空间解析几何杂题（多元积分学预备知识）-171主机测评

文章目录

前言
题目梗概
参考解析
- 0.1
- 0.2
- 0.3
- - 法一：参数方程法
  - 法二：梯度叉乘法
- 0.4
- - - 法1 平面束法
    - 法2 向量叉乘法
- 1.1
- 1.2
- 1.3
- - 法一：点比例式法
  - 法二：参数式法
- 1.4
- - 1. 用定义计算方向导数
  - 2. 不能用梯度求解的原因
  - 3. 可微、偏导存在、方向导数存在的联系与区别
- 1.5
- 1.6
后话

前言

主要是与空间中直线、平面的方程，空间向量（包括方向向量，法向量，与之对应的点积、叉乘、法线、切线、切平面、法平面等概念），梯度，旋度，散度，点到平面距离公式等等有关。这包含着对于后续多元积分学相当重要的知识，熟练掌握利于对题目的处理以及画出图像以辅助做题。

题目梗概

2026.5.27

空间解析几何0.1 直线在平面上的投影直线求解已知直线

{

−

L_0: \\begin{cases} 2x – z – 3 = 0 \\\\ y + 2z + 4 = 0 \\end{cases}

$L_{0} : {2 x - z - 3 = 0 y + 2 z + 4 = 0$ ，求

L_0

$L_{0}$ 在平面

−

x + y – z = 5

$x + y - z = 5$ 上的投影直线

$L$ 的方程。

空间解析几何0.2 旋转曲面方程与空间交线的坐标面投影设

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 是过点

(

−

)

(0,-1,1)

$(0, - 1, 1)$ 与

(

)

(0,0,0)

$(0, 0, 0)$ 的直线

$L$ 绕

$z$ 轴旋转一周所得旋转曲面满足

≥

z\\ge0

$z \geq 0$ 的部分，

\\Sigma_2

$Σ_{2}$ 的方程为

z^2=2x

$z^{2} = 2 x$ ，求

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 与

\\Sigma_2

$Σ_{2}$ 交线

\\Gamma

$Γ$ 在

xOy

$x O y$ 面上的投影曲线。

空间解析几何0.3 空间曲线的法平面方程求解设函数

(

)

z=f(x,y)

$z = f (x, y)$ 在点

(

)

(0,0)

$(0, 0)$ 附近有定义，且

′

(

)

f_x'(0,0)=3

$f_{x}^{'} (0, 0) = 3$ ，求曲线

{

(

)

\\begin{cases} z=f(x,y) \\\\ y=0 \\end{cases}

${z = f (x, y) y = 0$ 在点

(

)

(0,0,f(0,0))

$(0, 0, f (0, 0))$ 处的法平面方程。

空间解析几何0.4 空间直线在平面上的投影直线方程求解求直线

−

\\displaystyle L: \\frac{x}{1}=\\frac{y}{1}=\\frac{z-1}{-1}

$L : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ 在平面

−

\\pi:3x-y+3z=5

$π : 3 x - y + 3 z = 5$ 上的投影直线

L_0

$L_{0}$ 的方程。

空间解析几何1.1 过两定点且与二次曲面相切的平面求解求过点

(

)

(1,0,1)

$(1, 0, 1)$ 与点

(

)

(0,1,1)

$(0, 1, 1)$ ，且与曲面

x^2+y^2+1=z

$x^{2} + y^{2} + 1 = z$ 相切的平面方程。

空间解析几何1.2 多元函数方向导数计算求

⁡

(

−

)

\\displaystyle z=\\ln\\left(e^{-y}+\\frac{y}{x}\\right)

$z = ln (e^{- y} + \frac{y}{x})$ 在点

(

)

(1,1)

$(1, 1)$ 处沿

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,0)

$l$

=(1,0)的方向导数值。

空间解析几何1.3 已知顶点与准线求解锥面方程求以

(

)

M_0(1,1,1)

$M_{0} (1, 1, 1)$ 为顶点，以曲线

$C$ （

$C$ 是平面

z=0

$z = 0$ 上

y^2=x

$y^{2} = x$ 被

x=1

$x = 1$ 截下的有限部分）为准线的锥面方程。

空间解析几何1.4 分段函数方向导数定义计算与可微性辨析设函数

(

)

{

∣

(

)

≠

(

)

(

)

(

)

f(x,y)= \\begin{cases} \\displaystyle \\frac{x^2|y|}{x^2+y^4},&(x,y)\\neq(0,0) \\\\ 0,&(x,y)=(0,0) \\end{cases}

$f (x, y) = ⎩$

⎨

⎧x2+y4x2∣y∣,0,(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 求

(

)

f(x,y)

$f (x, y)$ 在点

(

)

(0,0)

