2026年第十六届APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛（中文赛项）B题

高性能芯片热管理系统的优化问题

基于代理模型与多目标优化的歧管微通道散热器设计

数学建模竞赛论文

摘 要

随着高性能芯片功率密度的持续攀升，高效热管理已成为制约芯片性能的关键瓶颈。本文针对歧管微通道散热器（Manifold Microchannel Heat Sink, MMCHS），系统研究了三个关键几何参数——针肋宽度比（wratio）、歧管深高比（dhratio）和针肋排数（nrows）——对散热性能、流动阻力和温度均匀性的影响规律，并建立了完整的优化设计框架。

首先，通过全面的参数扫描分析了各参数对三个无量纲性能指标（热阻、压降、温度非均匀性）的影响机理，揭示了参数间的耦合效应。其次，构建了三种代理模型（PRSM、RBF、Kriging），通过留一交叉验证（LOO-CV）评估精度，其中Kriging模型以高斯过程配合Matern 5/2核函数取得了最优拟合效果（LOO-R2均超过0.997）。在此基础上，采用离散网格搜索结合非支配排序获取了32个Pareto最优解，并通过TOPSIS方法确定了最优设计参数组合。进一步地，通过500次蒙特卡洛权重采样进行了权重灵敏度分析，验证了最优设计的鲁棒性，并针对7种典型应用场景给出了差异化设计建议。最后，利用中心差分法完成了参数扰动敏感性分析，定量评估了各参数的敏感度系数。

关键词： 歧管微通道散热器；代理模型；Kriging模型；多目标优化；Pareto前沿；TOPSIS；权重灵敏度分析；敏感性分析

一、问题一：传热与流动机理模型分析

1.1 问题分析与指标体系构建

歧管微通道散热器（MMCHS）是一种高效的芯片冷却方案，其核心思想是通过歧管结构将冷却液分配至多个平行的微通道中，从而在保持较低泵功消耗的同时实现高热流密度的散热。散热器的几何参数直接影响传热效率、流动阻力以及芯片表面温度分布的均匀性。

本文选取三个关键几何设计参数作为决策变量，其取值范围如下：
表1 设计参数及其取值范围

为全面评价散热器性能，本文建立了包含三个无量纲性能指标的综合评价体系：
性能评价指标体系
（1）无量纲热阻 Rth：反映散热器的整体散热能力，值越小表示散热效率越高。

（2）无量纲压降 ΔP：反映冷却液流经散热器所需的泵功消耗，值越小表示能效越高。

（3）无量纲温度非均匀性 Tnonuni：反映芯片表面温度分布的均匀程度，值越小表示温度分布越均匀，有助于提高芯片可靠性。
上述三个指标分别从散热能力、能量效率和运行可靠性三个维度构成了完整的评价体系，为后续的优化设计奠定了基础。

1.2 参数影响规律分析

为探究各设计参数对性能指标的独立影响规律，本文采用控制变量法，在固定其他两个参数取中值的条件下，分别考察每个参数对三个性能指标的影响趋势。

1.2.1 针肋宽度比（w_ratio）的影响

针肋宽度比是影响传热面积和流动通道截面积的关键参数。如图1所示，wratio 对无量纲热阻 Rth 呈现显著的U型影响规律：当 wratio 从0增大至约0.15~0.20时，Rth 持续下降，这是因为针肋的引入增加了传热面积并增强了流体的混合扰动效应；然而当 wratio 继续增大时，流动通道变窄导致流量分配不均，部分区域出现传热恶化，Rth 反而回升。对于无量纲压降 ΔP，wratio 的增大导致流动阻力单调增加，这是因为通道截面积减小使得流速增大、摩擦损失增加。

图1 针肋宽度比对性能指标的影响（歧管深高比=3.5）

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1.2.2 歧管深高比（dh_ratio）的影响
歧管深高比决定了歧管区域的体积与微通道区域的相对比例。如图2所示，dhratio 与 Rth 呈正相关关系：较大的 dhratio 意味着歧管区域占据更大空间，实际参与传热的微通道区域相对减小，导致整体散热效率下降。相反，dhratio 与 ΔP 呈负相关关系：歧管深度的增加使得流体在歧管区域有更大的缓冲空间，流速降低，从而减小了整体流动阻力。温度非均匀性 Tnonuni 随 dhratio 的增大呈现先降后升的趋势，存在一个最优值。

