本专栏入口: 1. 供应链与制造系统：规划篇 导论
供应链规划案例一:带容量约束的单阶段保证服务模型
1. 模型概述
保证服务模型（Guaranteed Service Model）作为周期性回顾模型的重要分支，其核心特征在于确定性补货时间、跨阶段服务时间承诺、有界需求假设以及对服务水平的刚性保障。在经典模型中，系统各阶段可无约束地将需求传递至上游供应商，但在实际制造场景中，各阶段的生产或处理能力往往存在上限，这一约束会直接影响补货策略与库存动态平衡。本文聚焦于单阶段带容量约束的保证服务模型，系统阐述其核心假设、补货策略调整、库存动态机制及基准库存水平的确定方法。
2. 核心定义与模型假设
2.1. 基础参数定义
S
k
S_k
Sk，同时接收上游供应商提供的服务时间
S
k
+
1
S_{k+1}
Sk+1（即供应商响应阶段k订单的时间）。
L
k
L_k
Lk，定义净补货时间
τ
=
S
k
+
1
+
L
k
−
S
k
\\tau = S_{k+1} + L_k – S_k
τ=Sk+1+Lk−Sk，表征从向上游下单到完成对下游客户交付的有效时间差。
c
c
c（单位：件/周期），即每期最多可向上游发起
c
c
c单位的补货订单，超出部分无法即时处理。
- 每期客户需求为
d
k
(
t
)
d_k(t)
dk(t)（t
t
t表示周期）； - 需求边界采用经典形式：
D
(
θ
)
=
μ
θ
+
2
σ
θ
D(\\theta) = \\mu\\theta + 2\\sigma\\sqrt{\\theta}
D(θ)=μθ+2σθ，其中μ
\\mu
μ为单位时间平均需求率，σ
\\sigma
σ为单位时间需求标准差，θ
\\theta
θ为时间区间长度，2
σ
θ
2\\sigma\\sqrt{\\theta}
2σθ为安全因子项； - 定义剩余产能（Headroom）：
c
−
μ
c – \\mu
c−μ，表征产能超出平均需求的冗余部分，是影响库存策略的关键指标。
- 阶段k向上游供应商的下单量为
d
k
+
1
(
t
)
d_{k+1}(t)
dk+1(t)（即供应商面临的需求）； - 期末缺货量（Backlog）记为
B
L
(
t
)
BL(t)
BL(t)，表征未满足的累积需求。
2.2. 关键假设
θ
\\theta
θ的时间区间内，需求不超过
D
(
θ
)
=
μ
θ
+
2
σ
θ
D(\\theta) = \\mu\\theta + 2\\sigma\\sqrt{\\theta}
D(θ)=μθ+2σθ；
d
k
+
1
(
t
)
d_{k+1}(t)
dk+1(t)不得超过
c
c
c；
3. 带容量约束的补货策略与库存动态
3.1. 补货策略：截断式下单规则
经典无容量约束模型中，下单量
d
k
+
1
(
t
)
=
d
k
(
t
)
+
B
L
(
t
−
1
)
d_{k+1}(t) = d_k(t) + BL(t-1)
dk+1(t)=dk(t)+BL(t−1)，即完全传递当期需求与上期缺货。但在容量约束下，过量下单会导致库存积压（超出产能的补货无法即时处理），因此采用截断式下单规则：
d
k
+
1
(
t
)
=
min
{
c
,
d
k
(
t
)
+
B
L
(
t
−
1
)
}
d_{k+1}(t) = \\min\\left\\{c, d_k(t) + BL(t-1)\\right\\}
dk+1(t)=min{c,dk(t)+BL(t−1)}
- 含义：每期下单量取“产能上限
c
c
c”与“需求总量（当期需求+上期缺货）”的较小值，避免无效补货。
3.2. 缺货量动态更新公式
期末缺货量需考虑上期结转缺货、当期需求及当期有效补货（即下单量），公式为：
B
L
(
t
)
=
max
{
0
,
B
L
(
t
−
1
)
+
d
k
(
t
)
−
d
k
+
1
(
t
)
}
BL(t) = \\max\\left\\{0, BL(t-1) + d_k(t) – d_{k+1}(t)\\right\\}
BL(t)=max{0,BL(t−1)+dk(t)−dk+1(t)}
- 含义：若当期补货可覆盖上期缺货与当期需求，缺货量清零；否则，剩余未满足部分结转至下期。
3.3. 示例演示
设产能约束
c
=
10
c=10
c=10，初始缺货
B
L
(
0
)
=
0
BL(0)=0
BL(0)=0，各期需求
d
k
(
t
)
d_k(t)
dk(t)如下表所示，演示补货与缺货动态：
| 0 | – | – | – | 0 |
| 1 | 12 | 0 |
min { 10 , 12 + 0 } = 10 \\min\\{10, 12+0\\}=10 min{10,12+0}=10 |
max { 0 , 0 + 12 − 10 } = 2 \\max\\{0, 0+12-10\\}=2 max{0,0+12−10}=2 |
| 2 | 13 | 2 |
min { 10 , 13 + 2 } = 10 \\min\\{10, 13+2\\}=10 min{10,13+2}=10 |