$(0, 0)$ 处沿

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,1)

$l$

=(1,1)的方向导数，并说明不能用梯度求解的原因，辨析可微、偏导存在、方向导数存在三者的联系与区别。

空间解析几何1.5 最大方向导数的约束最值求解设

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 是函数

(

)

f(x,y)=x+2y+xy

$f (x, y) = x + 2 y + x y$ 在点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 处的最大方向导数，(1)求

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 的表达式；(2)求

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 在曲线

C:x^2+y^2=5

$C : x^{2} + y^{2} = 5$ 上的最大值。

空间解析几何1.6 由方向导数条件确定函数并判别二元极值设可微函数

(

)

z=z(x,y)

$z = z (x, y)$ 在平面上任一点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 处沿

$x$ 轴正向

⃗

\\vec{i}

$i$

与

$y$ 轴正向

⃗

\\vec{j}

$j$

的方向导数分别为

[

−

(

)

]

\\left[e^{-x}-f(x)\\right]y

$[e^{- x} - f (x)] y$ 与

(

)

f(x)

$f (x)$ ，其中

′

(

)

f'(x)

$f^{'} (x)$ 连续且

(

)

f(0)=1

$f (0) = 1$ ，试求

(

)

z=z(x,y)

$z = z (x, y)$ 的极值，若无极值说明理由。

参考解析

0.1

考察点：过定直线的平面束方程、两平面垂直的法向量点积条件、空间直线的一般式（两平面交线形式）

题目：已知直线

{

−

L_0: \\begin{cases} 2x – z – 3 = 0 \\\\ y + 2z + 4 = 0 \\end{cases}

$L_{0} : {2 x - z - 3 = 0 y + 2 z + 4 = 0$ ，求

L_0

$L_{0}$ 在平面

−

x + y – z = 5

$x + y - z = 5$ 上的投影直线

$L$ 的方程。

解：设过直线

L_0

$L_{0}$ 的平面束方程为：

(

−

)

(

)

(2x – z – 3) + \\lambda(y + 2z + 4) = 0

$(2 x - z - 3) + λ (y + 2 z + 4) = 0$ 整理为平面一般式：

−

(

)

−

2x + \\lambda y – (2\\lambda + 1)z + 4\\lambda – 3 = 0

$2 x + λ y - (2 λ + 1) z + 4 λ - 3 = 0$ 该平面的法向量

(

−

)

\\boldsymbol{n_1}=(2,\\lambda, -2\\lambda-1)

$n_{1} = (2, λ, - 2 λ - 1)$ ，已知投影基准平面

−

\\Pi: x+y-z=5

$Π : x + y - z = 5$ 的法向量

(

−

)

\\boldsymbol{n_2}=(1,1,-1)

$n_{2} = (1, 1, - 1)$ 。由于平面束内的平面需与

\\Pi

$Π$ 垂直，故法向量点积为0：

⋅

(

−

)

⋅

(

−

)

\\boldsymbol{n_1}\\cdot\\boldsymbol{n_2}=2\\cdot 1 + \\lambda \\cdot 1 + (-2\\lambda-1)\\cdot(-1)=0

$n_{1} \cdot n_{2} = 2 \cdot 1 + λ \cdot 1 + (- 2 λ - 1) \cdot (- 1) = 0$ 化简计算：

⟹

−

2+\\lambda+2\\lambda+1=0 \\implies 3\\lambda+3=0 \\implies \\lambda=-1

$2 + λ + 2 λ + 1 = 0 ⟹ 3 λ + 3 = 0 ⟹ λ = - 1$ 将

−

\\lambda=-1

$λ = - 1$ 代入平面束方程，得到垂直于

\\Pi

$Π$ 且过

L_0

$L_{0}$ 的平面：

−

2x – y + z – 7 = 0

$2 x - y + z - 7 = 0$ 投影直线

$L$ 是该平面与基准平面

\\Pi

$Π$ 的交线，最终方程为：

{

−

\\boxed{L: \\begin{cases} x + y – z = 5 \\\\ 2x – y + z – 7 = 0 \\end{cases}}

$L : {x + y - z = 5 2 x - y + z - 7 = 0$

0.2

考察点：绕

$z$ 轴旋转的旋转曲面方程推导、空间曲线投影柱面求解、空间曲线在

xOy

$x O y$ 坐标面的投影曲线写法

题目：设

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 是过点

(

−

)

(0,-1,1)

$(0, - 1, 1)$ 与

(

)

(0,0,0)

$(0, 0, 0)$ 的直线

$L$ 绕

$z$ 轴旋转一周所得旋转曲面满足

≥

z\\ge0

$z \geq 0$ 的部分，

\\Sigma_2

$Σ_{2}$ 的方程为

z^2=2x

$z^{2} = 2 x$ ，求

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 与

\\Sigma_2

$Σ_{2}$ 交线

\\Gamma

$Γ$ 在

xOy

$x O y$ 面上的投影曲线。

解：先求直线

$L$ 的方程：直线过原点，方向向量

(

−

)

