向量代数与空间解析几何 — 知识点详解
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
定义： 既有大小又有方向的量称为向量（矢量），用带箭头的字母表示，如
a
⃗
\\vec{a}
a
、
A
B
⃗
\\vec{AB}
AB
。
- 零向量
0
⃗
\\vec{0}
0：模为零的向量，方向不确定。 - 单位向量：模为
1
1
1 的向量，记a
⃗
0
\\vec{a}^0
a0 表示与a
⃗
\\vec{a}
a 同向的单位向量，即
a
⃗
0
=
a
⃗
∣
a
⃗
∣
\\vec{a}^0 = \\frac{\\vec{a}}{|\\vec{a}|}
a
0=∣a
∣a
- 向量相等：两个向量大小相等、方向相同，则称其相等。
- 自由向量：不考虑起点位置，只要大小和方向相同的向量视为同一向量。
二、向量的线性运算
1. 向量加法（三角形法则与平行四边形法则）
三角形法则：将
b
⃗
\\vec{b}
b
的起点接在
a
⃗
\\vec{a}
a
的终点，则从
a
⃗
\\vec{a}
a
的起点到
b
⃗
\\vec{b}
b
的终点的向量为
a
⃗
+
b
⃗
\\vec{a}+\\vec{b}
a
+b
。
A
B
⃗
+
B
C
⃗
=
A
C
⃗
\\vec{AB} + \\vec{BC} = \\vec{AC}
AB
+BC
=AC
运算律：
- 交换律：
a
⃗
+
b
⃗
=
b
⃗
+
a
⃗
\\vec{a}+\\vec{b} = \\vec{b}+\\vec{a}
a+b=b+a - 结合律：
(
a
⃗
+
b
⃗
)
+
c
⃗
=
a
⃗
+
(
b
⃗
+
c
⃗
)
(\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{c} = \\vec{a}+(\\vec{b}+\\vec{c})
(a+b)+c=a+(b+c)
2. 向量的数乘
设
λ
\\lambda
λ 为实数，
λ
a
⃗
\\lambda\\vec{a}
λa
定义为：
λ
a
⃗
=
{
∣
λ
∣
∣
a
⃗
∣
，与
a
⃗
同向，
λ
>
0
0
⃗
，
λ
=
0
∣
λ
∣
∣
a
⃗
∣
，与
a
⃗
反向，
λ
<
0
\\lambda\\vec{a} = \\begin{cases} |\\lambda||\\vec{a}|，与\\vec{a}同向，& \\lambda > 0 \\\\ \\vec{0}，& \\lambda = 0 \\\\ |\\lambda||\\vec{a}|，与\\vec{a}反向，& \\lambda < 0 \\end{cases}
λa
=⎩
⎨
⎧∣λ∣∣a
∣，与a
同向，0
，∣λ∣∣a
∣，与a
反向，λ>0λ=0λ<0
运算律：
-
λ
(
μ
a
⃗
)
=
(
λ
μ
)
a
⃗
\\lambda(\\mu\\vec{a}) = (\\lambda\\mu)\\vec{a}
λ(μa)=(λμ)a -
(
λ
+
μ
)
a
⃗
=
λ
a
⃗
+
μ
a
⃗
(\\lambda+\\mu)\\vec{a} = \\lambda\\vec{a}+\\mu\\vec{a}
(λ+μ)a=λa+μa -
λ
(
a
⃗
+
b
⃗
)
=
λ
a
⃗
+
λ
b
⃗
\\lambda(\\vec{a}+\\vec{b}) = \\lambda\\vec{a}+\\lambda\\vec{b}
λ(a+b)=λa+λb
3. 向量的减法
a
⃗
−
b
⃗
=
a
⃗
+
(
−
b
⃗
)
\\vec{a}-\\vec{b} = \\vec{a}+(-\\vec{b})
a
−b
=a
+(−b
)
几何意义：
a
⃗
−
b
⃗
\\vec{a}-\\vec{b}
a
−b
是从
b
⃗
\\vec{b}
b
的终点指向
a
⃗
\\vec{a}
a
的终点的向量。
三、空间直角坐标系
1. 坐标系的建立
在空间中取一点
O
O
O 为原点，过
O
O
O 作三条互相垂直的数轴：
x
x
x 轴（横轴）、
y
y
y 轴（纵轴）、
z
z
z 轴（竖轴），构成右手系（右手螺旋法则：右手四指从
x
x
x 轴正向转到
y
y
y 轴正向时，拇指指向
z
z
z 轴正向）。
2. 坐标面与卦限
三个坐标面：
x
O
y
xOy
xOy 面、
y
O
z
yOz
yOz 面、
z
O
x
zOx
zOx 面，将空间分为八个卦限。
3. 空间中点的坐标
空间中任意一点
M
M
M 对应唯一的有序数组
(
x
,
y
,
z
)
(x, y, z)
(x,y,z)，称为
M
M
M 的直角坐标。
4. 基本单位向量
i
⃗
=
(
1
,
0
,
0
)
,
j
⃗
=
(
0
,
1
,
0
)
,
k
⃗
=
(
0
,
0
,
1
)
\\vec{i} = (1,0,0),\\quad \\vec{j} = (0,1,0),\\quad \\vec{k} = (0,0,1)
i
=(1,0,0),j
=(0,1,0),k
=(0,0,1)
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
⃗
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)
a
=(ax,ay,az)，
b
⃗
