最近在 MoHub 上看到一套《数学试题（Syslab 科学计算 48 题）》，从求导、积分一直做到优化和微分方程，而且每道题都配了 Julia 脚本。
我比较好奇的是：这些题如果真的全部跑一遍，结果能不能和数学答案对上？
于是我在 MWORKS Syslab 2026b 中把 48 个脚本逐个运行了一遍。整体结果不错：47 题可以直接运行，只有 1 题因为 Julia 作用域写法报错。
更有意思的是，实跑过程中还发现了几个只看参考答案不太容易注意到的问题。
48 道题都在算什么？
题库分成四部分，每部分 12 题：
| 高等数学 | 极值、积分、极限、泰勒展开、傅里叶/拉普拉斯变换 |
| 概率统计 | 概率分布、置信区间、假设检验、回归、ANOVA、蒙特卡罗 |
| 最优化 | 线性/整数/非线性/凸优化、粒子群、遗传算法、模拟退火 |
| 微分方程 | ODE、RK4、SIR、热传导、时滞方程、洛伦兹系统 |
用到的主要是 TySymbolicMath、TyStatistics、TyOptimization、TyConvex、TyGlobalOptimization、DifferentialEquations 和 TyPlot。
每道题都是一个独立的 .jl 文件，所以不需要把整个项目搞明白，选一道题就可以单独运行。
高数部分：符号结果和数值结果能对上
前 12 题比较接近常见的大学高数实验。
例如计算：
∫₀^π sin(x)dx
符号积分得到：
2
数值积分得到：
2.0000000000000004
这里多出来的尾数只是浮点数表示造成的。
多重积分也有类似现象：
∬(x²+y²)dxdy，区域为 [0,1]×[0,1]
符号计算直接返回精确值：
2/3
数值计算得到：
0.6666666666666669
另外，多项式求根、部分分式、拉普拉斯变换等结果也基本能和参考答案对应。
不过泰勒展开这里遇到了一个小问题。
题目希望得到：
sin(x)≈x−x³/6+x⁵/120
但脚本设置 Order=5 后，实际只返回：
x−x³/6
我又调整参数试了几次，发现这里的 Order 更接近“截断到哪个幂次”，而不是“数学教材里所说的几阶展开”。设置到 Order=6 之后，x⁵/120 才会出现。
图1 sin(x)的泰勒多项式逼近
这不算算法错误，但如果直接把“5 阶泰勒展开”和 Order=5 画等号，就容易产生理解偏差。
概率统计：结果每次不一样反而是正常的
概率统计的 12 道题包括正态分布、二项分布、大数定律、置信区间、t 检验、回归、方差分析和蒙特卡罗等。
其中有不少脚本使用随机数，所以每次运行结果并不完全相同。
例如大数定律实验，本次运行得到：
-
n=10：0.51209
-
n=100：0.48662
-
n=1000：0.49906
-
n=10000：0.50684
理论均值是 0.5。
有意思的是，n=1000 时离 0.5 很近，但到了 n=10000，单次结果反而偏得更远了一些。
这并不违背大数定律。样本量增加后，整体误差量级会下降，但某一次随机实验并不保证单调接近理论值。
图2 中心极限定理样本均值直方图
方差分析的结果则可以直接手工复核。
三组材料强度数据经过 anova1 得到：
F=15.4，p≈0.00015264
根据原始数据重新计算，组间平方和为 184.8，组内平方和为 102：
MSB=184.8/2=92.4
MSW=102/17=6
所以：
F=92.4/6=15.4
和 Syslab 输出完全一致。
这种题我觉得比较适合课堂实验：先让软件给答案，再把 ANOVA 表里的数字重新手算一次，比单纯记公式更直观。
优化部分，反而发现了最值得看的问题
优化模块包含 linprog、intlinprog、fminunc、fmincon、quadprog，以及粒子群、遗传算法和模拟退火。
线性规划返回：
x=[2,6]，最大利润=36
0-1 背包返回：
[0,1,1]，最大价值=22
都可以通过枚举直接验证。
Ackley 函数的粒子群搜索也跑到了接近原点的位置，目标值约为 10⁻¹³；Rastrigin 函数使用模拟退火则直接得到 (0,0)，目标值为 0。
但第 28 题的 Rosenbrock 约束优化比较有意思。
原脚本从 [-1,2] 出发，fmincon 返回：
x≈(-0.9976,0.9951)
f(x)≈3.9903
我换成 [0.5,0.5] 重新运行，却得到：
x≈(0.5022,0.2489)
f(x)≈0.2489
目标值一下差了约 16 倍。
为了确认哪个更合理，我又沿约束边界扫描了 2 万个点，最低值同样约为 0.248897，位置就在 x₁≈0.5022 附近。
图3 约束Rosenbrock初值敏感性
这其实把局部优化的特点展示得很清楚：
求解器返回一个结果，并不意味着已经证明它是全局最优解。
对于这类非凸问题，初值会直接影响搜索过程。实际使用时，多换几个初值甚至配合全局搜索做验证，比只看一次 fmincon 输出更稳妥。
48 题里唯一没直接跑通的一题
第 35 题是手写梯度下降。
算法本身没有问题，但脚本在 Julia 顶层循环中对变量 x 重新赋值，触发了软作用域问题，最终报：
UndefVarError: x not defined
我把迭代过程封装进函数后重新运行，得到：
x≈(2.24999,-4.74997)
而解析最优点为：
(2.25,-4.75)
两者非常接近。
所以这一题的问题不是梯度下降算法，而是 Julia 的变量作用域写法。对于刚开始写 Julia 的人来说，这个报错反而挺有代表性。
微分方程部分比想象中丰富
最后 12 题从最简单的：
dy/dt=y
一直做到热传导、SIR、Lotka-Volterra、时滞微分方程和洛伦兹混沌。
其中 RK4 的实验比较适合观察数值方法的精度。
步数从 10、20、40 增加到 80、160 后，相邻两次误差之比逐渐接近：
16
这正好对应经典 RK4 的四阶收敛特性：步长减半后，误差理论上大约缩小 2⁴=16 倍。
热传导案例也可以和解析解比较。
数值计算在指定位置得到：
0.00724904
解析结果约为：
0.00719188
两者相差约 5.7×10⁻⁵。
而洛伦兹系统则更适合看可视化。σ=10、ρ=28、β=8/3 时，可以直接画出比较典型的三维洛伦兹吸引子。
图4 洛伦兹吸引子三维相轨迹
跑完 48 题之后的一点感受
这套题库给我的感觉不像传统的“48 道练习题”。
它更像是把数学课里经常手算的东西，分别用 Julia 又实现了一遍：高数可以比较符号解和数值解，概率统计可以观察随机波动，优化问题可以检查求解器结果，微分方程则可以继续看误差和动态过程。
而且真正逐题运行后，也能发现一些参考答案之外的问题：
泰勒展开的 Order 参数和教材里的“阶”并不是完全相同的概念；局部优化对初值敏感；Julia 顶层循环还有软作用域问题；随机类题目则不应该期待每次得到完全相同的数字。
这些地方反而比“48 道题全部得到标准答案”更有意思。
如果正在学习 Julia 科学计算，或者想把高数、概率统计、优化、微分方程中的一些公式变成可以直接运行的程序，这套题可以作为一组比较集中的练习。
本文使用的是 MoHub 上的《数学试题（Syslab 科学计算 48 题）》：
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