文章目录
- 前言
- 题目梗概
-
-
-
- 1000题
-
-
- 参考解析
-
- 1.1
- 1.2
- 1.3
- 2.1
- 2.2
- 2.3
- 2.4
- 后话
前言
中档题
题目梗概
行列式1.1 行列式多项式x³项系数求解 设四阶行列式
f
(
x
)
=
∣
x
x
1
2
x
1
x
2
−
1
2
1
x
1
2
−
1
1
x
∣
f(x) = \\begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\\\ 1 & x & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & x & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & x \\end{vmatrix}
f(x)=
x122xx1−112x12x−11x
求
f
(
x
)
f(x)
f(x)中
x
3
x^3
x3项的系数。
行列式1.2 四阶三对角行列式行变换化上三角 计算四阶行列式
D
4
=
∣
1
a
0
0
−
1
2
−
a
b
0
0
−
2
3
−
b
c
0
0
−
3
4
−
c
∣
D_4 = \\begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\\\ -1 & 2-a & b & 0 \\\\ 0 & -2 & 3-b & c \\\\ 0 & 0 & -3 & 4-c \\end{vmatrix}
D4=
1−100a2−a−200b3−b−300c4−c
行列式1.3 矩阵线性变换求行列式 已知
α
1
,
α
2
,
α
3
\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3
α1,α2,α3是三维线性无关列向量，
A
\\boldsymbol{A}
A是3阶矩阵，满足
{
A
α
1
=
α
2
−
2
α
3
A
α
2
=
α
1
−
α
2
+
2
α
3
A
α
3
=
2
α
1
+
α
2
\\begin{cases} \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\boldsymbol{\\alpha}_2 – 2\\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_2 = \\boldsymbol{\\alpha}_1 – \\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_3 = 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 \\end{cases}
⎩
⎨
⎧Aα1=α2−2α3Aα2=α1−α2+2α3Aα3=2α1+α2 求
∣
A
∣
|\\boldsymbol{A}|
∣A∣。
1000题
行列式2.1 三阶行列式函数零点个数判定 设
a
i
,
b
i
,
c
i
a_i,b_i,c_i
ai,bi,ci为常数，
f
(
x
)
f(x)
f(x)不恒为0，讨论函数
f
(
x
)
=
∣
a
1
+
x
b
1
+
x
c
1
+
x
a
2
+
x
b
2
+
x
c
2
+
x
a
3
+
x
b
3
+
x
c
3
+
x
∣
f(x) = \\begin{vmatrix} a_1+x & b_1+x & c_1+x \\\\ a_2+x & b_2+x & c_2+x \\\\ a_3+x & b_3+x & c_3+x \\end{vmatrix}
f(x)=
a1+xa2+xa3+xb1+xb2+xb3+xc1+xc2+xc3+x
的零点个数。
行列式2.2 n阶三对角行列式递推计算 计算n阶三对角行列式
D
n
=
∣
2
1
0
⋯
0
1
2
1
⋯
0
0
1
2
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
2
∣
D_n = \\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & 2 \\end{vmatrix}
Dn=
210⋮0121⋮0012⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2
行列式2.3 两个同结构行列式的差 设
D
1
=
∣
2
1
0
−
1
−
1
2
−
5
3
3
0
a
b
1
−
3
5
0
∣
,
D
2
=
∣
2
1
0
−
1
−
1
2
−
5
3
3
0
a
b
1
−
1
1
0
∣
D_1 = \\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ -1 & 2 & -5 & 3 \\\\ 3 & 0 & a & b \\\\ 1 & -3 & 5 & 0 \\end{vmatrix}, \\quad D_2 = \\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ -1 & 2 & -5 & 3 \\\\ 3 & 0 & a & b \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\end{vmatrix}
D1=
2−131120−30−5a5−13b0
,D2=
2−131120−10−5a1−13b0
求
D
1
−
D
2
D_1 – D_2
D1−D2。
行列式2.4 向量组线性变换求矩阵行列式（双解法） 设
A
\\boldsymbol{A}
A是3阶矩阵，
α
1
,
α
2
,
α
3
\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3
α1,α2,α3是三维线性无关列向量，且满足
{
A
α
1
=
α
1
+
2
α
2
+
α
3
A
α
2
=
2
α
1
+
α
2
+
α
3
A
α
3
=
α
1
+
α
2
+
2
α
3
\\begin{cases} \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 + \\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_2 = 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 + \\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_3 = \\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3 \\end{cases}
⎩
⎨
⎧Aα1=α1+2α2+α3Aα2=2α1+α2+α3Aα3=α1+α2+2α3 求
∣
A
∣
|\\boldsymbol{A}|
∣A∣。
参考解析
1.1
考察点：行列式按行展开、多项式次数与系数分析
题目：设四阶行列式
f
(
x
)
=
∣
x
x
1
2
x
1
x
2
−
1
2
1
x
1
2
−
1
1
x
∣