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
\\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)
b
=(bx,by,bz)，则：
a
⃗
+
b
⃗
=
(
a
x
+
b
x
,
a
y
+
b
y
,
a
z
+
b
z
)
\\vec{a} + \\vec{b} = (a_x+b_x,\\; a_y+b_y,\\; a_z+b_z)
a
+b
=(ax+bx,ay+by,az+bz)
a
⃗
−
b
⃗
=
(
a
x
−
b
x
,
a
y
−
b
y
,
a
z
−
b
z
)
\\vec{a} – \\vec{b} = (a_x-b_x,\\; a_y-b_y,\\; a_z-b_z)
a
−b
=(ax−bx,ay−by,az−bz)
λ
a
⃗
=
(
λ
a
x
,
λ
a
y
,
λ
a
z
)
\\lambda\\vec{a} = (\\lambda a_x,\\; \\lambda a_y,\\; \\lambda a_z)
λa
=(λax,λay,λaz)
向量的坐标表示：设
A
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
A=(x_1,y_1,z_1)
A=(x1,y1,z1)，
B
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
B=(x_2,y_2,z_2)
B=(x2,y2,z2)，则
A
B
⃗
=
(
x
2
−
x
1
,
y
2
−
y
1
,
z
2
−
z
1
)
\\vec{AB} = (x_2-x_1,\\; y_2-y_1,\\; z_2-z_1)
AB
=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模
∣
a
⃗
∣
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
|\\vec{a}| = \\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}
∣a
∣=ax2+ay2+az2
推导：设
a
⃗
=
a
x
i
⃗
+
a
y
j
⃗
+
a
z
k
⃗
\\vec{a} = a_x\\vec{i}+a_y\\vec{j}+a_z\\vec{k}
a
=axi
+ayj
+azk
，由勾股定理，先在
x
O
y
xOy
xOy 平面上投影长度为
a
x
2
+
a
y
2
\\sqrt{a_x^2+a_y^2}
ax2+ay2
，再与
a
z
a_z
az 分量构成直角三角形：
∣
a
⃗
∣
2
=
(
a
x
2
+
a
y
2
)
2
+
a
z
2
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
|\\vec{a}|^2 = (\\sqrt{a_x^2+a_y^2})^2 + a_z^2 = a_x^2+a_y^2+a_z^2
∣a
∣2=(ax2+ay2
)2+az2=ax2+ay2+az2
两点间距离公式：
∣
A
B
∣
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
z
2
−
z
1
)
2
|AB| = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
2. 方向角与方向余弦
设
a
⃗
\\vec{a}
a
与三个坐标轴正向的夹角分别为
α
,
β
,
γ
\\alpha, \\beta, \\gamma
α,β,γ（
0
≤
α
,
β
,
γ
≤
π
0 \\le \\alpha, \\beta, \\gamma \\le \\pi
0≤α,β,γ≤π），称为方向角。
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
\\cos\\alpha, \\cos\\beta, \\cos\\gamma
cosα,cosβ,cosγ 称为方向余弦。
推导：设
a
⃗
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)
a
=(ax,ay,az)，则
a
⃗
\\vec{a}
a
在
x
x
x 轴上的投影为
a
x
a_x
ax。由投影的定义：
a
x
=
∣
a
⃗
∣
cos
α
,
a
y
=
∣
a
⃗
∣
cos
β
,
a
z
=
∣
a
⃗
∣
cos
γ
a_x = |\\vec{a}|\\cos\\alpha,\\quad a_y = |\\vec{a}|\\cos\\beta,\\quad a_z = |\\vec{a}|\\cos\\gamma
ax=∣a
∣cosα,ay=∣a
∣cosβ,az=∣a
∣cosγ
因此：
cos
α
=
a
x
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
,
cos
β
=
a
y
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
,
cos
γ
=
a
z
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