图2 歧管深高比对性能指标的影响（针肋宽度比=0.2）

1.2.3 针肋排数（n_rows）的影响

针肋排数直接影响针肋阵列的覆盖范围和流道长度。如图3所示，nrows 对 Rth 和 Tnonuni 均呈现U型影响规律。当 nrows 较小时，增加针肋排数可以扩大传热面积、增强流体扰动，从而改善散热效果；但当 nrows 过大时，流道过长导致流体温度沿程升高，下游区域传热温差减小，整体散热效率反而下降。同时，过多的针肋排数也加剧了温度分布的不均匀性。对于压降 ΔP，nrows 的增加导致流动路径延长和局部阻力增加，ΔP 总体呈上升趋势。

图3 针肋排数对性能指标的影响（歧管深高比=3.5）

1.3 三维响应面分析

为深入揭示参数间的交互效应，本文绘制了三个性能指标关于两两参数组合的三维响应面图。响应面可以直观展示性能指标随参数变化的非线性特征以及参数间的耦合关系。

图4-6 三项性能指标的三维响应面

从三维响应面可以观察到以下关键特征：（1）Rth 的响应面呈现明显的"谷地"形态，最优区域集中在 wratio ≈ 0.15~0.20 的区间内；（2）ΔP 随 wratio 和 nrows 的增大而单调递增，且在 wratio 较大时增长速率加快；（3）Tnonuni 的响应面较为复杂，存在多个局部极值点，说明温度均匀性对参数组合更为敏感。

1.4 指标相关性分析

为进一步量化各参数与性能指标之间的线性相关程度，本文计算了Pearson相关系数矩阵，并以热力图形式展示（图7）。

图7 性能指标Pearson相关系数热力图

相关性分析揭示了以下规律：wratio 与 ΔP 呈强正相关（r > 0.7），表明针肋宽度是影响流动阻力的主要因素；dhratio 与 Rth 呈正相关但与 ΔP 呈负相关，体现了散热与能耗之间的权衡关系；nrows 与各指标间的相关性较弱且非线性特征明显，说明针肋排数的影响需要通过更高阶的模型来刻画。

问题一结论： 三个设计参数对性能指标的影响具有显著的非线性特征和参数耦合效应。wratio 对 Rth 的U型影响表明存在最优值区间（约0.15~0.20），dhratio 在散热与能耗间存在固有矛盾，nrows 的影响规律最为复杂。三个指标构成的完整评价体系为后续多目标优化提供了明确的优化方向。

二、问题二：代理模型建立与评估

2.1 代理模型简介

由于CFD数值仿真计算成本高昂，直接基于仿真的全局优化在计算上不可行。代理模型（Surrogate Model）通过构建输入参数与输出响应之间的近似数学关系，以极低的计算成本实现对仿真结果的快速预测。本文选取三种具有代表性的代理模型方法进行对比研究。
2.1.1 多项式响应面模型（PRSM）

二阶多项式响应面模型（Polynomial Response Surface Methodology）采用二次多项式对输入-输出关系进行拟合，其一般形式为：

y = β₀ + Σβᵢxᵢ + Σβᵢᵢxᵢ² + ΣΣβᵢⱼxᵢxⱼ + ε

其中 β 为回归系数，xi 为设计变量，ϵ 为残差项。PRSM模型结构简单、可解释性强，适用于近似线性的关系拟合，但对于强非线性问题的拟合能力有限。
2.1.2 径向基函数模型（RBF）

径向基函数模型（Radial Basis Function）以训练样本点为中心，通过径向基函数的线性组合构建近似模型。本文采用薄板样条（Thin Plate Spline）作为核函数：

y(x) = Σwᵢφ(||x – xᵢ||)