\\boldsymbol{s}=(0,-1,1)

$s = (0, - 1, 1)$ ，一般式为

{

−

\\begin{cases} x=0 \\\\ y=-z \\end{cases}

${x = 0 y = - z$ 直线绕

$z$ 轴旋转时，

$z$ 坐标保持不变，点到

$z$ 轴的距离满足

∣

\\sqrt{x^2+y^2}=|y|=|z|

$x^{2} + y^{2}$

=∣y∣=∣z∣，结合

≥

z\\ge0

$z \geq 0$ 得旋转曲面

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 方程：

x^2+y^2=z^2

$x^{2} + y^{2} = z^{2}$ 联立

\\Sigma_1

$Σ_{1}$ 与

\\Sigma_2

$Σ_{2}$ 的方程消去

$z$ ，得到投影柱面方程：

x^2+y^2=2x

$x^{2} + y^{2} = 2 x$ 空间曲线在

xOy

$x O y$ 面投影需限定

z=0

$z = 0$ ，因此投影曲线方程为：

{

\\boxed{\\begin{cases} x^2 + y^2 = 2x \\\\ z = 0 \\end{cases}}

${x^{2} + y^{2} = 2 x z = 0$

0.3

考察点：空间曲线参数方程与切向量求解、隐式曲面的梯度计算、两曲面交线切向量的叉乘求法、法平面点法式方程

题目：设函数

(

)

z=f(x,y)

$z = f (x, y)$ 在点

(

)

(0,0)

$(0, 0)$ 附近有定义，且

′

(

)

f_x'(0,0)=3

$f_{x}^{'} (0, 0) = 3$ ，求曲线

{

(

)

\\begin{cases} z=f(x,y) \\\\ y=0 \\end{cases}

${z = f (x, y) y = 0$ 在点

(

)

(0,0,f(0,0))

$(0, 0, f (0, 0))$ 处的法平面方程。

解：

法一：参数方程法

令参数

x=t

$x = t$ ，将曲线写为参数形式：

{

(

)

\\begin{cases} x = t \\\\ y = 0 \\\\ z = f(t,0) \\end{cases}

$⎩$

⎨

⎧x=ty=0z=f(t,0) 对参数

$t$ 求导，代入

t=0

$t = 0$ 得到切向量：

(

′

)

∣

(

′

(

)

(

)

\\boldsymbol{\\tau}=(x_t',y_t',z_t')\\Big|_{t=0}=(1,0,f_x'(0,0))=(1,0,3)

$τ = (x_{t}^{'}, y_{t}^{'}, z_{t}^{'})$

t=0=(1,0,fx′(0,0))=(1,0,3) 以

\\boldsymbol{\\tau}

$τ$ 为法向量，过点

(

)

(0,0,f(0,0))

$(0, 0, f (0, 0))$ 由点法式列方程：

⋅

(

−

)

⋅

(

−

)

⋅

(

−

(

)

1\\cdot(x-0)+0\\cdot(y-0)+3\\cdot\\big(z-f(0,0)\\big)=0

$1 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 3 \cdot (z - f (0, 0)) = 0$

法二：梯度叉乘法

将曲线视为两曲面交线：

{

(

)

(

)

−

(

)

\\begin{cases} F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 \\\\ G(x,y,z)=y=0 \\end{cases}

${F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0 G (x, y, z) = y = 0$ 分别求梯度：

∇

(

′

−

)

∇

(

)

\\nabla F=(f_x',f_y',-1),\\quad \\nabla G=(0,1,0)

$\nabla F = (f_{x}^{'}, f_{y}^{'}, - 1), \nabla G = (0, 1, 0)$ 交线切向量为梯度叉乘

∇

\\boldsymbol{\\tau}=\\nabla F\\times\\nabla G

$τ = \nabla F \times \nabla G$ ，代入

(

)

(0,0,f(0,0))

$(0, 0, f (0, 0))$ 计算：

∣

′

(

)

−

∣

(

)

\\boldsymbol{\\tau}= \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{i} & \\boldsymbol{j} & \\boldsymbol{k} \\\\ 3 & f_y'(0,0) & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end{vmatrix} =(1,0,3)

$τ =$

i30jfy′(0,0)1k−10

=(1,0,3) 切向量与法一结果一致，因此法平面方程相同。

整理得到最终结果：

−

(

)

