参考
对偶原理与蕴含定理.csdn 逻辑·对偶·蕴含.csdn 实数——逻辑基础 实数——实数的性质和基于无限小数的构造 实数——实数完备性的6个定理 实数完备性定理的31个证明(0~6) 实数完备性定理的31个证明(7~12) 实数完备性定理的31个证明(13~18) 实数完备性定理的31个证明(19~24) 实数完备性定理的31个证明(25~30) 实数——实数完备性定理的应用
对偶原理
(
M
R
P
)
‘
=
M
’
R
’
P
’
(MRP)‘=M’R’P’
(MRP)‘=M’R’P’
蕴含定理和对偶蕴含定理
→
和
→
′
\\to 和 \\to'
→和→′两测的命题取反移动到另一侧,不影响命题真假
蕴含定理
⋀
p
i
→
⋁
q
j
\\bigwedge p_i \\to \\bigvee q_j
⋀pi→⋁qj
对偶蕴含定理
p
→
′
q
=
d
f
¬
p
∧
q
p \\to' q \\mathrel{=_{df}} \\neg p \\land q
p→′q=df¬p∧q
⋁
p
i
→
′
⋀
q
j
\\bigvee p_i \\to' \\bigwedge q_j
⋁pi→′⋀qj
用对偶原理求极限的否定
原命题
∀
ε
∃
N
∀
n
(
(
ε
>
0
∧
N
>
0
∧
n
>
N
)
→
∣
a
n
−
A
∣
<
ε
)
\\forall \\varepsilon \\exists N \\forall n \\, \\big( (\\varepsilon > 0 \\land N > 0 \\land n > N) \\to |a_n – A| < \\varepsilon \\big)
∀ε∃N∀n((ε>0∧N>0∧n>N)→∣an−A∣<ε)
否命题（对偶原理带入极限定义）
∃
ε
∀
N
∃
n
(
(
ε
>
0
∧
N
>
0
∧
n
>
N
)
∧
∣
a
n
−
A
∣
≥
ε
)
\\exists \\varepsilon \\forall N \\exists n \\, \\big( (\\varepsilon > 0 \\land N > 0 \\land n > N) \\land |a_n – A| \\geq \\varepsilon \\big)
∃ε∀N∃n((ε>0∧N>0∧n>N)∧∣an−A∣≥ε)
受限量词
定义
∀
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
d
f
∀
x
(
P
(
x
)
→
Q
(
x
)
)
\\forall_{P(x)}Q(x) \\mathrel{=_{df}} \\forall x\\big(P(x) \\to Q(x)\\big)
∀P(x)Q(x)=df∀x(P(x)→Q(x))
∃
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
d
f
∃
x
(
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
)
\\exists _{P(x)}Q(x) =_{df} \\exists x(P(x) \\land Q(x))
∃P(x)Q(x)=df∃x(P(x)∧Q(x))
定理1
¬
∀
P
(
x
)
Q
(
x
)
⟺
∃
P
(
x
)
¬
Q
(
x
)
\\neg\\forall_{P(x)}Q(x) \\iff \\exists_{P(x)}\\neg Q(x)
¬∀P(x)Q(x)⟺∃P(x)¬Q(x)
证明
¬
∀
P
(
x
)
Q
(
x
)
\\neg\\forall_{P(x)}Q(x)
¬∀P(x)Q(x)
⟺
¬
∀
x
(
P
(
x
)
→
Q
(
x
)
)
\\iff \\neg\\forall x\\big(P(x)\\to Q(x)\\big)
⟺¬∀x(P(x)→Q(x))
\\qquad
（按定义）
⟺
∃
x
¬
(
P
(
x
)
→
Q
(
x
)
)
\\iff \\exists x\\,\\neg\\big(P(x)\\to Q(x)\\big)
⟺∃x¬(P(x)→Q(x))
\\qquad
（对偶原理：
¬
∀
x
φ
⟺
∃
x
¬
φ
\\neg\\forall x\\,\\varphi\\iff\\exists x\\,\\neg\\varphi
¬∀xφ⟺∃x¬φ）
⟺
∃
x
¬
(
¬
P
(
x
)
∨
Q
(
x
)
)
\\iff \\exists x\\,\\neg\\big(\\neg P(x)\\lor Q(x)\\big)
