线性代数学习教程，从入门到精通，矩阵及其运算 — 完整知识点与详细推导(3）

矩阵及其运算 — 完整知识点与详细推导

§1 线性方程组和矩阵

一、线性方程组的基本概念

定义（线性方程组）

含有 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组的一般形式为：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

其中 $a_{ij}$ 是第 $i$ 个方程中第 $j$ 个未知数的系数，$b_i$ 是第 $i$ 个方程的常数项。

当所有 $b_i=0$ 时，称为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。

二、矩阵的定义

定义（矩阵）

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$（$i=1,2,\cdots ,m$；$j=1,2,\cdots ,n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A = \\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn} \\end{pmatrix}A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​

称为 $m\times n$ 矩阵，简记为 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 或 $A=(a_{ij})$。

• $m\times n$ 称为矩阵的型或阶
• $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素

三、特殊矩阵

四、线性方程组的矩阵表示

线性方程组可写为矩阵方程：

$$AX=B$$

其中

A=(a11⋯a1n⋮⋮am1⋯amn),X=(x1x2⋮xn),B=(b1b2⋮bm)A = \\begin{pmatrix} a_{11} & \\cdots & a_{1n} \\\\ \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{m1} & \\cdots & a_{mn} \\end{pmatrix}, \\quad X = \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix}, \\quad B = \\begin{pmatrix} b_1 \\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_m \\end{pmatrix}A=​a11​⋮am1​​⋯⋯​a1n​⋮amn​​​,X=​x1​x2​⋮xn​​​,B=​b1​b2​⋮bm​​​

$A$ 称为系数矩阵，$\tilde{A}=(A\mid B)$ 称为增广矩阵。

§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义：设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{m\times n}$，则

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{m\times n}$$

即对应元素相加。注意：只有同型矩阵才能相加。

运算律：

二、矩阵的数乘

定义：设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$\lambda$ 为数，则

$$\lambda A=(\lambda a_{ij}{)}_{m\times n}$$

运算律：

三、矩阵的乘法（核心重点）

定义：设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$，$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$，则 $AB=C=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，其中

$$\boxed{c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}}$$

关键要点：$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。$C$ 的 $(i,j)$ 元素 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。

【详细例题】

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1\times 5+2\times 7& 1\times 6+2\times 8\\ 3\times 5+4\times 7& 3\times 6+4\times 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$

运算律（逐一验证）：

(1) 结合律 $(AB)C=A(BC)$

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$，$B=(b_{jk}{)}_{s\times t}$，$C=(c_{kl}{)}_{t\times n}$。

左边 $(AB)C$ 的 $(i,l)$ 元素：
$$\sum _{k=1}^t\left(\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{b}_{jk}\right)c_{kl}=\sum _{k=1}^t\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$$

右边 $A(BC)$ 的 $(i,l)$ 元素：
$$\sum _{j=1}^s{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^t{b}_{jk}{c}_{kl}\right)=\sum _{j=1}^s\sum _{k=1}^t{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$$

由于有限求和可以交换顺序，两式相等。$■$

(2) 分配律 $A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$

验证 $A(B+C)=AB+AC$：

左边的 $(i,j)$ 元素：$\sum _k{a}_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj}+\sum _k{a}_{ik}{c}_{kj}$

右边的 $(i,j)$ 元素：$(AB{)}_{ij}+(AC{)}_{ij}=\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj}+\sum _k{a}_{ik}{c}_{kj}$

两者相等。$■$

(3) $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ — 类似可证。

重要注意：矩阵乘法一般不满足交换律！

• $AB$ 不一定等于 $BA$
• $AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$

反例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O$，但 $A\ne O$，$B\ne O$。

方阵的幂：$A^k=\underset{k\text{个}}{A\cdot A\cdots A}$，规定 $A^0=E$。

性质：$A^k{A}^l=A^{k+l}$，$(A^k{)}^l=A^{kl}$。

四、矩阵的转置

定义：将 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 的行列互换，得到的 $n\times m$ 矩阵称为 $A$ 的转置矩阵：

$$A^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$$

即 $A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 = $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素。

