第八节：系统建模 —— 把硬件损伤“写进”数学公式
本系列第八节，我们将聚焦论文的系统模型——如何用数学语言把硬件损伤、多用户干扰、多层传输这些复杂因素统一写进一个公式里，以及这些数学结构在实际仿真中如何落地。 对应论文：“Mitigating Hardware Impairments in Multi-User Multi-Layer MIMO Systems via Weighted Fusion Precoding” (Zixia Shang, IEEE CL 2026) 论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/11498349/
📌 引言：为什么需要系统建模？
在第七节中，我们认识了硬件损伤的来源和 Bussgang 分解的核心思想。但“概念上理解”和“数学上可计算”之间，还有一段不小的距离。
论文的真正贡献之一，就是建立了一个统一的、可计算的系统模型。这个模型把所有“捣乱分子”——热噪声、多用户干扰、层间干扰、DAC 量化噪声、ADC 量化噪声、残余硬件损伤——全部装进一个协方差矩阵里。
系统建模的价值可以概括为三个层面：
理论层面：它将非线性的硬件损伤转化为可分析的线性结构，使原本难以处理的非线性问题变得可解。论文在建模中明确指出，对于残留硬件损伤，采用“功率成比例的加性失真噪声”模型——这一做法与工业界广泛采用的 EVM（误差矢量幅度）模型一致，已被大量文献验证其有效性。
算法层面：它为后续的融合权重优化提供了数学基础——目标函数
R
i
,
k
R_{i,k}
Ri,k 对预编码矩阵的依赖关系，以及硬件损伤参数如何影响性能，都通过这个模型变得清晰可计算。
仿真层面：它把理论公式和蒙特卡洛仿真联系了起来——理论模型决定了“应该算什么”（信号功率、干扰功率、噪声功率），仿真代码则通过随机信道实现来“近似算出”这些量。
不过，由于论文公式 (1) 和公式 (2) 已经在原文中有完整且严谨的推导，本节不会重复完整的数学推导，而是聚焦于理解：每个数学项对应什么物理含义，模型中的关键设计选择背后的逻辑是什么。建议读者在阅读本节时，手边打开论文原文对照查看核心公式。
一、系统配置与符号约定
1.1 网络架构
论文考虑一个下行多用户多层 MIMO 系统。
|
N t N_t Nt |
基站发射天线数 |
|
I I I |
用户数 |
|
N r N_r Nr |
每个用户的接收天线数 |
|
K K K |
每个用户的传输层数 |
|
d d d |
每个层承载的独立数据流数 |
总数据流数为
I
×
K
×
d
I \\times K \\times d
I×K×d。当
I
=
2
,
K
=
2
,
d
=
2
I=2, K=2, d=2
I=2,K=2,d=2 时，系统同时传输 8 个独立数据流。
1.2 “多层”到底是什么意思？
一个容易混淆的概念是“层”（Layer）。论文中“多层”指的是：基站在同一时隙内向同一用户发送多个独立的空间数据流，每个流可以独立预编码。
这与“多用户”形成两个维度：
- 多用户：多个用户在空间上共享资源，相互产生干扰；
- 多层：单个用户内部同时传输多个数据流，层间也产生干扰。
所以干扰是二维的：既有用户间的干扰，也有层间的干扰。这正是论文模型要处理的核心复杂性。
1.3 关于信道矩阵的符号约定
用户
i
i
i 的物理信道矩阵为
H
i
∈
C
N
r
×
N
t
\\mathbf{H}_i \\in \\mathbb{C}^{N_r \\times N_t}
Hi∈CNr×Nt，服从瑞利衰落模型。
论文中引入了
H
i
,
k
,
j
\\mathbf{H}_{i,k,j}
Hi,k,j 这一符号。它并非新的物理信道，而是对同一物理信道
H
i
\\mathbf{H}_i
Hi 的重索引，即
H
i
,
k
,
j
≜
H
i
\\mathbf{H}_{i,k,j} \\triangleq \\mathbf{H}_i
Hi,k,j≜Hi。
为什么需要这个重索引？在多用户多层的干扰求和中，一个信号到达用户
i
i
i 的接收端时，它经历的是用户
i
i
i 的物理信道
H
i
\\mathbf{H}_i
Hi。但为了在表达式中清晰标示“这个干扰来自用户
j
j
j 的第
l
l
l 层”，我们需要额外的下标来追踪来源。用
H
i
,
k
,
j
\\mathbf{H}_{i,k,j}
Hi,k,j 可以把干扰项写成紧凑的求和形式：
∑
(
j
,
l
)
≠
(
i
,
k
)
H
i
,
k
,
j
V
j
