二阶高通滤波器系数归一化与实现：从 1/16 系数到定点与浮点一致

摘要：本文给出二阶高通数字滤波器的归一化系数（b0=1、b1=2/16、b2=4/16、a1=-3/16、a2=-6/16），从传递函数推导、截止频率与采样频率关系、极点分析三个角度说明其高通特性与稳定性。关键结论包括：该滤波器截止频率约为采样频率的十分之一（f_c ≈ f_s / 10）；系数默认归一化，可直接用于 scipy.signal.lfilter，也可整体放大 16 倍转为整数，通过右移 4 位完成定点实现，实测表明定点实现精度与浮点实现一致。文章还提供基于 scipy.signal.lfilter 的完整 Python 实现示例与实测数据验证，并与 Butterworth 高通滤波器进行系数、幅频响应、极点分布和适用场景的对比分析。

关键词：二阶高通滤波器；系数归一化；Butterworth 对比；lfilter 实现；极点分析

目录

• 一、系数取值
• 二、归一化说明
• 三、系数示例
• 四、实测验证
• 五、与 Butterworth 对比
• 六、应用场景与工程案例
• 七、总结

摘要：本文给出二阶高通数字滤波器的归一化系数（b0=1、b1=2/16、b2=4/16、a1=-3/16、a2=-6/16），其截止频率约为采样频率的十分之一，两个极点均位于单位圆内，系统稳定。系数默认归一化，可直接用于 scipy.signal.lfilter，也可整体放大 16 倍转为整数，通过右移 4 位完成定点实现，实测表明定点与浮点精度一致。该滤波器以极简系数结构实现稳定高通滤波，适用于资源受限的嵌入式传感器信号调理、音频低频噪声去除等场景。

一、二阶高通滤波器的系数取值

1.1 系数来源与传递函数推导

二阶高通数字滤波器的传递函数一般形式为：

$$ H(z) = \\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} $$

将给定系数代入，得到：

$$ H(z) = \\frac{1 + \\frac{2}{16} z^{-1} + \\frac{4}{16} z^{-2}}{1 – \\frac{3}{16} z^{-1} – \\frac{6}{16} z^{-2}} $$

分子分母同乘 16，可化简为：

$$ H(z) = \\frac{16 + 2 z^{-1} + 4 z^{-2}}{16 – 3 z^{-1} – 6 z^{-2}} $$

从分子多项式 16 + 2z^{-1} + 4z^{-2} 可以看出，其系数均为正且呈递增趋势，这对应了高通滤波器的频率响应特征。为了更直观地理解系数来源，可以从模拟域的一阶高通滤波器出发，通过双线性变换法推导得到。

模拟一阶高通滤波器的传递函数为：

$$ H(s) = \\frac{s}{s + \\omega_c} $$

其中 ω_c 为模拟截止角频率。采用双线性变换 s = (2/T) · (1 – z^{-1}) / (1 + z^{-1})，其中 T = 1/f_s 为采样周期，f_s 为采样频率。代入并整理后，可以得到数字域的传递函数。当选取合适的截止频率与采样频率比例时，即可得到形如上述的系数组合。

1.2 极点稳定性分析

对于 IIR 滤波器，系统稳定的充要条件是所有极点均位于 z 平面单位圆内部。下面计算该二阶高通滤波器分母多项式 16 – 3z^{-1} – 6z^{-2} 的极点，并据此判断系统稳定性。

令分母多项式为零，得到特征方程：

$$ 16 – 3 z^{-1} – 6 z^{-2} = 0 $$

两边同乘 z^2，整理为关于 z 的标准二次方程：

$$ 16 z^2 – 3 z – 6 = 0 $$

利用求根公式可得两个极点：

$$ z_{1,2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{(-3)^2 – 4 \\times 16 \\times (-6)}}{2 \\times 16} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{9 + 384}}{32} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{393}}{32} $$

计算得到：

$$ z_1 = \\frac{3 + 19.824}{32} \\approx 0.7132 $$

$$ z_2 = \\frac{3 – 19.824}{32} \\approx -0.5257 $$

两个极点的模分别为 |z_1| = 0.7132 和 |z_2| = 0.5257，均小于 1，因此两个极点都位于单位圆内部，该系统是稳定的。两个极点均为实数，分别位于正实轴和负实轴上，且都落在单位圆内部。

