052

计算模型

计算流体力学（CFD）

格子玻尔兹曼方法（LBM）

微尺度、多组分气体流动与反应输运模型

LBM 擅长处理复杂几何、多相流和微尺度流动，计算效率在某些问题上高于传统 CFD。

动理学理论、格子玻尔兹曼方法、计算流体动力学

f_α：离散速度分布函数。 e_α：离散速度向量。 Ω_α：碰撞算子。 τ：弛豫时间。 ρ, u：宏观密度和速度。 c_s：格子声速。

离散速度模型、演化方程、统计平均。

计算流体动力学（介观方法）的术语。

软件：LBM 专用软件（Palabos, OpenLB），或通用 CFD 软件的 LBM 模块。硬件：高性能计算集群，LBM 尤其适合 GPU 加速。

EUV-D1-0053

计算模型

固体力学/断裂力学

扩展有限元法（XFEM）

材料（如陶瓷、硅）在热-力载荷下的裂纹萌生与扩展模型

XFEM 可以在不重划网格的情况下模拟裂纹沿任意路径的扩展，精度高，但计算复杂。

断裂力学、有限元法、水平集方法、内聚区模型

扩展的形函数、断裂力学判据、水平集函数演化。

计算断裂力学的专业术语。

软件：支持 XFEM 的有限元软件（Abaqus, ANSYS, COMSOL）。硬件：高性能计算服务器。

EUV-D1-0054

计算模型

计算流体力学

光滑粒子流体动力学（SPH）

大变形自由表面流动（如锡液滴生成、飞溅）模型

1. 核近似：任何场量 A(r)通过核函数 W的积分近似： <A(r)> = ∫ A(r') W(r-r', h) dr' ≈ Σ_j (m_j/ρ_j) A_j W(r-r_j, h)。 2. 控制方程的 SPH 离散：

好的，这是 EUV-D1-0054 ~ 0073 共20个模型的详细版本。

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0054

计算模型

计算流体力学

光滑粒子流体动力学（SPH）

大变形自由表面流动（如锡液滴生成、飞溅）模型

1. 控制方程的 SPH 离散： – 连续性方程：dρ_i/dt = Σ_j m_j (v_i – v_j) · ∇_i W_ij – 动量方程： dv_i/dt = -Σ_j m_j (P_i/ρ_i² + P_j/ρ_j² + Π_ij) ∇_i W_ij + g 其中 Π_ij为人工黏性项，用于稳定：Π_ij = (-α c̄_ij μ_ij)/(ρ̄_ij)，若 v_ij·r_ij < 0，否则为0。μ_ij = (h v_ij·r_ij)/(r_ij²+0.01h²)。 2. 状态方程：采用弱可压形式，压强与密度关联：P = P_0 [(ρ/ρ_0)^γ – 1]，其中 γ=7， P_0为参考压强， c_0为声速（取为最大流速的10倍以上以保持可压性<1%）。 3. 表面张力模型：采用连续表面力（CSF）模型，加速度为： a_i^{st} = σ κ_i n_i / ρ_i。其中法向量 n_i = -∇c_i，曲率 `κ_i = -∇·(n_i/

n_i

)，颜色函数c_i` 对不同流体取不同值。 4. 时间积分：采用蛙跳法（Leapfrog）或 Predictor-Corrector 方法。

可模拟液滴形成、融合、破碎、飞溅等复杂自由面现象，与高速摄影结果定性吻合。

拉格朗日流体力学、核近似、人工黏性、表面张力

用于模拟 EUV 光源中锡液滴的发生、断裂、飞行以及与气体或固体壁面的碰撞过程，评估液滴发生器设计、碎屑行为及防护策略。特征：无网格、自然处理大变形和自由表面、计算成本高。

r_i, v_i：粒子位置和速度。 m_i, ρ_i, P_i：粒子质量、密度、压强。 W_ij = W(r_i – r_j, h)：光滑核函数。 h：光滑长度。 Π_ij：人工黏性项。 σ：表面张力系数。 κ_i, n_i：曲率和法向量。

粒子方法、核近似、显式时间积分、邻居搜索。

计算流体动力学（粒子法）的语言。

1. 初始化：在流体域内生成 SPH 粒子，赋予初始位置、速度、密度。 2. 邻居搜索：建立每个粒子的邻居列表。 3. 密度更新：通过求和计算每个粒子的密度 ρ_i。 4. 压强计算：根据状态方程计算 P_i。 5. 力计算：计算压强梯度力、黏性力、表面张力、重力等。 6. 时间积分：根据加速度更新速度和位置。 7. 循环：重复步骤2-6。

EUV-D1-0055

计算模型

材料科学/相变

相场模型（Phase-Field）

材料相变、晶粒生长与微观组织演化模型

1. 序参量定义：引入一个或多个序参量 η(r,t)描述相（如液相/固相，不同晶粒）。η=0和 1代表两相，界面处平滑过渡。 2. 自由能泛函：Ginzburg-Landau 型： `F[η, T] = ∫_V [f(η, T) + (ε²/2)

∇η

^2] dV。 体自由能密度f(η, T)常取双阱势：f = W η²(1-η)²， W 为势垒高度。 **3. 演化方程**：Allen-Cahn 方程（非保守序参量）： τ ∂η/∂t = -δF/δη = -[∂f/∂η – ε²∇²η]。 或 Cahn-Hilliard 方程（保守序参量，用于成分）。 **4. 热-力耦合**：温度场T由热传导方程描述，含相变潜热源项：ρc_p ∂T/∂t = ∇·(k∇T) + L ∂η/∂t`。应力应变场与相变应变耦合。

可模拟晶粒生长、枝晶凝固、固态相变等，预测微观组织形貌，与实验金相观察定性一致。

相场理论、非平衡态热力学、Ginzburg-Landau 理论

用于模拟 EUV 掩模吸收体材料（如 TaBN）在热处理或激光修复过程中的相变、晶粒生长和微观结构演化，预测其对光学和机械性能的影响。特征：描述扩散界面、自然捕获拓扑变化、多场耦合。

η(r,t)：序参量场。 F：总自由能泛函。 f(η,T)：体自由能密度。 ε, τ, W：梯度系数、动力学系数、势垒高度。 T(r,t)：温度场。 L：相变潜热。

泛函微分、偏微分方程（Allen-Cahn, 热传导）、变分原理。

计算材料科学和相变动力学的语言。

1. 初始化：设定初始序参量场 η_0(r)（如随机晶粒取向）。 2. 时间步进： a. 求解 Allen-Cahn 方程，更新 η。 b. 计算相变潜热项 L ∂η/∂t。 c. 求解热传导方程，更新 T。 d. （可选）求解力学平衡方程，得到应力场。 3. 循环：直到达到稳态或指定时间。

EUV-D1-0056

控制模型

自适应控制/系统辨识

递归最小二乘法（RLS）与模型参考自适应控制（MRAC）

时变、非线性系统（如热变形）的在线参数辨识与自适应控制模型

1. 系统模型：被控对象用线性参数时变（LPV）模型描述：y(t) = φ(t)^T θ(t)，其中 φ(t)为回归向量（包含过去输入输出）， θ(t)为待辨识参数。 2. 递归最小二乘法：在线更新参数估计 θ̂： K(t) = P(t-1)φ(t) / (λ + φ(t)^T P(t-1)φ(t)) θ̂(t) = θ̂(t-1) + K(t)(y(t) – φ(t)^T θ̂(t-1)) P(t) = (I – K(t)φ(t)^T) P(t-1) / λ 其中 λ是遗忘因子（0<λ≤1）， P是协方差矩阵。 3. 模型参考自适应控制：期望性能由参考模型 y_m(s)/r(s) = W_m(s)指定。控制器参数 θ_c(t)自适应调整，使得被控对象输出 y(t)跟踪参考模型输出 y_m(t)。根据 Lyapunov 稳定性理论设计自适应律。

参数估计收敛后，模型误差可降至 1-5%。控制系统能适应慢变的系统参数漂移。

系统辨识、自适应控制、Lyapunov 稳定性理论

用于光刻机中参数缓慢漂移或非线性明显的系统，如热变形补偿系统。在线辨识系统动态变化，并实时调整控制器参数，维持最佳控制性能。特征：在线学习、处理时变性、保证稳定性。

θ(t)：真实系统参数向量。 θ̂(t)：估计参数向量。 φ(t)：回归向量（数据）。 P(t)：协方差矩阵。 λ：遗忘因子。 y_m, y：参考模型和实际输出。

递归估计、矩阵求逆引理、Lyapunov 函数、稳定性分析。

自适应控制和系统辨识的术语。

1. 数据采集：在每个控制周期，采集输入输出数据，构建 φ(t)。 2. 参数更新：执行 RLS 算法，更新 θ̂(t)和 P(t)。 3. 控制器更新：基于新的 θ̂(t)，根据 MRAC 律更新控制器参数 θ_c(t)。 4. 控制计算：用更新后的控制器计算控制量 u(t)。 5. 输出与循环：输出 u(t)，等待下一周期。

信息流：输入输出数据 -> RLS 参数估计 -> 更新控制器参数 -> 计算控制信号 -> 作用于系统 -> 产生新数据。自适应流：系统参数漂移 -> 导致模型失配和性能下降 -> 被 RLS 检测并更新估计 -> 控制器调整以恢复性能。

软件：实时控制系统中实现的自适应算法。硬件：传感器、执行器、实时处理器。

EUV-D1-0057

控制模型

滑模控制/变结构控制

滑模控制与高阶滑模

对参数摄动和外部扰动强鲁棒性的高精度定位控制模型

1. 滑模面设计：定义跟踪误差 e = r – y。选择滑模面 s = ė + λe = 0，其中 λ>0。在滑模面上，误差以指数收敛。 2. 控制律：控制量 u包含等效控制 u_eq和切换控制 u_sw： u = u_eq + u_sw。 u_eq使系统动态保持在滑模面上（ṡ=0）。u_sw = -K sign(s)， K为切换增益，需大于扰动上界。 3. 抖振抑制：用饱和函数 sat(s/Φ)或 sigmoid 函数代替 sign(s)，在边界层 Φ内提供连续控制，减轻高频抖振。 4. 高阶滑模：对于相对阶 ≥2 的系统，设计超螺旋算法等，使滑模变量 s及其导数在有限时间内收敛到零，且无需 s的导数信息。

滑模控制对匹配扰动具有完全鲁棒性（在理想条件下）。实际中，抖振限制了精度，但仍可达到亚纳米级。

变结构控制、滑模控制理论、Lyapunov 稳定性

用于工件台、掩模台等运动系统，在存在模型不确定性、非线性摩擦和未知外部扰动时，实现高精度、高鲁棒性的轨迹跟踪。特征：不连续控制、有限时间收敛、对匹配扰动不变性。

e, s：跟踪误差和滑模变量。 u_eq, u_sw：等效控制和切换控制。 K：切换增益。 λ, Φ：滑模面参数和边界层厚度。

微分方程、Lyapunov 稳定性、变结构系统。

非线性控制和鲁棒控制的术语。

1. 计算误差：e = r – y。 2. 计算滑模变量：s = ė + λe（需估计或测量 ė）。 3. 计算等效控制：u_eq基于标称模型令 ṡ=0解出。 4. 计算切换控制：u_sw = -K sat(s/Φ)。 5. 合成输出：u = u_eq + u_sw。 6. 循环。

运动流：系统状态偏离滑模面 -> 切换控制将其强力拉回 -> 在滑模面上滑动至原点（零误差）。扰动抑制流：匹配扰动影响系统动态 -> 被切换控制项直接抵消。

软件：实时控制器的滑模控制算法。硬件：高带宽执行器和传感器。

EUV-D1-0058

控制模型

迭代学习控制（ILC）

P 型与高阶 ILC

周期性重复误差（如工件台扫描运动误差）的前馈补偿模型

1. 问题描述：系统执行重复任务（第 k 次迭代）。期望输出 r(t)，实际输出 y_k(t)。目标是通过学习前次误差，改进当前控制，使 y_k → r。 2. 学习律：最常用 P 型 ILC： u_{k+1}(t) = u_k(t) + L * e_k(t+τ) 其中 e_k = r – y_k， L为学习增益， τ为超前时间（补偿系统延迟）。 3. 收敛条件：在频域，收敛条件为 `

1 – L P(jω)

< 1，对所有ω，其中P(s)为系统传递函数。需设计L和可能的滤波器Q(s)保证稳定收敛。 **4. 高阶 ILC**：利用前多次迭代信息：u{k+1} = Σ{i=1}^N [Q_i u{k+1-i} + L_i e{k+1-i}]`，可加速收敛或增强鲁棒性。

经过数次迭代学习后，重复性轨迹跟踪误差可降低一个数量级（如从 10nm RMS 降至 1nm）。

迭代学习控制、重复控制、内模原理

用于补偿工件台扫描运动中高度重复的误差，如导轨不平度、电机力纹波。通过重复运行“学习”，逐渐生成完美的前馈信号。特征：利用重复性、无需精确模型、离线或在线学习。

u_k, y_k, e_k：第 k 次迭代的控制、输出、误差。 L：学习增益（可以是滤波器）。 τ：超前时间。 Q(s)：鲁棒性滤波器。

离散迭代、收敛性分析（频域）、序列更新。

学习控制和重复控制的术语。

1. 第 1 次运行：用初始控制 u_1（可为0或基于模型）执行任务，记录误差 e_1。 2. 学习更新：根据 ILC 律计算新的控制信号 u_2 = u_1 + L e_1。 3. 第 2 次运行：用 u_2执行，记录 e_2。 4. 迭代：重复学习更新和运行，直到误差 e_k满足要求。 5. 应用：将最终学得的 u_*作为前馈表用于生产。

EUV-D1-0059

控制模型

模糊控制/神经网络控制

自适应神经模糊推理系统（ANFIS）

难以精确建模的复杂过程（如某些清洗工艺）的智能控制模型

1. 模糊推理系统：具有模糊化、规则库、推理机、解模糊化模块。规则形式：If x1 is A1 and x2 is A2 then y = f(x1, x2)。 2. ANFIS 结构：5 层前馈网络实现 Sugeno 型模糊系统。 – 层1：模糊化，计算隶属度 μ_{A_i}(x)。 – 层2：计算规则激发强度 w_i = Π μ_{A_i}(x)。 – 层3：归一化激发强度 w̄_i = w_i / Σ w_i。 – 层4：规则输出 y_i = p_i x + q_i，本层输出为 w̄_i y_i。 – 层5：总输出 y = Σ w̄_i y_i。 3. 参数学习：前提参数（隶属函数参数）和结论参数（p_i, q_i）通过混合学习算法（梯度下降+最小二乘）从数据中学习。

对于复杂非线性过程，ANFIS 控制性能常优于传统 PID，建模误差可比物理模型小。

模糊逻辑、神经网络、函数逼近、混合学习

用于控制难以用精确微分方程描述的 EUV 清洗或处理工艺，如等离子体清洗、湿法清洗。通过数据驱动建立模糊规则模型，实现智能控制。特征：处理语言信息和不确定性、自适应、黑箱建模。

x, y：输入和输出变量。 μ_{A_i}：隶属函数。 w_i, w̄_i：规则激发强度和归一化强度。 p_i, q_i：结论参数。规则库：If-Then 规则集合。

模糊集合、神经网络、混合学习算法、函数逼近。

计算智能和模糊控制的术语。

1. 数据收集：收集工艺输入输出数据 (x, y)。 2. 结构初始化：确定输入变量、模糊划分、规则数。 3. 参数学习：使用混合学习算法训练 ANFIS 网络，优化前提和结论参数。 4. 控制推理：在线时，将当前状态 x输入训练好的 ANFIS，计算控制量 y。 5. 执行：输出控制量 y给执行器。

信息流：工艺数据 -> 训练 ANFIS 模型 -> 得到输入-输出的模糊映射 -> 在线模糊推理 -> 控制输出。学习流：初始模糊划分 -> 前向计算 -> 误差反向传播更新参数 -> 迭代至收敛。

软件：模糊/神经网络工具箱（MATLAB Fuzzy Logic Toolbox）。硬件：工业 PC 或 PLC。

EUV-D1-0060

控制模型

容错控制/健康管理

基于解析冗余与状态估计的故障诊断与隔离（FDI）

传感器或执行器部分失效下的系统重构与降级运行控制模型

1. 残差生成：利用系统模型（解析冗余）产生残差信号 r(t) = y(t) – ŷ(t)，其中 ŷ是基于模型和输入的估计输出。在无故障时，r(t)应接近零（受噪声影响）。 2. 故障检测：对残差 r(t)进行评价（如与阈值 J_th比较）：若 `

r(t)

> J_th，则报警故障。 **3. 故障隔离**：设计一组结构化的残差r_i(t)，每个残差对特定故障敏感，对其他故障不敏感。通过分析哪个（些）残差超标来判断故障源。 **4. 系统重构**：一旦故障被隔离，控制器切换到备份模式或调整控制律，例如： – 传感器故障：用估计值ŷ` 替代故障传感器测量值。 – 执行器故障：重新分配控制任务给健康执行器（控制分配）。

故障检测率 > 95%，隔离准确率 > 90%，虚警率 < 5%。

故障诊断、状态估计、解析冗余、控制系统重构

用于提高光刻机关键子系统（如工件台、热管理）的可靠性。在线监测传感器和执行器健康状态，一旦检测到故障，能诊断隔离并自动调整控制系统，维持基本功能或安全停机。特征：实时监控、基于模型、决策与重构。

y, ŷ：测量输出和估计输出。 r(t)：残差向量。 J_th：检测阈值。故障向量 f：描述故障大小和位置。

状态估计、假设检验、逻辑决策。

EUV-D1-0061

信息科学模型

数据挖掘/知识发现

关联规则挖掘与聚类分析

海量制造数据（Big Data）中的相关性分析与知识图谱构建模型

1. 数据预处理：清洗、集成、转换海量制造数据（设备日志、传感器流、测量结果、事件记录）。 2. 关联规则挖掘：采用 Apriori 或 FP-Growth 算法。寻找形如 X => Y的规则，其中 X和 Y是项集（如 {参数A偏高, 设备B告警}）。评估指标：支持度 sup(X∪Y)，置信度 conf(X=>Y)=sup(X∪Y)/sup(X)，提升度。 3. 聚类分析：采用 K-means, DBSCAN 等方法。将相似的晶圆、设备状态或工艺批次聚成簇，发现潜在模式或异常批次。 4. 知识图谱构建：以实体（设备、参数、缺陷）为节点，关系（导致、相关、属于）为边，构建图结构，存储挖掘出的关联和层次知识。

发现的关联规则可解释性强，能揭示潜在因果或相关关系，辅助 root-cause 分析。

数据挖掘、机器学习、图论、统计

用于从光刻机制造产生的海量数据中，自动发现工艺参数、设备状态与最终性能（如 overlay, 缺陷率）之间的隐藏关联，构建可查询的知识库，用于良率提升和预测性维护。特征：处理非结构化数据、发现新知识、可解释性。

事务数据库 D：每条记录是一个事务（如一次曝光的所有参数）。项集 I：项的集合。支持度, 置信度：规则度量。聚类中心：各簇的代表点。

组合枚举、相似性度量、图论。

数据挖掘和知识发现的术语。

1. 数据准备：从 MES, EDA, 设备日志抽取数据，构建事务数据库。 2. 频繁项集挖掘：找出所有支持度大于最小支持度阈值的项集。 3. 规则生成：从频繁项集生成高置信度的关联规则。 4. 聚类：对数据进行聚类，识别不同模式。 5. 图谱构建：将实体、关系存入图数据库，形成知识图谱。 6. 查询与应用：通过图谱查询关联路径，辅助决策。

信息流：原始多源数据 -> 集成与清洗 -> 挖掘算法（关联、聚类）-> 模式与规则 -> 知识图谱 -> 可视化与查询。知识流：数据中的隐含规律 -> 被算法提取 -> 形式化为规则和图谱 -> 成为可复用的知识资产。

软件：数据挖掘平台（R, Python scikit-learn）、图数据库（Neo4j）。硬件：大数据处理集群（Hadoop, Spark）。

EUV-D1-0062

信息科学模型

数字孪生/虚拟仿真

多物理场模型集成与实时数据同步

光刻机物理实体在信息空间的实时映射与预测性维护模型

1. 虚拟实体建模：集成光刻机各子系统的多物理场模型（机械、热、流体、控制、光学），形成高保真仿真模型。这些模型可在不同保真度下运行。 2. 实时数据同步：通过 IoT 接口从实体光刻机持续获取传感器数据、控制指令、事件日志。用于： – 驱动：将实时工况作为仿真边界条件。 – 校准：通过数据同化（如卡尔曼滤波）更新模型参数，减少仿真与实体的偏差。 3. 状态估计与预测：数字孪生提供实体中难以直接测量的内部状态（如镜片内部应力、气流细节）的估计。并可进行短时预测，如预测未来热像差趋势或部件剩余寿命。 4. 应用：用于性能优化、预测性维护、虚拟调试、操作员培训。

数字孪生的预测精度（如温度、位置）与实体测量误差 < 5%。可实现故障提前数小时预警。

系统工程、信息物理系统、数据同化、多物理场仿真

创建光刻机的虚拟副本，实现全生命周期管理。用于设计验证、实时监控、性能优化、预测性维护和远程协助，提升设备可用性和生产效率。特征：虚实映射、实时交互、预测能力。

Digital Twin Model：集成的多物理场仿真模型。 IoT Data Stream：实时传感器和控制数据流。 Calibration Parameters：模型校准参数。预测结果：如故障时间、性能趋势。

多模型集成、数据同化、实时仿真。

数字孪生和工业4.0的术语。

1. 离线构建：集成多学科模型，建立高保真数字孪生基础。 2. 在线同步：实时获取实体数据，驱动和校准数字孪生，使其状态与实体一致。 3. 分析与预测：基于当前状态，运行仿真预测未来行为或进行假设性分析（What-if）。 4. 决策支持：将分析结果（如维护建议、优化参数）反馈给操作人员或控制系统。 5. 闭环优化：执行决策，结果影响实体，新数据再同步到孪生。

数据流：物理实体传感器数据 -> 边缘/云端 -> 驱动/校准数字孪生 -> 孪生仿真预测 -> 结果反馈至实体/人员。模型流：高保真设计模型 -> 降阶/校准 -> 形成实时运行的孪生实例。

软件：数字孪生平台（ANSYS Twin Builder, Siemens Xcelerator）、IoT 平台、仿真软件。硬件：边缘计算设备、云服务器、传感器网络。

EUV-D1-0063

信息科学模型

区块链/分布式账本

智能合约与 Merkle 树

关键部件（如物镜）全生命周期数据可信追溯模型

1. 数据结构：每个关键部件（如物镜）的生命周期事件（生产、测试、装调、运行、维护、维修）作为交易，打包成区块。区块通过哈希值链接成链。 2. 分布式存储：数据在多个参与方（制造商、集成商、客户）节点间复制存储，确保不可篡改。常用 Merkle 树高效验证数据完整性。 3. 智能合约：自动执行的合约代码。例如，当传感器数据表明需要预防性维护时，自动触发工单并通知服务商；或当达到一定运行时数，自动启动保修索赔流程。 4. 权限与隐私：通过公私钥加密控制数据访问权限。敏感数据可哈希存储，仅授权方可解密。

数据不可篡改，可追溯，增强了供应链透明度和部件可靠性数据的可信度。

区块链技术、分布式共识、密码学、智能合约

用于建立 EUV 光刻机关键部件（如投影物镜、光源）的全生命周期可追溯、不可篡改的数据账本，确保数据真实性，支持保修索赔、可靠性分析、二手设备估值等。特征：去中心化、不可篡改、可编程。

区块：包含交易数据和前一个区块哈希的数据结构。交易：生命周期事件记录。智能合约：自动执行的业务逻辑代码。公私钥：用于身份认证和加密。

哈希函数、非对称加密、共识算法、默克尔树。

区块链和分布式系统的术语。

1. 事件发生：部件发生关键事件（如生产完成、安装上机）。 2. 交易创建：相关方创建交易，用私钥签名，广播到网络。 3. 共识与打包：网络节点通过共识机制（如 PoA）验证交易，打包成新区块，添加到链上。 4. 查询与验证：授权方可通过公钥验证签名，查询部件完整历史。智能合约在条件满足时自动执行。 5. 维护：网络共同维护账本一致性。

数据流：物理世界事件 -> 数字化为交易 -> 签名与广播 -> 共识验证 -> 上链存储 -> 形成不可篡改的历史。信任流：基于密码学和分布式共识，替代了对中心化机构的信任。

软件：区块链平台（Hyperledger Fabric, Ethereum）、链码（智能合约）。硬件：参与节点的服务器。

EUV-D1-0064

信息科学模型

自然语言处理（NLP）

词嵌入与循环神经网络（RNN）/Transformer

技术文档、故障报告自动分析与知识提取模型

1. 文本预处理：对维修报告、操作手册、故障日志进行分词、去除停用词、词形还原。 2. 词向量表示：使用 Word2Vec, GloVe 或 BERT 将词语映射为稠密向量，捕获语义。 3. 序列建模：使用 RNN（如 LSTM, GRU）或 Transformer 编码器处理词序列，生成文档或句子的向量表示。 4. 任务： – 文本分类：将故障报告自动分类到预定义的类别（如机械、电气、软件）。 – 命名实体识别：识别文本中的设备名、部件号、故障代码、参数值等实体。 – 关系抽取：识别实体间关系，如“部件A导致故障B”。 – 问答系统：基于知识库回答工程师的自然语言问题。

文本分类准确率 > 90%，实体识别 F1 分数 > 85%。大幅提升文档检索和知识重用效率。

自然语言处理、深度学习、词嵌入、序列模型

用于自动处理光刻机产生的大量非结构化文本数据（维修记录、手册、论坛），提取关键信息，构建结构化知识库，实现智能检索和问答，加速故障排查和决策。特征：处理自然语言、上下文理解、信息提取。

文本序列：单词或子词序列。词向量：词的分布式表示。文档向量：整个文本的表示。实体标签：如 B-PART, I-PART。关系三元组：(头实体，关系，尾实体)。

词向量、循环神经网络、注意力机制、序列标注。

自然语言处理和深度学习的术语。

1. 数据收集与标注：收集文本数据，进行人工标注（用于监督学习）。 2. 模型训练：在标注数据上训练 NLP 模型（分类、NER、关系抽取）。 3. 部署推理：将训练好的模型部署为服务。 4. 应用： – 输入新故障描述，自动分类并推荐解决方案。 – 从历史报告中提取“故障-原因-措施”三元组，构建知识图谱。 – 用自然语言提问，系统返回相关文档段落或答案。

信息流：非结构化文本 -> 分词与向量化 -> 神经网络编码 -> 特定任务头（分类、标注）-> 输出结构化信息。知识流：散落在文本中的经验知识 -> 被模型自动提取 -> 结构化为可计算的知识 -> 支持智能应用。

软件：NLP 框架（spaCy, NLTK, Hugging Face Transformers）。硬件：GPU 服务器（用于训练和推理）。

EUV-D1-0065

信息科学模型

计算机视觉/增强现实（AR）

图像识别与三维注册

基于视觉的精密装配引导与远程专家协助模型

1. 三维注册：将虚拟信息（如 CAD 模型、操作指引）与真实场景对齐。通过标记（如 QR 码）或无标记（基于自然特征）方法，计算相机相对于真实物体的位姿 `[R

t]`。 2. 目标识别与跟踪：使用深度学习（如 YOLO, SSD）或传统特征点（SIFT, ORB）识别特定部件。结合 SLAM 或滤波器（如 KLT）进行实时跟踪。 3. AR 内容渲染：在相机视频流上，根据注册的位姿，实时叠加三维箭头、高亮框、文本说明、动画指引等虚拟内容。 4. 远程协作：一方 AR 设备捕获现场视频和叠加注释，通过网络实时传输给远程专家；专家可在视频上绘制标记，回传至现场方 AR 设备显示。

