参考
初等数论简明教程.csdn 电枢公式–电枢绕线的规律.csdn 线性电枢同绕集公式.csdn 剩余定理的电枢语言描述.csdn 二次剩余和二次互反律.csdn 指数电枢前置步数s和循环周期T公式.csdn 指数电枢和离散对数.csdn 线性电枢和分圆多项式.csdn 电枢网页游戏.csdn
线性电枢描述了
n
n
n 槽电枢, 按固定步长
k
k
k 绕线的现象。 站在不同视角,来描述和解释这个简单的现象,能得到更加全面深刻的认识。
N
n
N_n
Nn 是电枢
n
n
n 中由
n
n
n 个槽组成的集合，槽编号
s
∈
N
n
s\\in N_n
s∈Nn。 电枢
n
n
n 的 所有线性绕法
k
t
kt
kt和电枢
n
n
n 的所有槽是 一 一对应的。 因此将 同绕关系 看做是对 绕法
k
t
kt
kt的分类 还是 槽 的分类,没有什么分别。 但是槽是静止的死物, 绕法却可以运动,可以操作,可以画出花来。 因此研究绕法的运算比研究槽的运算要有趣的多。
同绕集内部的元素之间的运算
运算前后都在同绕集内部
参考 线性电枢同绕集公式.csdn
x
和
y
是同绕集
(
∣
k
n
)
中的两个元素
x和y是同绕集\\left(|\\frac{k}{n}\\right)中的两个元素
x和y是同绕集(∣nk)中的两个元素
x
⋆
y
=
k
0
(
x
k
0
⋅
y
k
0
)
(
m
o
d
n
)
.
x\\star y =k_0 \\left( \\frac{x}{k_0} \\cdot \\frac{y}{k_0} \\right) \\pmod n.
x⋆y=k0(k0x⋅k0y)(modn).
不同同绕集之间的运算
运算前后都是同绕集
(
∣
k
n
)
\\left(|\\frac{k}{n}\\right)
(∣nk)和
(
∣
s
n
)
\\left(|\\frac{s}{n}\\right)
(∣ns)是两个不同的同绕集
k
0
k_0
k0和
s
0
s_0
s0是上面两个不同的同绕集的最小绕数
k
0
□
s
0
=
(
n
,
k
0
s
0
)
=
(
k
0
s
0
)
0
k_0□s_0=(n,k_0s_0)=({k_0s_0})_0
k0□s0=(n,k0s0)=(k0s0)0
(
∣
k
n
)
□
(
∣
s
n
)
=
(
∣
(
n
,
(
n
,
k
)
(
n
,
s
)
)
n
)
\\left(|\\frac{k}{n}\\right)□\\left(|\\frac{s}{n}\\right)=\\left(|\\frac{(n,(n,k)(n,s))}{n}\\right)
(∣nk)□(∣ns)=(∣n(n,(n,k)(n,s)))
不同的绕法之间的运算
不同绕法的运算就可以很自由了 槽和绕法之间是双射的,可以用不同视角解释 运算前后都是绕法
s和k是两个绕法
s
+
k
=
s
+
k
(
m
o
d
n
)
s\\textbf{+}k=s+k \\pmod n
s+k=s+k(modn)
s
×
k
=
s
k
(
m
o
d
n
)
s\\times k=sk \\pmod n
s×k=sk(modn)
两个槽映射生成的两个绕法运算
这两个映射都是和槽 一 一对应的映射 这两个映射都是把一个槽变成另一个槽
{
τ
k
(
s
)
=
s
+
k
σ
k
(
s
)
=
s
k
\\begin{cases} \\tau_k(s)=s+k\\\\ \\sigma_k(s)=s\\,k \\end{cases}
{τk(s)=s+kσk(s)=sk
平移映射的复合：
τ
l
∘
τ
m
=
τ
l
+
m
\\tau_l\\circ \\tau_m=\\tau_{l+m}