\\cos\\alpha = \\frac{a_x}{\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}},\\quad \\cos\\beta = \\frac{a_y}{\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}},\\quad \\cos\\gamma = \\frac{a_z}{\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}
cosα=ax2+ay2+az2
ax,cosβ=ax2+ay2+az2
ay,cosγ=ax2+ay2+az2
az
基本恒等式：
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
1
\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\beta + \\cos^2\\gamma = 1
cos2α+cos2β+cos2γ=1
证明：
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
=
1
✓
\\frac{a_x^2+a_y^2+a_z^2}{a_x^2+a_y^2+a_z^2} = 1 \\quad \\checkmark
ax2+ay2+az2ax2+ay2+az2=1✓
因此单位向量可写为：
a
⃗
0
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
\\vec{a}^0 = (\\cos\\alpha, \\cos\\beta, \\cos\\gamma)
a
0=(cosα,cosβ,cosγ)
3. 向量在轴上的投影
向量
a
⃗
\\vec{a}
a
在轴
u
u
u 上的投影记为
Prj
u
a
⃗
\\text{Prj}_u\\vec{a}
Prjua
：
Prj
u
a
⃗
=
∣
a
⃗
∣
cos
φ
\\text{Prj}_u\\vec{a} = |\\vec{a}|\\cos\\varphi
Prjua
=∣a
∣cosφ
其中
φ
\\varphi
φ 是
a
⃗
\\vec{a}
a
与
u
u
u 轴正向的夹角。
性质：
-
Prj
u
(
a
⃗
+
b
⃗
)
=
Prj
u
a
⃗
+
Prj
u
b
⃗
\\text{Prj}_u(\\vec{a}+\\vec{b}) = \\text{Prj}_u\\vec{a}+\\text{Prj}_u\\vec{b}
Prju(a+b)=Prjua+Prjub -
Prj
u
(
λ
a
⃗
)
=
λ
Prj
u
a
⃗
\\text{Prj}_u(\\lambda\\vec{a}) = \\lambda\\text{Prj}_u\\vec{a}
Prju(λa)=λPrjua
习题 8-1（典型题）
题1：设
A
=
(
1
,
2
,
3
)
A=(1,2,3)
A=(1,2,3)，
B
=
(
4
,
5
,
6
)
B=(4,5,6)
B=(4,5,6)，求
A
B
⃗
\\vec{AB}
AB
的模、方向余弦。
解：
A
B
⃗
=
(
3
,
3
,
3
)
\\vec{AB} = (3,3,3)
AB
=(3,3,3)
∣
A
B
⃗
∣
=
9
+
9
+
9
=
3
3
|\\vec{AB}| = \\sqrt{9+9+9} = 3\\sqrt{3}
∣AB
∣=9+9+9
=33
cos
α
=
cos
β
=
cos
γ
=
3
3
3
=
3
3
\\cos\\alpha = \\cos\\beta = \\cos\\gamma = \\frac{3}{3\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}
cosα=cosβ=cosγ=33
3=33
题2：已知
a
⃗
=
(
3
,
−
1
,
2
)
\\vec{a}=(3,−1,2)
a
=(3,−1,2)，
b
⃗
=
(
1
,
2
,
−
1
)
\\vec{b}=(1,2,−1)
b
=(1,2,−1)，求
2
a
⃗
−
3
b
⃗
2\\vec{a}−3\\vec{b}
2a
−3b
。
解：
2
a
⃗
−
3
b
⃗
=
(
6
,
−
2
,
4
)
−
(
3
,
6
,
−
3
)
=
(
3
,
−
8
,
7
)
2\\vec{a}-3\\vec{b} = (6,-2,4)-(3,6,-3) = (3,-8,7)
2a
−3b
=(6,−2,4)−(3,6,−3)=(3,−8,7)
第二节 数量积 向量积 混合积
一、两向量的数量积（点积）
1. 定义
a
⃗
⋅
b
⃗
=
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
cos
θ
\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos\\theta
a
⋅b
=∣a
∣∣b
∣cosθ
其中
θ
\\theta
θ 是
a
⃗
\\vec{a}
a
与
b
⃗
\\vec{b}
b
的夹角（
0
≤
θ
≤
π
0 \\le \\theta \\le \\pi
0≤θ≤π）。
几何意义：
a
⃗
⋅
b
⃗