注册精度可达毫米级，跟踪稳定，能显著提高复杂装配的准确性和效率，减少错误。

计算机视觉、增强现实、三维几何、图像处理

用于光刻机的现场安装、维护和维修。通过 AR 眼镜或平板，将装配指引、图纸信息、传感器数据直观叠加在物理设备上，指导技术人员操作，并可实现远程专家实时协助。特征：虚实融合、实时交互、直观指导。

相机图像 I：实时视频帧。特征点/描述子：用于识别和匹配。 **位姿 [R

t]：旋转和平移矩阵。 CAD 模型：部件的三维数字模型。 AR 标注**：叠加的虚拟信息。

三维几何变换、特征匹配、图像渲染、网络传输。

计算机视觉和增强现实的术语。

1. 初始化：扫描环境或特定标记，完成三维注册。 2. 实时跟踪：持续捕获图像，跟踪目标位姿。 3. 内容生成：根据当前任务步骤，从数据库调取对应的 AR 指引内容。 4. 渲染叠加：将虚拟内容根据当前位姿渲染，叠加到实时视频上显示。 5. 交互：技术人员可通过手势、语音或触摸屏与 AR 内容交互，确认步骤完成或请求帮助。 6. 远程协助：建立音视频通话，共享 AR 视图，远程标注。

EUV-D1-0066

材料模型

材料科学/量子力学

密度泛函理论（DFT）

第一性原理计算（DFT）模型

1. 薛定谔方程近似：多电子系统的基态性质由 Kohn-Sham 方程描述： [-ħ²/(2m)∇² + v_eff(r)] ψ_i(r) = ε_i ψ_i(r) `v_eff(r) = v_ext(r) + ∫ (ρ(r')/

r-r'

) dr' + v_xcρ 其中ρ(r) = Σ_i

ψ_i(r)

^2为电子密度，v_xc为交换关联势。 **2. 自洽求解**： a. 猜初始电子密度ρ_in(r)。 b. 构造有效势v_eff[ρ_in]。 c. 求解 Kohn-Sham 方程，得到本征态ψ_i和本征值ε_i。 d. 由ψ_i计算新的电子密度ρ_out(r)。 e. 混合ρ_in和ρ_out得到新的ρ_in。 f. 重复 b-e 直到自洽（ρ_in ≈ ρ_out`）。 3. 性质计算：从收敛的电子密度和波函数计算总能、能带结构、态密度、弹性常数等。

可预测晶体结构、结合能、弹性模量等，与实验误差通常在几个百分点内。但计算量极大。

量子力学、密度泛函理论、Hohenberg-Kohn 定理

用于从原子尺度计算和预测新材料（如新型 EUV 光刻胶、抗污染涂层、多层膜材料）的电子结构、热力学稳定性和基本物理性质，指导实验探索。特征：第一性原理、高精度、计算成本极高、限于数百原子体系。

ψ_i(r), ε_i：Kohn-Sham 轨道和本征值。 ρ(r)：电子密度。 v_eff(r)：有效势。 E_total：系统总能量。交换关联泛函：如 PBE, HSE06。

偏微分方程（Kohn-Sham）、自洽迭代、平面波/高斯基组展开。

EUV-D1-0067

材料模型

材料科学/热力学

相图计算（CALPHAD）

多元合金体系（如焊料、靶材）的相平衡与热力学性质模型

1. 热力学数据库：基于各相（液相、固溶体、金属间化合物）的吉布斯自由能模型构建。对于溶液相，自由能表示为： G_m = Σ x_i G_i^0 + RT Σ x_i ln x_i + G_m^{ex} 其中 G_i^0为纯组元自由能， G_m^{ex}为超额自由能，常用 Redlich-Kister 多项式描述。 2. 相平衡计算：在给定温度、压力和成分下，通过最小化系统总吉布斯自由能，确定稳定相的组成和数量。这归结为约束优化问题。 3. 相图生成：在成分-温度空间进行网格计算，绘制相边界（液相线、固相线、相区）。 4. 性质计算：可计算热容、焓、活度、驱动力等。

计算的相图与实验测定结果吻合良好，是合金设计和工艺优化的强大工具。

热力学、相平衡、吉布斯自由能最小化

用于预测 EUV 光源靶材（锡基合金）、焊料、结构材料等多元合金体系的相变温度、相组成、热物性，指导材料成分设计和热处理工艺制定，避免有害相产生。特征：基于热力学、处理多元体系、依赖可靠的数据库。

G_m：摩尔吉布斯自由能。 x_i：组元 i 的摩尔分数。 G_i^0：纯组元 i 的自由能（与 T 相关）。 G_m^{ex}：超额吉布斯自由能。相：溶液相、化合物相等。

吉布斯自由能最小化、优化、多项式拟合。

计算热力学和相图计算的术语。

1. 数据库选择：选择或建立包含相关元素和相的热力学数据库。 2. 设定条件：设定计算类型（相图、垂直截面、性质 vs T）、成分范围、温度范围。 3. 平衡计算：调用计算引擎（如 Thermo-Calc, Pandat），在给定点求解相平衡。 4. 后处理：可视化相图、相分数曲线、性质图。 5. 分析：根据计算结果，确定合适的成分和工艺窗口。

热力学流：体系成分、温度、压力 -> 各相吉布斯自由能模型 -> 全局自由能最小化 -> 平衡相的种类、成分和数量。设计流：目标性能（如熔点、强度）-> 通过 CALPHAD 筛选成分 -> 预测相组成和稳定性 -> 指导实验验证。

软件：CALPHAD 软件（Thermo-Calc, Pandat, FactSage）。硬件：高性能工作站。

EUV-D1-0068

材料模型

材料科学/固体力学

晶体塑性有限元（CPFEM）

多晶材料（如金属结构件）在循环载荷下的疲劳与蠕变模型

1. 晶体塑性本构：塑性变形源于特定滑移系上的位错滑移。剪切应变率 γ̇^α由分切应力 τ^α驱动： `γ̇^α = γ̇_0

τ^α/s^α

^{1/m} sign(τ^α) 其中s^α为滑移系变形抗力，m为应变率敏感指数。 **2. 硬化定律**：s^α随累积滑移应变演化，描述加工硬化： ṡ^α = Σ_β h_αβ

γ̇^β

，h_αβ` 为硬化模量矩阵。 3. 几何必需位错：考虑晶粒间变形不协调引入的几何必需位错（GND）密度，影响局部硬化。 4. 疲劳与蠕变：引入基于临界面法的疲劳损伤模型，或基于位错机制的蠕变模型，预测循环寿命或蠕变应变。 5. 有限元实现：在材料积分点层面实现晶体塑性本构，嵌入宏观有限元框架。

可预测多晶材料的各向异性力学响应、织构演化、疲劳裂纹萌生位置，与实验趋势一致。

晶体塑性理论、位错动力学、有限元法、损伤力学

用于评估光刻机工件台、框架等金属结构件在长期循环载荷（振动、热循环）下的微观塑性变形、疲劳损伤积累和蠕变行为，预测其疲劳寿命和可靠性。特征：介观尺度、考虑晶体取向、各向异性、循环载荷。

γ̇^α：滑移系 α 的剪切应变率。 τ^α：分切应力。 s^α：变形抗力。 h_αβ：硬化模量。 GND 密度：几何必需位错密度。损伤参数 D：疲劳损伤变量。

张量分析、本构积分、硬化演化、损伤累积。

EUV-D1-0069

材料模型

界面科学/化学

表面能与接触角模型

液滴（如水、清洗液）在微纳结构表面的铺展与去润湿模型

1. 杨氏方程：理想光滑表面，接触角 θ_Y满足： γ_{sv} = γ_{sl} + γ_{lv} cosθ_Y，其中 γ为表面张力（固-气、固-液、液-气）。 2. Wenzel 模型：粗糙表面，表观接触角 θ_W与本征角 θ_Y关系： cosθ_W = r cosθ_Y， r为粗糙度因子（>1）。粗糙性放大本征的润湿性（亲水更亲水，疏水更疏水）。 3. Cassie-Baxter 模型：液滴位于微结构顶端，下方有气垫。表观接触角 θ_CB： cosθ_CB = f_s cosθ_Y + f_v cos180° = f_s cosθ_Y – f_v，其中 f_s, f_v为固-液、气-液接触面积分数。 4. 接触角滞后：前进角 θ_a和后退角 θ_r不同，由表面化学不均一或粗糙导致。

模型可预测表观接触角，指导超疏水或超亲水表面设计，与实际测量值定性一致。

表面科学、润湿理论、界面热力学

用于设计和分析光刻机中需要控制液体行为的表面，如抗污染涂层（超疏水）、均匀涂布表面（亲水）、或微流道表面。通过调控表面化学和微结构，实现所需的润湿性。特征：界面现象、受粗糙度和化学修饰共同影响。

θ_Y, θ_W, θ_CB：本征、Wenzel、Cassie-Baxter 接触角。 γ{sv}, γ{sl}, γ_{lv}：界面张力。 r：粗糙度因子。 f_s, f_v：面积分数。

几何关系、表面能平衡、接触角测量。

界面科学和表面工程的术语。

1. 表面表征：测量表面的化学组成（XPS）和微观形貌（AFM/SEM）。 2. 本征角估算：通过 Owens-Wendt 等方法估算 θ_Y。 3. 模型选择：根据表面形貌判断适用 Wenzel 或 Cassie-Baxter 模型。 4. 预测与验证：计算表观接触角，与实验测量值（坐滴法）比较。 5. 逆向设计：根据目标接触角，反推所需的表面粗糙度或化学修饰。

润湿流：液滴接触固体表面 -> 界面能竞争决定平衡形状（接触角）-> 表面粗糙度放大效应 -> 形成 Wenzel 或 Cassie 状态。设计流：目标润湿行为 -> 选择材料（表面能）-> 设计微纳结构（几何）-> 预测和优化接触角。

软件：表面能计算软件、图像分析软件（用于接触角测量）。硬件：接触角测量仪、表面轮廓仪。

EUV-D1-0070

材料模型

材料科学/辐照效应

动力学蒙特卡洛（KMC）与团簇动力学

材料（如光学元件、传感器）在极紫外及粒子辐照下的性能退化模型

1. 缺陷产生：EUV 光子或次级电子将能量传递给原子，产生 Frenkel 对（空位-间隙原子对）。产生率 G与通量 Φ和离位截面 σ_d有关：G = Φ σ_d。 2. 缺陷迁移与反应：点缺陷（空位 V、间隙原子 I）在温度下迁移，可能复合（V+I→0），或被陷阱捕获，或聚集成团簇（如空位团 V_n，间隙原子团 I_n）。用速率方程组描述各缺陷团簇浓度演化： dC_i/dt = 产生项 – 迁移复合项 – 聚集项 + 解离项。 3. 性能退化关联：缺陷浓度和团簇导致材料性能变化，如肿胀（空位聚集）、硬化（位错环钉扎）、光学吸收（色心）。建立缺陷-性能关联模型。 4. 模拟方法：可采用团簇动力学（速率方程）或原子级 KMC 模拟。

模型可预测辐照诱导的肿胀、硬化趋势，与实验观察定性一致，用于评估材料抗辐照性能。

辐照损伤物理、缺陷动力学、速率方程、蒙特卡洛方法

用于评估 EUV 光学元件（多层膜、衬底）、传感器等在长期 EUV 及次级粒子辐照下的微观缺陷演化及其导致的宏观性能退化（反射率下降、形变、脆化），预测使用寿命。特征：长时间尺度、随机过程、多尺度关联。

G：缺陷产生率。 C_i：第 i 类缺陷（团簇）的浓度。 D_V, D_I：空位和间隙原子的扩散系数。 E_m：迁移能。 σ_d：离位截面。

速率方程组、反应动力学、蒙特卡洛随机抽样。

辐照损伤和缺陷物理的语言。

1. 参数输入：材料参数、辐照条件（通量、能量、温度）。 2. 初始产生：计算初级离位原子（PKA）和 Frenkel 对产生率。 3. 演化模拟： – 团簇动力学：求解耦合的微分方程组。 – KMC：随机选择事件（迁移、反应、产生），推进时间。 4. 输出：得到缺陷浓度随辐照剂量（时间）的演化。 5. 性能评估：将缺陷信息与宏观性能模型耦合，预测性能退化曲线。

缺陷流：高能粒子入射 -> 产生点缺陷 -> 缺陷迁移 -> 相遇发生反应（复合、聚集）-> 形成稳定缺陷团簇 -> 改变材料微观结构 -> 导致宏观性能退化。模拟流：辐照条件 -> 缺陷产生 -> 动力学演化模拟 -> 缺陷分布 -> 性能预测。

软件：辐照损伤模拟软件（SRIM/TRIM for 产生， MMonCa, LAKIMOCA for KMC）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0071

系统模型

系统工程/建模

基于模型的系统工程（MBSE）

光刻机需求、功能、逻辑、物理架构的统一建模与验证模型

1. 建模语言：采用 SysML（系统建模语言）。包含块定义图（BDD）、内部块图（IBD）、活动图、序列图、状态机图、需求图等。 2. 需求分析：在需求图中，定义顶层需求，并向下追溯和分解。 3. 架构设计： – 逻辑架构：描述系统功能（活动图）以及功能间的逻辑交互（序列图）。 – 物理架构：描述实现功能的物理组件（块）及其连接（接口）。 4. 参数模型：在块上定义性能参数、约束，可进行初步的性能分析和验证（如通过数学关系检查一致性）。 5. 模型集成与追溯：确保需求、功能、逻辑元素、物理组件之间的双向可追溯性。

通过模型早期发现需求不一致、接口冲突等问题，减少后期变更成本。提高文档一致性和团队协作效率。

系统工程、SysML、模型驱动工程

用于光刻机复杂系统的顶层设计和开发。在统一的模型框架下，进行需求管理、功能分析、架构设计、性能权衡和验证，确保各子系统协调一致，降低开发风险。特征：模型为中心、多视图、强调追溯性和一致性。

SysML 模型元素：块、活动、状态、序列、需求等。参数：性能参数（如精度、速度）。约束：设计约束（如尺寸、重量）。关系：继承、关联、依赖、满足、追溯。

建模语言、图论、约束满足。

系统工程和模型驱动开发的术语。

1. 需求捕获：在需求图中结构化定义利益相关者需求。 2. 功能分析：用活动图分析系统必须完成的功能。 3. 逻辑架构设计：定义实现功能的逻辑组件及其交互（序列图、状态机）。 4. 物理架构设计：将逻辑组件分配到物理组件（块），定义接口（IBD）。 5. 参数分析：为块添加参数和约束，进行简单计算验证。 6. 验证与确认：通过模型检查、仿真（如与 Simulink 联合）验证设计满足需求。 7. 生成文档：从模型自动生成设计文档。

设计流：利益相关者需求 -> 系统需求 -> 功能分解 -> 逻辑架构 -> 物理架构 -> 详细设计。模型流：需求模型 -> 功能模型 -> 逻辑模型 -> 物理模型 -> 参数模型，保持追溯。

软件：MBSE 建模工具（IBM Rhapsody, Cameo Systems Modeler, Capella）。硬件：支持建模工具的工作站。

EUV-D1-0072

系统模型

多学科设计优化（MDO）

多学科可行（MDF）与协同优化（CO）

考虑光学、机械、热、控制等多学科耦合的系统级性能优化模型

1. 学科划分：将系统分解为若干学科（或子系统），如光学、结构、热、控制。每个学科有局部设计变量 x_i、局部状态变量 y_i，和耦合变量（输出给其他学科）z_i。 2. 系统分析：给定系统设计变量 x，通过迭代执行各学科分析，直到耦合变量一致，得到系统状态和性能 f(x)。这是多学科可行（MDF）方法。 3. 优化问题： min_x f_obj(x, y(x)) s.t. g_j(x, y(x)) ≤ 0 h_k(x, y(x)) = 0 x^L ≤ x ≤ x^U 4. 优化策略： – MDF：优化器在外层，每次调用完整系统分析。 – 协同优化：各学科并行优化自己的子问题，满足学科间一致性约束，系统级协调全局目标。

MDO 能找到比单学科优化更好的系统级最优解，通常可提升整体性能 5-20%。

多学科设计优化、系统分解、优化算法、耦合系统分析

用于光刻机整机或关键模块（如投影物镜）的系统级设计优化。在考虑光学成像质量、机械稳定性、热变形、控制带宽等多学科耦合约束下，寻找最优的设计参数组合，实现最佳综合性能。特征：处理强耦合、大规模、多目标。

x：系统设计变量向量。 y：系统状态变量向量（各学科输出）。 f_obj：目标函数（如总重、像差）。 g, h：不等式和等式约束。学科分析函数：y_i = A_i(x_i, z_{from others})。

系统分解、优化、耦合系统求解（固定点迭代）。

多学科优化和系统设计的术语。

1. 问题定义：确定设计变量、目标、约束、学科划分。 2. 系统分析流程：定义各学科分析工具（如 CODE V, ANSYS, MATLAB）和数据交换接口。 3. 选择 MDO 架构：如 MDF, CO, BLISS。 4. 优化迭代：优化器产生设计点 x-> 执行多学科分析（可能需要内层迭代使耦合变量一致）-> 计算目标和约束 -> 返回给优化器 -> 更新设计点。 5. 收敛：得到最优系统设计 x*。

信息流：优化器建议设计 -> 分发给各学科分析 -> 学科间交换耦合数据直至一致 -> 汇总系统性能 -> 反馈给优化器。优化流：在巨大的多学科设计空间中，寻找满足所有耦合约束且目标最优的点。

软件：MDO 框架（OpenMDAO, iSIGHT, modeFRONTIER）。硬件：高性能计算集群，用于并行学科分析。

EUV-D1-0073

系统模型

动态系统建模与仿真

微分代数方程（DAE）与混合系统仿真

光刻机启动、运行、停机等全工况动态行为模型

1. 模型组成：包含连续动态（运动方程、热传导、流体）、离散事件（控制器逻辑、模式切换、故障）和代数约束（运动学约束、电路方程）。 2. 数学描述：混合系统模型，一般形式为： ẋ = f(x, z, u, t)(连续状态微分方程) 0 = g(x, z, u, t)(代数方程) x(t^+) = h(x(t^-), z(t^-), u(t^-), t)(离散事件状态重置) y = k(x, z, u, t)(输出方程) 3. 数值求解：采用 DAE 求解器（如 DASSL, IDA）处理连续部分。离散事件通过事件检测（如零交叉检测）和处理。 4. 仿真场景：定义不同的操作模式（如启动预热、晶圆交换、曝光扫描、紧急停机）及其切换条件。

仿真可预测系统在瞬态过程中的行为（如热冲击响应、紧急制动距离），用于控制器设计和安全性验证。

动态系统理论、微分代数方程、混合系统、数值积分

用于模拟光刻机从启动到停机的全工况动态行为，包括正常操作、模式切换、故障响应等。用于评估系统稳定性、响应速度、安全极限，优化控制逻辑和操作流程。特征：多领域、混合动态、瞬态过程。

x：连续状态变量（位置、温度、速度等）。 z：代数变量（力、电流等）。 u：控制输入。 y：系统输出。离散事件：如命令、故障信号。

微分代数方程、数值积分、事件驱动仿真。

动态系统和仿真的术语。

1. 建模：在多领域建模环境中（如 Modelica, Simulink/Simscape）构建光刻机子系统模型并连接。 2. 场景定义：编写脚本定义仿真场景，包括初始条件、控制指令序列、可能的外部扰动或故障注入。 3. 仿真执行：运行仿真，求解器自动处理连续动态和离散事件。 4. 结果分析：分析关键变量的时间历程，评估性能指标（如稳定时间、超调、能耗）。 5. 优化迭代：根据结果调整控制器参数或逻辑，重新仿真。

动态流：初始状态 -> 在连续动态和离散事件共同作用下演化 -> 状态变量随时间变化 -> 形成动态轨迹。事件流：条件满足（如时间到、阈值突破）-> 触发离散事件 -> 可能改变系统模式或参数 -> 影响后续连续动态。

软件：多领域系统仿真软件（Dymola/Modelica, MATLAB/Simulink, AMESim）。硬件：高性能工作站。

EUV-D1-0074 ~ 0130 详细模型列表

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0074

计算模型

分子动力学/化学反应

反应力场（ReaxFF）分子动力学

锡（Sn）基燃料液滴与氢（H₂）背景气相互作用及锡氢化物（SnHₓ）形成模型

1. 势函数：ReaxFF 用键级概念描述化学键的形成与断裂，总能量： E_sys = E_bond + E_over + E_under + E_val + E_pen + E_tors + E_conj + E_vdWaals + E_Coulomb。 2. 模拟设置：构建包含液态锡团簇和 H₂ 分子的模拟盒子，采用 NVT 或 NVE 系综。 3. 过程模拟：在高温（~1000 K）下运行 MD，模拟 H₂ 分子在锡表面吸附、解离、H原子扩散并与 Sn 原子形成 SnHₓ 物种的过程。 4. 分析：统计 Sn-H 键的数量、寿命、SnHₓ 的组成分布，计算反应速率。

可定性模拟 SnHₓ 形成的微观机制和动力学，与实验光谱推断的产物一致。

反应力场理论、分子动力学、化学键理论

用于研究 EUV 光源中，用于清除锡碎屑的氢气流与残留锡相互作用，生成气态锡氢化物（SnHₓ）的微观过程，评估其作为主要输运碎屑的机制及对镜面污染的潜在影响。特征：原子尺度、描述化学反应、计算成本高。

r_i, v_i：原子位置和速度。 E_sys：系统总势能。键级 BO_ij：原子 i 和 j 之间的键级。电荷 q_i：原子部分电荷。力 F_i = -∇_i E_sys。

牛顿运动方程、反应势能面、电荷平衡。

计算化学和分子模拟的术语。

1. 初始化：构建初始构型，分配原子速度（符合麦克斯韦-玻尔兹曼分布）。 2. 力计算：基于 ReaxFF 势函数计算每个原子所受的力 F_i。 3. 积分：使用 Velocity Verlet 算法更新原子位置和速度： v(t+Δt/2) = v(t) + (F(t)/m) * Δt/2 r(t+Δt) = r(t) + v(t+Δt/2) * Δt 计算新位置的力 F(t+Δt)。 v(t+Δt) = v(t+Δt/2) + (F(t+Δt)/m) * Δt/2。 4. 循环：重复步骤2-3，模拟数皮秒至纳秒的物理过程。 5. 采样分析：定期输出轨迹，分析结构、能量、键合变化。

物质流：H₂ 分子 -> 接近锡表面 -> 物理吸附 -> 解离为 H 原子 -> H 原子在表面/体内扩散 -> 与 Sn 原子成键 -> 形成 SnHₓ 分子 -> 可能脱附进入气相。模拟流：初始构型 -> 计算力 -> 积分运动方程 -> 更新构型 -> 循环 -> 分析轨迹。

软件：支持 ReaxFF 的 MD 软件（LAMMPS, AMS）。硬件：高性能计算集群（CPU/GPU）。

EUV-D1-0075

计算模型

电磁学/光学

时域有限差分法（FDTD）

亚波长 EUV 掩模（包括多层膜和吸收体）的严格电磁场仿真模型

1. 麦克斯韦方程组离散：在 Yee 网格上离散旋度方程： ∇×E = -μ ∂H/∂t ∇×H = ε ∂E/∂t + σ E 得到中心差分格式，电场和磁场在时间和空间上交错。 2. 材料建模：将材料的介电常数 ε(ω)（在 EUV 波段接近 1-δ – iβ）映射到网格上。对于色散材料，需引入辅助微分方程（如 Drude, Lorentz 模型）。 3. 源与边界：引入总场/散射场（TF/SF）技术注入平面波。使用完美匹配层（PML）作为吸收边界。 4. 近场到远场变换：记录近场数据，通过等效原理计算远场衍射效率或 aerial image。

对于典型 EUV 掩模结构，仿真精度（如衍射效率）与严格耦合波分析（RCWA）结果误差 < 1%。

麦克斯韦方程组、数值微分、Yee 算法、PML

用于严格仿真 EUV 掩模的电磁响应，包括多层膜布拉格反射、吸收体（如 TaBN）的消光、以及三维结构（如 assist features, SRAF）的衍射效应，为 OPC 和掩模优化提供基础。特征：全波、时域、可处理任意几何和材料。

E, H：电场和磁场矢量（在网格点定义）。 ε, μ, σ：介电常数、磁导率、电导率。 Δx, Δy, Δz, Δt：空间和时间步长，需满足 CFL 条件：c Δt ≤ 1/√(1/Δx²+1/Δy²+1/Δz²)。 PML 参数：吸收层参数。

偏微分方程（麦克斯韦）、有限差分、交错网格、显式时间步进。

计算电磁学和纳米光学的术语。

1. 网格划分：将仿真区域划分为 Yee 网格，定义材料属性。 2. 初始化：将所有场值设为零。 3. 时间步循环：对于每个时间步 n： a. 更新 H 场：利用 E^{n}通过法拉第定律离散式计算 H^{n+1/2}。 b. 更新 E 场：利用 H^{n+1/2}通过安培定律离散式计算 E^{n+1}。 c. 应用源：在 TF/SF 边界加入入射波源项。 d. 应用边界：更新 PML 区域场值。 e. 记录数据：在需要的位置记录场值。 4. 后处理：对稳态场进行傅里叶分析，计算衍射效率、近场分布等。

场演化流：初始零场 -> 源注入 -> 场在网格中传播（满足麦克斯韦方程）-> 与结构相互作用（散射、吸收）-> 达到稳态或瞬态过程结束。能量流：入射光能量 -> 部分被吸收体吸收 -> 部分被多层膜反射（形成衍射 orders）-> 部分因散射而损失。

软件：FDTD 求解器（Lumerical FDTD, MEEP, CST Studio）。硬件：高性能工作站或服务器（大内存需求）。

EUV-D1-0076

计算模型

优化理论/计算光学

基于伴随方法的梯度优化

自由曲面光学元件（如 EUV 收集镜）的面形优化设计模型

1. 正向模型：定义光学系统性能指标（如光斑尺寸、均匀性）F(p)，其中 p为描述面形的设计参数向量。F(p)通过光线追迹或物理光学计算。 2. 伴随问题：为高效计算梯度 ∇F，引入伴随变量 λ。求解与原（正向）问题相关的伴随方程。对于许多波动方程问题，伴随方程形式类似，但源项为 ∂F/∂u，其中 u为场变量。 3. 梯度计算：一次正向解和一次伴随解即可得到所有设计参数的梯度：dF/dp_i = (λ, ∂L/∂p_i)，其中 L为系统算子。 4. 参数更新：使用梯度下降、共轭梯度或准牛顿法（如 L-BFGS）更新 p：p_{k+1} = p_k – α_k ∇F(p_k)。

优化后的自由曲面可将光学系统的像差降低一个数量级，达到衍射极限附近。

变分法、伴随方法、优化理论、微分几何

用于设计非球面或自由曲面的 EUV 光学元件，如光源的收集镜或照明系统中的场镜，以最大化光收集效率、改善照明均匀性、或校正像差。特征：高维参数空间、利用梯度信息、计算高效（与参数个数几乎无关）。

p：设计参数向量（如 Zernike 系数、B-spline 控制点）。 F(p)：目标函数（需最小化）。 u, λ：正向场变量和伴随场变量。 ∇F：目标函数梯度。 α_k：步长。

泛函导数、伴随算子、梯度下降、迭代优化。

计算光学设计和拓扑优化的术语。

1. 初始化：给定初始设计 p_0，设定目标 F。 2. 迭代循环：对于第 k 次迭代： a. 正向求解：给定 p_k，求解物理场 u_k（如麦克斯韦方程）。 b. 计算目标：F_k = F(u_k, p_k)。 c. 伴随求解：求解伴随方程，得到 λ_k。 d. 计算梯度：利用 u_k和 λ_k计算 ∇F(p_k)。 e. 更新设计：根据优化算法计算 p_{k+1}。 3. 收敛判断：若 `

