延时嵌入相空间后，每个局部邻域中的状态点可以看作一个多元分布，用高斯分布拟合该邻域，2个邻域的比较便从点集差异提升为分布差异。Bhattacharyya距离是信息几何中度量分布之间区分度的标准工具，它源自Fisher-Rao度量的局部逼近，可以敏感的反映分布均值和协方差结构的变化。信息几何递归图通过滑动窗口提取局部高斯模型，计算所有窗口对之间的Bhattacharyya距离，再用自适应高斯核转化为二维图像，整个过程无基函数、无学习参数，只是将一维信号的分布形状差异绘制成纹理图。
01 分布的形状差异比单点距离更具信息量
欧氏递归图只比较相空间中的孤立点，而系统状态的变化往往表现为一组邻近点的整体漂移或协方差矩阵的旋转变形，高斯分布仅用均值和协方差就能刻画局部点云的位置和散布形态，Bhattacharyya距离则同时量化这2个方面的差异。当信号中出现冲击、调制或噪声加剧时，局部协方差结构会明显改变，Bhattacharyya距离对此敏感，而欧氏距离可能无动于衷，因此在统计流形上度量状态相似性，能更本质的捕捉动态结构的变化。
02 从局部高斯模型到Bhattacharyya距离矩阵
2.1 延时嵌入和局部点云
对一维信号进行延时嵌入，得到高维相空间轨迹，沿轨迹滑动，以每个时刻为中心取前后小邻域内的所有状态点，构成一个局部点集，这种截取方式保留了局部动态信息，为后续分布拟合提供样本。
2.2 局部高斯拟合和Bhattacharyya距离
对每个局部点集，计算样本均值和样本协方差矩阵，协方差矩阵加入对角正则化以保证正定和可逆，然后对所有点云对计算Bhattacharyya距离，这个距离由2部分贡献：均值差经过混合协方差逆矩阵加权的平方项，以及协方差行列式的对数比项，前者反映分布中心的位置差异，后者反映散布形状的差异，两者结合，使得分布形态的整体变化被全面量化。
2.3 从距离到递归图像
将所有窗口对的距离排成对称矩阵，取上三角元素的中位数作为高斯核宽度，将距离转化为相似度，确保纹理层次丰富。相似度矩阵经双线性插值缩放至固定尺寸，得到最终的二维灰度图，横纵坐标均为窗口时间索引，明亮区域表示2个时刻的局部高斯分布高度相似，暗区则意味着分布结构发生了显著变化。
信息几何递归图是完全确定性的映射，内部没有可训练权重，不执行故障分类，不预设频带。它只忠实地将局部分布形状的差异呈现为纹理，为后续的二维分析提供一个基于统计流形几何的起点。
参考文章及代码获取：
一维信号转换为二维图像：信息几何递归图-统计流形上的Bhattacharyya距离(Python)
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工学博士，《MSSP》《中国电机工程学报》《宇航学报》《控制与决策》等期刊审稿专家，擅长领域：信号滤波/降噪，机器学习/深度学习，时间序列预分析/预测，设备故障诊断/缺陷检测/异常检测