τl∘τm=τl+m 数乘映射的复合：
σ
l
∘
σ
m
=
σ
l
⋅
m
\\sigma_l\\circ \\sigma_m=\\sigma_{l\\cdot m}
σl∘σm=σl⋅m 若用复数
ζ
n
s
\\zeta_n^{s}
ζns代替整数s来表示槽 则用复数1来表示0号槽
两个运算组合生成的代数结构
n槽电枢全体绕法构成 模 n 剩余类加法群
(
Z
/
n
Z
,
+
)
(\\mathbb Z/n\\mathbb Z,+)
(Z/nZ,+) n槽电枢中的全达绕法构成 乘法单位群
U
(
n
)
U(n)
U(n) n槽电枢中的全体绕法构成 模 n 剩余类环
(
Z
/
n
Z
)
(\\mathbb Z/n\\mathbb Z)
(Z/nZ) 素数p槽电枢的全体绕法构成 p阶素有限域
F
p
=
G
F
(
p
)
=
Z
/
p
Z
F_p=GF(p)=\\mathbb Z/p\\mathbb Z
Fp=GF(p)=Z/pZ
在
G
F
(
p
)
在GF(p)
在GF(p)上的多项式环
G
F
(
p
)
[
x
]
中选择一个首一不可约的
n
次多项式
f
(
x
)
GF(p)[x]中选择一个首一不可约的 n 次多项式 f(x)
GF(p)[x]中选择一个首一不可约的n次多项式f(x) 这个
f
(
x
)
f(x)
f(x) 可构造出
F
p
n
≅
F
p
[
x
]
/
f
(
x
)
\\mathbb{F}_{p^n} \\cong \\mathbb{F}_p[x]/f(x)
Fpn≅Fp[x]/f(x) 其他的首一不可约的 n 次多项式 g(x)也能构造出
F
p
n
≅
F
p
[
x
]
/
g
(
x
)
\\mathbb{F}_{p^n} \\cong \\mathbb{F}_p[x]/g(x)
Fpn≅Fp[x]/g(x)
复数视角线性电枢绕法的运算
n 次单位根群
C
n
C_n
Cn={
ζ
n
0
\\zeta_n^{0}
ζn0,
ζ
n
1
\\zeta_n^{1}
ζn1,…
ζ
n
n
−
1
\\zeta_n^{n-1}
ζnn−1}对应线性电枢的n个槽
ζ
n
a
ζ
n
b
=
ζ
n
a
+
b
\\zeta_n^{a}\\zeta_n^{b}=\\zeta_n^{a+b}
ζnaζnb=ζna+b
若
s
是全达绕法
,
则
C
n
=
<
ζ
n
s
>
若s是全达绕法,则 C_n=<\\zeta_n^{s}>
若s是全达绕法,则Cn=<ζns>
C
n
C_n
Cn的子群
<
ζ
n
k
>
<\\zeta_n^{k}>
<ζnk>元素个数就是
ζ
n
k
\\zeta_n^{k}
ζnk的阶=
n
k
0
\\frac{n}{k_0}
k0n
<
ζ
n
k
>
≅
C
n
k
0
<\\zeta_n^{k}> \\cong C_{\\frac{n}{k_0}}
<ζnk>≅Ck0n 令
K
=
<
ζ
n
k
>
K=<\\zeta_n^{k}>
K=<ζnk>
{
t
K
}
\\{tK\\}
{tK}的元素个数是
n
/
∣
K
∣
=
k
0
n/|K|=k_0
n/∣K∣=k0 因此陪集乘法构成循环群
C
k
0
C_{k_0}
Ck0
(
ζ
n
a
K
)
(
ζ
n
b
K
)
=
(
ζ
n
a
+
b
K
)
(\\zeta_n^{a}K)(\\zeta_n^{b}K)=(\\zeta_n^{a+b}K)
(ζnaK)(ζnbK)=(ζna+bK)
C
n
/
C
n
k
0
≅
C
k
0
C_n/C_{\\frac{n}{k_0}} \\cong C_{k_0}
Cn/Ck0n≅Ck0