F_{k+1}-F_k

< ε或

EUV-D1-0077

控制模型

预测控制/模型预测控制（MPC）

线性时变模型预测控制（LTV-MPC）

多变量、带约束的复杂过程（如热管理系统）的优化控制模型

1. 预测模型：使用线性时变状态空间模型描述系统动态： x_{k+1} = A_k x_k + B_k u_k y_k = C_k x_k 2. 优化问题：在每个时间步 k，求解有限时域 N 上的优化问题： `min{u{k

k},…, u_{k+N-1

k}} Σ{i=0}^{N-1} [ (y{k+i

k} – r{k+i})^T Q (y{k+i

k} – r{k+i}) + u{k+i

k}^T R u_{k+i

k} ] s.t. x_{k+i+1

k} = A{k+i} x{k+i

k} + B{k+i} u{k+i

k} y_{k+i

EUV-D1-0078

控制模型

鲁棒控制/H∞ 控制

H∞ 回路成形与 μ-综合

存在模型不确定性（未建模动态、参数变化）的高性能运动控制模型

1. 不确定性建模：将模型不确定性表示为乘性或加性摄动 Δ(s)，满足 `

∞ ≤ 1。标称模型为P_0(s)。 **2. 性能指标**：定义加权函数W_S(s)（灵敏度）、W_T(s)（补灵敏度）、W_u(s)（控制量），将鲁棒性能和鲁棒稳定性要求转化为 H∞ 范数条件。 **3. H∞ 控制器设计**：求解标准 H∞ 问题：寻找镇定控制器K(s)，使得从外部输入w到被控输出z的闭环传递函数T{zw}(s)的 H∞ 范数最小化： min_K

T_{zw}

∞。 **4. μ-综合**：对于结构化的不确定性，采用 D-K 迭代进行 μ-综合，设计控制器使结构奇异值μ_Δ(T{zw}) < 1`。

H∞ 控制器能在保证鲁棒稳定性的前提下，显著提高系统对不确定性的抑制能力，跟踪误差在参数变化时波动小。

EUV-D1-0079

材料模型

表面科学/吸附动力学

基于第一性原理的吸附能与过渡态计算

氢原子在钌（Ru）覆盖的 EUV 镜面上的吸附、扩散与复合脱附模型

1. 表面模型构建：使用周期性平板模型模拟 Ru 覆盖的镜面。确定最稳定的吸附位点（如 top, bridge, hollow）。 2. 吸附能计算：E_ads = E_{slab+H} – E_{slab} – 1/2 E_{H2}，其中 E_{slab+H}是吸附 H 后的总能量，E_{slab}是干净表面能量，E_{H2}是气相 H₂ 分子能量。 3. 扩散势垒：使用爬坡弹性带（CI-NEB）方法寻找 H 原子在不同吸附位点间迁移的最小能量路径（MEP），计算过渡态（TS）和能垒 E_a。 4. 复合脱附：模拟两个吸附 H 原子接近形成 H₂ 分子的过程，计算其过渡态和能垒。

吸附能计算误差 ~0.1 eV，扩散势垒与实验估计值在合理范围内一致。

密度泛函理论、过渡态理论、表面科学

用于评估 EUV 光学镜面（常涂覆 Ru 作为保护层）在氢等离子体或原子氢环境下的行为。预测 H 的吸附强度、表面迁移率以及重新结合成 H₂ 脱附的可能性，这与镜面的抗污染（碳清除）能力和潜在氢脆风险相关。特征：原子尺度、高精度、计算昂贵。

E{slab+H}, E{slab}, E_{H2}`：DFT 计算的总能量。 E_ads：吸附能（负值表示放热吸附）。 E_a：活化能（扩散或反应势垒）。过渡态几何：反应路径上的鞍点结构。

DFT 总能量、过渡态搜索（CI-NEB）、频率计算。

计算表面科学和催化化学的术语。

1. 结构优化：对干净表面平板模型进行几何优化，得到稳定结构。 2. 吸附位点测试：将 H 原子放在不同高对称位点，分别优化，比较 E_ads，确定最稳定吸附构型。 3. 扩散路径计算：使用 CI-NEB 方法，以初始和最终吸附位点为端点，插入中间像，优化得到 MEP 和 TS。 4. 频率分析：对 TS 进行振动分析，确认只有一个虚频。 5. 速率计算：根据能垒 E_a，利用过渡态理论估算扩散或反应速率常数 k。

物理过程流：气相 H/H₂ -> 接近表面 -> 物理/化学吸附 -> 表面扩散 -> 相遇复合 -> 形成 H₂ -> 脱附。计算流：构建表面模型 -> 优化 -> 计算吸附能 -> 搜索扩散/反应路径 -> 分析能垒和速率。

软件：第一性原理软件（VASP, Quantum ESPRESSO）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0080

材料模型

固体力学/断裂力学

基于扩展有限元法（XFEM）的脆性材料裂纹扩展模型

EUV 光学元件（如硅基多层膜或镜坯）在热应力或机械应力下的裂纹萌生与扩展模型

1. 位移场近似：在标准 FEM 位移场中加入富集函数，以描述不连续（裂纹）： u^h(x) = Σ_{i∈N} N_i(x) u_i + Σ_{j∈N_{cr}} N_j(x) H(x) a_j + Σ_{k∈N_{tip}} N_k(x) Σ_{α=1}^4 B_α(x) b_k^α 其中 H(x)是 Heaviside 函数（跨越裂纹跳跃），B_α(x)是裂纹尖端渐近函数。 2. 应力强度因子计算：通过相互作用积分法或 J 积分计算 I 型、II 型应力强度因子 K_I, K_II。 3. 裂纹扩展准则：采用最大周向应力准则或能量释放率准则。判断 θ = 2 arctan(1/4*(K_I/K_II ± √((K_I/K_II)²+8)))和等效 K_eq = √(K_I² + K_II²)。若 K_eq ≥ K_{IC}（断裂韧性），则裂纹扩展。 4. 裂纹更新：根据扩展方向和步长更新裂纹几何，重新划分富集节点。

XFEM 能自然模拟裂纹沿任意路径扩展，无需重新网格划分，预测的裂纹路径与实验观察定性一致。

断裂力学、有限元法、水平集方法、扩展有限元法

用于评估 EUV 光学元件在制造、装调或运行中，因残余应力、热应力或意外载荷而产生裂纹的风险。模拟裂纹的萌生位置、扩展方向和速度，为结构完整性设计和寿命预测提供依据。特征：处理不连续、自适应、结合断裂准则。

u_i, a_j, b_k^α：常规节点位移和富集节点自由度。 N_i(x)：形函数。 H(x), B_α(x)：跳跃函数和尖端函数。 K_I, K_II, K_{IC}`：应力强度因子和材料断裂韧性。 θ：裂纹扩展角。

富集有限元、相互作用积分、断裂准则。

计算断裂力学和扩展有限元法的术语。

1. 初始裂纹定义：在模型中定义初始裂纹（位置、方向、长度），用水平集函数描述。 2. 加载与分析：施加载荷和边界条件，进行静力学或瞬态分析，求解富集位移场。 3. 断裂参数计算：在裂纹尖端计算 K_I, K_II。 4. 扩展判断：根据准则判断是否扩展。若扩展，计算扩展方向 θ和步长 Δa。 5. 几何更新：根据 θ和 Δa更新裂纹前端，调整水平集函数和富集节点。 6. 循环：重复步骤2-5，模拟裂纹扩展过程。

裂纹演化流：初始缺陷/裂纹 -> 施加应力 -> 尖端应力集中 -> 计算应力强度因子 -> 判断是否满足扩展准则 -> 是则按一定方向扩展 -> 更新裂纹几何 -> 继续加载。模拟流：初始网格与裂纹 -> XFEM 求解 -> 后处理计算 K -> 扩展逻辑 -> 更新模型 -> 迭代。

软件：支持 XFEM 的有限元软件（ABAQUS, ANSYS, COMSOL）。硬件：高性能计算工作站。

EUV-D1-0081

系统模型

可靠性工程/系统安全

故障树分析（FTA）与可靠性框图（RBD）

光刻机整机或关键子系统（如光源、真空系统）的可靠性定量评估模型

1. 顶事件定义：定义不希望发生的系统故障事件（如“EUV 光源输出功率低于阈值”）。 2. 故障树构建：自上而下，用逻辑门（AND, OR, K/N 等）将顶事件逐级分解为中间事件和底事件（基本部件故障）。 3. 底事件数据：赋予底事件故障率 λ或失效概率 p（通常来自历史数据或手册）。 4. 定性分析：求最小割集（MCS），即导致顶事件发生的最小底事件集合。 5. 定量分析：根据底事件概率和逻辑门，计算顶事件发生概率 P_top(t)和系统可靠度 R_sys(t) = 1 – P_top(t)。重要度分析识别关键部件。

提供系统级可靠度的定量估计，识别薄弱环节，指导设计改进和维护策略。

布尔代数、概率论、可靠性理论

用于在光刻机设计阶段评估其可靠性，识别单点故障和关键部件。在运行阶段，用于分析已发生故障的根本原因，或预测系统平均无故障时间（MTBF）。特征：图形化、逻辑演绎、依赖部件故障数据。

顶事件 T：系统故障事件。底事件 B_i：基本部件故障事件，具有故障率 λ_i或不可靠度 F_i(t)。逻辑门：AND, OR 等。最小割集 MCS_j：底事件的集合。 P_top(t)：顶事件在时间 t 的发生概率。

布尔函数、概率计算（不交化、容斥原理）、重要度指标。

可靠性工程和系统安全分析的术语。

1. 系统定义：明确系统边界、功能和故障判据。 2. 建树：从顶事件开始，逐级向下发展故障树，直至底事件。 3. 数据收集：获取底事件的故障率或概率数据。 4. 定性分析：通过下行法或上行法求解所有最小割集。 5. 定量分析： a. 根据底事件概率和逻辑关系，计算顶事件概率。 b. 计算概率重要度、关键重要度等指标。 6. 结果解释与改进：根据分析结果，提出设计改进（如冗余）或维护建议。

逻辑流：顶事件（结果）<- 逻辑门 <- 中间事件 <- … <- 底事件（原因）。分析流：系统描述 -> 构建故障树 -> 定性分析（求 MCS）-> 定量分析（计算概率、重要度）-> 输出报告。

软件：可靠性分析软件（ReliaSoft BlockSim, Isograph FaultTree+）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0082

系统模型

热管理/流体系统

基于集总参数法的热网络模型

光刻机内部多热源、多散热路径的快速热分析模型

1. 热网络抽象：将物理系统抽象为节点（代表具有均匀温度的质量块）和热阻（代表导热、对流、辐射路径）。 2. 节点能量平衡：对每个节点 i： C_i dT_i/dt = Σ_j (T_j – T_i)/R_{ij} + Q_i 其中 C_i是节点热容，R_{ij}是节点 i 和 j 间的热阻，Q_i是节点上的热源（或热沉）。 3. 热阻计算：导热热阻 R_cond = L/(kA)；对流热阻 R_conv = 1/(hA)；辐射热阻线性化处理。 4. 系统方程：将所有节点方程组合成状态空间形式： C dT/dt = A T + Q，其中 A矩阵元素由 1/R_{ij}构成。 5. 求解：求解线性常微分方程组，得到各节点温度随时间变化 T(t)。

对于系统级热分析，能在几分钟内得到温度分布趋势，与详细 CFD 结果误差通常在 10% 以内，满足概念设计和控制策略评估需求。

热力学第一定律、热阻网络理论、集总参数法

用于光刻机整机或子系统的早期热设计和实时热管理策略开发。快速评估不同工作模式、冷却方案或故障场景下的温度响应，指导散热设计和控制逻辑。特征：计算快速、参数化、适合系统级和实时应用。

T_i：节点 i 的温度。 C_i：节点 i 的热容。 R_{ij}`：节点 i 和 j 之间的热阻。 Q_i：施加在节点 i 上的净热流（热源为正，热沉为负）。 h, k, A, L：对流系数、导热系数、面积、长度。

常微分方程组、状态空间模型、热网络拓扑。

热系统工程和集总参数法的术语。

1. 系统分解：将物理系统划分为若干个等温节点。 2. 参数确定：根据几何和材料计算每个节点的 C_i，根据连接关系计算各热阻 R_{ij}。 3. 方程建立：对每个节点写出能量平衡方程，形成矩阵方程 C dT/dt = A T + Q。 4. 求解：给定初始温度 T(0)和热源 Q(t)，使用数值积分（如欧拉法、龙格-库塔法）求解 T(t)。 5. 分析：检查关键节点温度是否超过限值，评估热管理策略有效性。

能量流：热源产生热量 -> 通过热阻网络传递 -> 被热容吸收（温度升高）或通过散热路径耗散到环境。模拟流：建立热网络 -> 设定参数 -> 求解 ODEs -> 得到温度瞬态响应。

软件：系统仿真软件（MATLAB/Simulink, Dymola, Amesim）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0083

计量模型

散射测量/光学计量

基于严格耦合波分析（RCWA）的衍射光栅反演模型

通过测量衍射光强反演 EUV 掩模或晶圆上周期性结构的轮廓与尺寸（CD-SEM 的补充）

1. 正向模型：对于给定的光栅结构（层厚、线宽、侧壁角等参数 p），使用 RCWA 计算其在特定入射条件下的衍射效率 R_m(p)（m 为衍射级次）。 2. 测量数据：实验测量得到衍射效率 R_m^{meas}。 3. 反演问题：构建目标函数 `χ²(p) = Σ_m w_m

R_m(p) – R_m^{meas}

^2。通过优化算法（如 Levenberg-Marquardt）寻找参数p，使得χ²(p)最小。 **4. 不确定性分析**：计算参数p*` 的协方差矩阵，评估测量不确定度对反演结果的影响。

对于典型的光栅结构，反演得到的 CD 与 CD-SEM 测量结果差异 < 1 nm，且能提供侧壁角等信息。

电磁理论（RCWA）、逆问题、优化理论、不确定性量化

用于 EUV 掩模和晶圆的在线或离线计量，通过非接触的光学散射测量，快速、无损地获取关键尺寸（CD）、侧壁角（SWA）、高度等三维轮廓参数，用于工艺监控和反馈控制。特征：非破坏性、快速、提供三维信息。

p：待反演的结构参数向量（CD, height, SWA, pitch…）。 R_m(p)：第 m 级衍射效率的计算值。 R_m^{meas}`：第 m 级衍射效率的测量值。 w_m：权重系数。 χ²(p)：残差平方和。

非线性最小二乘、雅可比矩阵、协方差传播。

光学计量和逆问题求解的术语。

1. 实验设置：用散射测量仪以多角度、多波长照射待测周期性结构，测量多个衍射级的强度。 2. 正向建模：建立参数化的光栅模型，使用 RCWA 作为正向求解器。 3. 优化反演： a. 给定初始猜测 p_0。 b. 计算正向响应 R_m(p_k)和残差 χ²(p_k)。 c. 计算目标函数对参数的梯度（或雅可比矩阵）。 d. 根据优化算法更新参数 p_{k+1}。 e. 重复 b-d 直到收敛。 4. 结果报告：输出最佳拟合参数 p*及其不确定度。

EUV-D1-0084

计量模型

干涉测量/面形检测

相位测量偏折术（PMD）与条纹反射（Fringe Reflection）

非球面或自由曲面光学元件（如 EUV 收集镜）的面形高精度检测模型

1. 系统配置：显示屏显示一系列相移条纹图案，经待测镜面反射后被相机捕获。 2. 相位提取：对捕获的条纹图应用相移算法，得到包裹相位 φ(x,y)： I_n = I_0 [1 + γ cos(φ + 2πn/N)]， n=0,1,…,N-1。解包裹后得到绝对相位。 3. 斜率/法向量计算：相位分布对应于光线偏折角。根据系统几何（显示屏、相机、镜面的位置关系），建立映射：(φ_x, φ_y) <-> (∂z/∂x, ∂z/∂y)或表面法向量 (n_x, n_y, n_z)。 4. 面形重建：通过积分斜率场或求解泊松方程，重建表面高度 z(x,y)： ∇² z = ∂/∂x (S_x) + ∂/∂y (S_y)，其中 S_x, S_y为测量斜率。

对于米级镜面，面形测量精度可达亚微米级 RMS，与干涉仪结果有良好一致性。

几何光学、相移干涉术、相位解包裹、泊松方程

用于 EUV 光学元件（尤其是大尺寸、非球面元件）在制造和装调过程中的面形检测。提供全口径、高分辨率的表面误差图，指导研磨、抛光或主动形变校正。特征：非接触、全场测量、对振动敏感、需精确标定。

I_n(x,y)：第 n 幅条纹图强度。 φ(x,y)：解包裹后的相位分布。 S_x(x,y), S_y(x,y)`：表面在 x 和 y 方向的斜率。 z(x,y)：待求的表面高度。系统几何参数：显示屏和相机的位置、方向。

三角测量、相位计算、数值积分、泊松方程求解。

光学计量和面形检测的术语。

1. 系统标定：精确测量显示屏、相机和镜面（或参考平面）的相对位置和方向。 2. 数据采集：显示屏依次显示 N 幅相移正弦条纹图，相机同步拍摄反射图像。 3. 相位计算：对每个像素点，用 N 步相移公式计算包裹相位，然后进行相位解包裹。 4. 斜率计算：根据标定参数和相位值，计算每个像素点对应的表面斜率 (S_x, S_y)。 5. 面形积分：对斜率场进行数值积分（如 Southwell 方法），得到表面高度 z(x,y)。 6. 误差分析：移除刚体位姿，与设计面形比较，得到面形误差。

光路流：显示屏发出结构化光 -> 经待测镜面反射 -> 被相机捕获 -> 形成变形条纹。数据处理流：采集条纹图 -> 计算相位 -> 转换为斜率 -> 积分得到面形 -> 输出误差云图。

软件：PMD 专用分析软件或自行开发算法（MATLAB, Python）。硬件：高分辨率显示屏、科学级相机、精密机械结构。

EUV-D1-0085

信息科学模型

运筹学/调度优化

混合整数线性规划（MILP）

光刻机集群（Fab 内多台设备）的生产调度与工件流优化模型

1. 问题建模：定义决策变量：x_{i,j,t} ∈ {0,1}（批次 i 是否在设备 j 上于时间 t 开始加工）， C_i（批次 i 的完成时间）。 2. 目标函数：最小化总完工时间（makespan）或总拖期： min max_i C_i或 min Σ_i max(0, C_i – d_i)。 3. 约束条件： – 加工约束：Σ_j Σ_t x_{i,j,t} = 1（每个批次只被加工一次）。 – 资源约束：Σ_i Σ_{τ=t-p_{i,j}+1}^{t} x_{i,j,τ} ≤ 1（设备 j 在任一时刻最多加工一个批次，p_{i,j}为加工时间）。 – 时序约束：C_i ≥ Σ_j Σ_t (t + p_{i,j}) x_{i,j,t}。 – 先后顺序约束：对于有工艺顺序的批次，C_{i1} + setup ≤ start_{i2}。 4. 求解：使用 MILP 求解器（如 CPLEX, Gurobi）寻找最优或近似最优调度方案。

MILP 能为中小规模问题提供最优解，大规模问题可通过启发式或分解方法获得近优解，显著提升设备利用率和准时交货率。

运筹学、整数规划、调度理论、组合优化

用于半导体制造厂中 EUV 光刻机机群的智能调度。在满足工艺约束、设备维护窗口和订单交期的情况下，优化批次加工顺序和设备分配，最大化产能和效率。特征：组合爆炸、NP-hard、依赖精确的加工时间数据。

x_{i,j,t}**：二进制决策变量。 **C_i**：批次 i 的完成时间（连续变量）。 **p_{i,j}：批次 i 在设备 j 上的加工时间（参数）。 d_i：批次 i 的交货期（参数）。 M：一个很大的正数（Big-M 法）。

整数线性规划、约束编程、分支定界/割平面法。

运筹学和生产调度的术语。

1. 问题输入：获取待加工批次列表、各设备状态、加工时间矩阵、工艺路线、交货期等。 2. 模型构建：根据上述框架建立具体的 MILP 模型。 3. 求解：调用求解器，设置时间限制，求解模型。 4. 解的解释：将求解器输出的 x_{i,j,t}值转换为可执行的调度甘特图。 5. 发布与执行：将调度方案发布到制造执行系统（MES），指导生产。

生产流：晶圆批次 -> 按照调度方案分配到特定设备 -> 在特定时间开始加工 -> 完成 -> 流向下道工序或出货。优化流：生产数据 -> 建模为 MILP -> 求解器计算最优调度 -> 输出方案 -> 指导实际生产流。

软件：优化求解器（CPLEX, Gurobi, OR-Tools）、调度系统软件。硬件：服务器（用于运行求解器）。

好的，这是 EUV-D1-0086 ~ 0097 共12个模型的详细版本。

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0086

优化模型

数学规划/鲁棒优化

鲁棒优化（RO）与场景法/不确定集

考虑工艺参数波动（如剂量、焦距）的光刻工艺窗口（PW）最大化模型

1. 不确定参数：定义有界的不确定参数向量 ξ ∈ U，其中 U为不确定集（如盒型、椭球型）。例如，剂量 E = E_nom + ξ_E，焦距 z = z_nom + ξ_z。 2. 鲁棒优化问题：在最坏情况下优化性能。目标函数通常是最小化最坏情况下的 CD 误差或最大化最坏情况下的工艺窗口（PW）： max_{x} min_{ξ∈U} PW(x, ξ) s.t. g_j(x, ξ) ≤ 0, ∀ξ∈U 其中 x为设计变量（如掩模图形、光源形状）。 3. 等价转换：对于线性约束和特定不确定集，可通过对偶理论或鲁棒对等（Robust Counterpart）将问题转化为确定性优化问题。 4. 工艺窗口计算：PW 通常定义为在满足所有规格（如 CD, EPE）的条件下，剂量和焦距的可允许变化范围。鲁棒优化旨在使这个范围最大，并对抗参数波动。

相比确定性优化，鲁棒优化方案在参数波动下（如 ±5% 剂量变化）的良率通常可提高 10-30%。

鲁棒优化理论、对偶理论、不确定规划

用于优化光刻工艺（如 SMO），在存在不可控的工艺参数波动时，设计出对波动不敏感的掩模和光源，最大化工艺窗口和良率。特征：考虑不确定性、保守性可控、转化为确定性优化。

x：设计变量向量。 ξ：不确定参数向量。 U：不确定集。 PW(x, ξ)：工艺窗口（如 EL, DOF）。 g_j(x, ξ)：性能约束（如 CD, EPE 约束）。

最坏情况分析、对偶转换、凸优化。

鲁棒优化和不确定决策的术语。

1. 问题定义：确定设计变量 x、不确定参数 ξ及其波动范围（定义 U）、目标（如最大最小 PW）。 2. 构建鲁棒问题：建立包含不确定参数的优化模型。 3. 鲁棒对等转换：利用理论（如对偶）将鲁棒约束转化为确定性约束。 4. 求解确定性优化：使用非线性规划（NLP）或 MILP 求解器求解转换后的确定性模型。 5. 验证：对得到的最优解 x*进行蒙特卡洛仿真，验证其在参数波动下的鲁棒性能。

设计流：确定性模型 -> 引入不确定性描述 -> 构建鲁棒优化模型 -> 转化为确定性等价形式 -> 求解 -> 得到鲁棒性设计。不确定性流：工艺波动（ξ）-> 影响成像性能 -> 鲁棒优化在最坏情况下进行设计，确保所有可能波动下均可行。

软件：优化求解器（如 IPOPT, Gurobi for RO）、自定义鲁棒优化建模框架（如 ROME）。硬件：高性能计算工作站。

EUV-D1-0087

优化模型

随机规划/概率优化

机会约束规划（CCP）与样本平均近似（SAA）

考虑设备故障、物料延迟等不确定性的生产计划与调度模型

1. 随机参数：定义随机变量 ω，如设备故障时间、晶圆到达时间、工艺时间等，服从已知或经验分布。 2. 机会约束：要求约束以一定概率成立，例如，P( C_i(ω) ≤ d_i ) ≥ 1-α，其中 C_i是批次 i 的完成时间，d_i是交货期，α是允许的违约风险水平。 3. 两阶段随机规划：第一阶段决策（here-and-now）是调度计划；第二阶段（wait-and-see）决策是应对随机性实现的补救措施（如重调度）。目标是最小化期望总成本。 4. 求解方法：采用样本平均近似（SAA），用 N个随机场景 {ω_1, …, ω_N}的样本均值近似期望，将问题转化为大规模确定性优化。

机会约束规划能在给定的风险水平（如 95%）下，提供成本更低或更可行的调度方案，相比确定性和鲁棒方法更灵活。

随机规划、机会约束、样本平均近似、大规模优化

用于制定光刻机及其上下游设备的生产计划，在考虑设备随机故障、维护时间波动、晶圆到达不确定性的情况下，最小化期望总成本（包括拖期、库存、重调度成本），同时满足高服务水平的交期要求。特征：概率约束、期望值目标、场景树。

ω：随机事件（场景）。 x：第一阶段决策变量（调度计划）。 y(ω)：第二阶段决策变量（应对措施）。 P(·)：概率。 α：风险水平（违约概率上限）。 Q(x, ω)：第二阶段成本函数。

概率约束处理、场景生成、大规模线性/整数规划。

随机规划和决策理论的术语。

1. 随机性建模：识别关键随机参数，估计其概率分布。 2. 场景生成：从分布中采样生成 N 个随机场景 {ω_k}。 3. 构建 SAA 问题：用样本均值代替期望，将机会约束转化为确定性约束（对于每个场景）。 4. 求解：求解大规模确定性优化问题，得到第一阶段决策 x*。 5. 方案评估：用新的、大量的样本测试 x*的性能，评估其满足机会约束的真实概率和期望成本。

决策流：制定初步计划（第一阶段）-> 随机事件发生 -> 采取应对行动（第二阶段）-> 产生总成本。优化目标是找到最优的初步计划，以最小化期望总成本。求解流：生成随机场景 -> 构建大规模确定性近似问题 -> 求解 -> 得到稳健调度方案。

软件：随机规划建模语言（PySP, SUTIL），大规模优化求解器（CPLEX, Gurobi）。硬件：高性能计算服务器（处理大规模场景）。

EUV-D1-0088

优化模型

多目标优化/向量优化

多目标优化与帕累托前沿

权衡吞吐量（Throughput）、套刻精度（Overlay）、线宽均匀性（CDU）等多目标的折衷优化模型

1. 多目标问题：多个目标函数 f(x) = [f_1(x), f_2(x), …, f_k(x)]，需同时优化。通常无单一最优解，而是一组帕累托最优解。 2. 帕累托最优：解 x*是帕累托最优的，当不存在其他解 x使得 f_i(x) ≤ f_i(x*)对所有 i 成立，且至少对一个 i 严格不等式成立。 3. 求解方法： – 标量化：加权和法 min Σ w_i f_i(x)，通过变化权重生成帕累托前沿。 – ε-约束法：优化一个目标，将其他目标作为约束 f_j(x) ≤ ε_j。 – 进化算法：如 NSGA-II，直接搜索帕累托前沿。 4. 决策：从帕累托前沿中，根据高层偏好（如良率 vs. 成本）选择最终方案。

多目标优化能清晰展现目标间的 trade-off 关系，帮助决策者在多个竞争目标间做出明智选择。

多目标优化理论、帕累托最优、标量化方法、进化算法

用于光刻机系统级设计或工艺配方优化，需要在相互冲突的目标（如高产出 vs. 高精度，低能耗 vs. 高热稳定性）间进行权衡。通过探索帕累托前沿，理解性能边界，支持基于偏好的决策。特征：向量优化、无唯一解、提供折衷曲线/面。

f_i(x)：第 i 个目标函数。 x：决策变量向量。 w_i：权重系数（在加权和法中）。 ε_j：约束值（在 ε-约束法中）。帕累托前沿：目标空间中所有帕累托最优点的集合。