\\boxed{x + 3z – 3f(0,0) = 0}

$x + 3 z - 3 f (0, 0) = 0$

0.4

考察点：空间直线对称式转交面式、平面束方程构造规则、两平面垂直的法向量点积判定、向量叉乘求平面法向量、空间直线交面式表示方法

题目：求直线

−

\\displaystyle L: \\frac{x}{1}=\\frac{y}{1}=\\frac{z-1}{-1}

$L : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ 在平面

−

\\pi:3x-y+3z=5

$π : 3 x - y + 3 z = 5$ 上的投影直线

L_0

$L_{0}$ 的方程。

解：

法1 平面束法

将直线

$L$ 转化为交面式

{

−

\\begin{cases}x+z-2=0\\\\y+z-1=0\\end{cases}

${x + z - 2 = 0 y + z - 1 = 0$ ，构造过

$L$ 的平面束：

(

−

)

(

−

)

(x+z-2)+\\lambda(y+z-1)=0

$(x + z - 2) + λ (y + z - 1) = 0$ 整理得平面法向量

(

)

\\boldsymbol{n_1}=(1,\\lambda,1+\\lambda)

$n_{1} = (1, λ, 1 + λ)$ ，平面

\\pi

$π$ 法向量

(

−

)

\\boldsymbol{n_2}=(3,-1,3)

$n_{2} = (3, - 1, 3)$ 。投影平面需与

\\pi

$π$ 垂直，故法向量点积为0：

(

−

)

⋅

(

)

3\\times1 + (-1)\\cdot\\lambda + 3(1+\\lambda)=0

$3 \times 1 + (- 1) \cdot λ + 3 (1 + λ) = 0$ 解得

−

\\lambda=-3

$λ = - 3$ ，代入得到投影平面

−

x-3y-2z+1=0

$x - 3 y - 2 z + 1 = 0$ 。投影直线为该投影平面与原平面的交线：

{

−

L_0:\\begin{cases}x-3y-2z+1=0\\\\3x-y+3z=5\\end{cases}

$L_{0} : {x - 3 y - 2 z + 1 = 0 3 x - y + 3 z = 5$ 注：也可把直线拆分为

{

−

\\begin{cases}x-y=0\\\\y+z-1=0\\end{cases}

${x - y = 0 y + z - 1 = 0$ 来构造平面束

(

−

)

(

−

)

(x-y)+\\lambda(y+z-1)=0

$(x - y) + λ (y + z - 1) = 0$ ，二者属于同一类平面束方法，仅选取了直线两组不同的基础相交平面，最终求得的投影平面完全一致。

法2 向量叉乘法

直线

$L$ 的方向向量

⃗

(

−

)

\\vec{s}=(1,1,-1)

$s$

=(1,1,−1)，平面

\\pi

$π$ 的法向量

⃗

(

−

)

\\vec{n}=(3,-1,3)

$n$

=(3,−1,3)，投影平面的法向量由二者叉乘得到：

⃗

∣

−

∣

(

−

)

\\boldsymbol{n_1}=\\vec{s}\\times\\boldsymbol{n}= \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{i}&\\boldsymbol{j}&\\boldsymbol{k}\\\\ 1&1&-1\\\\ 3&-1&3 \\end{vmatrix}=(2,-6,-4)

$n_{1} = s$

×n=

i13j1−1k−13

=(2,−6,−4) 投影平面过直线

$L$ 上的点

(

)

P(1,0,1)

$P (1, 0, 1)$ ，由点法式列平面方程：

(

−

)

−

(

−

)

2(x-1)-6y-4(z-1)=0

$2 (x - 1) - 6 y - 4 (z - 1) = 0$ 化简后同样得到

−

x-3y-2z+1=0

$x - 3 y - 2 z + 1 = 0$ ，最终投影直线交面式结果和法1完全相同：

{

−

\\boxed{L_0:\\begin{cases}x-3y-2z+1=0\\\\3x-y+3z=5\\end{cases}}

$L_{0} : {x - 3 y - 2 z + 1 = 0 3 x - y + 3 z = 5$

1.1

考察点：隐函数曲面梯度与切平面法向量、切平面方程推导、平面内向量与法向量垂直约束、切点参数求解

题目：求过点

(

)

(1,0,1)

$(1, 0, 1)$ 与点

(

)

(0,1,1)

$(0, 1, 1)$ ，且与曲面

x^2+y^2+1=z

$x^{2} + y^{2} + 1 = z$ 相切的平面方程。

解：设

(

)

−

F(x,y,z)=x^2+y^2-z+1

$F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z + 1$ ，曲面在切点

(

)

P(x,y,z)

$P (x, y, z)$ 处的法向量

∇

(

−

)

\\nabla F=(2x,2y,-1)

$\nabla F = (2 x, 2 y, - 1)$ ，切平面方程为：

(

−

)

(

−

)

−

(

−

)