,
l
s
j
,
l
\\sum_{(j,l) \\neq (i,k)} \\mathbf{H}_{i,k,j} \\mathbf{V}_{j,l} \\mathbf{s}_{j,l}
(j,l)=(i,k)∑Hi,k,jVj,lsj,l
如果没有这个重索引，我们就只能写
∑
H
i
V
j
,
l
s
j
,
l
\\sum \\mathbf{H}_i \\mathbf{V}_{j,l} \\mathbf{s}_{j,l}
∑HiVj,lsj,l，其中
H
i
\\mathbf{H}_i
Hi 出现了很多次但对应的干扰源不同——容易造成混淆。重索引是纯粹的记法优化，不引入任何新的物理信道。
二、接收信号的“四层蛋糕”
在论文的系统模型中，接收信号可以分解为四层叠加。理解这四层的物理含义，是理解整个模型的关键。
第一层：期望信号
这是基站专门发给用户
i
i
i 第
k
k
k 层的信号。它经过了预编码、DAC、信道、ADC 等一系列环节，到达接收端。这是我们想要的东西。
在仿真中，期望信号直接体现在发射信号
y
=
H
W
s
+
n
y = HWs + n
y=HWs+n 中与特定用户对应的那一部分。
第二层：多用户多层干扰
所有其他用户、其他层的信号，同样经过了信道，到达了用户
i
i
i 的接收端。
这正是 MU-MIMO 系统最核心的挑战：一个用户的信号，对另一个用户来说就是干扰。 而且在多层场景下，同一个用户的不同层之间也存在干扰。
论文在建模中明确指出，为了控制复杂度和保证系统可扩展性，接收端不对多个层进行联合检测，而是采用逐层线性检测——每一层独立解码，将其他层的信号视为着色干扰。这是一个工程上的折中选择，目的是将接收机复杂度控制在合理范围内，同时突出论文的核心贡献（发射端融合预编码）的性能增益。如果采用联合 ML 检测，性能虽然可能更好，但复杂度会随层数指数增长，在大规模系统中不可行。
第三层：ADC 量化噪声
接收端 ADC 将模拟信号转换为数字信号时，会产生量化误差。在 Bussgang 分解下，这部分被建模为：
(
1
−
α
ADC
)
R
i
,
k
sig
(1-\\alpha_{\\text{ADC}})\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{sig}}
(1−αADC)Ri,ksig
其中
α
ADC
\\alpha_{\\text{ADC}}
αADC 是 ADC 的量化增益。论文仿真中取
α
ADC
=
0.8
\\alpha_{\\text{ADC}} = 0.8
αADC=0.8。
关键特征：这一项只依赖于本用户本层的期望信号，而不是总接收信号。这是因为 ADC 量化是在每个接收天线上独立发生的，其噪声功率正比于该天线接收到的信号功率。论文的建模中，接收端硬件损伤（包括 ADC 量化）被默认设为 0，以简化分析并聚焦于发射端的预编码设计。
第四层：残余硬件损伤
这是 PA 非线性、相位噪声、I/Q 不平衡等多种硬件损伤的综合效应，用一个统一参数
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx 来刻画：
κ
t
x
(
R
i
,
k
sig
+
R
i
,
k
int
+
σ
2
I
)
\\kappa_{tx} \\left( \\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{sig}} + \\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{int}} + \\sigma^2 \\mathbf{I} \\right)
κtx(Ri,ksig+Ri,kint+σ2I)
这是整个模型中最关键、也最容易被忽视的一项。
它依赖于总接收功率（信号 + 干扰 + 噪声），而非仅仅信号功率。这就意味着：如果你增大发射功率来提升信号强度，残余损伤的功率也同步增大。当 SNR 趋于无穷大时，SINR 会收敛到一个有限值——这就是第七节提到的速率硬上限的数学根源。
在系统设计中，
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx 代表硬件质量——
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx 越小，硬件越好。论文仿真中让
