R语言二分法求函数根

核心思想

如果函数在上连续，并且满足：

那么说明 和异号。根据连续函数的零点存在定理，区间内至少存在一个根：

理论刨析

      定初始区间

以函数为为例 。

我们取初始区间为,二分法要求函数在区间两端异号，即：

现在取：

计算左端点函数值：

计算右端点函数值：

因此：

所以，区间满足二分法的使用条件，说明该区间内至少存在一个根：

二分法

第一次二分

初始区间为：

中点为：

计算中点函数值：

因为：

所以：

因此根位于左半区间：

第二次二分

当前区间为：

中点为：

计算函数值：

因为：

所以：

因此根位于右半区间：

第三次二分

当前区间为：

中点为：

计算函数值：

因为：

所以根位于右半区间：

当我们不断迭代的时候，区间会不断收敛到真实值附近。但是我们不可能无限迭代。

终止条件

1.函数值足够接近 0

当中点的函数值已经非常接近 0 时，可以停止：

其中是我们设定的误差精度，例如：

也就是说，只要：

就认为当前中点已经可以作为方程的近似根。

2. 区间长度足够小

二分法每次都会把区间缩小一半。当区间已经非常短时，说明根已经被锁定在一个很小的范围内，此时也可以停止。

停止条件可以写为：

这里的含义是：当前中点与真实根的最大误差已经小于

因为：

所以有：

因此，只要：

就可以保证近似根的误差小于设定精度。

3. 达到最大迭代次数

为了防止程序出现异常循环，实际编程时通常还会设置最大迭代次数：

例如：

如果循环次数达到 100 次，即使还没有满足精度条件，也强制停止。

二分法就是利用连续函数的变号性质，通过“取中点—判符号—缩区间”的方式逐步逼近方程的根。

案例实操

一、for循环版本

结束条件是：达到最大迭代次数。

# ============================================================
# 二分法求根：for 循环版本
# 结束条件：达到最大迭代次数
# 方程：f(x) = x^2 + 2x – 15
# 初始区间：[1, 6]
# ============================================================

# 1. 定义目标函数
f <- function(x) {
return(x^2 + 2 * x – 15)
}

# 2. 设置初始区间
a <- 1
b <- 6

# 3. 检查初始区间是否满足二分法条件
if (f(a) * f(b) > 0) {
stop("初始区间两端函数值同号，不能使用二分法。")
}

# 4. 设置最大迭代次数
max_iter <- 30

# 5. 创建结果保存表
result_for <- data.frame(
iteration = integer(),
a = numeric(),
b = numeric(),
c = numeric(),
f_c = numeric()
)

# 6. for 循环进行二分迭代
for (k in 1:max_iter) {

# 计算中点
c <- (a + b) / 2

# 计算中点函数值
f_c <- f(c)

# 保存当前迭代结果
result_for <- rbind(
result_for,
data.frame(
iteration = k,
a = a,
b = b,
c = c,
f_c = f_c
)
)

# 判断根所在区间
if (f(a) * f_c < 0) {
b <- c
} else {
a <- c
}
}

# 7. 输出迭代结果
print(result_for)

# 8. 输出最终近似根
root_for <- c

cat("for循环版本的近似根为：", root_for, "\\n")
cat("近似根处的函数值为：", f(root_for), "\\n")
cat("总迭代次数为：", max_iter, "\\n")

二、while循环版本

结束条件是：当中点函数值足够接近 0 时停止。

# ============================================================
# 二分法求根：while 循环版本
# 结束条件：函数值精度 |f(c)| < epsilon
# 方程：f(x) = x^2 + 2x – 15
# 初始区间：[1, 6]
# ============================================================

# 1. 定义目标函数
f <- function(x) {
return(x^2 + 2 * x – 15)
}

# 2. 设置初始区间
a <- 1
b <- 6

# 3. 检查初始区间是否满足二分法条件
if (f(a) * f(b) > 0) {
stop("初始区间两端函数值同号，不能使用二分法。")
}

# 4. 设置精度
epsilon <- 1e-6

# 5. 初始化变量
k <- 0
c <- (a + b) / 2
f_c <- f(c)

# 6. 创建结果保存表
result_while <- data.frame(
iteration = integer(),
a = numeric(),
b = numeric(),
c = numeric(),
f_c = numeric()
)

# 7. while 循环进行二分迭代
while (abs(f_c) >= epsilon) {

# 迭代次数加 1
k <- k + 1

# 保存当前迭代结果
result_while <- rbind(
result_while,
data.frame(
iteration = k,
a = a,
b = b,
c = c,
f_c = f_c
)
)

# 判断根所在区间
if (f(a) * f_c < 0) {
b <- c
} else {
a <- c
}

# 重新计算新区间中点
c <- (a + b) / 2

# 重新计算中点函数值
f_c <- f(c)
}

# 8. 保存最后一次满足精度的结果
result_while <- rbind(
result_while,
data.frame(
iteration = k + 1,
a = a,
b = b,
c = c,
f_c = f_c
)
)

# 9. 输出迭代结果
print(result_while)

# 10. 输出最终近似根
root_while <- c

cat("while循环版本的近似根为：", root_while, "\\n")
cat("近似根处的函数值为：", f(root_while), "\\n")
cat("总迭代次数为：", k + 1, "\\n")
cat("设定精度为：", epsilon, "\\n")