1.一维前缀和
一维前缀和是一种预处理技术，用于快速计算数组中某个区间的和。通过预先计算并存储数组中每个位置的前缀和，可以在常数时间内查询任意区间的和。
void sum1(int S[], int q[], int x)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
S[i] = S[i – 1] + q[i];
}
}
例题：前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
C ++ 代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int S[N] = {0};
int q[N];
void Sum1(int S[], int q[], int x)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
S[i] = S[i – 1] + q[i];
}
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> q[i];
Sum1(S, q, n);
while(m –)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << S[r] – S[l – 1] << endl;
}
return 0;
}
2.二维前缀和
二维前缀和是一种用于快速计算二维数组中某个子矩阵元素和的数据结构。通过预处理原数组，可以在常数时间内查询任意子矩阵的和。
void Sum2(int S[][N], int q[][N], int x, int y)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
for(int j = 1; j <= y; j ++)
{
S[i][j] = S[i – 1][j] + S[i][j – 1] + q[i][j] – S[i – 1][j – 1];
}
}
}
例题：子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
C ++ 代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int S[N][N];
int a[N][N];
void Sum2(int S[][N], int q[][N], int x, int y)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
for(int j = 1; j <= y; j ++)
{
S[i][j] = S[i – 1][j] + S[i][j – 1] + q[i][j] – S[i – 1][j – 1];
}
}
}
int main()
{
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
cin >> a[i][j];
}
}
Sum2(S, a, n, m);
while(q –)
{
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
int ans = S[x2][y2] – S[x1 – 1][y2] – S[x2][y1 – 1] + S[x1 – 1][y1 – 1];
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
3.一维差分
差分可以看成前缀和的逆运算。
对于一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];
前缀和是构造一个数组S，让S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]；
而差分则是构造a的差分数组b，使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] + … + b[i]；
于是数组b就可以通过以下方式构造：
a[0 ] = 0;
b[1] = a[1] – a[0];
b[2] = a[2] – a[1];
b[3] =a [3] – a[2];
……..
b[n] = a[n] – a[n-1];
知道了差分数组后直接上例题
例题：差分
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
C ++ 代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int b[N];
//构造差分数组
void Chafen1(int a[], int b[], int x)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
b[i] = a[i] – a[i – 1];
}
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
Chafen1(a, b, n);
while(m –)
{
int l, r, c;
cin >> l >> r >> c;
//实现将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c
b[l] += c;
//确保 r 之后不 +c
b[r + 1] -= c;
}
//用前缀和求a数组
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
a[i] = a[i – 1] + b[i];
cout << a[i] << " ";
}
return 0;
}
4.二维差分
二维差分的核心思想是通过差分数组记录区间变化，避免直接遍历每个元素。对于矩形区域的增量操作，只需修改差分数组的四个角点，最后通过二维前缀和计算原数组的值。
void Chafen2(int b[][N], int a[][N], int x, int y)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
for(int j = 1; j <= y; j ++)
{
b[i][j] = a[i][j] – a[i – 1][j] – a[i][j – 1] + a[i – 1][j – 1];
}
}
}
例题：差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
C ++ 代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int b[N][N];
int a[N][N];
//构造二维差分矩阵b
void Chafen2(int b[][N], int a[][N], int x, int y)
{
for(int i = 1; i <= x; i ++)
{
for(int j = 1; j <= y; j ++)
{
b[i][j] = a[i][j] – a[i – 1][j] – a[i][j – 1] + a[i – 1][j – 1];
}
}
}
int main()
{
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
cin >> a[i][j];
}
Chafen2(b, a, n, m);
while(q –)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
//实现核心操作
b[x1][y1] += c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
//利用前缀和求矩阵a
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
a[i][j] = a[i – 1][j] + a[i][j – 1] + b[i][j] – a[i – 1][j – 1];
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