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx 从 0 变化到 1，覆盖从“理想硬件”到“严重损伤”的整个区间，以全面评估融合预编码的鲁棒性。
三、协方差矩阵：MIMO 建模的核心工具
你可能注意到，论文用的是一个协方差矩阵
R
i
,
k
int+noise
\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{int+noise}}
Ri,kint+noise 来描述干扰和噪声，而不是一个简单的标量。
这是 MIMO 系统与 SISO 系统的本质区别。
在 SISO 中，信号功率、干扰功率、噪声功率各是一个数，SINR 直接相除就行。但在 MIMO 中，每根接收天线上的信号是相关的——单根天线上的功率无法完整描述系统的状态。
协方差矩阵
R
i
,
k
int+noise
\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{int+noise}}
Ri,kint+noise 同时包含了：
- 对角线元素：每根天线上接收到的干扰+噪声功率；
- 非对角线元素：不同天线之间干扰+噪声的相关性。
速率计算公式
log
2
det
(
I
+
SINR
)
\\log_2 \\det(\\mathbf{I} + \\text{SINR})
log2det(I+SINR) 天然需要矩阵输入。如果退化为标量，就完全浪费了 MIMO 的空间维度。
论文中的信号协方差
R
i
,
k
sig
\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{sig}}
Ri,ksig 和干扰加噪声协方差
R
i
,
k
int+noise
\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{int+noise}}
Ri,kint+noise，共同构成了速率计算的两个核心输入。这两个矩阵的准确性，直接决定了后续优化和仿真的有效性。
四、速率下界：为什么是“保守估计”？
4.1 精确互信息的不可解性
在接收端，实际的有效噪声包括：热噪声、多用户干扰、ADC 量化噪声、残余硬件损伤。这些分量中，除了热噪声是真正高斯的，其他分量都不是严格高斯的：
- 量化噪声更接近均匀分布（而非高斯）；
- 残余硬件损伤的分布取决于具体损伤类型（可能非对称、非圆对称）；
- 干扰信号的分布取决于调制方式和预编码。
因此，精确的互信息
I
(
s
i
,
k
;
y
i
,
k
)
I(\\mathbf{s}_{i,k}; \\mathbf{y}_{i,k})
I(si,k;yi,k) 是解析不可解的。
4.2 最坏噪声假设
论文采用的标准策略是最坏噪声假设：在所有具有相同协方差矩阵的噪声分布中，高斯噪声使互信息最小。
这是信息论的经典结果——在给定协方差约束下，高斯分布具有最大微分熵，因此使条件互信息最小。所以，把有效噪声近似为高斯噪声，得到的速率是真实速率的保守下界，而不会高估系统性能。
具体而言，论文将可达速率下界表达为：
R
i
,
k
≥
log
2
det
(
I
+
(
R
i
,
k
int+noise
)
−
1
R
i
,
k
sig
)
R_{i,k} \\geq \\log_2 \\det\\left( \\mathbf{I} + (\\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{int+noise}})^{-1} \\mathbf{R}_{i,k}^{\\text{sig}} \\right)
Ri,k≥log2det(I+(Ri,kint+noise)−1Ri,ksig)
4.3 这个下界“够用”吗？
这是值得认真对待的问题。如果一个下界太松，优化它可能没有实际意义。论文对这个问题的回应是：
结构依赖是正确的：虽然绝对数值可能不精确，但速率对预编码矩阵
V
i
,
k
\\mathbf{V}_{i,k}
Vi,k、硬件损伤参数
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx、干扰强度等的依赖方向和趋势是正确的。因此，优化这个下界能够真实反映系统性能的改善方向。
保守但不失真：由于是下界，优化它不会导致对系统性能的高估。在实际工程中，“保守但正确”远比“乐观但错误”更有价值。
文献标准做法：这一建模方法在硬件损伤 MIMO 系统的文献中被广泛采用，使得论文结果具有可比性和可复现性。