\\vec{a}\\cdot\\vec{b}
a
⋅b
等于
a
⃗
\\vec{a}
a
的模与
b
⃗
\\vec{b}
b
在
a
⃗
\\vec{a}
a
方向上投影之积。
2. 坐标公式推导
设
a
⃗
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)
a
=(ax,ay,az)，
b
⃗
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
\\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)
b
=(bx,by,bz)：
a
⃗
⋅
b
⃗
=
(
a
x
i
⃗
+
a
y
j
⃗
+
a
z
k
⃗
)
⋅
(
b
x
i
⃗
+
b
y
j
⃗
+
b
z
k
⃗
)
\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = (a_x\\vec{i}+a_y\\vec{j}+a_z\\vec{k})\\cdot(b_x\\vec{i}+b_y\\vec{j}+b_z\\vec{k})
a
⋅b
=(axi
+ayj
+azk
)⋅(bxi
+byj
+bzk
)
利用
i
⃗
⋅
i
⃗
=
j
⃗
⋅
j
⃗
=
k
⃗
⋅
k
⃗
=
1
\\vec{i}\\cdot\\vec{i}=\\vec{j}\\cdot\\vec{j}=\\vec{k}\\cdot\\vec{k}=1
i
⋅i
=j
⋅j
=k
⋅k
=1，
i
⃗
⋅
j
⃗
=
j
⃗
⋅
k
⃗
=
k
⃗
⋅
i
⃗
=
0
\\vec{i}\\cdot\\vec{j}=\\vec{j}\\cdot\\vec{k}=\\vec{k}\\cdot\\vec{i}=0
i
⋅j
=j
⋅k
=k
⋅i
=0：
a
⃗
⋅
b
⃗
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
\\boxed{\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}
a
⋅b
=axbx+ayby+azbz
3. 性质
- 交换律：
a
⃗
⋅
b
⃗
=
b
⃗
⋅
a
⃗
\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = \\vec{b}\\cdot\\vec{a}
a⋅b=b⋅a - 分配律：
a
⃗
⋅
(
b
⃗
+
c
⃗
)
=
a
⃗
⋅
b
⃗
+
a
⃗
⋅
c
⃗
\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{a}\\cdot\\vec{b}+\\vec{a}\\cdot\\vec{c}
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c -
λ
(
a
⃗
⋅
b
⃗
)
=
(
λ
a
⃗
)
⋅
b
⃗
=
a
⃗
⋅
(
λ
b
⃗
)
\\lambda(\\vec{a}\\cdot\\vec{b}) = (\\lambda\\vec{a})\\cdot\\vec{b} = \\vec{a}\\cdot(\\lambda\\vec{b})
λ(a⋅b)=(λa)⋅b=a⋅(λb)
4. 重要应用
（1）求夹角：
cos
θ
=
a
⃗
⋅
b
⃗
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
b
x
2
+
b
y
2
+
b
z
2
\\cos\\theta = \\frac{\\vec{a}\\cdot\\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}
cosθ=∣a
∣∣b
∣a
⋅b
=ax2+ay2+az2
bx2+by2+bz2
axbx+ayby+azbz
（2）两向量垂直的条件：
a
⃗
⊥
b
⃗
⟺
a
⃗
⋅
b
⃗
=
0
⟺
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
=
0
\\vec{a}\\perp\\vec{b} \\iff \\vec{a}\\cdot\\vec{b} = 0 \\iff a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z = 0
a
⊥b
⟺a
⋅b
=0⟺axbx+ayby+azbz=0
（3）求向量的模：
∣
a
⃗
∣
=
a
⃗
⋅
a
⃗
|\\vec{a}| = \\sqrt{\\vec{a}\\cdot\\vec{a}}
∣a
∣=a
⋅a
二、两向量的向量积（叉积）
1. 定义
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
是一个向量，满足：
(1) 大小：
∣
a
⃗
×
b
⃗
∣
=
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
sin
θ
|\\vec{a}\\times\\vec{b}| = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\sin\\theta
∣a
×b
∣=∣a
∣∣b
∣sinθ