f(x) = \\begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\\\ 1 & x & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & x & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & x \\end{vmatrix}
f(x)=
x122xx1−112x12x−11x
求
f
(
x
)
f(x)
f(x)中
x
3
x^3
x3项的系数。
解： 将
f
(
x
)
f(x)
f(x)按第1行展开，得四项：
f
(
x
)
=
x
⋅
A
11
+
x
⋅
A
12
+
1
⋅
A
13
+
2
x
⋅
A
14
f(x) = x\\cdot A_{11} + x\\cdot A_{12} + 1\\cdot A_{13} + 2x\\cdot A_{14}
f(x)=x⋅A11+x⋅A12+1⋅A13+2x⋅A14 其中
A
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
Aij=(−1)i+jMij为代数余子式，逐项分析
x
3
x^3
x3项的贡献：
第1项
x
⋅
A
11
x\\cdot A_{11}
x⋅A11
M
11
M_{11}
M11为去掉第1行第1列的三阶行列式：
M
11
=
∣
x
2
−
1
1
x
1
−
1
1
x
∣
=
x
3
−
4
x
−
3
M_{11} = \\begin{vmatrix}x & 2 & -1 \\\\ 1 & x & 1 \\\\ -1 & 1 & x\\end{vmatrix} = x^3 – 4x – 3
M11=
x1−12x1−11x
=x3−4x−3 最高次为
x
3
x^3
x3，乘以
x
x
x后最高次为
x
4
x^4
x4，无
x
3
x^3
x3项贡献。
第2项
x
⋅
A
12
x\\cdot A_{12}
x⋅A12
M
12
M_{12}
M12为去掉第1行第2列的三阶行列式：
M
12
=
∣
1
2
−
1
2
x
1
2
1
x
∣
=
x
2
−
2
x
+
1
M_{12} = \\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & x & 1 \\\\ 2 & 1 & x\\end{vmatrix} = x^2 – 2x + 1
M12=
1222x1−11x
=x2−2x+1
A
12
=
−
M
12
A_{12} = -M_{12}
A12=−M12，乘以
x
x
x后得
−
x
3
+
2
x
2
−
x
-x^3 + 2x^2 – x
−x3+2x2−x，
x
3
x^3
x3项系数为
−
1
-1
−1。
第3项
1
⋅
A
13
1\\cdot A_{13}
1⋅A13
M
13
M_{13}
M13为去掉第1行第3列的三阶行列式，最高次为
x
2
x^2
x2，乘以常数1后无
x
3
x^3
x3项贡献。
第4项
2
x
⋅
A
14
2x\\cdot A_{14}
2x⋅A14
M
14
M_{14}
M14为去掉第1行第4列的三阶行列式：
M
14
=
∣
1
x
2
2
1
x
2
−
1
1
∣
=
2
x
2
−
x
−
7
M_{14} = \\begin{vmatrix}1 & x & 2 \\\\ 2 & 1 & x \\\\ 2 & -1 & 1\\end{vmatrix} = 2x^2 – x – 7
M14=
122x1−12x1
=2x2−x−7
A
14
=
−
M
14
A_{14} = -M_{14}
A14=−M14，乘以
2
x
2x
2x后得
−
4
x
3
+
2
x
2
+
14
x
-4x^3 + 2x^2 + 14x
−4x3+2x2+14x，
x
3
x^3
x3项系数为
−
4
-4
−4。
合并所有
x
3
x^3
x3项系数：
−
1
+
(
−
4
)
=
−
5
-1 + (-4) = -5
−1+(−4)=−5。
x
3
项的系数为
−
5
\\boxed{x^3项的系数为 -5}
x3项的系数为−5
1.2
考察点：行列式初等行变换、上三角行列式计算
题目：计算四阶行列式
D
4
=
∣
1
a
0
0
−
1
2
−
a
b
0
0
−
2
3
−
b
c
0
0
−
3
4
−
c
∣
D_4 = \\begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\\\ -1 & 2-a & b & 0 \\\\ 0 & -2 & 3-b & c \\\\ 0 & 0 & -3 & 4-c \\end{vmatrix}
D4=
1−100a2−a−200b3−b−300c4−c
解： 依次做行变换消去下三角元素：
- 第2行加上第1行：
r
2
=
r
2
+
r
1
r_2 = r_2 + r_1
r2=r2+r1 - 第3行加上新的第2行：
r
3
=
r
3
+
r
2
r_3 = r_3 + r_2
r3=r3+r2 - 第4行加上新的第3行：
r
4
=
r
4
+
r
3
r_4 = r_4 + r_3
r4=r4+r3
化简后得到上三角行列式：
D
4
=
∣
1
a
0
0
0
2
b
0
0
0
3
c
0
0
0
4
∣
D_4 = \\begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & c \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \\end{vmatrix}
D4=
1000a2000b3000c4
主对角线元素相乘得结果：
D
4
=
1
×
2
×
3
×
4
=
24
D_4 = 1 \\times 2 \\times 3 \\times 4 = 24
D4=1×2×3×4=24
D
4
=
24
\\boxed{D_4 = 24}
D4=24
1.3
考察点：相似矩阵行列式、向量组线性无关性、矩阵乘法
题目：已知
α
1
,
α
2
,
α
3
\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3
α1,α2,α3是三维线性无关列向量，
A
\\boldsymbol{A}
A是3阶矩阵，满足
{
A
α
1
=
α
2
−
2
α
3
A
α
2
=
α
1
−
α
2
+
2
α
3
A
α
3
=
2
α
1
+
α
2
\\begin{cases} \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\boldsymbol{\\alpha}_2 – 2\\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_2 = \\boldsymbol{\\alpha}_1 – \\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3 \\\\ \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_3 = 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 \\end{cases}
⎩
⎨
⎧Aα1=α2−2α3Aα2=α1−α2+2α3Aα3=2α1+α2<span class=\"vlist\" st