2x(X-x)+2y(Y-y)-(Z-z)=0

$2 x (X - x) + 2 y (Y - y) - (Z - z) = 0$ 平面过

(

)

(

)

A(1,0,1),B(0,1,1)

$A (1, 0, 1), B (0, 1, 1)$ ，平面内向量

→

(

−

)

\\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)

$A B$

=(−1,1,0)与法向量垂直，故

∇

⋅

→

\\nabla F\\cdot\\overrightarrow{AB}=0

$\nabla F \cdot A B$

=0，推出

x=y

$x = y$ ，此时切点满足

z=1+2x^2

$z = 1 + 2 x^{2}$ ，即

(

)

P(x,x,1+2x^2)

$P (x, x, 1 + 2 x^{2})$ 。再利用

→

(

−

)

\\overrightarrow{AP}=(x-1,x,2x^2)

$A P$

=(x−1,x,2x2)与法向量垂直列点积方程：

(

−

)

⋅

(

−

)

(x-1)\\cdot 2x + x\\cdot 2x + 2x^2\\cdot(-1)=0

$(x - 1) \cdot 2 x + x \cdot 2 x + 2 x^{2} \cdot (- 1) = 0$ 解得

x=0

$x = 0$ 或

x=1

$x = 1$ ，对应切点

(

)

P(0,0,1)

$P (0, 0, 1)$ 、

(

)

P(1,1,3)

$P (1, 1, 3)$ ，代入切平面化简得到两个符合条件的平面：

−

\\boxed{z=1,\\quad 2x+2y-z-1=0}

$z = 1, 2 x + 2 y - z - 1 = 0$ 注：类似于高中时，在二维平面求过某点的切线方程一样，需要设切点去做，因为没说这个点是否在曲线上；那么对于三维平面，同样需要设切点，因为没说这个点是否在曲面上。

1.2

考察点：多元函数偏导数与梯度计算、方向导数的梯度点积计算公式、坐标轴方向单位向量简化处理

题目：求

⁡

(

−

)

\\displaystyle z=\\ln\\left(e^{-y}+\\frac{y}{x}\\right)

$z = ln (e^{- y} + \frac{y}{x})$ 在点

(

)

(1,1)

$(1, 1)$ 处沿

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,0)

$l$

=(1,0)的方向导数值。

解：记点

(

)

P(1,1)

$P (1, 1)$ ，先求函数在

$P$ 处的梯度：

∇

∣

(

−

)

∣

(

−

)

\\nabla z\\Big|_P = \\left. \\left( \\frac{-\\dfrac{y}{x^2}}{e^{-y}+\\dfrac{y}{x}},\\frac{-e^{-y}+\\dfrac{1}{x}}{e^{-y}+\\dfrac{y}{x}} \\right) \\right|_{P} = \\left( \\frac{-1}{e^{-1}+1},\\frac{-e^{-1}+1}{e^{-1}+1} \\right)

$\nabla z$

e−y+xy−x2y,e−y+xy−e−y+x1

P=(e−1+1−1,e−1+1−e−1+1) 方向

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,0)

$l$

=(1,0)本身是单位向量，代入方向导数公式

∂

⃗

∣

∇

∣

⋅

⃗

∣

⃗

∣

\\displaystyle \\frac{\\partial z}{\\partial \\vec{l}}\\Big|_P=\\nabla z\\Big|_P\\cdot \\frac{\\vec{l}}{|\\vec{l}|}

$\partial l$

∂z

P=∇z

P⋅∣l

∣l

：

∂

⃗

∣

−

\\frac{\\partial z}{\\partial \\vec{l}}\\Big|_P = \\frac{-1}{e^{-1}+1} = -\\frac{e}{e+1}

$\partial l$

∂z

P=e−1+1−1=−e+1e

∂

⃗

∣

(

)

−

\\boxed{\\left.\\frac{\\partial z}{\\partial \\vec{l}}\\right|_{(1,1)} = -\\frac{e}{e+1}}

$\partial l$

∂z

(1,1)=−e+1e

1.3

考察点：锥面的几何定义、共线点比例式参数构造、参数式消元法推导曲面方程

题目：求以

(

)

M_0(1,1,1)

$M_{0} (1, 1, 1)$ 为顶点，以曲线

$C$ （

$C$ 是平面

z=0

$z = 0$ 上

y^2=x

$y^{2} = x$ 被

x=1

$x = 1$ 截下的有限部分）为准线的锥面方程。

解：

法一：点比例式法

设锥面上任意一点

(

)

M(x,y,z)

$M (x, y, z)$ ，直线

M_0M

$M_{0} M$ 与准线

$C$ 交于点

M_1

$M_{1}$ 。准线

$C$ 落在

z=0

$z = 0$ 平面，可设

(

)