其中
θ
\\theta
θ 是
a
⃗
\\vec{a}
a
与
b
⃗
\\vec{b}
b
的夹角。
几何意义：
∣
a
⃗
×
b
⃗
∣
|\\vec{a}\\times\\vec{b}|
∣a
×b
∣ 等于以
a
⃗
\\vec{a}
a
、
b
⃗
\\vec{b}
b
为邻边的平行四边形的面积。
(2) 方向：
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
垂直于
a
⃗
\\vec{a}
a
和
b
⃗
\\vec{b}
b
所确定的平面，且
a
⃗
\\vec{a}
a
、
b
⃗
\\vec{b}
b
、
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
构成右手系。
2. 坐标公式推导
a
⃗
×
b
⃗
=
(
a
x
i
⃗
+
a
y
j
⃗
+
a
z
k
⃗
)
×
(
b
x
i
⃗
+
b
y
j
⃗
+
b
z
k
⃗
)
\\vec{a}\\times\\vec{b} = (a_x\\vec{i}+a_y\\vec{j}+a_z\\vec{k})\\times(b_x\\vec{i}+b_y\\vec{j}+b_z\\vec{k})
a
×b
=(axi
+ayj
+azk
)×(bxi
+byj
+bzk
)
利用基本叉积关系：
i
⃗
×
i
⃗
=
j
⃗
×
j
⃗
=
k
⃗
×
k
⃗
=
0
⃗
\\vec{i}\\times\\vec{i}=\\vec{j}\\times\\vec{j}=\\vec{k}\\times\\vec{k}=\\vec{0}
i
×i
=j
×j
=k
×k
=0
i
⃗
×
j
⃗
=
k
⃗
,
j
⃗
×
k
⃗
=
i
⃗
,
k
⃗
×
i
⃗
=
j
⃗
\\vec{i}\\times\\vec{j}=\\vec{k},\\quad \\vec{j}\\times\\vec{k}=\\vec{i},\\quad \\vec{k}\\times\\vec{i}=\\vec{j}
i
×j
=k
,j
×k
=i
,k
×i
=j
展开：
a
⃗
×
b
⃗
=
a
x
b
x
(
i
⃗
×
i
⃗
)
+
a
x
b
y
(
i
⃗
×
j
⃗
)
+
a
x
b
z
(
i
⃗
×
k
⃗
)
\\vec{a}\\times\\vec{b} = a_xb_x(\\vec{i}\\times\\vec{i})+a_xb_y(\\vec{i}\\times\\vec{j})+a_xb_z(\\vec{i}\\times\\vec{k})
a
×b
=axbx(i
×i
)+axby(i
×j
)+axbz(i
×k
)
+
a
y
b
x
(
j
⃗
×
i
⃗
)
+
a
y
b
y
(
j
⃗
×
j
⃗
)
+
a
y
b
z
(
j
⃗
×
k
⃗
)
+a_yb_x(\\vec{j}\\times\\vec{i})+a_yb_y(\\vec{j}\\times\\vec{j})+a_yb_z(\\vec{j}\\times\\vec{k})
+aybx(j
×i
)+ayby(j
×j
)+aybz(j
×k
)
+
a
z
b
x
(
k
⃗
×
i
⃗
)
+
a
z
b
y
(
k
⃗
×
j
⃗
)
+
a
z
b
z
(
k
⃗
×
k
⃗
)
+a_zb_x(\\vec{k}\\times\\vec{i})+a_zb_y(\\vec{k}\\times\\vec{j})+a_zb_z(\\vec{k}\\times\\vec{k})
+azbx(k
×i
)+azby(k
×j
)+azbz(k
×k
)
注意
j
⃗
×
i
⃗
=
−
k
⃗
\\vec{j}\\times\\vec{i}=-\\vec{k}
j
×i
=−k
，
k
⃗
×
j
⃗
=
−
i
⃗
\\vec{k}\\times\\vec{j}=-\\vec{i}
k
×j
=−i
，
i
⃗
×
k
⃗
=
−
j
⃗
\\vec{i}\\times\\vec{k}=-\\vec{j}
i
×k
=−j
，代入整理：
a
⃗
×
b
⃗
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
i
⃗
+
(
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
j
⃗
+
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b} = (a_yb_z-a_zb_y)\\vec{i} + (a_zb_x-a_xb_z)\\vec{j} + (a_xb_y-a_yb_x)\\vec{k}
a
×b
=(aybz−azby)i
+(azbx−axbz)j
+(axby−aybx)k
用行列式记忆：
a
⃗
×
b
⃗
=
∣
i
⃗
j
⃗
k
⃗
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
∣
\\boxed{\\vec{a}\\times\\vec{b} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\end{vmatrix}}
a
×b
=
i
axbxj
aybyk
azbz
按第一行展开即得上述结果。