运算律：

第4条的证明：

设 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$，$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$。

$(AB{)}^T$ 的 $(j,i)$ 元素 = $(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$

$(B^T{A}^T)$ 的 $(j,i)$ 元素 = $\sum _{k=1}^s(B^T{)}_{jk}(A^T{)}_{ki}=\sum _{k=1}^s{b}_{kj}\cdot a_{ik}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$

两者相等，故 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$。$■$

推广：$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^T=A_k^T\cdots A_2^T{A}_1^T$

§3 逆矩阵

一、逆矩阵的定义

定义：对于 $n$ 阶方阵 $A$，若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$AB=BA=E$$

则称 $A$ 是可逆的（非奇异的），$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。

逆矩阵若存在则唯一：设 $B$、$C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，则

$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C■$$

二、行列式的几个重要性质（预备知识）

性质1：$|A^T|=|A|$

性质2：$|AB|=|A|\cdot |B|$（行列式的乘法性质）

性质2的证明：设 $A=(a_{ij}{)}_n$，$B=(b_{ij}{)}_n$，构造 $2n$ 阶矩阵

$$D=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ -E& B\end{array}\right)$$

通过行列式的展开性质（此处略去完整的分块行列式计算），可证明 $|D|=|A||B|$。

另一方面，将 $D$ 进行列变换（将前 $n$ 列乘以相应元素加到后 $n$ 列），可以化为

$$D^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ -E& O\end{array}\right)$$

再按后 $n$ 列展开可得 $|D^{\prime }|=|AB|$。由于列变换不改变行列式，$|D|=|D^{\prime }|$，故 $|AB|=|A||B|$。$■$

推广：$|A_1{A}_2\cdots A_k|=|A_1||A_2|\cdots |A_k|$

三、伴随矩阵

定义：对于 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，$A_{ij}$ 是 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则称

A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann)A^* = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \\cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \\cdots & A_{n2} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \\cdots & A_{nn} \\end{pmatrix}A∗=​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​​

为 $A$ 的伴随矩阵。注意 $A^{\ast }$ 中 $(i,j)$ 位置放的是 $A_{ji}$（下标互换）。

核心定理：$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

详细证明：

AA∗=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann)AA^* = \\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\cdots & a_{nn} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \\cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \\cdots & A_{n2} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \\cdots & A_{nn} \\end{pmatrix}AA∗=​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​​​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​​

$(A{A}^{\ast })$ 的第 $(i,j)$ 元素为：

$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}$$

根据行列式展开定理（按行展开）：

• 当 $i=j$ 时：$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}=|A|$（行列式按第 $i$ 行展开）
• 当 $i\ne j$ 时：$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0$（相当于将 $|A|$ 的第 $j$ 行替换为第 $i$ 行后的行列式，有两行相同，故为0）

因此 $A{A}^{\ast }=|A|\cdot E$。同理可证 $A^{\ast }A=|A|\cdot E$。$■$

四、逆矩阵的求法

定理：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $⟺$ $|A|\ne 0$（即 $A$ 为非奇异矩阵），且

$$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }}$$

证明：

**（充分性）**若 $|A|\ne 0$，由 $A{A}^{\ast }=|A|E$，得

$$A\cdot \frac{A^{\ast }}{|A|}=E$$

所以 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$。

**（必要性）**若 $A$ 可逆，则存在 $A^{-1}$ 使得 $A{A}^{-1}=E$，取行列式：

$$|A{A}^{-1}|=|A|\cdot |A^{-1}|=|E|=1$$

故 $|A|\ne 0$。$■$

推论：若 $AB=E$（或 $BA=E$），则 $B=A^{-1}$。

证明：$|AB|=|A||B|=|E|=1$，所以 $|A|\ne 0$，$A$ 可逆。再在 $AB=E$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $B=A^{-1}$。

五、逆矩阵的运算性质

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda \ne 0$：