向量比较、加权求和、约束优化、非支配排序。

多目标决策和优化的术语。

1. 问题构建：定义决策变量 x和多个竞争性目标函数 f_i(x)。 2. 选择求解方法：根据问题特性（凸性、连续性）选择标量化、进化算法等。 3. 生成帕累托前沿：运行优化算法，得到一组（近似）帕累托最优解及其对应的目标值。 4. 可视化与分析：在目标空间绘制帕累托前沿，分析目标间的 trade-off 关系。 5. 决策：决策者根据偏好，从前沿上选择一个最终解。

优化流：多目标问题 -> 采用多目标优化算法 -> 探索解空间 -> 识别非支配解 -> 形成帕累托前沿。决策流：帕累托前沿展示所有可能的最佳折衷 -> 决策者根据偏好（可能隐含）选择一点 -> 对应一个具体设计方案。

软件：多目标优化工具箱（MATLAB gamultiobj, Platypus, pymoo）。硬件：高性能计算工作站（尤其对进化算法）。

EUV-D1-0089

优化模型

拓扑优化/结构优化

基于 SIMP 方法的连续体拓扑优化

在给定载荷与约束下，实现轻量化、高刚度、低热变形的结构材料分布优化模型

1. 设计变量：将设计域离散为有限元，为每个单元 e 引入伪密度变量 ρ_e ∈ [0,1]， 1 表示有材料，0 表示无材料。 2. 材料插值：采用固体各向同性材料惩罚（SIMP）模型，单元刚度与密度关联：E_e = E_min + ρ_e^p (E_0 – E_min)，其中 p是惩罚因子（通常 p=3），以驱动中间密度向 0/1 两端聚集。 3. 优化问题：最小化结构柔度（即最大化刚度），满足体积约束： min_ρ: c(ρ) = F^T U s.t.: K(ρ) U = F V(ρ) = Σ ρ_e v_e ≤ V_target 0 ≤ ρ_e ≤ 1 4. 灵敏度分析与更新：计算目标函数对密度的导数（灵敏度），采用优化准则法（OC）或移动渐近线法（MMA）更新密度。

优化后的结构在相同重量下，刚度可提高 30-50%，或相同刚度下重量减轻 20-40%。

拓扑优化理论、SIMP 方法、变密度法、有限元法

用于设计光刻机中需要高刚度重量比或高刚度体积比的部件，如工件台框架、投影物镜镜筒、支撑结构。在有限空间内，寻找最优的材料布局，以抵抗静态或动态载荷，最小化变形。特征：设计自由度极大、生成有机形状、需后处理。

ρ_e：单元伪密度（设计变量）。 c(ρ)：结构柔度（应变能）。 K, F, U：全局刚度矩阵、力向量、位移向量。 E_0, E_min：实体材料和“空”材料的弹性模量。 p：惩罚因子。 v_e, V_target：单元体积和目标体积。

有限元分析、灵敏度分析、非线性规划、基于梯度的优化。

计算力学和拓扑优化的术语。

1. 定义设计域：设定优化区域、载荷、约束和不可设计区域。 2. 初始化：设定均匀初始密度 ρ_e = V_target。 3. 有限元分析：根据当前密度场 ρ组装刚度矩阵 K(ρ)，求解平衡方程 K U = F，得到位移场 U和柔度 c。 4. 灵敏度分析：计算 ∂c/∂ρ_e。 5. 密度更新：根据 OC 或 MMA 准则更新每个单元的密度 ρ_e。 6. 过滤：应用密度过滤以消除棋盘格现象并施加最小尺寸控制。 7. 收敛判断：如果柔度变化和约束满足度达到收敛标准，则停止；否则返回步骤3。

设计流：初始均匀材料分布 -> 有限元分析 -> 计算灵敏度 -> 更新材料分布（移除非关键区域材料）-> 迭代 -> 收敛到清晰力流路径的拓扑结构。物理流：载荷通过优化后的材料路径传递，实现高效承载。

软件：拓扑优化软件（Altair OptiStruct, ANSYS Topology Optimization, COMSOL with Optimization）。硬件：高性能计算工作站。

EUV-D1-0090

优化模型

贝叶斯优化/全局优化

贝叶斯优化（BO）与高斯过程（GP）回归

针对昂贵、黑箱实验（如新工艺配方调试）的高效全局参数寻优模型

1. 代理模型：用高斯过程（GP）对未知目标函数 f(x)建模。给定观测数据 D = {(x_i, f_i)}， f在未观测点 x*的后验分布为高斯分布：均值 μ(x*)，方差 σ²(x*)。 2. 采集函数：定义采集函数 α(x)平衡探索和利用。常用期望改进（EI）： EI(x) = E[max(f* – f(x), 0)] = (f* – μ(x))Φ(Z) + σ(x)φ(Z) 其中 Z = (f* – μ(x))/σ(x)， f*是当前最佳观测值，Φ和 φ是标准正态分布的 CDF 和 PDF。 3. 迭代优化： a. 用初始点拟合 GP。 b. 找到使 α(x)最大的点 x_next。 c. 在 x_next处进行昂贵评估（实验或仿真），得到 f_next。 d. 将 (x_next, f_next)加入 D，更新 GP 模型。 e. 重复 b-d 直到预算用尽。

与网格搜索或随机搜索相比，贝叶斯优化通常能以少 10-100 倍的实验次数找到接近全局最优的参数组合。

贝叶斯统计、高斯过程、决策理论、全局优化

用于优化光刻工艺中昂贵且耗时的实验或仿真，例如新型光刻胶配方的工艺窗口寻找、复杂清洗工艺的参数调试、或材料合成条件优化。以尽可能少的试验次数找到最优参数。特征：样本效率高、处理噪声、适用于连续参数空间。

f(x)：黑箱目标函数（需最小化）。 D：观测数据集。 μ(x), σ(x)：GP 后验均值和标准差。 α(x)：采集函数（如 EI）。 x_next：下一个建议评估点。

高斯过程回归、贝叶斯推断、采集函数优化。

机器学习（贝叶斯优化）的术语。

1. 初始设计：在参数空间内选择少量初始点（如拉丁超立方抽样）并评估，构建初始数据集 D。 2. 循环： a. 用当前 D拟合 GP 模型。 b. 优化采集函数 α(x)以确定下一个评估点 x_next。 c. 对 x_next进行昂贵评估，得到 y_next。 d. 更新数据集：D = D ∪ {(x_next, y_next)}。 e. 检查终止条件（如最大迭代次数、性能达标）。 3. 输出：返回历史最佳点 x_best。

学习流：初始采样 -> 构建代理模型（GP）-> 模型指导选择有希望的点 -> 评估 -> 更新模型 -> 迭代，逐步逼近全局最优。探索/利用流：采集函数在“利用”（μ(x)低）和“探索”（σ(x)大）间自动权衡。

软件：贝叶斯优化库（GPyOpt, scikit-optimize, BayesianOptimization）。硬件：运行昂贵评估的实验设备或仿真服务器。

EUV-D1-0091

物理模型

非平衡态热力学

非平衡态热力学与熵产最小化

光刻机能量流分析与废热回收潜力评估模型

1. 热力学第一定律：能量平衡：Ė_in = Ė_out + Ė_stored。 2. 熵平衡：熵产率 Ṡ_gen总是非负的：Ṡ_gen = dS/dt – Σ (Q_j/T_j) – Σ m_i s_i ≥ 0。 3. 熵产率计算：对于传热、流动、化学反应等不可逆过程，计算其熵产。例如，温差传热：Ṡ_gen,heat = Q(1/T_c – 1/T_h)。 4. 熵产最小化：在给定约束下，优化系统设计或操作参数，使总熵产率最小化，从而提高能量利用效率（减少㶲损失）。 5. 废热回收分析：识别高温废热源和低温热汇，评估采用热交换器、热泵等回收废热的技术可行性和节能潜力。

熵产分析可量化各过程的不可逆损失，指导系统优化，潜在节能效果可达 5-20%。

非平衡态热力学、熵产理论、㶲分析

用于分析光刻机的整体能量流，识别主要耗能和损失环节（如电机、光源、冷却系统），评估通过优化设计和废热回收提高能源效率的潜力，支持绿色制造。特征：关注能量“质”的损失、系统级分析、指导热力学优化。

Ė：能量流率。 Ṡ_gen：熵产率。 Q：热流率。 T：绝对温度。 ṁ：质量流率。 s：比熵。

热力学平衡方程、熵产计算、优化。

热力学和能源系统分析的术语。

1. 系统分解：将光刻机分解为若干热力学单元（如电机、热交换器、泵）。 2. 建立模型：为每个单元建立能量和熵平衡方程。 3. 数据收集：获取或估算各单元的能量流、热流、温度等数据。 4. 计算分析：计算各单元的熵产率和㶲损失，识别损失最大的环节。 5. 优化与评估：针对高损失环节，提出改进方案（如提高换热效率、优化操作温度），重新计算熵产，评估节能潜力。 6. 废热集成：通过夹点分析等方法，评估废热回收网络的设计。

能量流：电能输入 -> 转化为机械能、光能、热能等 -> 部分有用，部分以废热形式耗散到环境。熵/㶲流：高品质能量（电能）-> 在各过程中因不可逆性降质 -> 最终变为低品质热能（环境温度），熵产量化了降质程度。

软件：热力学分析软件（如 Engineering Equation Solver, Aspen Plus），或自建模型。硬件：无特殊要求。

EUV-D1-0092

物理模型

微纳尺度传热

声子玻尔兹曼输运方程（BTE）

纳米结构（如 FinFET）在曝光过程中的局部温升与热扩散模型

1. 声子 BTE：描述声子分布函数 f(r, q, s, t)的演化： ∂f/∂t + v_g·∇_r f = (∂f/∂t)_{scat} 其中 v_g是声子群速度，右边为散射项（包括声子-声子、声子-缺陷、声子-边界散射）。 2. 热源：EUV 光子能量沉积产生局部“热峰”，通过电子-声子耦合在 ps 时间内将能量传递给晶格，作为 BTE 的源项。 3. 尺寸效应：当特征尺寸（如 Fin 宽度）接近或小于声子平均自由程时，宏观傅里叶定律失效，必须用 BTE 求解。 4. 温度场计算：从声子分布函数计算局域能量密度，进而得到等效温度场。

BTE 可准确预测纳米尺度下的非傅里叶热传导现象，预测的温升比傅里叶定律结果可能高数倍。

动理学理论、玻尔兹曼方程、声子输运

用于评估 EUV 曝光时，在纳米级器件结构（如 Fin, Gate）中由光子能量沉积引起的瞬时、局部温升。这对评估光刻胶显影、潜在的热损伤以及器件性能至关重要。特征：非平衡、非局域、尺寸效应显著。

f(r, q, s, t)：声子分布函数（位置、波矢、支、时间）。 v_g：声子群速度。 Λ：声子平均自由程。 T(r,t)：等效温度场。 G(r,t)：热源项（能量沉积率）。

积分-微分方程、离散坐标法、松弛时间近似。

微纳尺度传热和动理学理论的术语。

1. 参数输入：材料声子色散关系、散射率、几何结构、热源分布 G(r,t)。 2. 求解 BTE：采用数值方法（如离散坐标法、蒙特卡洛法）求解瞬态 BTE。 3. 后处理：从稳态或瞬态声子分布计算能量密度 e(r,t) = Σ ∫ ħω f D(ω) dω，然后通过 e = C_v T关联到温度（需注意非平衡时温度定义）。 4. 分析：得到纳米结构的空间温度分布和随时间演化。

能量流：EUV 光子能量 -> 沉积到电子系统 -> 通过电子-声子耦合快速传递给晶格（声子）-> 声子输运扩散热量 -> 边界散射抑制热流 -> 形成非均匀、非平衡的温度场。模拟流：热源 + 几何 + 声子属性 -> 求解 BTE -> 得到声子分布 -> 计算宏观热学量。

软件：声子 BTE 求解器（如 COMSOL Heat Transfer Module with BTE, 自研代码）。硬件：高性能计算服务器。

EUV-D1-0093

物理模型

电迁移/可靠性

Black 方程与有限元法结合

芯片互连线在高电流密度下的电迁移可靠性失效模型

1. Black 方程：描述电迁移引起的平均失效时间（MTTF）： MTTF = A (J^{-n}) exp(E_a/(k_B T)) 其中 J为电流密度，n为电流密度指数（通常 1-2），E_a为激活能，A为与材料、结构相关的常数。 2. 有限元分析：进行电-热-力耦合仿真，得到互连线的详细电流密度分布 J(r)和温度分布 T(r)。 3. 局部 MTTF 计算：将 J(r)和 T(r)代入 Black 方程，计算每个位置的局部 MTTF。 4. 系统可靠性：基于最弱链模型，整个互连系统的 MTTF 由局部 MTTF 最小的位置决定。考虑应力演化、空洞成核与生长模型可更精确预测。

模型可预测在特定工作电流和温度下的互连线寿命，与加速测试结果在数量级上一致，用于设计规则和可靠性评估。

电迁移物理、扩散理论、Black 方程、连续介质力学

用于评估 EUV 光刻制造的先进节点芯片中，互连线在高电流密度下的电迁移可靠性。通过仿真识别电流密度和温度的热点，优化互连线布局、尺寸和材料，确保芯片在预期寿命内可靠工作。特征：多物理场耦合、统计失效、加速模型。

J：电流密度。 T：绝对温度。 MTTF：平均失效时间。 n, E_a, A：Black 方程参数。 σ：机械应力（在更高级模型中）。

经验公式（Black）、偏微分方程（电、热、力学）、统计分析。

半导体可靠性和电迁移的术语。

1. 电-热仿真：建立互连线结构模型，进行电流-焦耳热-热传导耦合分析，得到 J(r)和 T(r)。 2. 参数提取：从文献或实验获得特定互连线材料体系的 Black 方程参数 A, n, E_a。 3. 寿命计算：在互连线上逐点计算局部 MTTF。 4. 失效分析：找到最小 MTTF 的位置，作为潜在失效点。评估其是否满足产品寿命要求。 5. 优化：若不满足，调整线宽、通孔数量、布局或材料，重新仿真。

物质流：电子风驱动金属原子沿电子流动方向扩散 -> 原子在阳极端堆积（hillock），阴极端耗尽（void）-> 空洞生长导致电阻增大或断路。仿真流：互连几何 -> 电-热-力多物理场分析 -> 得到 J, T, stress -> 代入电迁移模型 -> 预测寿命和薄弱点。

软件：有限元分析软件（ANSYS, COMSOL），电迁移分析插件。硬件：高性能计算工作站。

EUV-D1-0094

物理模型

磁流体动力学

磁流体动力学（MHD）方程

液态金属（如锡）在电磁场约束下的流动与稳定性模型

1. MHD 方程组：耦合 Navier-Stokes 方程和麦克斯韦方程组： ρ (∂u/∂t + (u·∇)u) = -∇p + η∇²u + J×B + ρg ∇·u = 0 J = σ (E + u×B) ∇×E = -∂B/∂t ∇×B = μ_0 J 2. 洛伦兹力：J×B是电磁体积力，用于驱动、制动或约束液态金属流动。 3. 稳定性分析：分析在磁场作用下，液态金属射流或液滴的稳定性（如 Plateau-Rayleigh 不稳定性受磁场抑制）。 4. 应用：模拟利用磁场稳定锡液滴发生器中的射流，或引导碎屑远离光学元件。

MHD 模型可预测磁场对液态金属流动形态、速度和稳定性的影响，与实验观察定性一致。

磁流体动力学、电磁学、流体力学

用于研究和设计 EUV 光源中，利用磁场控制熔融锡液滴或流动的技术，例如稳定液滴发生、减少卫星液滴、或偏转带电锡碎屑。通过磁场实现无接触控制，避免污染。特征：多物理场强耦合、非线性、处理导电流体。

u, p：流速和压力场。 B, E, J：磁感应强度、电场强度、电流密度场。 ρ, η, σ：密度、动力粘度、电导率。 μ_0：真空磁导率。

偏微分方程组（N-S, 麦克斯韦）、洛伦兹力耦合。

等离子体物理和磁流体动力学的术语。

1. 问题设置：定义几何、材料属性、初始条件和边界条件（包括磁场分布）。 2. 数值求解：采用有限体积法或有限元法离散耦合的 MHD 方程组。常需采用求解器（如 SIMPLE 算法的 MHD 扩展）或专门代码。 3. 瞬态模拟：进行时间步进，模拟液态金属在电磁力作用下的流动演化。 4. 分析：可视化流场、磁场、电流分布，分析流动稳定性、受力情况。

相互作用流：外部磁场 B -> 在运动的导电流体中感应出电流 J -> 电流与磁场相互作用产生洛伦兹力 J×B -> 力改变流体运动 u -> 运动又影响磁场（对流项 u×B）-> 形成双向耦合。控制流：通过设计磁场 B 的分布和强度，可产生所需的洛伦兹力模式，从而实现对流体运动（如约束、驱动、制动）的控制。

软件：计算流体动力学软件（如 ANSYS Fluent with MHD module, OpenFOAM with MHD solvers）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0095

物理模型

光力学/量子光学

光辐射压力与腔光力学

光辐射压力引起的光学元件微位移及其对系统稳定性影响模型

1. 辐射压力：光子携带动量 p = ħk。反射或吸收时光子动量改变，对反射镜施加力。对于功率为 P的光束垂直入射理想反射镜，辐射压力 F = 2P/c。 2. 腔光力学系统：光学腔的一个镜面是可动的（有效质量 m，共振频率 ω_m）。腔内光场通过辐射压力与镜面机械运动耦合。哈密顿量为： H = ħω_c a^†a + ħω_m b^†b – ħg_0 a^†a (b + b^†) 其中 g_0是单光子光力耦合系数。 3. 动力学方程：海森堡-朗之万方程描述算符演化，包括阻尼和噪声。可求解镜面位移的涨落谱 S_x(ω)。 4. 稳定性影响：在极高功率或高精细度腔中，辐射压力可能导致光学不稳定性（如参数不稳定）、热透镜效应或引入附加噪声。

对于 EUV 光刻，在目前功率水平下，辐射压力直接位移通常远小于其他扰动（亚皮米级）。但在未来更高功率或更轻镜面设计中需评估。

量子光学、辐射压力、腔光力学、涨落-耗散定理

用于分析 EUV 光路中，高功率光束对光学元件（特别是轻质反射镜或衍射光学元件）的辐射压力效应。评估其引起的微小形变或振动对光束指向、波前和系统稳定性的潜在影响，为超稳定光学设计提供依据。特征：量子力学起源、强度相关、可能产生非线性动力学。

F：辐射压力。 P：光功率。 c：光速。 a, a^†：光场湮灭和产生算符。 b, b^†：机械模湮灭和产生算符。 g_0：单光子光力耦合率。 S_x(ω)：位移噪声功率谱密度。

算符运动方程、量子涨落、噪声谱分析。

量子光学和精密测量的术语。

1. 系统建模：确定光学系统的参数：光功率 P，腔精细度 F，镜面质量 m，机械频率 ω_m和阻尼 Γ_m。 2. 辐射压力计算：估算稳态辐射压力 F_rp和引起的静态位移 Δx = F_rp/(m ω_m^2)。 3. 动态分析（如需要）：建立光力耦合的线性化模型，求解镜面位移的动力学方程，得到其对强度噪声或热噪声的响应。 4. 影响评估：比较辐射压力引起的位移或噪声与其他主要误差源（如振动、热变形）的量级。

能量-动量流：光场携带能量和动量 -> 与可动镜面相互作用（动量交换）-> 辐射压力做功改变镜面的机械能（动能/势能）-> 镜面运动又反作用于光场（相位调制）。噪声流：光强涨落 -> 引起辐射压力涨落 -> 驱动镜面振动 -> 引入相位噪声。

软件：数值计算工具（MATLAB, Python），光力学模拟包（如 QUTIP）。硬件：用于验证的精密光力学实验装置。

EUV-D1-0096

控制模型

事件触发控制/网络化控制

事件触发控制与 Lyapunov 方法

资源受限下（如通信带宽），保证性能的最优采样与控制决策模型

1. 事件触发条件：定义事件触发条件，仅当系统状态满足特定条件时才进行采样和控制更新。例如： `

e(t)

x(t_k) – x(t)

> σ

EUV-D1-0097

控制模型

分布式协同控制

一致性算法与图论

多智能体系统（如多个冷却单元）的协同一致与优化运行模型

1. 通信拓扑：用图 G=(V,E)描述智能体（如冷却泵）间的通信关系，V是节点集，E是边集。邻接矩阵 A描述连接关系。 2. 一致性协议：每个智能体 i 根据邻居信息更新自己的状态 x_i： ẋ_i = – Σ_{j∈N_i} a_{ij} (x_i – x_j) 在连通无向图下，所有 x_i会渐近收敛到一致值（初始值的平均值）。 3. 含领航者的跟踪：部分智能体（领航者）接收外部参考指令 r，其他（跟随者）通过一致性协议跟踪领航者状态，最终所有智能体状态跟踪 r。 4. 优化扩展：结合分布式优化算法（如分布式梯度下降），使多智能体系统协同优化一个全局目标函数。

一致性算法能实现多单元的同步和协同，相比集中式控制，具有可扩展性、鲁棒性和灵活性。

多智能体系统、图论、一致性算法、分布式控制

用于控制光刻机中分布式的、同构的子系统集群，例如多个冷却风扇/泵的协同调速以维持均匀温度场，或多个电源模块的均流控制。实现单元间的自组织协调，无需中央控制器精细管理每个单元。特征：分布式、局部交互、全局一致。

x_i：智能体 i 的状态（如转速、流量）。 **a_{ij}**：邻接矩阵元素（通信权重）。 **N_i**：智能体 i 的邻居集合。 **r**：领航者的参考指令。 **图 Laplacian 矩阵 L**：L = D – A`， D 为度矩阵。

矩阵理论（拉普拉斯矩阵特征值）、微分方程、图论。

多智能体系统和网络化控制的术语。

1. 网络构建：确定智能体间的通信链路（拓扑）。 2. 初始化：每个智能体设置自己的初始状态 x_i(0)。 3. 分布式迭代：在每个控制周期，智能体 i： a. 从邻居接收状态 x_j。 b. 根据一致性协议计算控制输入 u_i。 c. 更新自身状态：x_i(k+1) = x_i(k) + u_i * Δt（离散时间形式）。 d. 将新状态广播给邻居。 4. 收敛：经过多次迭代，所有 x_i趋于一致或跟踪领航者。

信息流：每个智能体状态 -> 在通信网络内局部扩散 -> 通过一致性协议迭代更新 -> 最终达成全局共识。协同流：个体仅与邻居通信和协调 -> 局部相互作用传播至全网 -> 涌现出全局一致行为。

软件：分布式控制算法代码，运行在每个智能体的嵌入式处理器上。硬件：多个带通信接口（如 EtherCAT, CAN）的智能执行器/传感器节点。

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0098

计算模型

计算流体动力学（CFD）

大涡模拟（LES）

光刻机内部复杂湍流（如洁净气流、热羽流）的高保真瞬态模拟模型

1. 滤波：对 Navier-Stokes 方程进行空间滤波，分离大尺度涡（直接求解）和小尺度涡（建模）。滤波后的连续性和动量方程： ∂ū_i/∂x_i = 0 ∂ū_i/∂t + ∂(ū_i ū_j)/∂x_j = -1/ρ ∂p̄/∂x_i + ν ∂²ū_i/∂x_j∂x_j – ∂τ_ij/∂x_j 2. 亚网格尺度（SGS）模型：τ_ij = ū_i ū_j – ū_i ū_j为 SGS 应力，采用 Smagorinsky 模型：τ_ij – 1/3 τ_kk δ_ij = -2 ν_t S̄_ij，其中 ν_t = (C_s Δ)² \\|S̄\\|， S̄_ij为滤波后的应变率张量，Δ为滤波宽度，C_s为 Smagorinsky 常数。 3. 求解：在精细网格上数值求解滤波后的方程，捕捉大涡的瞬态演化。

LES 能比 RANS 更准确地预测湍流的瞬态特性和频谱，尤其适用于分离流、非定常流动，但计算成本远高于 RANS。

湍流理论、滤波技术、大涡模拟

用于模拟光刻机内部对洁净度和热稳定性要求极高的气流组织，如晶圆台上的热羽流、光学腔内的气体流动、以及 minienvironment 中的粒子输运。特征：瞬态、三维、捕捉大尺度涡结构、需精细网格。

ū_i, p̄：滤波后的速度和压力。 τ_ij：亚网格尺度应力。 ν_t：湍流涡粘系数。 C_s, Δ：Smagorinsky 常数和滤波尺度。 S̄_ij：滤波应变率张量。

滤波偏微分方程、SGS 模型、数值求解。

计算流体动力学和湍流模拟的术语。

1. 前处理：建立几何模型，生成高质量的计算网格（通常为六面体或四面体）。 2. 初始化：设定初始流场（如静止或均匀流）和边界条件（速度入口、压力出口、壁面等）。 3. 时间步进循环：对于每个时间步 n： a. 计算对流项和扩散项：基于当前速度场 ū^n。 b. 计算 SGS 应力：根据 Smagorinsky 模型计算 ν_t和 τ_ij。 c. 求解动量方程预测步（如使用投影法）。 d. 求解压力泊松方程，修正速度场以满足连续性。 e. 更新速度压力场，得到 ū^{n+1}, p̄^{n+1}。 4. 后处理：分析瞬态流场、统计平均量、湍流强度、涡结构等。

能量级串流：大尺度涡从平均流获取能量 -> 通过非线性相互作用向更小尺度传递（能量级串）-> 在 Kolmogorov 尺度耗散为热。LES 直接解析大尺度，模型化小尺度。模拟流：初始条件 -> 求解滤波 N-S 方程（包含 SGS 模型）-> 得到瞬态流场演化 -> 统计平均。

软件：高级 CFD 软件（ANSYS Fluent LES, OpenFOAM LES solvers, STAR-CCM+ LES）。硬件：高性能计算集群（大量 CPU 核心，大内存）。

EUV-D1-0099

计算模型

分子模拟/蒙特卡洛

动力学蒙特卡洛（kMC）

表面反应（如 EUV 诱导的碳污染沉积与氢等离子体清洗）的微观动力学模型

1. 状态与事件：系统状态由表面上吸附物种的构型描述。定义可能事件（如吸附、脱附、扩散、反应）及其速率常数 k_i。 2. 速率计算：速率常数通常采用 Arrhenius 形式：k_i = ν_i exp(-E_a,i/(k_B T))，其中 ν_i为尝试频率，E_a,i为活化能，可能依赖于局部环境。 3. kMC 算法： a. 列出所有可能事件及其速率 k_i。 b. 计算总速率 R_tot = Σ_i k_i。 c. 生成两个随机数 r1, r2 ∈ (0,1)。 d. 选择事件：找到满足 Σ_{j=1}^{m-1} k_j < r1 R_tot ≤ Σ_{j=1}^{m} k_j的事件 m。 e. 执行事件 m，更新系统状态和时钟：t → t + Δt，其中 Δt = -ln(r2)/R_tot。 4. 模拟：重复上述步骤，模拟表面覆盖度、膜厚等随时间的演化。

kMC 能模拟远长于 MD 时间尺度的过程（秒至小时），并包含罕见事件，适用于生长和蚀刻动力学。

随机过程理论、蒙特卡洛方法、过渡态理论

用于模拟 EUV 光学镜面上碳氢化合物的污染沉积过程（来自残留碳氢物和 EUV 诱导分解），以及氢等离子体或原子氢清洗去除碳的微观动力学。预测清洗效率、最佳条件及对镜面的潜在损伤。特征：离散事件、随机性、时间尺度长。

系统状态 S：描述表面所有格点占据情况的数组。事件列表 {E_i}：及其速率 {k_i}。 R_tot：总事件速率。 t：模拟时间。 E_a,i, ν_i：事件的活化能和尝试频率。