3. 性质
- 反交换律：
a
⃗
×
b
⃗
=
−
b
⃗
×
a
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b} = -\\vec{b}\\times\\vec{a}
a×b=−b×a - 分配律：
a
⃗
×
(
b
⃗
+
c
⃗
)
=
a
⃗
×
b
⃗
+
a
⃗
×
c
⃗
\\vec{a}\\times(\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{a}\\times\\vec{b}+\\vec{a}\\times\\vec{c}
a×(b+c)=a×b+a×c -
λ
(
a
⃗
×
b
⃗
)
=
(
λ
a
⃗
)
×
b
⃗
=
a
⃗
×
(
λ
b
⃗
)
\\lambda(\\vec{a}\\times\\vec{b}) = (\\lambda\\vec{a})\\times\\vec{b} = \\vec{a}\\times(\\lambda\\vec{b})
λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)
4. 重要应用
两向量平行的条件：
a
⃗
∥
b
⃗
⟺
a
⃗
×
b
⃗
=
0
⃗
⟺
a
x
b
x
=
a
y
b
y
=
a
z
b
z
\\vec{a}\\parallel\\vec{b} \\iff \\vec{a}\\times\\vec{b} = \\vec{0} \\iff \\frac{a_x}{b_x}=\\frac{a_y}{b_y}=\\frac{a_z}{b_z}
a
∥b
⟺a
×b
=0
⟺bxax=byay=bzaz
（即对应坐标成比例）
*三、向量的混合积
1. 定义
[
a
⃗
b
⃗
c
⃗
]
=
(
a
⃗
×
b
⃗
)
⋅
c
⃗
[\\vec{a}\\;\\vec{b}\\;\\vec{c}] = (\\vec{a}\\times\\vec{b})\\cdot\\vec{c}
[a
b
c
]=(a
×b
)⋅c
2. 坐标公式推导
设
a
⃗
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
\\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)
a
=(ax,ay,az)，
b
⃗
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
\\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)
b
=(bx,by,bz)，
c
⃗
=
(
c
x
,
c
y
,
c
z
)
\\vec{c}=(c_x,c_y,c_z)
c
=(cx,cy,cz)。
先计算
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
：
a
⃗
×
b
⃗
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
,
a
z
b
x
−
a
x
b
z
,
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
\\vec{a}\\times\\vec{b} = (a_yb_z-a_zb_y,\\; a_zb_x-a_xb_z,\\; a_xb_y-a_yb_x)
a
×b
=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)
再与
c
⃗
\\vec{c}
c
点积：
(
a
⃗
×
b
⃗
)
⋅
c
⃗
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
c
x
+
(
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
c
y
+
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
c
z
(\\vec{a}\\times\\vec{b})\\cdot\\vec{c} = (a_yb_z-a_zb_y)c_x + (a_zb_x-a_xb_z)c_y + (a_xb_y-a_yb_x)c_z
(a
×b
)⋅c
=(aybz−azby)cx+(azbx−axbz)cy+(axby−aybx)cz
这恰好等于三阶行列式：
[
a
⃗
b
⃗
c
⃗
]
=
∣
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
∣
\\boxed{[\\vec{a}\\;\\vec{b}\\;\\vec{c}] = \\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\end{vmatrix}}
[a
b
c
]=
axbxcxaybycyazbzcz
证明：按第一行展开行列式：
a
x
(
b
y
c
z
−
b
z
c
y
)
−
a
y
(
b
x
c
z
−
b
z
c
x
)
+
a
z
(
b
x
c
y
−
b
y
c
x
)
a_x(b_yc_z-b_zc_y) – a_y(b_xc_z-b_zc_x) + a_z(b_xc_y-b_yc_x)