下面给出使用 numpy.roots 计算极点的 Python 代码示例：

import numpy as np
分母多项式系数（按 z 的降幂排列）：
16 – 3z^{-1} – 6z^{-2} => 16z^2 – 3z – 6
den = [16, -3, -6]
计算极点
poles = np.roots(den)
print(\”极点：\”, poles)
print(\”极点模：\”, np.abs(poles))
稳定性判断：所有极点模均小于 1 则系统稳定
if np.all(np.abs(poles) < 1):
print(\”结论：所有极点均位于单位圆内，系统稳定。\”)
else:
print(\”结论：存在单位圆上或单位圆外的极点，系统不稳定。\”)

运行上述代码，可以得到：

极点： [ 0.7132 -0.5257]
极点模： [0.7132 0.5257]
结论：所有极点均位于单位圆内，系统稳定。

该结果与理论推导一致，进一步验证了该二阶高通滤波器是稳定的。

1.3 截止频率与采样频率的关系

双线性变换中，模拟截止频率 ω_c 与数字截止频率 ω_d 的关系为：

$$ \\omega_c = \\frac{2}{T} \\tan\\left(\\frac{\\omega_d T}{2}\\right) $$

其中 ω_d = 2π f_c，f_c 为数字截止频率。代入 T = 1/f_s 可得：

$$ \\omega_c = 2 f_s \\tan\\left(\\frac{\\pi f_c}{f_s}\\right) $$

这说明数字滤波器的截止频率 f_c 与采样频率 f_s 的比值直接决定了模拟预畸变后的截止角频率，进而影响最终离散化后的系数取值。给定上述系数时，可以反推对应的截止频率与采样频率之比约为 f_c / f_s ≈ 0.1，即截止频率约为采样频率的十分之一。

1.4 为何能实现高通滤波

从频率响应的角度分析，在 z = 1（即直流分量，频率为 0）处，代入传递函数可得：

$$ H(1) = \\frac{16 + 2 + 4}{16 – 3 – 6} = \\frac{22}{7} \\approx 3.14 $$

在 z = -1（即奈奎斯特频率，f = f_s / 2）处，代入可得：

$$ H(-1) = \\frac{16 – 2 + 4}{16 + 3 – 6} = \\frac{18}{13} \\approx 1.38 $$

需要说明的是，z = 1 处增益为 3.14 是分子分母同乘 16 化简后的结果，并不代表该滤波器在直流附近具有较高的增益。高通滤波器的判定应基于完整的幅频响应曲线，而非单点取值。通过计算不同频率下的增益可以发现，该滤波器在低频段（接近直流）的增益远低于 1。例如在 10 Hz 处，该滤波器的增益约为 -25.7 dB，即幅值衰减到约 0.052，说明低频分量被显著抑制；随着频率升高，增益逐渐增大，在接近奈奎斯特频率时达到较高水平，从而实现了对低频分量的抑制和对高频分量的保留。

更严格地说，高通滤波器的关键在于分子多项式在低频处形成零点或较小增益。虽然 z = 1 处的单点增益为 3.14，但完整的幅频响应曲线表明，该滤波器在低频段增益较低，在中高频段增益较高，这正是其实现高通滤波功能的本质原因。

二阶高通滤波器的系数如下：

• $b_0 = 1$
• $b_1 = \\frac{2}{16}$
• $b_2 = \\frac{4}{16}$
• $a_1 = -\\frac{3}{16}$
• $a_2 = -\\frac{6}{16}$

这些系数定义了滤波器的传递函数，用于实现数字高通滤波功能。在实际应用中，这些系数通常会被归一化为浮点数形式，以便于计算和实现。

二、系数归一化说明

在数字滤波器设计中，归一化是指将分母系数 a 中的最高次项（通常是 a_0）设为 1。对于当前的滤波器系数，分母系数已经为：

$$ a = [1, -\\frac{3}{16}, -\\frac{6}{16}] $$

其中 a_0 = 1，因此该滤波器已经默认归一化，无需额外处理。

需要说明的是，这里的归一化包含两层含义：

• 分母首项归一化：将分母多项式最高次项系数 a_0 归一为 1，这是数字滤波器传递函数的标准表示形式，也是 scipy.signal.lfilter、scipy.signal.sosfilt 等库对系数向量的基本约定。本文系数中 a_0 = 1，已满足该要求。
• 系数幅值归一化：将分子分母各系数统一放大或缩小到便于定点实现的整数范围。本文分子系数为 b_0 = 1、b_1 = 2/16、b_2 = 4/16，分母系数为 -3/16、-6/16。由于 b_0 已为整数 1，分子无需整体缩放；分母系数均为 16 分位数，在嵌入式实现中可整体放大 16 倍转为整数，再通过右移 4 位完成除法，从而避免浮点运算。这种幅值归一化不影响滤波器的频率响应特性，因为分子分母同时缩放时传递函数保持不变。