M_1(t^2,t,0)

$M_{1} (t^{2}, t, 0)$ ，由

M_0,M_1,M

$M_{0}, M_{1}, M$ 三点共线列出比例关系：

−

\\frac{x-t^2}{t^2-1}=\\frac{y-t}{t-1}=\\frac{z-1}{0-1}

$\frac{x - t ^{2}}{t ^{2} - 1} = \frac{y - t}{t - 1} = \frac{z - 1}{0 - 1}$ 消去参数

$t$ 后整理，得到锥面方程：

(

−

)

(

−

)

(

−

)

(y-z)^2=(1-z)(x-z)

$(y - z)^{2} = (1 - z) (x - z)$

法二：参数式法

记准线上任意点

(

)

M_1(x_1,y_1,z_1)

$M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ，由

M_0,M_1,M

$M_{0}, M_{1}, M$ 三点共线引入参数

$t$ ：

(

−

)

(

−

)

(

−

)

x_1=1+(x-1)t,\\ y_1=1+(y-1)t,\\ z_1=1+(z-1)t

$x_{1} = 1 + (x - 1) t, y_{1} = 1 + (y - 1) t, z_{1} = 1 + (z - 1) t$ 结合准线约束

z_1=0,\\ y_1^2=x_1

$z_{1} = 0, y_{1}^{2} = x_{1}$ 消去

x_1,y_1,z_1,t

$x_{1}, y_{1}, z_{1}, t$ ，可得到和法一等价的锥面方程，两种方法仅参数构造形式不同，最终结果一致。

(

−

)

(

−

)

(

−

)

\\boxed{(y-z)^2=(1-z)(x-z)}

$(y - z)^{2} = (1 - z) (x - z)$ 注：画图+理解概念很重要！

1.4

考察点：方向导数极限原始定义、分段函数方向导数求解、二元函数可微/偏导数存在/方向导数存在三者的逻辑关系辨析

题目：设函数

(

)

{

∣

(

)

≠

(

)

(

)

(

)

f(x,y)= \\begin{cases} \\displaystyle \\frac{x^2|y|}{x^2+y^4},&(x,y)\\neq(0,0) \\\\ 0,&(x,y)=(0,0) \\end{cases}

$f (x, y) = ⎩$

⎨

⎧x2+y4x2∣y∣,0,(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 求

(

)

f(x,y)

$f (x, y)$ 在点

(

)

(0,0)

$(0, 0)$ 处沿

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,1)

$l$

=(1,1)的方向导数，并说明不能用梯度求解的原因，辨析可微、偏导存在、方向导数存在三者的联系与区别。

解：

1. 用定义计算方向导数

方向导数严格极限定义：

∂

⃗

∣

(

)

lim

⁡

→

(

⃗

)

−

(

)

\\frac{\\partial f}{\\partial \\vec{l}}\\Bigg|_{(0,0)}=\\lim_{t\\to0^+}\\frac{f\\left(t\\vec{e_l}\\right)-f(0,0)}{t}

$\partial l$

∂f

(0,0)=t→0+limtf(tel

)−f(0,0)

⃗

(

)

\\vec{l}=(1,1)

$l$

=(1,1)对应的单位方向向量

⃗

(

)

\\displaystyle \\vec{e_l}=\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)

$e_{l}$

=(22

,22

)，代入得动点坐标

(

)

\\displaystyle x=\\frac{\\sqrt{2}}{2}t,\\ y=\\frac{\\sqrt{2}}{2}t\\ (t>0)

$x = \frac{2}{2}$

t, y=22

t (t>0)，此时

∣

|y|=y

$∣ y ∣ = y$ 。

将动点代入函数表达式：

(

)

(

)

⋅

(

)

(

)

⋅

(

)

(

)

f\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}t,\\frac{\\sqrt{2}}{2}t\\right)=\\frac{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}t\\right)^2\\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}t}{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}t\\right)^2+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}t\\right)^4} =\\frac{\\frac{t^2}{2}\\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}t}{\\frac{t^2}{2}+\\frac{t^4}{4}} =\\frac{\\frac{\\sqrt{2}}{4}t^3}{\\frac{t^2}{2}\\left(1+\\frac{t^2}{2}\\right)} =\\frac{\\sqrt{2}\\,t}{2\\left(1+\\frac{t^2}{2}\\right)}

$f (\frac{2}{2}$

t,22

t)=(22

t)2+(22

t)4(22

t)2⋅22

t=2t2+4t42t2⋅22

t=2t2(1+2t2)42

t3=2(1+2t2)2

代入极限式计算：

∂

⃗

∣

(

)

lim

⁡

→

⋅

(

)