随机数生成、离散事件模拟、指数时间步长。

计算化学和表面动力学的术语。

1. 初始化：构建初始表面（如干净或部分覆盖），设定温度 T 等参数。 2. 主循环： a. 构建事件列表：扫描当前状态 S，识别所有可能事件 E_i，根据局部环境计算其速率 k_i。 b. 计算总速率：R_tot = Σ k_i。 c. 推进时间：生成随机数 r2， Δt = -ln(r2)/R_tot， t = t + Δt。 d. 选择并执行事件：生成随机数 r1，根据累积概率选择事件 m，执行它（改变 S）。 e. 更新：更新事件列表（局部）。 3. 输出：定期记录状态 S、时间 t、覆盖度等。

过程流：吸附物种到达表面 -> 可能扩散 -> 遇到其他物种可能反应 -> 产物可能脱附。kMC 按事件发生概率随机选择下一个事件，模拟这个随机过程的时间演化。模拟流：初始构型 -> 计算事件速率 -> 随机选择事件并执行 -> 更新时间 -> 循环。

软件：kMC 模拟软件（如 KMOS, Zacros）或自研代码。硬件：高性能计算服务器。

EUV-D1-0100

控制模型

自适应控制/参数估计

模型参考自适应控制（MRAC）

参数未知或时变系统（如热系统随工况变化）的在线自适应控制模型

1. 参考模型：定义期望的动态性能，通常为稳定的线性系统：ẋ_m = A_m x_m + B_m r。 2. 可调系统：被控对象（假设结构已知，参数未知）：ẋ_p = A_p x_p + B_p u。控制器为状态反馈：u = K_x(t) x_p + K_r(t) r。 3. 误差动态：定义状态误差 e = x_p – x_m。目标是设计自适应律调整 K_x(t), K_r(t)，使得 e → 0。 4. 自适应律：基于 Lyapunov 稳定性理论设计。例如，对于匹配条件成立的情况，采用梯度法或 MIT 规则： Ḟ_K_x = -Γ x_p e^T P B， Ḟ_K_r = -Γ r e^T P B 其中 Γ为正定自适应增益矩阵，P为 Lyapunov 方程 A_m^T P + P A_m = -Q的解。

MRAC 能在系统参数缓慢变化或初始未知的情况下，自动调整控制器参数，维持期望性能，跟踪误差可收敛到零附近。

自适应控制理论、Lyapunov 稳定性、参数估计

用于控制光刻机中参数可能漂移或未精确建模的过程，例如热系统的传热系数随气体流速变化、运动系统的摩擦特性随使用时间变化。实现“自整定”，减少人工调参和维护。特征：在线学习、处理不确定性、稳定性分析复杂。

x_m, x_p：参考模型和被控对象状态。 e：状态误差。 K_x(t), K_r(t)：时变反馈和前馈增益矩阵。 Γ：自适应增益矩阵。 P, Q：正定矩阵。

微分方程（误差动态）、参数自适应律、Lyapunov 函数。

自适应控制和系统辨识的术语。

1. 系统设置：确定参考模型 (A_m, B_m)和可调控制器结构。 2. 初始化：设定初始控制器增益 K_x(0), K_r(0)（可为零），初始化状态。 3. 在线运行：在每个控制周期： a. 测量当前被控对象状态 x_p。 b. 计算参考模型状态 x_m（通过数值积分）。 c. 计算误差 e = x_p – x_m。 d. 根据自适应律更新增益 K_x, K_r。 e. 计算控制量 u = K_x x_p + K_r r并输出。 4. 持续运行：系统持续运行，控制器参数不断自适应调整。

控制流：参考输入 r -> 参考模型（产生期望轨迹 x_m）-> 与实际对象输出 x_p 比较 -> 误差 e -> 自适应律（调整 K_x, K_r）-> 控制器产生 u -> 作用于对象 -> 循环。学习流：误差 e 驱动增益 K 的调整，目标是使对象动态匹配参考模型动态。

软件：实时控制软件，实现 MRAC 算法。硬件：实时控制器（DSP, FPGA）。

EUV-D1-0101

控制模型

迭代学习控制（ILC）

基于模型的迭代学习控制

针对重复性任务（如扫描曝光）的高精度轨迹跟踪控制模型

1. 问题描述：系统在有限时间区间 [0, T]内重复运行。第 k 次迭代的动力学：x_k(t+1) = f(x_k(t), u_k(t))， y_k(t) = g(x_k(t))。目标是设计学习律，使输出 y_k(t)跟踪期望轨迹 r(t)，随着迭代次数 k 增加，误差 e_k(t) = r(t) – y_k(t)减小。 2. 学习律：常用基于模型的学习律： u_{k+1}(t) = u_k(t) + L(q) e_k(t+1) 其中 L(q)是学习滤波器（q 为超前算子），通常基于系统逆模型或最优设计。 3. 收敛性：收敛条件为 \\|I – G(z)L(z)\\| < 1，其中 G(z)是系统传递函数。

ILC 能有效消除重复性扰动和模型误差，经过数次迭代后，跟踪精度可比传统反馈控制提高一个数量级。

迭代学习控制、重复系统、最优控制

用于光刻机工件台或掩模台的扫描运动控制。每次扫描曝光是高度重复的过程，ILC 可以利用前一次扫描的误差信息，在下次扫描前修正控制输入，从而补偿系统非线性、摩擦、推力纹波等重复性误差，实现纳米级跟踪精度。特征：利用重复性、前馈修正、离线下一次迭代学习。

k：迭代次数索引。 t：时间索引（离散）。 u_k(t), y_k(t), e_k(t)：第 k 次迭代的控制输入、输出和误差。 r(t)：期望轨迹。 L(q)：学习滤波器。

离散时间系统、迭代更新、收敛性分析（频域或时域）。

学习控制和重复控制的术语。

1. 初始迭代：第 0 次迭代，使用常规反馈控制器（如 PID）进行第一次运行，记录误差 e_0(t)。 2. 学习更新：在两次迭代之间的空闲时间，根据学习律计算下一次迭代的控制信号：u_{1}(t) = u_0(t) + L e_0(t+1)。 3. 执行与记录：用 u_1(t)执行第 1 次迭代，记录新的误差 e_1(t)。 4. 迭代循环：重复步骤 2-3，直到误差 e_k(t)满足要求或收敛。

迭代流：执行任务 -> 记录误差 -> 离线更新控制量（学习）-> 执行新任务 -> 记录新误差 -> … 循环，性能逐次提升。信息流：当前迭代的误差信息，经过学习滤波器处理，作为对下一次迭代控制输入的修正量。

软件：ILC 算法实现，集成到运动控制器软件中。硬件：高性能运动控制器（带数据记录和存储）。

EUV-D1-0102

材料模型

相场法/微观组织模拟

相场法（Phase Field）

材料微观结构（如晶粒生长、相变）在热-力-化学场作用下的演化模型

1. 序参量：定义一个或多个连续序参量场 η_i(r,t)，描述不同相或取向。例如，η=0代表相 A，η=1代表相 B。 2. 自由能泛函：系统总自由能 F = ∫_V [f(η, ∇η, c, T) + …] dV，其中 f为局域自由能密度，包含双阱势、梯度项、弹性能、化学能等。 3. 演化方程：采用 Allen-Cahn 方程描述非保守序参量（如相变）： ∂η/∂t = -L δF/δη 采用 Cahn-Hilliard 方程描述保守序参量（如成分）： ∂c/∂t = ∇·(M ∇ (δF/δc)) 其中 L, M为动力学系数。 4. 数值求解：在计算域上离散求解耦合的偏微分方程组。

相场法能模拟复杂的微观结构形貌演化，如枝晶生长、奥氏体-马氏体相变，与实验观察定性一致。

非平衡态热力学、变分法、扩散界面理论

用于模拟 EUV 掩模材料（如 TaBN）在热循环或离子辐照下的微观结构演化，预测其相稳定性、应力演化及对光学性能的影响。也可用于研究焊料在热疲劳下的组织变化。特征：介观尺度、描述界面、多物理场耦合。

η(r,t)：序参量场（相场）。 c(r,t)：成分场。 F：总自由能泛函。 L, M：动力学系数。 T(r,t)：温度场（可能耦合）。

泛函导数、反应-扩散方程、非线性偏微分方程组。

计算材料学和相场模拟的术语。

1. 初始化：在计算网格上设置初始序参量和成分场（如均匀或引入涨落）。 2. 时间步进循环：对于每个时间步： a. 计算热力学驱动力：计算泛函导数 δF/δη和 δF/δc。 b. 更新场变量：根据 Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程，使用有限差分或有限元法更新 η和 c。 c. 求解耦合场（如需要）：如果耦合温度场或应力场，同时求解相应的方程。 3. 后处理：可视化微观结构演化，计算平均晶粒尺寸、相分数等。

结构演化流：初始微观结构 -> 在化学势、温度、应力等驱动下 -> 相界面通过扩散和界面迁移运动 -> 微观结构形貌发生粗化、相变等演化。模拟流：初始场 -> 计算驱动力 -> 求解演化方程 -> 更新场 -> 循环。

软件：相场模拟软件（如 MICRESS, MOOSE, 自研代码）。硬件：高性能计算集群。

EUV-D1-0103

材料模型

粘弹性/聚合物力学

广义 Maxwell 模型

光刻胶等聚合物材料在曝光和烘烤过程中的粘弹性应力松弛模型

1. 本构关系：广义 Maxwell 模型由一个平衡弹簧（模量 G_e）和 N 个 Maxwell 单元（弹簧 G_i和粘壶 η_i串联）并联而成。应力-应变关系为： σ(t) = G_e ε(t) + Σ_{i=1}^N σ_i(t) 其中每个 Maxwell 单元的应力 σ_i满足： dσ_i/dt + (1/τ_i) σ_i = G_i dε/dt， τ_i = η_i/G_i为松弛时间。 2. 松弛模量：在应变阶跃下，松弛模量为： G(t) = G_e + Σ_{i=1}^N G_i exp(-t/τ_i)。 3. 参数辨识：通过动态力学分析（DMA）实验数据拟合得到 G_e, G_i, τ_i。

模型能很好地描述光刻胶从玻璃态到橡胶态的转变及其时间依赖性，拟合实验数据误差通常在 5% 以内。

线性粘弹性理论、广义 Maxwell 模型、叠加原理

用于模拟 EUV 光刻胶在曝光后烘烤（PEB）过程中的热应力演化。光刻胶受热软化，其粘弹性松弛行为影响内部应力，进而可能影响图形变形（如 line collapse）。该模型为评估和优化 PEB 工艺提供力学基础。特征：线性、多个松弛时间、频域或时域描述。

σ, ε：应力和应变。 G_e：平衡模量。 G_i, η_i, τ_i：第 i 个 Maxwell 单元的模量、粘度和松弛时间。 N：Maxwell 单元数量。

常微分方程组、指数衰减、Prony 级数。

聚合物力学和粘弹性理论的术语。

1. 材料表征：通过 DMA 测试获得材料在不同频率下的储能模量 G'(ω)和损耗模量 G''(ω)。 2. 参数拟合：将广义 Maxwell 模型的复数模量表达式 G*(ω) = G_e + Σ G_i (iωτ_i)/(1+iωτ_i)与实验数据拟合，确定 G_e, G_i, τ_i。 3. 应力计算：给定应变历史 ε(t)，求解 N 个常微分方程得到每个 σ_i(t)，然后求和得到总应力 σ(t)。 4. 耦合分析：将本构模型嵌入到有限元分析中，计算光刻胶图形的应力分布。

应力松弛流：施加应变 -> 弹簧瞬时响应（弹性）-> 粘壶随时间流动 -> 每个 Maxwell 单元的应力按指数松弛 -> 总应力逐渐衰减至平衡值 G_e ε。能量耗散流：应变能部分存储于弹簧，部分通过粘壶粘性流动耗散为热。

软件：材料建模软件（如 ANSYS Material Designer），有限元软件（如 ABAQUS, COMSOL）。硬件：用于 DMA 测试的实验设备，以及用于仿真的工作站。

EUV-D1-0104

系统模型

排队论/生产系统

排队网络模型（开环/闭环）

晶圆厂内光刻区（包括多台光刻机、涂胶显影机等）的产能与在制品（WIP）分析模型

1. 排队网络：将每个设备或工作站建模为一个服务台，晶圆批到达视为顾客。定义到达率 λ，服务率 μ，服务台数量 c，缓冲区大小等。 2. 性能指标：利用排队论公式计算平均排队长度 L_q，平均等待时间 W_q，设备利用率 ρ等。对于复杂网络，可能需要近似方法（如分解、扩散近似）或仿真。 3. 开环 vs 闭环：开环网络：晶圆批按一定速率到达，加工后离开系统。闭环网络：固定数量的晶圆批在有限个工作站间循环（如 rework loop）。 4. 瓶颈分析：识别利用率最高（ρ → 1）或排队最长的设备作为瓶颈。

排队模型能快速估算系统稳态性能，识别瓶颈，为产能规划和调度规则设计提供理论依据，与详细仿真结果趋势一致。

排队论、随机过程、网络理论

用于分析光刻机及其配套设备组成的生产区域。评估不同产品 mix、到达率、设备故障率下的产能、周期时间和在制品水平。支持决策如：需要多少台光刻机？缓冲区设多大？如何设置派工规则？特征：随机性、稳态分析、解析或近似解。

λ：到达率（批/时间）。 μ：服务率（批/时间）。 c：并行服务台数量。 ρ = λ/(cμ)：利用率。 L, L_q, W, W_q：系统中平均批数、排队平均批数、平均逗留时间、平均等待时间。

马尔可夫过程、Little 定律、排队网络平衡方程。

运筹学和生产系统分析的术语。

1. 系统抽象：将实际生产线映射为排队网络，确定节点类型（如 M/M/1, M/G/c, …）。 2. 参数估计：从历史数据或工艺标准获取 λ, μ, c等参数。 3. 模型求解：对于简单网络，使用排队论公式直接计算性能指标。对于复杂网络，使用近似算法或建立离散事件仿真模型。 4. 分析结果：计算各节点和系统的 L, W, ρ，识别瓶颈，评估系统性能是否满足目标（如周期时间）。 5. 假设分析：改变参数（如提高 μ，增加 c），重新评估性能改进。

物料流：晶圆批到达 -> 进入队列等待 -> 获得服务（加工）-> 前往下一站或离开系统。信息流：网络拓扑和参数 -> 排队模型 -> 计算性能指标 -> 输出瓶颈和产能信息。

软件：排队论计算工具（如 QTSPlus），离散事件仿真软件（如 FlexSim, Arena, AnyLogic）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0105

系统模型

系统动力学/因果循环

系统动力学（SD）模型

光刻技术研发投入、市场 adoption、成本下降等宏观因素相互影响的动态模型

1. 存量与流量：定义存量（如“累计 EUV 光刻机安装量”）、流量（如“年新增安装量”）、辅助变量和常量。 2. 因果循环图：用正负反馈环描述变量间的相互影响关系。例如：安装量增加 -> 规模效应 -> 单台成本下降 -> 需求增加 -> 安装量进一步增加（正反馈）。 3. 流图与方程：将因果图转化为流图，并为每个变量建立数学方程（常为差分或微分方程）。例如： d(Installed_Base)/dt = New_Installations New_Installations = f(Demand, Manufacturing_Capacity) Cost_per_Tool = Initial_Cost * Learning_Curve_Factor 4. 仿真：在时间域上数值积分，模拟系统行为。

SD 模型擅长处理高阶、非线性、多反馈的复杂系统问题，能模拟长期趋势和动态行为，如 S 形增长、振荡等。

系统动力学、控制理论、反馈思维

用于分析 EUV 光刻技术的宏观发展轨迹。研究研发投资、学习曲线、市场需求、竞争对手（如 DUV 多重曝光）等因素如何相互作用，影响 EUV 的 adoption rate、成本、和最终市场渗透率。为战略规划提供 insights。特征：宏观、反馈驱动、长期动态。

存量 S：积累量。流量 R：变化率。辅助变量：中间计算量。常量：固定参数。时间 t。

差分/微分方程组、反馈环、非线性关系。

系统动力学和战略建模的术语。

1. 问题界定：明确建模目的和系统边界。 2. 动态假设：提出关键变量间的因果假设，绘制因果循环图。 3. 模型构建：建立存量流量图，为每个变量编写方程。 4. 参数估计：从文献、报告、专家判断获取参数初始值。 5. 仿真测试：运行仿真，观察系统行为。进行灵敏度分析，测试不同策略（如增加研发投入）的影响。 6. 政策分析：基于仿真结果，提出政策建议。

信息反馈流：决策（如投资）-> 影响系统状态（如产能）-> 产生结果（如产出、成本）-> 反馈信息影响后续决策，形成闭环。模拟流：初始存量 -> 根据流量方程计算变化 -> 更新存量 -> 时间步进 -> 循环。

软件：系统动力学软件（如 Vensim, Stella, AnyLogic SD）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0106

优化模型

整数规划/组合优化

集合覆盖与划分问题

光刻掩模版图数据准备中的图形分版（Mask Fracturing）优化模型

1. 问题定义：给定目标图形（通常为多边形），用一组允许的基本图形（如矩形、梯形）来覆盖它，要求覆盖完全且基本图形间重叠最小。目标是使基本图形总数最少，或总写入时间最短。 2. 数学模型：可以建模为集合覆盖问题。令 S为所有可能放置的基本图形的集合，P为目标图形需要覆盖的“像素”或小区域集合。每个基本图形 j ∈ S覆盖一个子集 P_j ⊆ P。引入二元变量 x_j = 1表示选择图形 j。目标： min Σ_{j∈S} c_j x_j s.t. Σ_{j: i∈P_j} x_j ≥ 1, ∀i∈P x_j ∈ {0,1} 其中 c_j可以是图形 j 的写入时间或复杂度。 3. 求解：使用整数规划求解器（如 CPLEX, Gurobi）或启发式算法（如贪心算法）。

优化后的分版方案可比简单规则分版减少 10-30% 的图形数量，从而缩短掩模写入时间，降低 cost。

组合优化、整数规划、计算几何

用于在掩模制造的数据准备阶段，将设计版图分解为光刻机或掩模写入器能够曝光的简单图形。优化分版以减少图形数量、控制复杂图形（如逆光刻技术产生的 SRAF）的数目，从而最小化掩模制造成本和写入时间。特征：离散、组合爆炸、几何约束。

x_j：二元决策变量。 c_j：选择图形 j 的成本。 P：需要覆盖的单元集合。 P_j：图形 j 覆盖的单元子集。

整数线性规划、集合覆盖、几何覆盖。

计算几何和电子设计自动化的术语。

1. 图形生成：根据工艺规则，生成所有可能放置的基本图形候选集 S。 2. 覆盖关系构建：计算每个候选图形 j 覆盖的目标单元集 P_j。 3. 模型构建：建立上述整数规划模型。 4. 求解：调用整数规划求解器求解。 5. 后处理：将解 {x_j}转换为实际的分版图形，可能需要进行几何合法性检查和微调。

覆盖流：目标复杂图形 -> 被一组简单基本图形覆盖 -> 覆盖必须完全且无过多重叠。优化流：生成候选图形 -> 构建覆盖模型 -> 求解最小成本覆盖 -> 输出分版方案。

软件：EDA 工具中的掩模数据准备模块（如 Synopsys IC Validator, Mentor Graphics Calibre），或自定义优化脚本调用求解器。硬件：高性能服务器。

EUV-D1-0107

优化模型

动态规划/序列决策

动态规划（DP）与 Bellman 方程

多阶段决策问题（如多产品混产的调度与切换）的最优策略求解模型

1. 阶段、状态与决策：将问题分解为 N 个阶段。在阶段 k，系统处于状态 s_k ∈ S_k。可采取决策 a_k ∈ A(s_k)，产生阶段成本 c_k(s_k, a_k)，并按转移函数 s_{k+1} = T_k(s_k, a_k)进入下一状态。 2. 最优子结构：最优策略具有性质：无论初始状态和初始决策如何，剩余的决策必须构成一个以该状态为起点的最优子策略。 3. Bellman 方程：定义最优值函数 V_k(s_k)为从阶段 k 状态 s_k出发到过程结束的最小总成本。则： V_k(s_k) = min_{a_k ∈ A(s_k)} [ c_k(s_k, a_k) + V_{k+1}(T_k(s_k, a_k)) ] 边界条件：V_N(s_N)已知。 4. 求解：从最后阶段向前递推计算 V_k(s_k)，并记录最优决策 a_k*(s_k)。

DP 能保证找到多阶段序列决策问题的全局最优解，但可能面临“维数灾”问题（状态空间过大）。

动态规划、最优控制、Bellman 最优性原理

用于求解光刻机或晶圆厂中具有序列决策特征的问题，例如：在多个产品类型间切换时，如何安排生产顺序以最小化总切换时间（setup time）和拖期成本；或设备预防性维护的最佳时机规划。特征：多阶段、最优子结构、无后效性。

k：阶段索引。 s_k：阶段 k 的状态变量。 a_k：阶段 k 的决策变量。 c_k(s_k, a_k)：阶段成本。 T_k(s_k, a_k)：状态转移函数。 V_k(s_k)：最优值函数。

递推方程、最优性原理、状态空间枚举。

运筹学和决策理论的术语。

1. 问题分解：将原问题建模为多阶段决策过程，定义阶段、状态、决策、成本和转移。 2. 初始化：设定最终阶段的值函数 V_N(s_N)。 3. 逆向递推：对于 k = N-1, …, 1：对于每个可能状态 s_k： V_k(s_k) = min_{a_k} [ c_k(s_k, a_k) + V_{k+1}(T_k(s_k, a_k)) ] 记录使上式最小的 a_k*(s_k)。 4. 正向构造：从初始状态 s_1开始，根据记录的 a_k*(s_k)逐步确定最优决策序列。

决策流：初始状态 -> 阶段1决策 -> 转移到新状态 -> 阶段2决策 -> … -> 最终状态。DP 逆向计算每个状态下的最优“剩余”成本，从而正向构造全局最优路径。计算流：初始化最终值 -> 逆向阶段循环 -> 状态循环 -> 决策枚举求最小 -> 记录 -> 完成递推。

软件：通用编程语言（Python, MATLAB）实现 DP 算法。硬件：普通 PC（对于小状态空间）。

EUV-D1-0108

物理模型

等离子体物理/放电

全局（零维）等离子体模型

EUV 光源放电等离子体（如 DPP, LPP）的宏观参数估算模型

1. 粒子数平衡：对于每种粒子种类 i（如电子、离子、中性原子），考虑产生（电离、激发）和损失（复合、扩散、对流）过程： d n_i/dt = Σ G_i – Σ L_i 在稳态下，d n_i/dt = 0。 2. 能量平衡：电子能量平衡：输入功率 P_in等于损失功率（激发、电离、弹性碰撞、热传导等）： P_in = n_e n_n <σv>_ex ε_ex + n_e n_n <σv>_iz ε_iz + … 3. 电中性：Σ_i q_i n_i = 0（准中性）。 4. 求解：联立这些方程，可以估算平均电子密度 n_e、电子温度 T_e、离子温度 T_i等宏观参数。

全局模型能快速估算等离子体参数的数量级和趋势，为更复杂的仿真或实验设计提供指导，但无法给出空间分布。

等离子体物理、碰撞过程、平衡方程

用于对 EUV 光源（如锡液滴激光等离子体或放电等离子体）进行初步分析。估算等离子体密度、温度、辐射效率等关键参数，评估不同工作条件（如激光能量、气压）对 EUV 产额的影响。特征：零维、平均参数、依赖反应速率系数。

n_i：粒子 i 的数密度。 T_e, T_i：电子和离子温度。 <σv>_process：特定过程的反应速率系数（是温度的函数）。 ε_process：该过程消耗或释放的平均能量。 P_in：输入功率密度。

代数方程组（稳态）、反应速率系数。

等离子体物理和放电物理的术语。

1. 确定物理过程：识别主导的产生和损失机制（如电子碰撞电离、三体复合、辐射复合）。 2. 建立方程：写出每种粒子的数平衡方程和电子能量平衡方程。 3. 参数输入：输入已知参数（如气压、输入功率、几何尺寸），以及反应速率系数数据。 4. 数值求解：求解非线性方程组，得到 n_e, T_e, n_i等。 5. 计算衍生量：如 EUV 转换效率（CE）。

粒子流：中性原子 -> 被电子碰撞电离 -> 产生离子和电子 -> 离子和电子可能复合回中性原子（或扩散损失）。能量流：输入能量（激光或电能）-> 加热电子 -> 电子通过碰撞将能量传递给离子和中性原子（激发、电离）-> 部分能量以 EUV 辐射形式输出，部分以热等形式损失。

软件：数值计算软件（MATLAB, Python with SciPy），或专用等离子体化学代码（如 ZDPlasKin）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0109

物理模型

辐射传输/辐射流体力学

辐射流体力学（RHD）与多群辐射输运

激光等离子体相互作用中辐射场与流体动力学耦合的模型

1. 流体方程：质量、动量、能量守恒方程，其中能量方程包含辐射源项： ρ (∂e/∂t + u·∇e) = -p ∇·u – ∇·q + Q_rad Q_rad = ∫_ν (η_ν – χ_ν I_ν) dν dΩ。 2. 辐射输运方程：描述比强度 I_ν沿光线方向 s 的变化： (1/c ∂/∂t + Ω·∇) I_ν = η_ν – χ_ν I_ν 其中 η_ν为发射系数，χ_ν为吸收系数。 3. 多群近似：将频率域离散为若干个群（group），每个群内辐射特性取平均值，简化计算。 4. 耦合求解：流体方程和辐射输运方程强烈耦合，需迭代或隐式方法求解。

RHD 模型是模拟激光等离子体 EUV 光源辐射产额和光谱的基石，能预测等离子体膨胀、辐射输运和自吸收等关键物理。

辐射流体力学、辐射输运理论、非平衡态物理

用于高保真模拟激光驱动锡液滴产生 EUV 辐射的物理过程。模拟激光能量吸收、等离子体形成与膨胀、辐射（特别是 13.5 nm 波段）的产生、输运和逃逸。为优化激光参数、液滴尺寸和收集几何以提高 CE 提供理论工具。特征：多物理场强耦合、非线性、计算极端昂贵。

ρ, u, e, p：密度、速度、比内能、压力。 I_ν(r, Ω, t)：比强度（频率 ν，方向 Ω）。 η_ν, χ_ν：发射和吸收系数。 Q_rad：辐射能量沉积/损失率。 c：光速。

偏微分方程组（流体+辐射）、积分-微分方程（辐射输运）、多群离散化。

高能量密度物理和辐射输运的术语。

1. 初始化：设定初始密度、温度、速度场，以及辐射场（通常为零）。 2. 时间步进循环：对于每个时间步： a. 流体步：基于当前辐射源项 Q_rad^{n}，求解流体方程，得到新的流体状态 (ρ, u, e)^{n+1}。 b. 物性更新：根据新流体状态计算 η_ν, χ_ν。 c. 辐射步：求解辐射输运方程（如使用离散坐标法 Sn），得到新的辐射场 I_ν^{n+1}。 d. 计算新源项：Q_rad^{n+1} = ∫ (η_ν – χ_ν I_ν^{n+1}) dν dΩ。 e. 耦合迭代（可选）：在步内迭代 a-d 直至辐射场与流体场自洽。 3. 后处理：分析 EUV 光输出、等离子体状态演化。

能量耦合流：激光能量 -> 沉积到电子 -> 电子通过碰撞加热离子 -> 高温高密度等离子体辐射 EUV 光子 -> 光子在向外输运过程中可能被再吸收（自吸收）-> 逃逸的光子构成输出，同时辐射场影响等离子体能量平衡（辐射冷却）。模拟流：初始化 -> 交替/耦合求解流体和辐射方程 -> 时间推进 -> 输出结果。