其中 φ® = r²ln® 为薄板样条核函数。其中 r = ||x – xi|| 为预测点与第 i 个训练样本之间的欧氏距离。RBF模型具有优秀的非线性逼近能力，且对训练样本数量要求较低。

2.1.3 Kriging模型

Kriging模型基于高斯过程（Gaussian Process）框架，将预测值视为一个高斯随机过程，不仅给出预测值，还提供预测的不确定性估计。本文采用Matern 5/2核函数：

k(x, x') = σ2 · (1 + √5d + 5d2/3) exp(-√5d)

其中 d = ||x – x’||p 为经过超参数缩放的距离度量。Matern 5/2核函数在光滑性和灵活性之间取得了良好的平衡，适合拟合具有中等复杂度的工程问题。

2.2模型训练与交叉验证

本文采用留一交叉验证（Leave-One-Out Cross-Validation, LOO-CV）方法评估各代理模型的预测精度。LOO-CV的基本思想是：每次留出一个样本作为测试集，用其余样本训练模型，然后预测留出样本的响应值，重复此过程直至所有样本都被预测一次。
评估指标采用决定系数（R2）和均方根误差（RMSE），其定义分别为：
R2 = 1 – ∑i(yi – ŷi)2 / ∑i(yi – ȳ)2；
RMSE = √(1/N · ∑i(yi – ŷi)2)；
其中 yi 为真实值，ŷi 为预测值，ȳ 为真实值均值，N 为样本数。

2.3 模型对比与选择

图8 三种代理模型LOO预测值与真实值对比

图9 LOO预测相对误差分布

图10 三种代理模型精度对比

由上表三种代理模型的LOO交叉验证结果和图8~10可以得出以下结论：

Kriging模型在三个性能指标上均取得了最优的LOO-R2（均超过0.997），预测误差极小且分布均匀，能够高精度地捕捉参数与响应之间的复杂非线性关系。这得益于高斯过程框架的灵活性以及Matern 5/2核函数的优秀表达能力。
RBF模型同样表现出色，所有LOO-R2均超过0.96，误差分布集中，是一种可靠的代理模型选择。其优势在于模型构建简单、预测速度快。
PRSM模型在 ΔP 的拟合上表现尚可（R2=0.95），但在 Rth（R2=0.71）和 Tnonuni（R2=0.74）上精度明显不足。这是因为 Rth 和 Tnonuni 与设计参数之间存在显著的非线性关系（如U型曲线），二阶多项式难以充分刻画这些高阶特征。

2.4 最优模型选择

Kriging模型的核函数配置：

k(x, x') = 73.0² × Matern(length_scale=[18.3, 17.7, 17.8], ν=2.5) + WhiteKernel(noise_level=1e-6)

该核函数采用Matern 5/2协方差函数，能够有效捕捉样本点之间的空间相关性。Kriging模型在所有三项指标上均取得了LOO-R² > 0.997的优异精度，被选为后续优化的代理模型。

问题二结论： Kriging模型以显著优势优于PRSM和RBF模型，能够高精度替代CFD仿真，为后续多目标优化提供了可靠的计算基础。

三、问题三：多目标优化

3.1 优化框架设计

芯片热管理系统的优化本质上是一个多目标优化问题：需要同时最小化热阻 Rth（提升散热能力）、最小化压降 ΔP（降低能耗）和最小化温度非均匀性 Tnonuni（提高可靠性）。这三个目标之间存在固有的矛盾关系，无法同时达到各自的全局最优，因此需要寻求Pareto最优解集。
本文采用的优化框架如下：

具体而言，在参数空间内以均匀步长生成离散设计点（共294个），利用已训练的Kriging模型快速预测各设计点的三个性能指标值，然后通过非支配排序（Non-dominated Sorting）筛选出Pareto最优解集。非支配排序的原理是：若解 A 在所有目标上都不劣于解 B，且至少在一个目标上严格优于 B，则称 A 支配 B。Pareto最优解是不被任何其他解支配的解集。