\\frac{\\partial f}{\\partial \\vec{l}}\\Bigg|_{(0,0)}=\\lim_{t\\to0^+}\\frac{1}{t}\\cdot \\frac{\\sqrt{2}\\,t}{2\\left(1+\\frac{t^2}{2}\\right)}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}

$\partial l$

∂f

(0,0)=t→0+limt1⋅2(1+2t2)2

t=42

2. 不能用梯度求解的原因

该函数在

(

)

(0,0)

$(0, 0)$ 处不可微：二元函数只有在可微的前提下，才存在梯度，且方向导数满足

∂

⃗

∇

⋅

⃗

\\displaystyle \\frac{\\partial f}{\\partial \\vec{l}}=\\nabla f\\cdot\\vec{e_l}

$\partial l$

∂f=∇f⋅el

；不可微时梯度不存在，该公式失效，只能用原始极限定义计算方向导数。

3. 可微、偏导存在、方向导数存在的联系与区别

推导单向性：函数在某点可微

\\implies ⟹该点所有一阶偏导数存在、任意方向的方向导数都存在；反过来偏导/方向导数存在，无法推出函数可微。

偏导与方向导数互不充分：偏导数仅为坐标轴方向的特殊方向导数，偏导数存在不能推出任意方向的方向导数都存在；单个方向导数存在也不能推出偏导数存在。

梯度的适用前提：只有函数可微时，梯度才存在，才能用梯度点乘单位方向向量批量计算所有方向导数；不可微时哪怕部分方向导数存在，也没有统一的梯度表达式。

∂

⃗

∣

(

)

\\boxed{\\frac{\\partial f}{\\partial \\vec{l}}\\bigg|_{(0,0)}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}}

$\partial l$

∂f

(0,0)=42

1.5

考察点：梯度与最大方向导数的对应关系、三角函数参数化求解闭曲线最值、拉格朗日乘数法拓展解法

题目：设

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 是函数

(

)

f(x,y)=x+2y+xy

$f (x, y) = x + 2 y + x y$ 在点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 处的最大方向导数，(1)求

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 的表达式；(2)求

(

)

g(x,y)

$g (x, y)$ 在曲线

C:x^2+y^2=5

$C : x^{2} + y^{2} = 5$ 上的最大值。

解： (1) 函数的梯度

∇

(

)

\\nabla f=(1+y,2+x)

$\nabla f = (1 + y, 2 + x)$ ，某点的最大方向导数等于该点梯度的模长，因此：

(

)

∣

∇

∣

(

)

(

)

g(x,y)=|\\nabla f|=\\sqrt{(1+y)^2+(2+x)^2}

$g (x, y) = ∣\nabla f ∣ = (1 + y)^{2} + (2 + x)^{2}$

(2) 为简化计算对

(

)

g^2(x,y)

$g^{2} (x, y)$ 做参数化处理，令

{

sin

⁡

cos

⁡

\\begin{cases}x=\\sqrt{5}\\sin t\\\\y=\\sqrt{5}\\cos t\\end{cases}

${x = 5$

sinty=5

cost，代入展开：

(

)

(

sin

⁡

)

(

cos

⁡

)

sin

⁡

cos

⁡

g^2(x,y)=(1+\\sqrt{5}\\sin t)^2+(2+\\sqrt{5}\\cos t)^2=10+2\\sqrt{5}\\sin t+4\\sqrt{5}\\cos t

$g^{2} (x, y) = (1 + 5$

sint)2+(2+5

cost)2=10+25

sint+45

cost 由三角最值不等式

sin

⁡

cos

⁡

≤

a\\sin t+b\\cos t\\le\\sqrt{a^2+b^2}

$a sin t + b cos t \leq a^{2} + b^{2}$

，得

sin

⁡

cos

⁡

≤

2\\sqrt{5}\\sin t+4\\sqrt{5}\\cos t\\le10

$25$

sint+45

cost≤10，因此

(

)

≤

g^2(x,y)\\le20

$g^{2} (x, y) \leq 20$ ，即

(

)

≤

g(x,y)\\le2\\sqrt{5}

$g (x, y) \leq 25$

，可取到等号；该最值也可通过拉格朗日乘数法验证。

(

)

(

)

(

)

在曲线

上的最大值为

\\boxed{g(x,y)=\\sqrt{(x+2)^2+(y+1)^2},\\quad \\text{在曲线}C\\text{上的最大值为}2\\sqrt{5}}

$g (x, y) = (x + 2)^{2} + (y + 1)^{2}$

,在曲线C上的最大值为25

1.6

考察点：坐标轴方向方向导数与偏导数的等价关系、一阶线性常微分方程求解、二元函数极值的判别法则

题目：设可微函数

(

)

z=z(x,y)

$z = z (x, y)$ 在平面上任一点

(

)

(x,y)