软件：专业 RHD 仿真代码（如 FLASH, HYADES, DUED）。硬件：顶级超算（千万亿次级别）。

EUV-D1-0110

物理模型

表面等离激元/纳米光学

表面等离激元极化激元（SPP）与局域表面等离激元共振（LSPR）

利用等离激元效应增强 EUV 光刻胶吸收或近场光刻的模型

1. 金属介电函数：在 EUV 波段，金属的介电常数 ε(ω) = 1 – ω_p²/(ω(ω+iγ)))，其中 ω_p为等离子体频率，γ为阻尼系数。对于 EUV， ε通常接近 1 且为复数（有吸收）。 2. SPP 色散关系：在金属-介质界面，SPP 波矢： k_spp = (ω/c) √(ε_m ε_d/(ε_m+ε_d)) 其中 ε_m, ε_d为金属和介质的介电常数。在 EUV，由于 ε_m ≈ 1， SPP 特性与可见光区不同。 3. LSPR：对于纳米颗粒，Mie 理论或准静态近似可计算其散射、吸收截面，共振条件与颗粒形状、尺寸、材料及周围介质有关。 4. 近场增强：在共振时，金属结构附近

好的，这是 EUV-D1-0111 ~ 0125 共15个模型的详细版本。

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0111

计算模型

生成对抗网络/深度学习

生成对抗网络（GAN）

用于生成合成缺陷图像以扩充数据集，或对低质量检测图像进行超分辨率重建与降噪的模型

1. 网络结构：包含一个生成器 G 和一个判别器 D。G 输入随机噪声 z 或低质图像，输出合成图像 G(z)。D 输入真实图像 x 或生成图像 G(z)，输出其为真的概率 D(·)。 2. 对抗训练：目标函数为极小极大博弈： min_G max_D V(D, G) = E_{x~p_data}[log D(x)] + E_{z~p_z}[log(1 – D(G(z)))] 3. 训练过程：交替优化 D 和 G。固定 G，训练 D 以最大化区分真假图像的能力；固定 D，训练 G 以生成能欺骗 D 的图像。 4. 变体与应用：条件 GAN（cGAN）可控制生成图像的类别；CycleGAN 可用于域迁移（如将仿真图像转为真实风格）。

训练良好的 GAN 能生成高度逼真的图像，其合成缺陷可用于数据增强，提升下游缺陷分类模型的泛化能力。

博弈论、深度学习、概率生成模型

用于解决 EUV 掩模或晶圆缺陷检测中真实缺陷数据稀缺的问题。生成器可以合成各种类型的缺陷图像（如颗粒、桥接、缺口），与真实数据混合以训练更鲁棒的缺陷分类器。也可用于提升低分辨率或高噪声检测图像的质量。特征：无监督/半监督、生成逼真样本、训练不稳定。

G：生成器网络。 D：判别器网络。 z：潜在空间噪声向量。 x：真实图像。 p_data, p_z：真实数据分布和噪声先验分布。

极小极大优化、反向传播、卷积神经网络。

深度学习和计算机视觉的术语。

1. 初始化：随机初始化 G 和 D 的网络权重。 2. 迭代训练：对于每个训练批次： a. 训练判别器 D：采样真实图像 batch {x}和噪声 batch {z}。计算损失： L_D = -[Σ log D(x) + Σ log(1 – D(G(z)))]，通过反向传播更新 D 的参数。 b. 训练生成器 G：采样噪声 batch {z}。计算损失： L_G = -Σ log(D(G(z)))或 L_G = Σ [1 – D(G(z))]²（最小二乘 GAN），通过反向传播更新 G 的参数。 3. 评估与保存：定期用验证集评估生成图像质量，保存最佳模型。

数据流（训练）：真实图像和随机噪声 -> 分别输入 D 和 G -> G 生成假图像 -> D 判别真假 -> 计算对抗损失 -> 反向传播更新网络。生成流（应用）：输入随机噪声或低质图像 -> 生成器 G -> 输出高质合成图像或修复后的图像。

软件：深度学习框架（PyTorch, TensorFlow）及 GAN 实现库。硬件：GPU 服务器（如 NVIDIA A100）。

EUV-D1-0112

计算模型

图神经网络/几何深度学习

图神经网络（GNN）

处理具有图结构的数据（如电路网表、版图拓扑关系）进行性质预测或分类的模型

1. 图表示：将数据表示为图 G = (V, E)， V 为节点集合（如标准单元、多边形）， E 为边集合（如连接性、邻近性）。每个节点 v 有特征向量 h_v，每条边可能有特征 e_uv。 2. 消息传递：GNN 的核心是迭代的消息传递过程。在每一层 l： a. 消息函数：对每条边 (u, v)，计算消息 m_{uv}^l = M^l(h_u^{l-1}, h_v^{l-1}, e_uv)。 b. 聚合函数：对每个节点 v，聚合来自邻居的消息：a_v^l = AGG({m_{uv}^l, u ∈ N(v)})。 c. 更新函数：更新节点特征：h_v^l = U^l(h_v^{l-1}, a_v^l)。 3. 读出：经过 L 层后，通过读出函数 R 得到图的全局表示：h_G = R({h_v^L \\| v ∈ V})，用于图级任务（如分类）。

GNN 能有效捕捉图结构中的拓扑信息，在处理电路网表、社交网络等非欧数据上优于传统 MLP。

图论、表示学习、消息传递神经网络

用于 EUV 光刻的电子设计自动化（EDA）阶段。例如，将芯片版图或电路网表建模为图，用 GNN 预测热点（hotspot）、评估可制造性、或进行寄生参数提取。利用其处理不规则结构和关系归纳偏置的优势。特征：置换不变性、处理变大小图、利用结构信息。

G=(V,E)：输入图。 h_v^l：节点 v 在第 l 层的特征。 e_uv：边 (u,v) 的特征。 M^l, AGG, U^l：第 l 层的消息、聚合、更新函数。 h_G：图的全局表示向量。

迭代消息传递、邻域聚合、图池化。

图机器学习和几何深度学习的术语。

1. 图构建：从原始数据（如网表、版图 GDSII）构建图结构，提取节点和边特征。 2. 前向传播：输入图 G 和初始节点特征 {h_v^0}。对于每一层 l=1 to L： a. 对每个节点 v，从其所有邻居 u 收集消息并聚合，得到 a_v^l。 b. 结合自身特征 h_v^{l-1}和聚合信息 a_v^l，更新得到 h_v^l。 3. 图级输出：对最终层节点特征进行全局池化（如求和、平均），得到图表示 h_G。 4. 预测：将 h_G输入全连接层，进行图分类或回归。

信息传播流：每个节点的特征 -> 通过边传递给邻居 -> 每个节点聚合来自邻居的信息 -> 更新自身状态 -> 重复多次，使信息在整个图中传播。学习流：输入图 -> 多层 GNN -> 图表示 -> 预测输出。

软件：图神经网络库（PyTorch Geometric, DGL）。硬件：GPU 服务器。

EUV-D1-0113

控制模型

模型预测控制/最优控制

模型预测控制（MPC）

基于动态模型进行有限时域滚动优化，处理多变量、带约束过程控制的模型

1. 预测模型：使用被控对象的离散时间状态空间模型： x(k+1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) 2. 滚动优化：在每个时刻 k，基于当前状态 x(k)，求解未来 N 步的控制序列 U(k) = [u(k), u(k+1), …, u(k+N-1)]，以最小化代价函数： J(k) = Σ_{i=0}^{N-1} [ \\|y(k+i\\|k) – r(k+i)\\|_Q² + \\|Δu(k+i)\\|_R² ] + \\|x(k+N\\|k)\\|_P² 满足状态和输入约束：u_min ≤ u ≤ u_max， Δu_min ≤ Δu ≤ Δu_max。 3. 反馈校正：仅实施最优序列的第一个控制量 u*(k)。到下一时刻 k+1，测量新状态 x(k+1)，重复优化。

MPC 能显式处理多变量耦合和约束，实现最优控制，在光刻机热管理和运动控制中性能优于传统 PID。

最优控制、滚动时域控制、约束优化

用于光刻机中多变量、强耦合且带约束的复杂控制问题，例如：工件台多自由度精密运动轨迹跟踪（处理推力、速度、加速度约束）、热管理系统多区域温度协调控制（处理加热器功率约束）。特征：前馈-反馈结合、处理约束、在线优化。

x(k)：k 时刻的状态。 u(k), y(k)：k 时刻的控制输入和输出。 r(k)：参考轨迹。 Q, R, P：输出误差、控制增量、终端状态的权重矩阵。 N：预测时域。

二次规划（QP）、状态空间模型、滚动优化。

先进过程控制和优化控制的术语。

1. 状态估计：在时刻 k，利用传感器测量估计当前状态 x(k\\|k)（可能需要观测器）。 2. 优化求解：基于模型和当前状态，求解未来 N 步的优化问题，得到最优控制序列 U*(k)。 3. 实施控制：将序列中的第一个控制量 u*(k\\|k)施加给被控对象。 4. 滚动：等待下一个采样时刻 k+1，获取新测量，重复步骤 1-3。

控制流：当前状态 + 未来参考 -> MPC 优化器（求解带约束的优化问题）-> 得到最优未来控制序列 -> 取第一个元素执行 -> 系统演化 -> 反馈新状态 -> 循环。预测流：基于当前状态和模型，预测未来 N 步的系统行为，优化旨在使预测输出跟踪参考轨迹。

软件：MPC 工具箱（MATLAB MPC Toolbox, do-mpc），或嵌入优化求解器（如 qpOASES）的自定义代码。硬件：实时控制器（高性能 CPU 或 FPGA）。

EUV-D1-0114

材料模型

界面科学/热输运

声子界面热阻（Kapitza 阻力）模型

描述不同材料界面处声子输运受阻导致热流下降的模型

1. 定义：界面热阻 R_{Kapitza}定义为温差 ΔT与穿过界面的热流密度 q之比：R_{Kapitza} = ΔT / q。 2. 声学失配模型（AMM）：假设界面完美、弹性连续，基于声学阻抗失配计算透射系数。对于从材料1到材料2的法向入射声子，透射系数： τ_{1->2} = 4 Z_1 Z_2 / (Z_1 + Z_2)² 其中 Z = ρ v_s为声学阻抗（密度×声速）。界面热导：G = (1/4) C v τ， C 为热容，v 为平均声子速度，τ 为平均透射系数。 3. 扩散失配模型（DMM）：假设界面粗糙，声子透射与入射方向无关，且满足能量守恒：τ_{1->2}(ω) + τ_{2->1}(ω) = 1。透射系数与态密度相关。 4. 实际应用：对于真实界面，需考虑界面粗糙度、缺陷、化学键合等因素，模型更为复杂。

AMM 和 DMM 提供了界面热阻的理论估算，但实际值受界面质量影响巨大，可能比理论值高一个数量级。

声子输运、界面散射、热边界阻力

用于分析 EUV 光刻机中涉及异质材料接合处的热管理问题，例如：光学元件多层膜之间的界面、芯片封装中 die 与热沉之间的界面、以及热界面材料（TIM）与接触表面的界面。高热阻是散热瓶颈。特征：界面效应、与材料性质和界面质量强相关。

R_{Kapitza}：界面热阻。 G = 1/R：界面热导。 ΔT：界面两侧温差。 q：穿过界面的热流密度。 Z：声学阻抗。 τ：声子透射系数。

声学/扩散传输理论、热流与温差线性关系（在较小 ΔT 下）。

微纳尺度传热和界面科学的术语。

1. 识别界面：确定接触的两种材料。 2. 获取材料属性：密度 ρ、声速 v_s（或 Debye 温度）、热容 C 等。 3. 选择模型：根据界面质量选择 AMM（光滑）或 DMM（粗糙）。 4. 计算透射系数：根据模型公式计算声子透射系数 τ(ω) 或平均 τ。 5. 计算界面热导：G = (1/4) C v τ。 6. 得到热阻：R = 1/G。

热流/声子流：热流（声子流）从材料1到达界面 -> 部分声子被反射回材料1，部分透射进入材料2 -> 透射部分取决于声学阻抗匹配和界面粗糙度 -> 净热流 q 与界面温差 ΔT 成正比，比例系数为界面热导 G。

软件：材料热物性数据库，声子谱计算软件（如 ShengBTE），或自编脚本计算 AMM/DMM。硬件：无特殊要求。

EUV-D1-0115

材料模型

分子模拟/第一性原理

分子动力学（MD）模拟

从原子尺度模拟材料结构、动力学和热力学性质的模型

1. 势函数：描述原子间相互作用的势能 V({r_i})，如 Lennard-Jones、Morse、EAM 势，或基于第一性原理的力场。 2. 运动方程：根据牛顿第二定律，原子 i 的运动方程为： m_i d²r_i/dt² = F_i = -∇_i V({r_i}) 3. 数值积分：采用 Verlet、Velocity-Verlet 等算法对运动方程进行数值积分，更新原子位置和速度。 4. 系综：通过控温（如 Nosé-Hoover）控压（如 Parrinello-Rahman）方法模拟 NVT、NPT 等统计系综。 5. 性质计算：从轨迹计算径向分布函数、均方位移、应力、热导率等。

MD 能提供原子尺度的动态信息，是理解许多材料现象（如扩散、相变、力学响应）的基础工具，但其时间尺度有限（通常<1微秒）。

经典力学、统计力学、数值积分

用于研究 EUV 光刻中涉及的材料在原子尺度的行为，例如：氢等离子体与镜面保护层（Ru）的相互作用、碳污染物的吸附与扩散、光刻胶分子在曝光前后的构象变化、以及金属互连线的力学性能。特征：原子分辨率、时间演化、依赖势函数精度。

r_i, v_i：原子 i 的位置和速度向量。 m_i：原子 i 的质量。 F_i：作用在原子 i 上的力。 V({r_i})：系统势能，是原子位置的函数。 T, P：系统温度和压力（目标值）。

牛顿运动方程、数值积分、统计平均。

计算化学和分子模拟的术语。

1. 系统搭建：构建初始原子构型（晶体、非晶、表面等），设定边界条件（周期性等）。 2. 能量最小化：优化初始构型，消除不合理接触。 3. 平衡模拟：在目标系综（如 NVT）下运行 MD，使系统达到平衡（温度、能量稳定）。 4. 生产模拟：在平衡基础上继续模拟，采集轨迹数据用于分析。 5. 分析：对轨迹进行后处理，计算所需物理量。

相空间轨迹流：初始原子位置和速度 -> 根据势函数计算受力 -> 数值积分运动方程 -> 更新位置和速度 -> 循环，生成系统在相空间中的轨迹。性质提取流：原子轨迹 -> 统计力学公式（时间平均或系综平均）-> 宏观可观测量（如温度、压力、扩散系数）。

软件：分子动力学软件（LAMMPS, GROMACS, Materials Studio）。硬件：高性能计算集群（CPU/GPU）。

EUV-D1-0116

系统模型

可靠性工程/故障分析

故障树分析（FTA）

通过逻辑演绎，自上而下分析系统故障与底层事件因果关系的模型

1. 顶事件：定义不希望发生的系统级故障事件（如“EUV 光源输出功率不足”）。 2. 逻辑门：用与门（AND）、或门（OR）等逻辑门连接中间事件和底事件，构建故障树。与门表示所有输入事件发生则输出发生；或门表示任一输入事件发生则输出发生。 3. 底事件：基本组件故障或人为错误，通常有故障率数据。 4. 定性分析：求最小割集（MCS），即导致顶事件发生的最小底事件集合。 5. 定量分析：若底事件概率已知，可计算顶事件发生概率、重要度等。

FTA 能系统化地识别导致系统故障的所有可能路径，找出薄弱环节。定量分析依赖于底事件故障数据的准确性。

布尔代数、可靠性理论、概率论

用于对 EUV 光刻机进行可靠性分析。识别导致关键系统故障（如停机、性能下降）的所有潜在原因组合。帮助设计冗余、制定预防性维护策略、并指导故障诊断。特征：图形化、演绎法、关注故障逻辑。

顶事件 T：待分析的系统故障。中间事件：由逻辑门组合的事件。底事件 B_i：基本故障事件。逻辑门：AND, OR, 等。最小割集 MCS：导致 T 发生的最小底事件集合。

布尔逻辑运算、割集分析、概率计算（如容斥原理）。

可靠性工程和系统安全分析的术语。

1. 定义系统与顶事件：明确系统边界和要分析的顶事件 T。 2. 构建故障树：从 T 开始，逐层向下追问“导致此事件发生的直接原因是什么？”，用逻辑门连接，直至底事件。 3. 定性分析：通过布尔代数简化故障树，求出所有最小割集（MCS）。 4. 数据收集：获取底事件的故障率或概率。 5. 定量分析：基于 MCS 和底事件概率，计算顶事件 T 的发生概率、底事件的概率重要度和关键重要度。 6. 结果应用：根据重要度排序，提出改进措施（如对高重要度部件增加冗余）。

逻辑推导流：顶事件（结果）-> 通过逻辑门分解为直接原因（中间事件）-> 继续分解 -> 直至基本原因（底事件）。这是一个从结果到原因的反向追溯过程。风险聚合流：底事件概率 -> 通过逻辑门（AND/OR）的概率计算公式 -> 向上聚合 -> 得到顶事件概率。

软件：故障树分析软件（CAFTA, RiskSpectrum, OpenFTA）。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0117

系统模型

可靠性工程/系统架构

可靠性框图（RBD）

用框图表示系统组件可靠性逻辑关系，并计算系统可靠度的模型

1. 框图构建：根据系统功能，用方框代表组件，连接线代表可靠性逻辑关系。常见结构：串联、并联、k/n 表决等。 2. 可靠性逻辑： – 串联：所有组件正常工作，系统才正常。系统可靠度 R_s = Π R_i。 – 并联（冗余）：任一组件正常工作，系统即正常。系统可靠度 R_s = 1 – Π (1 – R_i)。 – k/n 表决：n 个组件中至少有 k 个正常，系统才正常。 3. 计算：根据框图结构和组件可靠度 R_i(t)（通常为指数分布 R_i(t)=exp(-λ_i t)），计算系统可靠度 R_s(t)和平均无故障时间（MTTF）。

RBD 提供了一种直观计算系统可靠度的方法，尤其适用于具有明确冗余结构的系统。

可靠性理论、概率论、系统框图

用于评估 EUV 光刻机子系统或整体的可靠性。例如，分析双冗余控制系统、多泵组成的真空系统、或由多个模块串联而成的曝光链的可靠度。帮助进行可靠性预估、分配和比较不同架构。特征：图形化、组合逻辑、基于组件可靠度。

R_i(t)：第 i 个组件在时间 t 的可靠度。 λ_i：第 i 个组件的失效率（假设恒定）。 R_s(t)：系统在时间 t 的可靠度。框图结构：串联、并联、混合。

概率乘法、互补概率、二项分布（k/n 表决）。

可靠性工程和系统架构的术语。

1. 系统分解：将系统分解为在可靠性上独立的组件或模块。 2. 绘制 RBD：根据系统功能逻辑（非物理连接），绘制可靠性框图。 3. 获取数据：获取每个组件的可靠度函数 R_i(t)或失效率 λ_i。 4. 模型简化：对于复杂 RBD，逐步简化串联、并联等结构，计算等效可靠度。 5. 系统可靠度计算：根据简化后的最终结构，计算系统可靠度 R_s(t)和 MTTF。 6. 灵敏度分析：分析组件可靠度变化对系统可靠度的影响。

可靠性逻辑流：系统功能依赖于各组件功能的逻辑组合。RBD 描述了这种“正常工作”的逻辑依赖关系。计算流：组件可靠度 -> 根据框图逻辑（串联/并联等）组合 -> 系统可靠度。

软件：可靠性分析软件（BlockSim, ReliaSoft），或自行编程计算。硬件：普通 PC。

EUV-D1-0118

优化模型

列生成/大规模优化

列生成算法

用于求解大规模线性规划（LP）或整数规划（IP）问题（如切割库存、机组排班）的分解算法

1. 主问题（MP）：原始问题，但只考虑所有可能列（变量）的一个子集。 min c^T x s.t. A x = b x ≥ 0 2. 受限主问题（RMP）：MP 中只包含当前列集合 J'。 3. 子问题（SP）/定价问题：寻找一个具有负检验数（reduced cost）的新列加入 RMP。检验数 c̄_j = c_j – π^T A_j，其中 π是 RMP 当前对偶变量的值。子问题通常是另一个优化问题： min_{j ∈ J} (c_j – π^T A_j) 4. 迭代：求解 RMP 得到 primal 和 dual 解；求解 SP，若找到 c̄_j < 0的列，则加入 RMP，重复；否则，当前 RMP 的解即原问题最优解。

列生成能有效处理变量极多（甚至指数级）但约束相对较少的问题，避免显式枚举所有变量。

线性规划对偶理论、Dantzig-Wolfe 分解、列生成原理

用于解决 EUV 光刻生产中的大规模调度和切割问题。例如，将晶圆生产任务分配给多台光刻机并排序（机组排班），或将掩模版布局在有限数量的掩模版上（二维装箱/切割库存）。通过动态生成“列”（即可行的任务分配模式或切割模式）来逼近最优解。特征：分解、主-子问题迭代、处理组合爆炸。

x：决策变量向量（每列对应一个模式）。 c, A, b：成本系数、约束矩阵、右端项。 π：RMP 的对偶变量值。 c̄_j：列 j 的检验数。 J：所有可能列的集合（极大）。

线性规划、对偶变量、检验数、迭代优化。

运筹学和大规模优化的术语。

1. 初始化：构造一个初始的可行列集合 J'（可能通过启发式），形成 RMP。 2. 循环： a. 求解 RMP：得到最优解 x*和对偶解 π*。 b. 求解子问题 SP：利用 π*计算 min_{j∈J} (c_j – (π*)^T A_j)。若最优值 ≥ 0，则转到步骤 3；否则，将找到的负检验数列加入 J'。 c. 返回步骤 a。 3. 终止：此时 RMP 的解即为原 MP 的最优解（对于 LP）。对于 IP，可能需要结合分支定界（分支定价）。

列流：初始列集 -> 求解 RMP -> 得到对偶变量 -> 求解 SP 生成新列 -> 加入 RMP -> 迭代，逐步逼近最优解集。信息流：主问题提供对偶价格 -> 子问题根据价格寻找“有利可图”的新生产模式/切割模式 -> 反馈给主问题。

软件：优化求解器（CPLEX, Gurobi）通常内置列生成功能，或通过回调函数自定义。硬件：高性能服务器。

EUV-D1-0119

优化模型

分布鲁棒优化（DRO）

分布鲁棒优化

在不确定性分布信息不完全已知时，针对最坏情况分布进行优化的模型

1. 模糊集：定义真实概率分布 P所属的模糊集 D（ambiguity set）。常见的有基于矩信息的模糊集（如已知均值和协方差）或基于距离的模糊集（如 Wasserstein 球）。 2. DRO 模型：在最坏情况分布下最小化期望成本： min_{x∈X} max_{P∈D} E_P [f(x, ξ)] 其中 ξ为随机参数，f(x, ξ)为成本函数。 3. 等价转化：对于某些模糊集（如 Wasserstein 球），上述 min-max 问题可以转化为一个确定性的优化问题（如半定规划、锥优化）。 4. 与 RO 和 SP 的关系：DRO 介于鲁棒优化（仅知支撑集）和随机规划（已知精确分布）之间，利用部分分布信息做出 less conservative 的决策。

DRO 比传统鲁棒优化保守性更低，比随机规划更稳健（对分布误设不敏感），在数据有限时尤其有用。

分布鲁棒优化、最坏情况期望、模糊集理论

用于 EUV 光刻中需要决策且面临不确定性的场景，但历史数据不足以精确估计概率分布。例如，新产品的需求预测、新工艺的良率估计。DRO 利用有限的分布信息（如均值、方差或一些样本），做出对分布 ambiguity 稳健的决策。特征：数据驱动、保守性可控、处理分布不确定性。

x：决策变量。 ξ：随机参数。 P：ξ的概率分布。 D：模糊集（分布的不确定集合）。 f(x, ξ)：成本函数。

极小极大优化、对偶理论、矩约束或距离约束。

优化理论和决策科学的术语。

1. 数据与模糊集构建：基于历史数据或先验知识，构建模糊集 D（例如，定义 Wasserstein 球的半径）。 2. 建模：建立 DRO 问题 min_x max_{P∈D} E_P[f(x, ξ)]。 3. 转化：利用对偶理论等方法，将内层的 max 问题转化为确定性的约束，从而将 DRO 转化为一个确定的优化问题。 4. 求解：使用相应的优化求解器（如凸优化求解器）求解转化后的问题。 5. 决策：得到最优的稳健决策 x*。

不确定性流：真实分布未知，但属于一个模糊集 -> 优化器考虑该模糊集内的所有可能分布 -> 针对最坏情况的分布进行决策。求解流：原始 DRO 问题 -> 通过数学变换（如对偶）-> 确定性等价问题 -> 求解 -> 得到稳健解。

软件：优化建模语言（CVXPY, YALMIP）结合凸优化求解器（MOSEK, Gurobi）。硬件：高性能工作站。

EUV-D1-0120

物理模型

X射线光学/薄膜表征

X射线反射（XRR）与折射率模型

通过测量 X 射线在薄膜表面的反射率随入射角的变化，反演薄膜厚度、密度和粗糙度的模型

1. 折射率：在 X 射线波段，材料的复折射率 n = 1 – δ – iβ，其中 δ与电子密度成正比，β与吸收系数相关。 2. Parratt 递推公式：用于计算多层膜的反射率。对于第 j 层，其折射率为 n_j，厚度为 d_j。定义第 j 层与第 j+1 层界面处的递归关系： R_{j} = (r_{j,j+1} + R_{j+1} exp(-2i k_{z,j+1} d_{j+1})) / (1 + r_{j,j+1} R_{j+1} exp(-2i k_{z,j+1} d_{j+1})) 其中 r_{j,j+1} = (k_{z,j} – k_{z,j+1})/(k_{z,j} + k_{z,j+1})为菲涅尔反射系数，k_{z,j} = (2π/λ) √(n_j² – cos²θ)为垂直波矢分量。 3. 拟合：将理论反射率曲线 R(θ)与实验测量曲线进行最小二乘拟合，优化参数 d_j, ρ_j（密度）, σ_j（粗糙度）。

XRR 是一种非破坏性、高精度的薄膜表征技术，厚度分辨率可达亚纳米级，密度精度约 1%。

X射线光学、菲涅尔方程、多层膜干涉

用于精确测量 EUV 掩模和光学元件上多层膜（如 Mo/Si）的周期厚度、各层密度、界面粗糙度以及污染层厚度。是监控膜层生长质量、评估性能退化的关键手段。特征：非接触、高精度、对界面敏感。

θ：X 射线入射角。 λ：X 射线波长。 n_j = 1 – δ_j – iβ_j：第 j 层的复折射率。 d_j：第 j 层厚度。 σ_j：第 j 层表面粗糙度（通常用 Nevot-Croce 因子近似）。 R(θ)：反射率。

递归计算、复数运算、最小二乘拟合。

材料表征和 X 射线光学的术语。

1. 实验测量：使用 XRR 仪器，测量样品在低角度范围内的反射率曲线 R_exp(θ)。 2. 模型构建：假设一个初始的多层膜结构模型（层数、材料、初始厚度、密度、粗糙度）。 3. 理论计算：基于模型参数，利用 Parratt 公式计算理论反射率曲线 R_theory(θ)。 4. 拟合优化：通过最小化 Σ [log(R_exp(θ_i)) – log(R_theory(θ_i))]²，调整模型参数，使理论曲线与实验曲线最佳匹配。 5. 结果分析：输出最优的膜厚、密度、粗糙度等参数，评估拟合优度。

X射线路径流：入射 X 射线 -> 在每层界面发生反射和透射 -> 各层反射波发生干涉 -> 探测器测量总反射强度随角度的变化。数据分析流：实验数据 -> 初始模型 -> 理论计算 -> 与数据比较 -> 调整参数 -> 迭代拟合 -> 最终结构参数。