3.2 Pareto前沿分析

经过非支配排序，从294个候选设计点中筛选出32个Pareto最优解。图11展示了Pareto前沿在三维目标空间中的分布。

图11 多目标优化Pareto前沿（三维空间）

图12 Pareto前沿二维投影

从Pareto前沿的形态可以观察到以下特征：

Rth 与 ΔP 的权衡：在 Rth-ΔP 投影面上，Pareto前沿呈现明显的凸形曲线，表明散热性能与能耗之间存在显著的矛盾关系。降低热阻通常需要增大针肋面积或增加针肋排数，但这会不可避免地增大流动阻力。
Rth 与 Tnonuni 的一致性：在 Rth-Tnonuni 投影面上，Pareto前沿较为紧凑，说明改善散热效率与提高温度均匀性在多数情况下方向一致。
ΔP 与 Tnonuni 的弱相关：在 ΔP-Tnonuni 投影面上，Pareto解分布较为分散，表明压降与温度均匀性之间的权衡关系较为复杂。

3.3 TOPSIS最优解选取

为从Pareto最优解集中确定最终的推荐设计方案，本文采用TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）方法。TOPSIS的基本思想是：定义理想解（各目标均取最优值）和负理想解（各目标均取最差值），然后计算每个方案与理想解的相对接近度，选择接近度最大的方案作为最优解。

TOPSIS的计算步骤如下：

Ci = di- / (di+ + di-)

其中 di+ 为第 i 个方案到理想解的距离，di- 为到负理想解的距离。Ci 越大表示方案越接近理想解。

本文采用等权重方案（wR = wP = wT = 1/3），即对三个性能指标赋予相同的重要性。TOPSIS排序结果如下表所示：

最优设计方案解读
wratio = 0.20：处于热阻U型曲线的最优区间，在增大传热面积与控制流动阻力之间取得平衡。

dhratio = 4.50：取上限值，最大化歧管缓冲空间以降低压降，同时通过其他参数弥补散热损失。

nrows = 4：适中的针肋排数，在增强传热与避免过长流道导致的传热恶化之间取得折中。

问题三结论： 通过离散网格搜索与Kriging代理模型相结合，在294个设计点中筛选出32个Pareto最优解。TOPSIS方法确定的最优设计方案为 wratio=0.20, dhratio=4.50, nrows=4，对应的性能指标为 Rth=0.7422, ΔP=0.0832, Tnonuni=0.7740。

四、问题四：权重灵敏度与鲁棒设计

4.1 蒙特卡洛权重采样

在实际工程应用中，不同应用场景对三个性能指标的重视程度不同。为评估权重变化对最优设计方案的影响，本文采用蒙特卡洛方法随机生成500组权重组合，对每组权重分别执行TOPSIS排序并记录最优设计方案。

权重生成采用Dirichlet分布采样，确保三组权重之和为1且均为非负值：

(wR, wP, wT) ~ Dir(α1, α2, α3), α1 = α2 = α3 = 1
其中 wR, wP, wT 分别对应 Rth, ΔP, Tnonuni 的权重，αi = 1 对应均匀Dirichlet分布，保证权重空间的均匀探索。

4.2 鲁棒设计方案

图13 权重灵敏度分析

图13展示了500组随机权重下最优设计参数的分布情况。统计结果表明：

关键发现如下：

鲁棒设计方案：在500组随机权重中，设计方案 wratio=0.20, dhratio=4.50, nrows=4 被选中了46.2%的次数（231/500），远高于其他任何单一设计方案，表明该方案具有显著的鲁棒性。
参数敏感性差异：wratio 的标准差仅为0.044，说明无论权重如何变化，最优 wratio 始终集中在0.20附近，鲁棒性最强。dhratio 的标准差为0.524，表现出中等敏感性。nrows 的标准差高达2.02，是最敏感的参数，说明不同应用场景下最优针肋排数可能差异较大。

4.3 应用场景分析

针对7种典型应用场景，给出了差异化设计建议：

图14 不同应用场景下的最优设计方案对比

从场景分析中可以总结出以下规律：

wratio 在大多数场景下均稳定在0.15~0.20区间，再次验证了该参数的鲁棒性。
散热优先场景倾向于较小的 dhratio（增大微通道传热区域）和较多的 nrows（增加传热面积）。
低功耗优先场景倾向于较小的 wratio（减小流动阻力）和较少的 nrows（缩短流道）。