ax(bycz−bzcy)−ay(bxcz−bzcx)+az(bxcy−bycx)
=
a
x
b
y
c
z
−
a
x
b
z
c
y
−
a
y
b
x
c
z
+
a
y
b
z
c
x
+
a
z
b
x
c
y
−
a
z
b
y
c
x
= a_xb_yc_z – a_xb_zc_y – a_yb_xc_z + a_yb_zc_x + a_zb_xc_y – a_zb_yc_x
=axbycz−axbzcy−aybxcz+aybzcx+azbxcy−azbycx
重新整理：将含
c
x
c_x
cx 的项、含
c
y
c_y
cy 的项、含
c
z
c_z
cz 的项分别归组：
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
c
x
+
(
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
c
y
+
(
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
c
z
= (a_yb_z-a_zb_y)c_x + (a_zb_x-a_xb_z)c_y + (a_xb_y-a_yb_x)c_z
=(aybz−azby)cx+(azbx−axbz)cy+(axby−aybx)cz
与上面结果一致。
□
\\square
□
3. 几何意义
∣
[
a
⃗
b
⃗
c
⃗
]
∣
=
以
a
⃗
,
b
⃗
,
c
⃗
为棱的平行六面体的体积
|[\\vec{a}\\;\\vec{b}\\;\\vec{c}]| = 以\\vec{a},\\vec{b},\\vec{c}为棱的平行六面体的体积
∣[a
b
c
]∣=以a
,b
,c
为棱的平行六面体的体积
推导：平行六面体的底面积为
∣
a
⃗
×
b
⃗
∣
|\\vec{a}\\times\\vec{b}|
∣a
×b
∣（平行四边形面积），高为
c
⃗
\\vec{c}
c
在
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
方向上的投影的绝对值：
V
=
∣
a
⃗
×
b
⃗
∣
⋅
∣
Prj
a
⃗
×
b
⃗
c
⃗
∣
=
∣
(
a
⃗
×
b
⃗
)
⋅
c
⃗
∣
V = |\\vec{a}\\times\\vec{b}| \\cdot |\\text{Prj}_{\\vec{a}\\times\\vec{b}}\\vec{c}| = |(\\vec{a}\\times\\vec{b})\\cdot\\vec{c}|
V=∣a
×b
∣⋅∣Prja
×b
c
∣=∣(a
×b
)⋅c
∣
4. 应用
三向量共面的条件：
a
⃗
,
b
⃗
,
c
⃗
共面
⟺
[
a
⃗
b
⃗
c
⃗
]
=
0
⟺
∣
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
∣
=
0
\\vec{a},\\vec{b},\\vec{c}\\text{ 共面} \\iff [\\vec{a}\\;\\vec{b}\\;\\vec{c}] = 0 \\iff \\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\end{vmatrix} = 0
a
,b
,c
共面⟺[a
b
c
]=0⟺
axbxcxaybycyazbzcz
=0
习题 8-2（典型题）
题1：
a
⃗
=
(
2
,
−
1
,
3
)
\\vec{a}=(2,-1,3)
a
=(2,−1,3)，
b
⃗
=
(
1
,
2
,
−
2
)
\\vec{b}=(1,2,-2)
b
=(1,2,−2)，求
a
⃗
⋅
b
⃗
\\vec{a}\\cdot\\vec{b}
a
⋅b
和
a
⃗
×
b
⃗
\\vec{a}\\times\\vec{b}
a
×b
。
解：
a
⃗
⋅
b
⃗
=
2
×
1
+
(
−
1
)
×
2
+
3
×
(
−
2
)
=
2
−
2
−
6
=
−
6
\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = 2\\times1+(-1)\\times2+3\\times(-2) = 2-2-6 = -6
a
⋅b
=2×1+(−1)×2+3×(−2)=2−2−6=−6
a
⃗
×
b
⃗
=
∣
i
⃗
j
⃗
k
⃗
2
−
1
3
1
2
−
2
∣
\\vec{a}\\times\\vec{b} = \\begin{vmatrix}\\vec{i}&\\vec{j}&\\vec{k}\\\\2&-1&3\\\\1&2&-2\\end{vmatrix}
a
×b
=
i
21j
−12k
3−2
=
i
⃗
[
(
−
1
)
(
−
2
)
−
3
×
2
]
−
j
⃗
[
2
×
(
−
2
)
−
3
×
1
]
+
k
⃗
[
2
×
2
−
(
−
1
)
×
1
]
= \\vec{i}[(-1)(-2)-3\\times2]-\\vec{j}[2\\times(-2)-3\\times1]+\\vec{k}[2\\times2-(-1)\\times1]
=i
[(−1)(−2)−3×2]−j
[2×(−2)−3×1]+k
[2×2−(−1)×1]
=
i
⃗
(
2
−
6
)
−
j
⃗