论文明确指出，该下界主要用于优化指导和相对性能评估，而非绝对容量刻画。这一点在理解论文仿真结果时尤为重要——论文展示的是“融合预编码优于单一方案”的相对增益，而非某个绝对值。
五、系统目标：和速率最大化
有了上述模型，论文的优化问题可以正式表述为：
最大化所有用户所有层的可达速率下界之和：
max
{
V
i
,
k
}
∑
i
=
1
I
∑
k
=
1
K
R
i
,
k
\\max_{\\{\\mathbf{V}_{i,k}\\}} \\sum_{i=1}^{I} \\sum_{k=1}^{K} R_{i,k}
{Vi,k}maxi=1∑Ik=1∑KRi,k
满足总发射功率约束：
∑
i
=
1
I
∑
k
=
1
K
tr
(
V
i
,
k
V
i
,
k
H
)
≤
P
max
\\sum_{i=1}^{I} \\sum_{k=1}^{K} \\text{tr}(\\mathbf{V}_{i,k} \\mathbf{V}_{i,k}^H) \\leq P_{\\max}
i=1∑Ik=1∑Ktr(Vi,kVi,kH)≤Pmax
注意：目标函数中不包含功率惩罚项。这和某些将“速率 + 功率”作为加权目标的方案不同——论文采用的是标准形式：在功率约束下最大化速率，而不是速率和功率的加权和。这使得目标函数具有清晰的信息论含义（最大化系统吞吐量）和工程解释（在给定功率预算下追求最高速率）。
优化变量是融合权重
α
\\boldsymbol{\\alpha}
α，通过它间接控制所有用户的预编码矩阵。这个优化问题将在第九节详细展开。
六、仿真视角：模型如何“跑”起来？
系统模型不是停留在纸面上的公式。在论文的仿真中，它通过以下方式被“实现”：
硬件损伤参数的设定：
α
ADC
=
α
DAC
=
0.8
\\alpha_{\\text{ADC}} = \\alpha_{\\text{DAC}} = 0.8
αADC=αDAC=0.8，
κ
t
x
\\kappa_{tx}
κtx 在 0 到 1 范围内扫描。这些参数在速率计算中直接影响协方差矩阵的数值。
蒙特卡洛仿真：通过 400 次独立信道实现取平均，来近似理论期望。这与系统模型中“所有信道独立同分布”的假设一致。
速率计算：基于等效信道矩阵，直接套用
log
2
det
(
I
+
SINR
)
\\log_2 \\det(\\mathbf{I} + \\text{SINR})
log2det(I+SINR) 的公式形式。这与系统模型的速率下界表达式在结构上是一致的。
误码统计：通过硬判决后逐位对比来统计误码数。这虽然是一个工程上的近似，但能有效反映不同预编码方案的相对性能差异。
七、小结
今天我们梳理了论文系统模型的完整框架：
| 系统配置 |
N t N_t Nt 天线、 I I I 用户、 K K K 层、 d d d 流，总自由度 I × K × d I \\times K \\times d I×K×d |
| 信道建模 | 块衰落、瑞利信道，
H i , k , j ≜ H i H_{i,k,j} \\triangleq H_i Hi,k,j≜Hi 为纯记法优化 |
| 接收信号 | 四层叠加：期望信号 + 多用户多层干扰 + ADC 量化 + 残余损伤 |
| 数学工具 | 协方差矩阵、Bussgang 分解、最坏噪声假设、速率下界 |
| 设计选择 | 逐层检测（复杂度考虑）、无功率惩罚项（信息论目标） |
| 优化目标 | 功率约束下最大化系统和速率下界 |
系统建模是整个论文的数学地基。地基之上，是第九节即将展开的融合预编码优化算法。
系列导航（共九节 + 两间章）：
- 第一节：重温 MIMO 基础 —— 从 SISO 到 MU-MIMO ✅
- 第二节：预编码是什么？—— 从迫零（ZF）开始 ✅
- 第三节：最大比传输（MRT）与匹配滤波（MF）—— 让信号“指哪儿打哪儿” ✅
- 第四节：正则化迫零（RZF）与 MMSE 预编码 —— ZF 与 MRT 的优雅折中 ✅
- 第五节：块对角化（BD）与信漏噪比（SLNR）预编码 —— 多天线多流用户的干扰管理 ✅
- 第六节：WMMSE 与 RWMMSE —— 从 MSE 最小化到和速率最大化 ✅
- 间章一：预编码算法的仿真闭环 —— 从理论到代码的完整映射 ✅
- 间章二：加权融合预编码 —— 从“单项冠军”到“全能战队” ✅
- 第七节：硬件损伤 —— 从理想到现实的“降维打击” ✅
- 第八节：系统建模 —— 把损伤“写进”数学公式 ✅（本文）
- 第九节：融合预编码与优化算法 —— 从“选最优”到“加权组合”及仿真验证（即将发布）