问题四结论： 蒙特卡洛权重灵敏度分析表明，等权重TOPSIS最优设计方案 wratio=0.20, dhratio=4.50, nrows=4 在46.2%的权重组合下仍为最优选择，具有显著的鲁棒性。不同应用场景下的差异化设计主要体现在 dhratio 和 nrows 的调整上，而 wratio 始终保持稳定。

五、问题五：参数扰动敏感性分析

5.1 中心差分法原理

参数扰动敏感性分析旨在定量评估设计参数的微小变化对性能指标的影响程度，为制造公差控制和设计鲁棒性评估提供依据。本文采用中心差分法（Central Difference Method）计算各参数的敏感度系数。

中心差分法的计算公式为：

Si,j = [fj(xi + Δxi) – fj(xi – Δxi)] / (2Δxi)

其中 Si,j 为第 i 个参数对第 j 个性能指标的敏感度系数，fj 为第 j 个性能指标的预测函数（由Kriging模型提供），Δxi 为扰动步长。

为全面评估敏感度随扰动幅度的变化规律，本文选取了四个扰动水平：1%、2%、5%和10%，分别对应制造精度从精密到一般的典型场景。

5.2 敏感性计算结果

图15 TOPSIS最优解与鲁棒设计方案的参数敏感性对比

图16 参数扰动对系统性能的影响

敏感性分析结果揭示了以下关键规律：

wratio 是最敏感的参数：其敏感度系数的绝对值在三个性能指标上均为最大。特别是对温度非均匀性的敏感度系数 dTnonuni/dw = -0.159，远高于其他参数。负号表明 wratio 的微小增大会显著降低温度非均匀性（改善均匀性），但同时也会增大压降（dΔP/dw = 0.062）。这一结果与问题一中的U型曲线分析一致。
dhratio 敏感性最低：各敏感度系数均小于0.025，说明在最优设计点附近，歧管深高比的小幅变化对性能指标影响有限。这意味着制造过程中 dhratio 的公差要求可以适当放宽。
nrows 敏感性居中：由于 nrows 为离散整数变量，其敏感度系数的含义略有不同，但总体趋势表明在最优值（nrows=4）附近，每增减一排针肋对各性能指标的影响较为温和。

5.3 设计鲁棒性评价

图17 TOPSIS最优解与鲁棒设计方案性能对比

综合四个扰动水平的分析结果，可以对最优设计方案的鲁棒性做出如下评价：

问题五结论： 中心差分敏感性分析表明，wratio 是对性能影响最敏感的参数（综合敏感度最高），在制造过程中需要严格控制其加工精度。dhratio 和 nrows 的敏感性较低，最优设计对这两个参数的小幅扰动具有良好的鲁棒性。在5%的扰动水平下，三个性能指标的最大变化均不超过1.2%，表明所提出的最优设计方案在工程制造中具有足够的鲁棒性裕度。

六、总结与展望

6.1 全文总结

本文针对高性能芯片歧管微通道散热器的优化设计问题，建立了一套从机理分析、代理建模、多目标优化到灵敏度分析的完整研究框架。主要工作和结论如下：

6.2 模型优势与创新点

1.系统性分析框架：从单参数机理分析到多目标全局优化，形成了完整的设计优化闭环。
2.高精度代理模型：Kriging模型以LOO-R2 > 0.997的精度实现了对CFD仿真的高效替代，计算成本降低数个数量级。
3.多维度鲁棒性验证：从权重灵敏度和参数扰动两个维度验证了最优设计的鲁棒性，增强了工程应用的可信度。
4.场景化设计指导：针对7种典型应用场景给出了差异化设计建议，具有较强的实用价值。

6.3 不足与展望

附录：核心数据汇总

最优设计方案

Kriging代理模型精度

敏感性排序（从高到低）

高性能芯片热管理系统优化 — 数学建模竞赛论文