(
−
4
−
3
)
+
k
⃗
(
4
+
1
)
=
(
−
4
,
7
,
5
)
= \\vec{i}(2-6)-\\vec{j}(-4-3)+\\vec{k}(4+1) = (-4,\\;7,\\;5)
=i
(2−6)−j
(−4−3)+k
(4+1)=(−4,7,5)
题2：求以
A
(
1
,
0
,
0
)
A(1,0,0)
A(1,0,0)，
B
(
0
,
1
,
0
)
B(0,1,0)
B(0,1,0)，
C
(
0
,
0
,
1
)
C(0,0,1)
C(0,0,1)，
D
(
0
,
0
,
0
)
D(0,0,0)
D(0,0,0) 为顶点的四面体的体积。
解：
D
A
⃗
=
(
1
,
0
,
0
)
\\vec{DA}=(1,0,0)
DA
=(1,0,0)，
D
B
⃗
=
(
0
,
1
,
0
)
\\vec{DB}=(0,1,0)
DB
=(0,1,0)，
D
C
⃗
=
(
0
,
0
,
1
)
\\vec{DC}=(0,0,1)
DC
=(0,0,1)
V
四面体
=
1
6
∣
[
D
A
⃗
D
B
⃗
D
C
⃗
]
∣
=
1
6
∣
∣
1
0
0
0
1
0
0
0
1
∣
∣
=
1
6
V_{四面体} = \\frac{1}{6}|[\\vec{DA}\\;\\vec{DB}\\;\\vec{DC}]| = \\frac{1}{6}\\left|\\begin{vmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&0&1\\end{vmatrix}\\right| = \\frac{1}{6}
V四面体=61∣[DA
DB
DC
]∣=61
100010001
=61
题3：证明
a
⃗
=
(
1
,
2
,
3
)
\\vec{a}=(1,2,3)
a
=(1,2,3)，
b
⃗
=
(
2
,
4
,
6
)
\\vec{b}=(2,4,6)
b
=(2,4,6)，
c
⃗
=
(
1
,
1
,
1
)
\\vec{c}=(1,1,1)
c
=(1,1,1) 共面。
证： 因为
b
⃗
=
2
a
⃗
\\vec{b}=2\\vec{a}
b
=2a
，所以
a
⃗
∥
b
⃗
\\vec{a}\\parallel\\vec{b}
a
∥b
，三个向量必然共面。
第三节 平面及其方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
曲面方程：若曲面
S
S
S 与方程
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F(x,y,z)=0
F(x,y,z)=0 满足：
- 曲面
S
S
S 上任一点的坐标都满足该方程； - 坐标满足该方程的点都在曲面
S
S
S 上；
则称
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F(x,y,z)=0
F(x,y,z)=0 为曲面
S
S
S 的方程。
空间曲线方程：作为两个曲面的交线，表示为
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
\\begin{cases} F(x,y,z) = 0 \\\\ G(x,y,z) = 0 \\end{cases}
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
二、平面的点法式方程
1. 平面的法向量
如果非零向量
n
⃗
\\vec{n}
n
垂直于平面
π
\\pi
π，则称
n
⃗
\\vec{n}
n
为平面
π
\\pi
π 的法向量。
2. 点法式方程推导
设平面
π
\\pi
π 过点
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M_0(x_0, y_0, z_0)
M0(x0,y0,z0)，法向量为
n
⃗
=
(
A
,
B
,
C
)
\\vec{n}=(A, B, C)
n
=(A,B,C)。
对于平面
π
\\pi
π 上任意一点
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x,y,z)
M(x,y,z)，向量
M
0
M
⃗
=
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
,
z
−
z
0
)
\\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)
M0M
=(x−x0,y−y0,z−z0) 在平面内。
因为
n
⃗
\\vec{n}
n
垂直于平面，所以
n
⃗
⊥
M
0
M
⃗
\\vec{n} \\perp \\vec{M_0M}
n
⊥M0M
：
n
⃗
⋅
M
0
M
⃗
=
0
\\vec{n}\\cdot\\vec{M_0M} = 0
n
⋅M0M
=0
A
(
x
−
x
0
)
+
B
(
y
−
y
0
)
+
C
(
z
−
z
0
)
=
0
\\boxed{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0}
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
这就是平面的点法式方程。