软件：XRR 分析软件（如 GenX, IMD, REFLEX）。硬件：XRR 测量仪器。

EUV-D1-0121

物理模型

光声效应/无损检测

光声效应与热弹性方程

脉冲激光照射材料产生超声波，用于检测亚表面缺陷或测量薄膜特性的模型

1. 光声效应：脉冲激光被材料吸收，产生瞬时局部加热，导致热膨胀，从而激发超声波（声波）。 2. 热弹性方程：耦合的热传导和弹性波方程： ρ C_p ∂T/∂t = ∇·(k ∇T) + Q（热传导） ρ ∂²u/∂t² = ∇·σ + β ∇T（运动方程，热弹性耦合项）其中 Q为激光热源，β为热应力系数，σ为应力张量。 3. 超声检测：产生的超声波（纵波、横波、表面波）在材料中传播，遇到缺陷或界面会发生反射、折射和模式转换。检测这些声波信号可反演内部结构。 4. 逆问题：通过测量表面位移或声压信号，重建热源分布或缺陷形状。

光声技术能检测亚微米至毫米尺度的近表面缺陷，空间分辨率高，且对样品透明性无要求。

热弹性理论、超声学、光声效应

用于 EUV 掩模基板或多层膜缺陷的无损检测。脉冲激光可在不接触、不损伤样品的情况下，激发超声波来探测亚表面空洞、分层、裂纹等缺陷。也可用于测量薄膜厚度或粘接质量。特征：非接触、高分辨率、对热学和力学性质敏感。

T(r,t)：温度场。 u(r,t)：位移场。 Q(r,t)：激光吸收产生的热源项。 ρ, C_p, k：密度、比热容、热导率。 β：热弹性耦合系数。 σ：应力张量。

耦合偏微分方程组（热传导+弹性波）、热源项、超声传播。

无损检测和光声物理的术语。

1. 激光照射：短脉冲激光照射样品表面，能量被吸收转化为热。 2. 超声激发：快速热膨胀产生应力，激发宽带超声波向材料内部传播。 3. 传播与相互作用：声波在材料中传播，遇到缺陷或界面时发生反射、散射。 4. 信号检测：在样品表面（或另一侧）用干涉仪或压电传感器检测声波引起的位移或声压信号。 5. 信号处理与成像：分析接收信号的时域/频域特征，或通过扫描激光点/检测点，重建内部缺陷图像。

能量转换流：激光光子能量 -> 被电子吸收 -> 通过电子-声子耦合转化为晶格热能 -> 热膨胀产生应力 -> 激发声波（机械能）。检测流：激发声波 -> 在材料中传播并与内部结构相互作用 -> 携带内部信息的声波被探测器接收 -> 信号分析反演内部结构。

软件：多物理场仿真软件（如 COMSOL, ANSYS）用于模拟光声过程；专用信号处理软件用于图像重建。硬件：脉冲激光器、超声探测器（如干涉仪）、扫描平台。

EUV-D1-0122

计算模型

不确定性量化/敏感性分析

Sobol 指数法（全局敏感性分析）

基于方差分解，量化模型输出不确定性中各输入参数贡献度的模型

1. 方差分解：将模型 Y = f(X_1, X_2, …, X_k)的输出总方差 V(Y)分解为各输入参数及其交互作用的贡献： V(Y) = Σ_i V_i + Σ_{i<j} V_{ij} + … + V_{12…k} 其中 V_i = V[E(Y\\|X_i)]是仅由 X_i引起的方差，V_{ij}是 X_i和 X_j的交互作用方差，以此类推。 2. Sobol 指数： – 一阶指数：S_i = V_i / V(Y)，衡量 X_i单独对输出方差的贡献。 – 总效应指数：S_{Ti} = (V(Y) – V[E(Y\\|X_{-i})]) / V(Y)，衡量 X_i及其与所有其他参数的交互作用对总方差的贡献。 3. 计算：通常通过蒙特卡洛采样，利用如 Saltelli 方案高效计算这些指数。

Sobol 指数能全面评估参数的主效应和交互效应，是全局敏感性分析的金标准之一，但计算成本较高（需要大量模型运行）。

方差分析、高维模型表示、蒙特卡洛方法

用于识别复杂仿真模型（如光学成像仿真、工艺仿真）中对输出结果（如 CD、良率）影响最大的输入参数。帮助工程师聚焦于校准关键参数、简化模型（固定不敏感参数）、或理解参数间的交互作用。特征：全局性、量化交互作用、基于方差。

Y：模型输出（标量或向量）。 X = {X_1, …, X_k}：输入参数向量。 V(Y)：输出 Y 的总方差。 V_i, V_{ij}：由参数 i 单独、参数 i 和 j 交互引起的方差。 S_i, S_{Ti}：一阶和总效应 Sobol 指数。

方差分解、高维数值积分（蒙特卡洛）。

不确定性量化和敏感性分析的术语。

1. 参数范围定义：确定每个输入参数 X_i的概率分布或取值范围。 2. 采样：根据 Saltelli 方案生成两组采样矩阵 A 和 B，以及一系列混合矩阵 A_B^(i)。 3. 模型运行：对采样点集中的每一个点，运行仿真模型，得到输出

编号

类别

领域

模型配方

定理/算法/模型/方法名称

定理/算法/模型/方法的逐步思考推理过程及每一个步骤的数学方程式和常量/标量/向量/变量/参数列表

精度/密度/误差/强度

底层规律/理论定理

典型应用场景和各类特征

变量/常量/参数列表及说明

数学特征

语言特征

时序和交互流程的所有细节/分步骤时序情况及数学方程式

流动模型和流向方法的数学描述

软件/硬件

EUV-D1-0116

控制模型

控制科学/信息科学

鲁棒控制（H∞ 和 μ-综合）

投影物镜高阶像差主动补偿控制

1. 系统不确定性建模：投影物镜的像差变化（如热致、压力致）和可变形镜面（DM）的响应都存在不确定性。用乘法不确定性或加性不确定性描述： P(s) = P_0(s) (1 + Δ(s) W_Δ(s))或 P(s) = P_0(s) + W_a(s) Δ(s)，其中 P_0(s)为标称模型，Δ(s)为归一化不确定性（满足 ‖Δ‖∞ ≤ 1），W_Δ(s)， W_a(s)为加权函数，描述不确定性大小和频率特性。 2. 性能指标：定义灵敏度函数 S = (I+PK)^(-1)和补灵敏度函数 T = I – S。性能要求为： * 跟踪/扰动抑制：‖W_p S‖∞ < 1，其中 W_p(s)为性能加权函数，低频增益大以强制低频跟踪。 * 鲁棒稳定性：‖W_u T‖∞ < 1，其中 W_u(s)为控制量加权，限制高频控制能量并保证对乘性不确定性的鲁棒性。 3. 标准H∞控制问题：将系统增广为广义被控对象 G(s)，将不确定性、性能要求和控制目标统一在框架内。寻找控制器 K(s) 使得闭环系统稳定，且从外部输入 w（参考、扰动）到输出 z（误差、控制量）的传递函数矩阵的 H∞ 范数最小化： min_K ‖T_{zw}(K)‖∞ 4. μ-综合：对于结构化的不确定性 Δ（如对角块结构），采用 μ-综合，目标是设计控制器 K 使得闭环系统的结构奇异值 μ_Δ 满足： sup_ω μ_Δ[F_l(P(jω), K(jω))] < 1，其中 F_l 表示下线性分式变换。这是一个 D-K 迭代过程。 5. 控制器实现：求解得到的控制器 K(s) 通常是高阶的，需进行降阶处理，然后以数字滤波器形式在实时系统中实现。

像差补偿带宽 > 10 Hz，对模型摄动的稳定裕度 > 6 dB增益裕度， > 30°相位裕度。

现代鲁棒控制理论、H∞优化、结构奇异值理论

用于设计可变形镜面（DM）或微调镜的控制器，以主动补偿投影物镜由热、振动、装调引起的低阶到中阶像差，维持成像质量稳定。特征：多输入多输出、模型不确定性显著、性能与鲁棒性折衷。

P(s)：被控对象（从DM驱动器电压到像差传感器输出）。 K(s)：待求的鲁棒控制器。 Δ(s)：归一化不确定性块。 W_Δ(s), W_a(s)：不确定性加权函数。 W_p(s), W_u(s)：性能和控制量加权函数。 S, T：灵敏度与补灵敏度函数。 μ_Δ：结构奇异值。

函数分析（H∞范数）、线性分式变换、凸优化、矩阵理论。

鲁棒控制领域的专业术语，强调“不确定性”、“性能加权”、“H∞范数”。

1. 系统辨识：通过实验或物理模型得到标称模型 P0(s) 和不确定性边界 W_Δ(s) 或 W_a(s)。 2. 构建广义被控对象：根据性能要求（跟踪带宽、稳态误差）和约束（控制量限幅、执行器带宽）设计加权函数 Wp(s) 和 Wu(s)，构建增广系统 G(s)。 3. 控制器求解：使用 Riccati 方程或 LMI 方法求解标准 H∞ 问题，得到初始控制器 K0(s)。对于结构化不确定性，进行 D-K 迭代优化 μ。 4. 控制器降阶：对得到的高阶控制器进行平衡截断或 Hankel 范数近似降阶，以便于实时实现。 5. 离散化与实现：将降阶后的控制器离散化，在实时处理器（如 DSP/FPGA）上实现数字滤波器。 6. 在线运行：像差传感器测量值作为误差输入 e，控制器 K(z) 计算控制量 u 驱动 DM，形成闭环。

信息流：参考像差（通常为0）与测量像差之差 e -> 鲁棒控制器 K -> 控制电压 u -> 可变形镜面 -> 改变镜面形状 -> 影响光学波前 -> 像差传感器测量新波前 -> 反馈形成闭环。误差流：各种扰动（热、振动）导致像差 -> 控制器基于模型进行估计和补偿 -> 残余误差被反馈抑制。

软件：MATLAB Robust Control Toolbox, μ-Analysis and Synthesis Toolbox。硬件：可变形镜面（压电或微机电驱动器）、波前传感器（Shack-Hartmann 或干涉仪）、高速实时控制器。

EUV-D1-0117

材料模型

材料科学/力学

黏弹性本构方程（如广义 Maxwell 模型）

光刻胶涂覆与软烘过程中的应力松弛模型

1. 黏弹性本构关系：光刻胶在软烘（Post Apply Bake, PAB）过程中，随着溶剂蒸发，从黏性流体逐渐转变为黏弹性固体。其应力-应变关系用广义 Maxwell 模型描述： σ(t) + Σ_{i=1}^N (τ_i * dσ_i/dt) = E_0 * ε(t) + Σ_{i=1}^N (E_i * τ_i * dε/dt)，其中 σ 为应力， ε 为应变， E_0 为平衡模量， E_i 和 τ_i 为第 i 个 Maxwell 单元的弹簧常数和松弛时间。 2. 溶剂浓度演化：溶剂蒸发导致胶膜收缩，产生内应力。溶剂浓度 C 的扩散方程： ∂C/∂t = ∇·(D(C) ∇C)，其中扩散系数 D 依赖于浓度和温度。 3. 应力-浓度耦合：溶剂流失引起的体积收缩应变 ε_v 与浓度变化相关：ε_v = β * (C_0 – C)， β 为收缩系数。总应变 ε_total 包含弹性应变和收缩应变。 4. 热-化-力耦合：温度 T 影响松弛时间 τ_i（通过 WLF 方程）和扩散系数 D。烘烤过程的热传导方程： ρ c_p ∂T/∂t = ∇·(k ∇T)。 5. 数值求解：这是一个热-质-力三场耦合问题，需在胶膜几何上联立求解温度场、浓度场和应力场，通常采用有限元法。

预测胶膜厚度均匀性 < 0.1 nm，内应力预测与实验测量趋势一致。

黏弹性理论、非平衡态热力学、扩散理论

用于模拟和优化涂胶后软烘工艺，预测胶膜最终厚度、厚度均匀性和内应力分布，这些因素影响后续曝光和显影的均匀性。特征：多物理场强耦合、材料参数（松弛谱、扩散系数）复杂、大变形。

σ：应力张量。 ε：应变张量。 E_0, E_i：弹簧模量。 τ_i：松弛时间。 C：溶剂浓度。 D：扩散系数。 T：温度。 β：收缩系数。

偏微分方程（扩散、热传导）、积分-微分方程（黏弹性本构）、多场耦合、有限元法。

连续介质力学和材料加工的语言。

1. 初始条件：设定初始胶厚、溶剂浓度均匀分布 C0、初始温度。 2. 边界条件：设定烘烤板温度 T_bake、表面溶剂蒸发通量（与浓度和温度相关）。 3. 时间步进求解：在每个时间步 Δt： a. 求解热传导方程，更新温度场 T(x,y,z,t)。 b. 基于当前温度 T 和浓度 C，更新材料参数 D(T,C) 和 τ_i(T)。 c. 求解扩散方程，更新浓度场 C(x,y,z,t)。 d. 计算由浓度变化引起的收缩应变 ε_v。 e. 求解黏弹性本构方程与力学平衡方程，得到应力场 σ 和位移场 u。 4. 循环：重复步骤3直至烘烤时间结束。

物质流：溶剂分子从胶膜内部扩散至表面 -> 从表面蒸发到环境中。能量流：烘烤板热量传导至胶膜 -> 胶膜温度升高 -> 加速溶剂扩散和蒸发，同时改变材料黏弹性。应力流：溶剂流失导致局部体积收缩 -> 产生内应力 -> 应力松弛（黏弹性）与应力积累竞争 -> 最终形成残余应力分布和胶膜变形（厚度变化）。

软件：多物理场仿真软件（COMSOL, ABAQUS with user subroutines）。硬件：涂胶显影Track、膜厚测量仪、应力测量仪。

EUV-D1-0118

物理模型

电磁学/超精密制造工程

麦克斯韦应力张量与洛伦兹力

磁悬浮工件台电磁力与刚度模型

1. 电磁力计算：对于永磁体-线圈构成的磁轴承，电磁力 F 可通过麦克斯韦应力张量法计算： F = ∮_S T · dS，其中 T 为麦克斯韦应力张量，在真空中为 T_ij = ε_0 (E_i E_j – 0.5 δ_ij E²) + (1/μ_0)(B_i B_j – 0.5 δ_ij B²)。对于纯磁场系统，电场项可忽略。 2. 等效磁路法：对于简单结构，可用等效磁路法估算力和刚度。气隙磁通 Φ 与磁动势 NI、磁阻 R 满足：Φ = NI / R。气隙磁阻 R_g = g / (μ_0 A)，其中 g 为气隙长度， A 为截面积。磁能 W = (1/2) Φ^2 R_g。则垂向力 F_z = -∂W/∂g = (Φ^2) / (2 μ_0 A)。刚度 k = ∂F_z/∂g = – (Φ^2) / (μ_0 A g)（负号表示力随气隙增大而减小，为负刚度）。 3. 有限元分析：对于复杂三维结构，使用有限元法（FEM）求解静磁场：∇ × (ν ∇ × A) = J，其中 A 为磁矢位， ν 为磁阻率， J 为电流密度。得到磁场 B 后，计算麦克斯韦应力或虚功求力。 4. 线性化与控制模型：在工作点 (g0, I0) 附近线性化，力和电流、位移的关系为： F ≈ F_0 + k_i * ΔI + k_g * Δg，其中 k_i = ∂F/∂I 为力常数， k_g = ∂F/∂g 为负刚度系数。这是磁悬浮系统控制设计的基础模型。

电磁力计算误差 < 5%，刚度预测与实测偏差 < 10%。

电磁场理论、等效磁路法、有限元法

用于设计和优化磁悬浮工件台的电磁作动器（磁轴承），计算其力-电流-位移特性、刚度、发热和饱和特性，为运动控制系统提供精确的模型。特征：强非线性（力与气隙平方成反比）、存在负刚度、多自由度耦合。

F：电磁力向量。 B：磁感应强度。 A：磁矢位。 Φ：磁通量。 g：气隙长度。 I：线圈电流。 k_i, k_g：力常数和位移刚度系数。 NI：安匝数（磁动势）。

向量微积分（麦克斯韦方程）、张量分析（应力张量）、线性化、有限元法。

电磁学和机电一体化的专业术语。

1. 几何建模与材料定义：建立电磁作动器的详细3D模型，定义永磁体、线圈、铁芯的材料属性（B-H曲线）。 2. 设定边界条件与激励：设定磁场边界条件，施加线圈电流 I。 3. 静磁场求解：使用FEM求解器计算磁场分布 B(x,y,z)。 4. 后处理计算力：在气隙区域定义一个包围动子的积分面 S，计算麦克斯韦应力张量 T 并积分得到合力 F 和力矩。或者采用虚功法，计算系统能量对位移的导数。 5. 参数化扫描：改变电流 I 和气隙 g，重复计算，得到力-电流-位移曲面 F(I, g)。 6. 线性化：在工作点 (I0, g0) 对曲面进行线性拟合，得到 k_i 和 k_g。

能量流：电能（线圈电流）-> 磁能（存储在气隙和铁芯中）-> 机械能（产生电磁力驱动动子运动）。信息流：控制电流 I -> 磁场分布 B -> 通过麦克斯韦应力积分或虚功原理 -> 电磁力 F 和刚度 k_g -> 作为控制模型的输入参数。

软件：电磁有限元软件（ANSYS Maxwell, JMAG, COMSOL AC/DC Module）。硬件：磁轴承电磁作动器、高精度力传感器、激光位移传感器。

EUV-D1-0119

计算模型

计算机科学/信息科学

快速多极子法（FMM）与边界元法（BEM）

静电卡盘（E-Chuck）吸附力与热传导模型

1. 静电吸附力：静电卡盘利用约翰逊-拉贝克力或库仑力吸附硅片。电势分布 φ 满足拉普拉斯方程 ∇²φ = 0。在介质界面满足边界条件：ε_1 ∂φ_1/∂n = ε_2 ∂φ_2/∂n。 2. 边界元法（BEM）：将求解域边界离散，将拉普拉斯方程转化为边界积分方程： c(p)φ(p) = ∫_Γ [ G(p,q) ∂φ(q)/∂n – φ(q) ∂G(p,q)/∂n ] dΓ(q)，其中 G(p,q)=1/(4πr) 为自由空间格林函数， c(p) 为与点 p 几何相关的系数。 3. 快速多极子法（FMM）加速：BEM形成的线性方程组是稠密的，求解复杂度 O(N²)。FMM将远场相互作用用多极展开和局部展开近似，将复杂度降至 O(N) 或 O(N log N)。 4. 吸附力计算：得到电势和电场分布后，吸附力 F 通过麦克斯韦应力张量在硅片背面积分计算（类似 D1-0118），或通过虚功原理计算。 5. 热传导模型：吸附后，硅片与卡盘间的接触热导 h_c 是关键参数，与接触压力、表面粗糙度、间隙气体有关。热流 q 满足：q = h_c * (T_chuck – T_wafer)。卡盘内部冷却流道的热传导和流固共轭传热需用 CFD 求解。

静电吸附力预测误差 < 10%，热接触导纳预测误差 < 20%。

静电学、边界积分方程、快速算法、接触热传导

用于设计和优化静电卡盘，精确计算在不同电压、介质层厚度、粗糙度下的吸附力分布，以及硅片-卡盘间的热接触导纳，确保硅片平整度和温度均匀性。特征：三维静电场、表面粗糙度影响显著、多尺度（微观接触与宏观传热）。

φ：电势。 E：电场强度。 ε：介电常数。 Γ：求解域边界。 G(p,q)：格林函数。 F：静电吸附力。 h_c：接触热导。 T_chuck, T_wafer：卡盘和硅片温度。

积分方程、势论、多极展开、线性代数（稠密矩阵）、数值加速算法。

计算电磁学和计算传热学的语言。

1. 几何与网格：建立包含卡盘电极、介质层、硅片（考虑微米级粗糙度）的3D模型，并在表面进行边界元离散。 2. 施加边界条件：在电极上施加电压，设定无穷远或接地边界条件。 3. 构建边界积分方程：对每个边界节点，建立积分方程，形成线性方程组 A x = b，其中 x 包含未知的 φ 或 ∂φ/∂n。 4. FMM加速求解：使用FMM算法高效计算矩阵-向量乘积 A x，并用迭代法（如GMRES）求解方程组，得到全场电势和电场。 5. 力与热计算：基于电场结果计算吸附力分布。基于吸附力分布和表面形貌模型，估计接触热导 h_c，进而进行热分析。

场流：电极施加电压 -> 在介质层和真空中建立静电场 -> 电场在硅片背面感应出异号电荷 -> 产生吸附力。能量流：卡盘冷却液带走热量 -> 热量通过固体传导至卡盘表面 -> 通过接触点/间隙气体传导至硅片 -> 硅片被加热或冷却。

软件：高级电磁仿真软件（支持BEM/FMM），如 Altair Feko, Wavenology；多物理场软件（COMSOL, ANSYS）用于热分析。硬件：静电卡盘原型、力传感器、热像仪。

EUV-D1-0120

优化模型

信息科学/计算科学

贝叶斯优化（Bayesian Optimization）

光源-掩模协同优化（SMO）的超参数调优

1. 问题定义：在SMO（D1-0012）中，有许多超参数（如正则化权重、学习率、优化器选择等）影响最终优化结果和计算效率。手动调参耗时。贝叶斯优化将其建模为黑盒函数优化问题：x* = argmin_x f(x)，其中 x 是超参数组合， f(x) 是在该超参数下运行SMO后得到的成像误差（如EPE RMS）。 2. 代理模型：使用高斯过程（GP）对未知目标函数 f(x) 进行建模。GP由均值函数 m(x) 和协方差函数（核函数）k(x, x') 定义。给定已有观测数据 D = {(x_i, f(x_i))}， f 在未观测点 x* 的后验分布也是高斯的： `p(f*

x, D) = N(μ(x), σ²(x)) μ(x) = k^T (K+σ_n²I)^(-1) f σ²(x) = k(x, x) – k^T (K+σ_n²I)^(-1) k 其中 K 是观测点之间的协方差矩阵， k* 是观测点与预测点之间的协方差向量， σ_n² 是噪声方差。 **3. 采集函数**：为了平衡探索（在不确定性高的区域采样）和利用（在预测值低的区域采样），定义采集函数 α(x)。常用期望改进（EI）： EI(x) = E[max(f_min – f(x), 0)] = (f_min – μ(x)) Φ(Z) + σ(x) φ(Z)，其中 Z = (f_min – μ(x))/σ(x)， Φ 和 φ 是标准正态分布的CDF和PDF， f_min 是当前最优观测值。 4. 迭代优化： a. 初始化：随机选择少量超参数组合运行SMO，得到初始观测集 D。 b. 拟合GP：用 D 拟合高斯过程代理模型。 c. 优化采集函数：找到使 α(x) 最大的新超参数 x_new：x_new = argmax_x α(x)。 d. 评估目标函数：用 x_new 运行SMO，得到 f(x_new)。 e. 更新数据集：D = D ∪ {(x_new, f(x_new))}。 f. 重复步骤b-e，直到达到评估次数上限或收敛。

相比网格搜索或随机搜索，能以少得多的SMO运行次数（~10-100倍）找到更优的超参数组合。

贝叶斯统计、高斯过程、决策理论、全局优化

用于自动化地优化SMO算法的超参数，在巨大的超参数空间中高效地找到能产生最佳成像性能（如最大工艺窗口）的配置，节省大量计算资源和人工调参时间。特征：黑盒优化、样本效率高、处理昂贵目标函数。

x：超参数向量（如学习率、正则化系数等）。 f(x)：目标函数（成像误差，需运行SMO得到）。 D：观测数据集。 m(x), k(x,x')：高斯过程的均值函数和协方差函数。 μ(x), σ(x)：在 x 点处 f 的后验均值和标准差。 α(x)：采集函数（如EI）。

概率与统计（高斯过程、贝叶斯推断）、优化（全局优化）、决策理论。

机器学习和优化领域的语言，强调“代理模型”、“采集函数”、“贝叶斯”。

1. 定义超参数空间：确定要调优的超参数及其取值范围（离散或连续）。 2. 初始化：随机选择 n_init 个点，运行SMO得到对应的 f(x)，构成初始数据集 D。 3. 循环迭代： a. 模型更新：基于当前数据集 D，拟合高斯过程模型，得到后验均值和方差函数 μ(x) 和 σ²(x)。 b. 采集优化：在超参数空间内，优化采集函数 α(x)（如EI），找到下一个建议点 x_next。此优化相对廉价，可使用梯度方法或全局优化器。 c. 昂贵评估：用 x_next 作为超参数，运行完整的SMO流程，得到成像误差 f_next。 d. 数据扩充：将 (x_next, f_next) 加入数据集 D。 4. 终止：达到最大迭代次数或目标函数收敛后停止。输出历史最佳超参数组合 x_best。

信息流：超参数组合 x -> （黑盒：运行SMO）-> 成像性能 f(x) -> 作为观测数据 -> 更新高斯过程代理模型 -> 模型引导选择下一个超参数 x_next。搜索流：在超参数空间中，贝叶斯优化通过构建目标函数的概率模型，智能地选择最有希望的点进行评估，逐步逼近全局最优。

EUV-D1-0121

物理模型

等离子体物理/原子物理

碰撞-辐射模型与细致组态模型

EUV光源中锡离子发射光谱与不透明度模型

1. 原子结构计算：计算锡（Sn）离子（Sn^q+， q=8~14）的能级结构、波函数、跃迁概率。采用 Hartree-Fock 或 Dirac-Fock 方法求解多电子薛定谔方程，考虑相对论效应、电子关联效应。得到能级 E_i、统计权重 g_i、辐射跃迁系数 A_ji、碰撞截面等。 2. 速率方程组：对于非局域热动平衡（non-LTE）等离子体，各能级布居数 n_i 由碰撞激发/退激发、辐射激发/退激发（吸收/自发辐射/受激辐射）、电离/复合等过程决定。建立稳态速率方程： Σ_{j≠i} (n_j R_ji + n_j A_ji) – n_i Σ_{j≠i} (R_ij + A_ij) = 0 其中 R_ij 是碰撞速率系数（电子碰撞为主）， R_ij = n_e ∫_0∞ σ_ij(v) v f_e(v) dv， σ_ij 是碰撞截面， f_e 是电子速度分布函数（通常为麦克斯韦分布）。 3. 自洽求解：速率方程组与粒子数守恒、电荷守恒方程联立，并与等离子体的电子温度 T_e、电子密度 n_e 自洽求解（或者 T_e, n_e 从等离子体流体模型获得）。 4. 光谱发射与吸收：一旦得到布居数 n_i，光谱发射系数 j_λ 和吸收系数 α_λ 为： j_λ = (hc/(4πλ)) Σ_{i>j} A_ij n_i φ_λ(ij) α_λ = (hc/(4πλ)) Σ_{i<j} (n_j B_ji – n_i B_ij) φ_λ(ji) 其中 φ_λ 是谱线线型函数， B_ij， B_ji 是爱因斯坦吸收/受激辐射系数。 5. 辐射转移：结合等离子体几何，求解辐射转移方程 dI_λ/ds = -α_λ I_λ + j_λ，得到出射光谱 I_λ。

光谱线强度预测与实验测量误差 < 30%， 13.5 nm 附近带内辐射功率预测误差 < 10%。

量子力学、原子物理学、非平衡态统计物理、辐射转移

用于精确计算 LPP EUV 光源的光谱特性（中心波长、带宽、带外辐射），预测不同等离子体条件下的转换效率（CE），并为收集镜的热负载分析提供输入。特征：原子物理复杂、需求解大型刚性方程组、对电子温度和密度敏感。

n_i：第 i 能级的布居数密度。 E_i, g_i：能级能量和统计权重。 A_ij：自发辐射系数。 R_ij：碰撞速率系数。 n_e, T_e：电子密度和温度。 σ_ij：碰撞截面。 j_λ, α_λ：光谱发射和吸收系数。 I_λ：辐射强度。