$(x, y)$ 处沿

$x$ 轴正向

⃗

\\vec{i}

$i$

与

$y$ 轴正向

⃗

\\vec{j}

$j$

的方向导数分别为

[

−

(

)

]

\\left[e^{-x}-f(x)\\right]y

$[e^{- x} - f (x)] y$ 与

(

)

f(x)

$f (x)$ ，其中

′

(

)

f'(x)

$f^{'} (x)$ 连续且

(

)

f(0)=1

$f (0) = 1$ ，试求

(

)

z=z(x,y)

$z = z (x, y)$ 的极值，若无极值说明理由。

解：由坐标轴方向方向导数的定义，直接得到一阶偏导数：

∂

[

−

(

)

]

∂

(

)

\\frac{\\partial z}{\\partial x}=\\left[e^{-x}-f(x)\\right]y,\\quad \\frac{\\partial z}{\\partial y}=f(x)

$\frac{\partial z}{\partial x} = [e^{- x} - f (x)] y, \frac{\partial z}{\partial y} = f (x)$ 对

∂

\\frac{\\partial z}{\\partial y}

$\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于

$y$ 积分，得到：

(

)

(

)

(

)

z(x,y)=yf(x)+\\varphi(x)

$z (x, y) = y f (x) + φ (x)$ 将上式对

$x$ 求偏导，和

∂

\\frac{\\partial z}{\\partial x}

$\frac{\partial z}{\partial x}$ 联立对比系数，得到微分方程组：

{

′

(

)

−

(

)

′

(

)

\\begin{cases} f'(x)=e^{-x}-f(x) \\\\ \\varphi'(x)=0 \\end{cases}

${f^{'} (x) = e^{- x} - f (x) φ^{'} (x) = 0$ 解一阶线性微分方程

′

(

)

(

)

−

f'(x)+f(x)=e^{-x}

$f^{'} (x) + f (x) = e^{- x}$ ，结合初值

(

)

f(0)=1

$f (0) = 1$ ，得

(

)

(

)

−

f(x)=(x+1)e^{-x}

$f (x) = (x + 1) e^{- x}$ ，

(

)

\\varphi(x)=C_0

$φ (x) = C_{0}$ （任意常数），因此：

(

)

(

)

−

z(x,y)=y(x+1)e^{-x}+C_0

$z (x, y) = y (x + 1) e^{- x} + C_{0}$ 计算二阶偏导数做极值判别：

∂

−

∂

(

)

−

\\frac{\\partial z}{\\partial x}=-xye^{-x},\\ \\frac{\\partial z}{\\partial y}=(x+1)e^{-x}

$\frac{\partial z}{\partial x} = - x y e^{- x}, \frac{\partial z}{\partial y} = (x + 1) e^{- x}$ 令一阶偏导同时为0，得到唯一驻点

(

−

)

(-1,0)

$(- 1, 0)$ ；继续求二阶偏导：

∂

∣

(

−

)

∂

∣

(

−

)

−

∂

∣

(

−

)

A=\\frac{\\partial^2 z}{\\partial x^2}\\bigg|_{(-1,0)}=0,\\ B=\\frac{\\partial^2 z}{\\partial x\\partial y}\\bigg|_{(-1,0)}=-e,\\ C=\\frac{\\partial^2 z}{\\partial y^2}\\bigg|_{(-1,0)}=0

$A = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$

(−1,0)=0, B=∂x∂y∂2z

(−1,0)=−e, C=∂y2∂2z

(−1,0)=0 判别式

−

\\Delta=AC-B^2=-e^2<0

$Δ = A C - B^{2} = - e^{2} < 0$ ，该驻点不是极值点，因此函数

(

)

z(x,y)

$z (x, y)$ 无极值。

(

)

不存在极值

\\boxed{z(x,y)\\text{不存在极值}}

$z (x, y) 不存在极值$

空间解析几何杂题（多元积分学预备知识）

文章目录

前言

题目梗概

参考解析

0.1

0.2

0.3

法一：参数方程法

法二：梯度叉乘法

0.4

法1 平面束法

法2 向量叉乘法

1.1

1.2

1.3

法一：点比例式法

法二：参数式法

1.4

1. 用定义计算方向导数

2. 不能用梯度求解的原因

3. 可微、偏导存在、方向导数存在的联系与区别

1.5

1.6

后话

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前言

题目梗概

参考解析

0.1

0.2

0.3

法一：参数方程法

法二：梯度叉乘法

0.4

法1 平面束法

法2 向量叉乘法

1.1

1.2

1.3

法一：点比例式法

法二：参数式法

1.4

1. 用定义计算方向导数

2. 不能用梯度求解的原因

3. 可微、偏导存在、方向导数存在的联系与区别

1.5

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