max { 0 , 2 + 13 − 10 } = 5 \\max\\{0, 2+13-10\\}=5 max{0,2+13−10}=5 |
| 3 | 7 | 5 |
min { 10 , 7 + 5 } = 10 \\min\\{10, 7+5\\}=10 min{10,7+5}=10 |
max { 0 , 5 + 7 − 10 } = 2 \\max\\{0, 5+7-10\\}=2 max{0,5+7−10}=2 |
| 4 | 8 | 2 |
min { 10 , 8 + 2 } = 10 \\min\\{10, 8+2\\}=10 min{10,8+2}=10 |
max { 0 , 2 + 8 − 10 } = 0 \\max\\{0, 2+8-10\\}=0 max{0,2+8−10}=0 |
| 5 | 9 | 0 |
min { 10 , 9 + 0 } = 9 \\min\\{10, 9+0\\}=9 min{10,9+0}=9 |
max { 0 , 0 + 9 − 9 } = 0 \\max\\{0, 0+9-9\\}=0 max{0,0+9−9}=0 |
结果分析：
- 周期1-2：需求超出产能，下单量被截断为10，缺货量累积；
- 周期3-4：需求低于产能，下单量保持10，逐步消化缺货；
- 周期5：需求无缺货，下单量等于需求，库存维持平衡。
4. 基准库存水平的确定
基准库存水平（
S
S
S）的核心目标是在容量约束下保证服务水平，其取值依赖于净补货时间
τ
\\tau
τ，具体分三类情况：
S
(
τ
)
=
{
0
τ
<
−
σ
2
c
(
c
−
μ
)
σ
2
c
−
μ
+
μ
τ
−
σ
2
c
(
c
−
μ
)
≤
τ
≤
σ
2
(
c
−
μ
)
2
μ
τ
+
2
σ
τ
τ
>
σ
2
(
c
−
μ
)
2
S(\\tau) = \\begin{cases} 0 & \\tau < -\\frac{\\sigma^2}{c(c-\\mu)} \\\\ \\frac{\\sigma^2}{c-\\mu} + \\mu\\tau & -\\frac{\\sigma^2}{c(c-\\mu)} \\leq \\tau \\leq \\frac{\\sigma^2}{(c-\\mu)^2} \\\\ \\mu\\tau + 2\\sigma\\sqrt{\\tau} & \\tau > \\frac{\\sigma^2}{(c-\\mu)^2} \\end{cases}
S(τ)=⎩
⎨
⎧0c−μσ2+μτμτ+2στ
τ<−c(c−μ)σ2−c(c−μ)σ2≤τ≤(c−μ)2σ2τ>(c−μ)2σ2
4.1. 各区间含义与直觉
τ
<
−
σ
2
c
(
c
−
μ
)
\\tau < -\\frac{\\sigma^2}{c(c-\\mu)}
τ<−c(c−μ)σ2）：净补货时间极短（甚至为负），剩余产能充足，无需安全库存即可覆盖需求波动，基准库存水平为0。
−
σ
2
c
(
c
−
μ
)
≤
τ
≤
σ
2
(
c
−
μ
)
2
-\\frac{\\sigma^2}{c(c-\\mu)} \\leq \\tau \\leq \\frac{\\sigma^2}{(c-\\mu)^2}
−c(c−μ)σ2≤τ≤(c−μ)2σ2）：净补货时间适中，需设置基础安全库存
σ
2
c
−
μ
\\frac{\\sigma^2}{c-\\mu}
c−μσ2（与需求方差正相关、与剩余产能负相关），同时叠加线性于
τ
\\tau
τ的周期需求
μ
τ
\\mu\\tau
μτ，以应对补货延迟。
τ
>
σ
2
(
c
−
μ
)
2
\\tau > \\frac{\\sigma^2}{(c-\\mu)^2}
τ>(c−μ)2σ2）：净补货时间较长，容量约束的影响被需求波动与补货延迟主导，基准库存水平与无容量约束模型一致，即等于需求边界
D
(
τ
)
=
μ
τ
+
2
σ
τ
D(\\tau) = \\mu\\tau + 2\\sigma\\sqrt{\\tau}
D(τ)=μτ+2στ。
4.2. 模型对比可视化
下图展示基准库存水平随净补货时间
τ
\\tau
τ的变化规律，其中虚线为无容量约束模型的基准库存（仅需求边界），实线为带容量约束模型的结果：
关键结论：在区间2内，带容量约束模型的基准库存高于无容量约束模型，差值即为应对产能限制所需的额外安全库存；当
τ
\\tau
τ足够大时，两者收敛，此时产能约束对库存的影响可忽略。
5. 模型意义与应用场景
带容量约束的单阶段保证服务模型弥补了经典模型对实际生产能力的忽略，其核心价值在于：
c
−
μ
c-\\mu
c−μ）的引入为产能规划提供参考——当剩余产能不足时，需通过提升产能或增加安全库存维持服务水平。
该模型广泛适用于离散制造、供应链分销等存在明确产能限制的场景，例如：生产线日产量固定的零部件生产、仓储中心单批次拣选能力有限的配送服务等。通过结合需求波动特征与产能边界，可实现库存与服务水平的最优平衡。
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