量子力学计算、大型刚性常微分方程组、统计物理、积分方程（辐射转移）。

原子物理和等离子体光谱学的专业术语。

1. 原子数据准备：使用原子物理代码（如 FAC, HULLAC）计算目标离子（Sn^8+ ~ Sn^14+）的能级、跃迁、碰撞数据。 2. 建立速率方程组：选择重要的能级和跃迁通道，建立关于布居数 n_i 的稳态速率方程组。 3. 输入等离子体条件：从流体模型（D1-0002）获得空间各点的 n_e(r,t) 和 T_e(r,t)。 4. 求解布居数：在每个空间点（或每个时间步），求解速率方程组，得到非LTE的布居数分布 n_i(r)。 5. 计算局部辐射特性：计算每个空间点的 j_λ(r) 和 α_λ(r)。 6. 辐射转移：沿视线积分辐射转移方程，得到探测器方向的光谱 I_λ。 7. 集成：对等离子体体积积分，得到总的光谱输出和功率。

信息流：等离子体条件 (n_e, T_e) + 原子物理数据 -> 碰撞-辐射模型 -> 非LTE布居数 n_i -> 计算发射和吸收系数 -> 辐射转移 -> 出射光谱和功率。物理流：电子碰撞激发/电离 -> 激发态离子 -> 辐射衰变（发射EUV光子）-> 光子在等离子体中可能被再吸收 -> 最终逃逸出等离子体。

软件：原子物理与碰撞-辐射代码（FLYCHK, Collisional-Radiative models like CRModel），辐射转移代码（如 RATRAN）。硬件：高性能计算集群用于原子数据计算；EUV光谱仪用于模型验证。

EUV-D1-0122

控制模型

控制科学/力学

干扰观测器（DOB）与加速度反馈

工件台超精密运动抗振控制

1. 问题描述：工件台受到直接力扰动 d（如扫描电机反作用力）和基础振动扰动 w。传统反馈控制对高频扰动抑制能力有限。干扰观测器在反馈环内估计并补偿扰动。 2. 标准干扰观测器结构：设被控对象名义模型为 P_n(s) = P(s) / (1 + Δ(s))，其中 Δ(s) 为模型不确定性。控制输入为 u，输出为 y，总扰动（包括模型不确定性和外部扰动）为 d_total。有：y = P(s) (u + d_total)。 3. 扰动估计：构建名义模型逆 Q(s)/P_n(s)，其中 Q(s) 为低通滤波器（通常为一阶或二阶）。扰动估计值 d_hat 为： d_hat = Q(s) [ P_n^{-1}(s) y – u ]。 4. 扰动补偿：控制律为 u = u_c – d_hat，其中 u_c 是主控制器（如PID）的输出。代入上式，闭环输出近似为： y ≈ P_n(s) u_c + (1 – Q(s)) d_total。可见，在 Q(s) 带宽内的扰动被显著抑制（因为 1-Q(s) 很小）。 5. 加速度反馈：使用加速度计测量加速度 a，通过二次积分得到位置估计，与编码器/干涉仪信号融合，可提供高频扰动信息，增强 DOB 在高频段的性能。加速度反馈等效于增加一个微分项，提高系统阻尼。

在 DOB 带宽内（例如 < 500 Hz），扰动抑制比提高 20-40 dB。

现代控制理论、扰动估计与抑制、鲁棒控制

用于增强工件台运动控制系统对高频力扰动和基础振动的抑制能力，提高轨迹跟踪精度和定位稳定性。常与反馈控制（如PID）和前馈控制结合使用。特征：基于逆模型、对模型误差敏感（需设计鲁棒的Q滤波器）、带宽受限。

P(s)：实际被控对象传递函数。 P_n(s)：名义模型传递函数。 Q(s)：低通滤波器（干扰观测器滤波器）。 d_total：总扰动（外部扰动+模型不确定性）。 d_hat：扰动估计值。 u_c：主控制器输出。 u：最终控制输入。

传递函数、频域分析、系统逆、滤波器设计。

控制工程术语，强调“扰动估计”、“模型逆”、“Q滤波器”。

1. 系统建模：辨识得到工件台的名义模型 P_n(s)（通常为低阶线性模型）。 2. 设计 Q 滤波器：根据期望的扰动抑制带宽和鲁棒稳定性要求，设计低通滤波器 Q(s)。其截止频率需低于 P_n(s) 逆的不稳定频率。 3. 构建 DOB 内环：实时计算 d_hat = Q(s) [ P_n^{-1}(s) y – u ]。由于 P_n^{-1}(s) 可能不可实现（因果性），常用近似实现或与 Q(s) 结合设计。 4. 与主控制器集成：主控制器（如位置环PID）根据参考指令 r 和反馈位置 y 计算 u_c。最终控制量 u = u_c – d_hat。 5. 加速度反馈融合：加速度信号 a 经二次积分和滤波后，与位置传感器信号融合，得到更宽频带的位置/速度估计，用于反馈和 DOB 的输入 y。

信号流：参考指令 r -> 主控制器 -> u_c；输出 y 和控制量 u -> DOB（包含 Q/P_n）-> 扰动估计 d_hat； u = u_c – d_hat 作用于被控对象 P(s)。扰动抑制流：外部扰动 d 作用于对象 -> 影响输出 y -> DOB 估计出 d_hat -> 在控制输入端抵消 d。

软件：实时控制系统中实现的 DOB 算法，通常作为内环。硬件：高带宽力/力矩作动器、高精度位置传感器（干涉仪）、加速度传感器。

EUV-D1-0123

材料模型

材料科学/化学

分子动力学（MD）与反应力场（ReaxFF）

碳氢化合物污染层的EUV光子诱导化学键断裂模型

1. 反应力场（ReaxFF）：使用反应力场描述原子间相互作用，其势能函数包含键序依赖的键能、非键相互作用（范德华力、库仑力）等，允许化学键的断裂和形成。 2. 系统构建：构建初始系统，模拟在Ru或SiO₂表面吸附的碳氢化合物薄层（如癸烷、甲苯等）。 3. EUV光子能量沉积：EUV光子（92 eV）能量远高于化学键能（几个eV）。模拟中，通过瞬间赋予特定原子高动能（模拟光电子或二次电子发射）或在局部区域注入能量，模拟光子能量沉积引发的初级电离和激发事件。 4. 非绝热分子动力学：由于涉及电子激发态，严格需用非绝热MD。近似方法是用反应力场模拟“热峰”效应：高能光电子或俄歇电子在极短时间内（<1 fs）将能量传递给周围原子，导致局部温度急剧升高（可达数千K）。 5. 化学反应模拟：在高温局部区域内，运行经典MD模拟（时间尺度~ps）。ReaxFF势允许C-H、C-C键断裂，形成自由基，自由基之间或与基底反应，生成小分子（如H₂, CH₄, C₂H₂）或形成交联的非挥发性碳网。 6. 统计分析：跟踪反应产物、键断裂/形成事件、碎片脱附情况。统计特定辐照通量下的污染层去除率或改性率。

模拟可定性预测不同碳氢化合物在EUV照射下的分解路径和产物，与质谱分析结果趋势一致。

分子动力学、反应力场、辐射化学、非绝热过程

用于在原子尺度研究EUV光子或次级电子诱导的碳氢化合物污染层分解机理，评估不同清洗工艺（如EUV照射辅助清洗）的有效性，以及理解污染层在EUV辐照下的演变。特征：时间尺度短（fs-ps）、空间尺度小（nm）、涉及高能非平衡过程。

r_i, v_i：原子位置和速度。 E_pot：反应力场势能（键能、角能、二面角能、非键能等）。 E_kin：系统动能。 T_local：局部瞬时温度。 ReaxFF parameters：碳、氢、氧、硅、钌等元素的力场参数。

牛顿运动方程、数值积分（如 Velocity-Verlet）、反应力场势函数、统计分析。

分子模拟和计算化学的语言。

1. 系统准备：构建基底（如Ru(001)面）和吸附的碳氢化合物分子模型，进行能量最小化和热平衡（NVT系综，300K）。 2. 能量沉积：选择某个原子或小区域，瞬间增加其动能（模拟EUV光子能量沉积），或模拟一个高能电子（次级电子）撞击。 3. 非平衡MD模拟：在NVE系综下运行MD，时间步长 ~0.1 fs。观察能量在系统中的传递和再分配。 4. 化学反应监测：在~1-10 ps时间尺度内，监测化学键的断裂（键序降至阈值以下）和形成，记录产生的自由基、小分子等。 5. 产物分析：模拟结束后，分析系统内剩余物种、脱附的小分子种类和数量。 6. 多次模拟：进行多次不同初始条件的模拟，以获得统计上有意义的结果。

能量流：EUV光子能量 -> 沉积到某个原子/电子 -> 产生高能光电子/俄歇电子 -> 电子通过碰撞将能量传递给原子核 -> 局部“热峰” -> 引发化学键振动、断裂。物质流：初始碳氢化合物分子 -> 吸收能量 -> 键断裂产生自由基 -> 自由基重组或与基底反应 -> 生成挥发性小分子（脱附）或形成交联固态碳。

软件：支持 ReaxFF 的分子动力学软件（如 LAMMPS, Amsterdam Modeling Suite）。硬件：高性能计算集群，用于运行大规模的 ReaxFF MD 模拟。

EUV-D1-0124

信息科学模型

计算机科学/信息科学

卷积神经网络（CNN）与语义分割

晶圆缺陷图像的自动检测与分类

1. 数据准备：收集大量带标签的晶圆缺陷图像，标签包括缺陷位置（掩码）和类别（如颗粒、划伤、桥接、断线等）。对图像进行预处理（归一化、增强）。 2. 网络架构：采用编码器-解码器结构的全卷积网络（如 U-Net）。编码器（下采样路径）由多个卷积层和池化层组成，提取多尺度特征。解码器（上采样路径）通过转置卷积或上采样层恢复空间分辨率，并与编码器对应层进行跳跃连接，融合低层细节和高层语义信息。 3. 前向传播：输入缺陷图像 I（H x W x C），经过网络，输出一个概率图 P（H x W x K），其中 K 是类别数（包括背景）。每个像素位置 (i,j) 的输出向量表示属于各个类别的概率。 4. 损失函数：使用交叉熵损失函数结合 Dice 系数损失，以处理类别不平衡（缺陷像素远少于背景像素）： L = – Σ_{i,j} Σ_{k} y_{i,j,k} log(p_{i,j,k}) + λ (1 – Dice) `Dice = (2 * Σ

p ∩ y

) / (Σ

+ Σ

)`，其中 y 是真实标签的 one-hot 编码， p 是预测概率。 5. 训练：使用反向传播和优化器（如 Adam）最小化损失函数，更新网络权重。 6. 推理：将训练好的网络应用于新的晶圆扫描图像，输出每个像素的类别预测，从而分割出缺陷区域并分类。

缺陷检测率（Recall）> 99.5%，分类准确率 > 95%，误报率（False Positive）极低。

深度学习、计算机视觉、图像分割

用于对晶圆缺陷扫描电子显微镜（SEM）或光学图像进行全自动、高精度的缺陷检测和分类，替代或辅助人工判读，提高检测速度和一致性。特征：需要大量标注数据、对图像质量敏感、网络可解释性需关注。

EUV-D1-0125

流体力学模型

流体力学/声科学

大涡模拟（LES）与声类比（Ffowcs Williams-Hawkings方程）

气动噪声与微振动源识别模型

1. 大涡模拟（LES）：对于真空泵、冷却风扇等产生的湍流，直接数值模拟（DNS）计算量过大。LES通过滤波分离大尺度涡和小尺度涡。求解滤波后的纳维-斯托克斯方程： ∂(ρ ū_i)/∂t + ∂(ρ ū_i ū_j)/∂x_j = -∂p/∂x_i + ∂/∂x_j (2μ Ŝ_ij) – ∂τ_ij/∂x_j 其中 ūi 为滤波后的速度， Ŝij 为滤波后的应变率张量， τ_ij = ρ(u_i u_j – ūi ūj) 为亚格子尺度应力，需用模型（如 Smagorinsky 模型）封闭。 2. 声类比：流场计算（如LES）提供噪声源信息。采用 Ffowcs Williams-Hawkings (FW-H) 方程计算远场噪声。FW-H方程是 Lighthill 声类比对运动物体的推广： □² p' = ∂/∂t [ρ_0 v_n δ(f)] – ∂/∂x_i [l_i δ(f)] + ∂²/∂x_i∂x_j [T_ij H(f)] 其中 p' 为声压， □² 为达朗贝尔算子， f=0 定义物体表面， v_n 为表面法向速度， l_i 为表面应力， T_ij 为 Lighthill 应力张量， δ 和 H 为狄拉克函数和亥维赛德函数。右端三项分别对应厚度噪声（单极子）、加载噪声（偶极子）和四极子噪声。 3. 求解与后处理：在流场计算域内积分 FW-H 方程，得到远场观测点的声压时域信号 p'(t)，进而分析频谱、声压级等。

噪声源位置识别精度在主要频率成分上误差 < 3 dB，远场声压级预测误差 < 5 dB。

湍流理论、计算气动声学、声类比理论

用于识别和量化光刻机内部由气流（如真空泵排气、冷却气流）产生的气动噪声源，评估其对光学和机械系统的微振动激励，指导低噪声设计。特征：多尺度（湍流涡与声波）、计算量大、需高精度流场。

ū_i, p：滤波后的速度和压力。 τ_ij：亚格子尺度应力。 p'：声压波动。 v_n, l_i：物体表面法向速度和应力。 T_ij：Lighthill 应力张量。 f：物体表面定义函数。

偏微分方程（滤波N-S方程）、积分方程（FW-H）、湍流建模、频谱分析。

计算流体力学和气动声学的专业术语。

1. 流场计算：建立包含噪声源（如风扇叶片、阀门）的详细CFD模型，进行非定常LES模拟，获得高时空分辨率的流场数据（速度、压力）。 2. 噪声源提取：从LES结果中提取FW-H方程所需的源项：物体表面的 v_n, l_i，以及流场体积内的 T_ij。 3. 声传播计算：在流场计算域外设置虚拟的积分面（对于四极子源）和物体表面（对于单极子和偶极子源）。利用FW-H积分公式，计算远场观测点的声压时间历程。 4. 声学分析：对 p'(t) 进行快速傅里叶变换（FFT），得到噪声频谱，识别主要频率成分和声压级。 5. 源贡献分析：分别计算厚度噪声、加载噪声和四极子噪声的贡献，识别主要噪声源机制。

能量流：流动机械能（如风扇旋转） -> 产生不稳定流动（湍流、涡脱落）-> 流动压力脉动（噪声源）-> 通过流体介质传播 -> 作为压力波（声）传播到结构表面引起振动。信息流：瞬态流场数据 (u, p) -> 计算声源项 (T_ij, surface terms) -> FW-H积分 -> 远场声压信号 p'(t) -> 频谱分析。

软件：CFD软件（ANSYS Fluent with LES, OpenFOAM） + 声学模块（Fluent Acoustics, Actran）。硬件：高性能计算集群进行瞬态LES模拟。

EUV-D1-0126

系统模型

可靠性工程/概率统计

故障树分析（FTA）与马尔可夫模型

光刻机子系统可靠性评估与预测

1. 故障树分析（FTA）：以顶层不希望发生的事件（如“EUV光源无法输出指定功率”）为顶事件，向下逐层分析导致其发生的直接原因（中间事件和底事件），用逻辑门（与门、或门）连接，形成树状图。底事件是基本组件故障或外部事件。 2. 定性分析：找出所有导致顶事件发生的最小割集（MCS）。一个MCS是底事件的集合，当其中所有事件发生时，顶事件必然发生。 3. 定量分析：假设底事件的发生概率已知（如从历史数据或可靠性手册获得），计算顶事件的发生概率。对于或门，输出事件概率 P_or = 1 – Π_i (1 – p_i)；对于与门，P_and = Π_i p_i。考虑共因故障时需修正。 4. 马尔可夫模型：对于具有冗余、维修、降级状态的系统，用马尔可夫链建模。定义系统状态（如：全正常、1个单元故障、降级运行、完全故障），状态间转移率 λ（故障率）和 μ（修复率）构成转移强度矩阵 Q。系统处于各状态的概率向量 π(t) 满足： dπ(t)/dt = π(t) * Q。稳态可用性 A 为处于可工作状态的概率之和。 5. 综合：将FTA的底事件故障率作为马尔可夫模型的输入，或对复杂子系统用马尔可夫建模，其结果作为FTA的一个中间事件概率。

系统平均无故障时间（MTBF）预测误差在因子2以内，稳态可用性预测误差 < 5%。

可靠性工程、布尔代数、概率论、马尔可夫过程

用于在光刻机设计阶段评估各子系统（光源、光学、工件台、真空等）的可靠性，识别薄弱环节，计算系统整体可用性（Availability），指导冗余设计和维护策略制定。特征：逻辑演绎、概率计算、处理共因故障和维修。

顶事件（TE）：系统级故障事件。底事件（BE）：基本组件故障事件，概率为 p_i。最小割集（MCS）：导致TE发生的最小底事件集合。 λ：故障率（失效/小时）。 μ：修复率（修复/小时）。 π(t)：系统状态概率向量。 Q：状态转移强度矩阵。 A：稳态可用性。

集合论/布尔代数（逻辑门）、概率与统计（故障概率计算）、马尔可夫链（状态转移、微分方程）。

可靠性工程和系统安全分析的语言。

1. 系统定义：确定系统边界、顶事件和层次结构。 2. 构建故障树：从顶事件开始，向下分解，用逻辑门连接，直至底事件。 3. 获取数据：收集底事件（元件）的故障率 λ 和维修时间 MTTR（平均修复时间）。 4. 定性分析：通过布尔代数运算，找出所有最小割集 MCS。 5. 定量分析（FTA）：计算每个MCS的发生概率，进而计算顶事件概率（系统不可用度）。 6. 马尔可夫建模：对关键冗余子系统，绘制状态转移图，定义状态和转移率。 7. 求解马尔可夫模型：求解稳态方程 π * Q = 0，得到稳态概率，计算子系统可用性。 8. 系统综合：将子系统的可用性结果代入FTA中相应中间事件，最终得到系统级可用性指标。

逻辑流：顶事件 -> 逻辑门分解 -> 中间事件 -> … -> 底事件。通过逻辑门（与/或）组合底事件概率，自下而上计算顶事件概率。状态流（马尔可夫）：系统从初始正常状态，随时间和事件（故障、修复）在不同状态间随机转移，最终达到稳态概率分布。

软件：可靠性分析软件（如 ReliaSoft BlockSim, Isograph FaultTree+），数学工具（如 MATLAB）用于求解马尔可夫模型。硬件：无特定硬件，但需要组件可靠性数据库支持。

EUV-D1-0127

物理模型

量子力学/光科学

含时密度泛函理论（TDDFT）与电磁耦合

纳米颗粒（锡液滴、污染物）对EUV光的散射与吸收模型

1. 背景：EUV光路上的纳米级颗粒（锡滴残留、污染物）会引起光散射和吸收，导致光强损失和 flare（非成像散射光）。 2. 电磁散射问题：纳米颗粒尺寸与EUV波长（13.5 nm）相当，需全波电磁仿真。麦克斯韦方程组： ∇ × E = iωμH ∇ × H = -iωεE 其中 ε 是颗粒和周围介质（真空）的复介电常数。 3. 离散偶极近似（DDA）：将颗粒离散为 N 个极化子单元。每个单元在局域场作用下产生偶极矩： p_i = α_i * E_loc(r_i) E_loc(r_i) = E_inc(r_i) + Σ_{j≠i} G(r_i, r_j) * p_j 其中 α_i 是单元 i 的极化率， E_inc 是入射场， G 是并矢格林函数。求解这 N 个耦合的线性方程组，得到所有偶极矩 p_i。 4. 光学截面计算：得到偶极矩分布后，计算散射截面 C_sca 和吸收截面 C_abs： `C_sca = (k^4/(6π

E_inc

^2)) Σ_i

p_i

^2 C_abs = (k/

E_inc

^2) Σ_i Im(p_i · (α_i^{-1})^* p_i^*) 总消光截面C_ext = C_sca + C_abs。 **5. TDDFT 用于小团簇**：对于极小颗粒（< 2 nm），量子尺寸效应显著，经典 DDA 可能失效。采用 TDDFT 计算其光学响应，求解含时 Kohn-Sham 方程： iħ ∂ψ_i(r,t)/∂t = [- (ħ²/2m)∇² + v_eff(r,t)] ψ_i(r,t) v_eff(r,t) = v_ext(r,t) + ∫ (ρ(r',t)/

r-r'

) dr' + v_xcρ` 通过线性响应理论或直接模拟计算极化率 α(ω)。

对于直径 > 10 nm 的颗粒，DDA 散射截面计算误差 < 5%；对于 < 2 nm 的团簇，TDDFT 提供更精确的电子激发谱。

EUV-D1-0128

控制模型

控制科学/力学

学习前馈与迭代反馈整定（IFT）

扫描运动轨迹跟踪精度提升

1. 问题描述：工件台扫描运动存在重复性扰动（如导轨不平度、电机力纹波），传统前馈基于模型，对模型误差敏感。学习前馈利用前次运行误差来修正本次前馈信号。 2. 迭代反馈整定（IFT）：用于在闭环系统运行下，通过实验数据辨识系统参数并优化控制器。对于前馈学习，可简化为：在第 j 次迭代（扫描）中，控制输入为 u_j = u_ff_j + u_fb，其中 u_fb 为固定反馈控制器输出。输出轨迹误差为 e_j = r – y_j。 3. 灵敏度函数求导：目标是最小化误差的二次型 J = (1/2N) Σ_{k=1}^N e_j(k)^2。对前馈参数 θ（如前馈增益、时间常数）求梯度： ∂J/∂θ = (1/N) Σ_{k=1}^N e_j(k) * (∂e_j(k)/∂θ)。而 ∂e_j(k)/∂θ = – ∂y_j(k)/∂θ。通过实验估计输出对参数的灵敏度：进行一次特殊实验，在控制输入中注入微小扰动 Δu = ∂u_ff/∂θ，测量输出变化 Δy，则 ∂y/∂θ ≈ Δy / Δu（在标称值附近）。 4. 参数更新：使用梯度下降法更新前馈参数： θ_{j+1} = θ_j – γ * ∂J/∂θ，其中 γ 为学习增益。 5. 学习前馈：更新后的前馈信号 u_ff_{j+1}基于新参数 θ_{j+1} 生成。迭代进行，直至误差收敛。

经过数次迭代学习后，重复性轨迹跟踪误差可降低一个数量级（例如，从10 nm RMS降至1 nm RMS）。

迭代学习控制、系统辨识、优化理论

用于补偿工件台或掩模台扫描运动中的重复性误差（如力纹波、导轨误差），显著提高轨迹跟踪精度，是达到亚纳米级定位的关键技术。特征：利用重复性、基于实验数据、不需要精确的逆模型。

u_ff：前馈控制信号。 u_fb：反馈控制信号。 r：参考轨迹。 y_j, e_j：第 j 次迭代的输出和误差。 θ：前馈控制器参数向量。 J：性能指标（误差的二次型）。 γ：学习增益。

优化（梯度下降）、系统辨识、迭代算法。

控制理论和学习控制的术语。

1. 初始化：设置初始前馈参数 θ_0（可基于模型或为零），固定反馈控制器 K。 2. 第 j 次运行：执行扫描运动，记录参考轨迹 r，控制输入 u_j = u_ff(θ_j) + u_fb，和输出误差 e_j = r – y_j。 3. 灵敏度实验：保持反馈控制器不变，进行一次附加实验，输入为 u' = u_ff(θ_j) + (∂u_ff/∂θ) * δ，其中 δ 是小扰动向量。记录输出 y'。 4. 梯度估计：计算输出灵敏度 ∂y/∂θ ≈ (y' – y_j) / δ。进而得到性能指标梯度 ∂J/∂θ = -(1/N) Σ e_j * (∂y/∂θ)。 5. 参数更新：θ_{j+1} = θ_j – γ * (∂J/∂θ)。 6. 迭代：重复步骤2-5，直到误差 e_j 的范数小于阈值或达到最大迭代次数。

信息流：第 j 次运行的误差 e_j -> 通过灵敏度实验估计梯度 ∂J/∂θ -> 更新前馈参数 θ -> 生成新的前馈信号 u_ff{j+1} -> 用于第 j+1 次运行 -> 产生新的误差 e{j+1}（更小）。学习流：系统通过重复运行，自动调整前馈参数，使控制输入逐渐逼近能完美跟踪参考轨迹的理想前馈信号。

软件：实时控制器中的学习算法模块，实现参数更新和存储。硬件：高精度位置传感器（干涉仪）、数据采集系统、可编程前馈控制器。

EUV-D1-0129

材料模型

固体力学/材料科学

晶体塑性有限元法（CPFEM）

硅片在夹持与热处理过程中的应力与位错演化模型

1. 晶体塑性本构：硅是单晶材料，塑性变形通过位错滑移在特定滑移系上进行。剪切应变率 γ̇^α在第 α 个滑移系上由 resolved shear stress τ^α 驱动： `γ̇^α = γ̇_0 *

τ^α / g^α

^(1/m) * sgn(τ^α)，其中 γ̇_0 是参考应变率， g^α 是滑移系 α 的变形抗力， m 是应变率敏感性指数。 **2. 变形抗力演化**：g^α 随变形而硬化，由位错密度演化决定： dg^α/dγ = Σ_β h_αβ *

γ̇^β

，其中 h_αβ 是硬化模量矩阵，描述滑移系间的相互作用。 **3. 位错密度演化**：位错密度 ρ^α 演化包括位错增殖和湮灭： dρ^α/dγ^α = k_1 * sqrt(ρ^α) – k_2 * ρ^α，其中 k_1 和 k_2 是材料参数。 **4. 应力更新**：总变形梯度 F 分解为弹性部分 F_e 和塑性部分 F_p：F = F_e * F_p。应力通过弹性本构关系计算：σ = (1/det(F_e)) * F_e * ∂Ψ/∂E_e * F_e^T`，其中 Ψ 是弹性应变能密度， E_e 是弹性格林应变。 5. 有限元实现：将晶体塑性本构模型嵌入有限元框架，在每一个材料积分点处跟踪晶体取向和滑移系状态，求解全局平衡方程。

模拟预测的硅片翘曲与实验测量趋势一致，位错起始应力预测与实验值偏差 < 20%。

连续介质力学、晶体塑性理论、位错动力学、有限元法

用于预测硅片在制造过程（如薄膜沉积、热处理）和光刻机夹持过程中，由于热应力、机械应力引起的塑性变形、位错产生和晶圆翘曲，评估其对器件性能和 overlay 的影响。特征：各向异性（晶体取向）、尺度跨越（位错密度到宏观变形）、高度非线性。

γ̇^α：滑移系 α 的剪切应变率。 τ^α：滑移系 α 的分切应力。 g^α：滑移系 α 的变形抗力。 ρ^α：滑移系 α 的位错密度。 F, F_e, F_p：总、弹性、塑性变形梯度。 σ：柯西应力。 Ψ：弹性应变能密度。

张量分析（变形梯度分解）、晶体学（滑移系）、微分方程（硬化演化）、有限元法。

EUV-D1-0130

信息科学模型

计算机科学/信息科学

数据驱动模型（如神经网络、高斯过程回归）

基于机器学习的 overlay 误差预测与补偿

1. 数据收集：收集历史生产数据，包括： * 前层图案信息（图形密度、取向）。 * 工艺条件（曝光剂量、焦距、烘烤温度等）。 * 设备状态参数（透镜像差、照明均匀性、温度等）。 * 测量结果：当前层的 overlay 误差（在多个测试标记处）。 2. 特征工程：从原始数据中提取有意义的特征，如图形密度梯度、热历史指数、设备参数漂移量等。可能进行降维（如PCA）。 3. 模型选择与训练： * 神经网络：建立多层感知机（MLP）或卷积神经网络（CNN，如果

【信息科学与工程学】【产品体系】第十三篇光刻机08 EUV光刻机的主要数学理论01

EUV 2nm光刻机系统的模型表格

EUV-D1-0001 ~ 0015

EUV-D1-0016 ~ 0035

EUV-D1-0036 ~ 0073

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