⟺∃x¬(¬P(x)∨Q(x))
\\qquad
（蕴含定理 ：
A
→
B
⟺
¬
A
∨
B
A\\to B\\iff\\neg A\\lor B
A→B⟺¬A∨B）
⟺
∃
x
(
P
(
x
)
∧
¬
Q
(
x
)
)
\\iff \\exists x\\big(P(x)\\land\\neg Q(x)\\big)
⟺∃x(P(x)∧¬Q(x))
\\qquad
（对偶原理）
⟺
∃
P
(
x
)
¬
Q
(
x
)
\\iff \\exists_{P(x)}\\neg Q(x)
⟺∃P(x)¬Q(x)
\\qquad
（按定义）
定理2
¬
∃
P
(
x
)
Q
(
x
)
⟺
∀
P
(
x
)
¬
Q
(
x
)
\\neg\\exists_{P(x)}Q(x) \\iff \\forall_{P(x)}\\neg Q(x)
¬∃P(x)Q(x)⟺∀P(x)¬Q(x)
证明
¬
∃
P
(
x
)
Q
(
x
)
\\neg\\exists_{P(x)}Q(x)
¬∃P(x)Q(x)
⟺
¬
∃
x
(
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
)
\\iff \\neg\\exists x(P(x) \\land Q(x))
⟺¬∃x(P(x)∧Q(x))
\\qquad
（按定义）
⟺
∀
x
¬
(
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
)
\\iff \\forall x\\,\\neg(P(x) \\land Q(x))
⟺∀x¬(P(x)∧Q(x))
\\qquad
（对偶原理：
¬
∃
x
φ
⟺
∀
x
¬
φ
\\neg\\exists x\\,\\varphi\\iff\\forall x\\,\\neg\\varphi
¬∃xφ⟺∀x¬φ）
⟺
∀
x
(
¬
P
(
x
)
∨
¬
Q
(
x
)
)
\\iff \\forall x\\big(\\neg P(x) \\lor \\neg Q(x)\\big)
⟺∀x(¬P(x)∨¬Q(x))
\\qquad
（对偶原理）
⟺
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
Q
(
x
)
)
\\iff \\forall x\\big(P(x) \\to \\neg Q(x)\\big)
⟺∀x(P(x)→¬Q(x))
\\qquad
（蕴含定理）
⟺
∀
P
(
x
)
¬
Q
(
x
)
\\iff \\forall_{P(x)}\\neg Q(x)
⟺∀P(x)¬Q(x)
\\qquad
（按定义）
例1
a
n
=
(
−
1
)
n
发散
a_n = (-1)^n \\text{ 发散}
an=(−1)n 发散
证明1
构造子列 取奇数项子列
a
2
k
−
1
=
(
−
1
)
2
k
−
1
=
−
1
a_{2k-1} = (-1)^{2k-1} = -1
a2k−1=(−1)2k−1=−1，故
lim
k
→
∞
a
2
k
−
1
=
−
1
\\lim_{k \\to \\infty} a_{2k-1} = -1
limk→∞a2k−1=−1； 取偶数项子列
a
2
k
=
(
−
1
)
2
k
=
1
a_{2k} = (-1)^{2k} = 1
a2k=(−1)2k=1，故
lim
k
→
∞
a
2
k
=
1
\\lim_{k \\to \\infty} a_{2k} = 1
limk→∞a2k=1。
导出矛盾 根据极限唯一性定理，收敛数列的所有子列必收敛于同一极限。 由于
−
1
≠
1
-1 \\neq 1
−1=1，故假设不成立，数列
(
−
1
)
n
(-1)^n
(−1)n 发散。
证明2
要证
a
n
a_n
an发散，即证：
∃
ε
>
0
,
∀
N
>
0
,
∃
n
>
N
,
s.t.
∣
a
n
−
A
∣
≥
ε
\\exists \\varepsilon > 0, \\forall N > 0, \\exists n > N, \\text{ s.t. } |a_n – A| \\geq \\varepsilon
∃ε>0,∀N>0,∃n>N, s.t. ∣an−A∣≥ε
取
ε
=
1
\\varepsilon = 1
ε=1。对任意
N
>
0
N > 0
N>0，取
n
>
N
n > N
n>N 使得
a
n
a_n
an 与
A
A
A 异号（若
A
≥
0
A \\geq 0
A≥0 取奇数
n
n
n，若
A
<
0
A < 0
A<0 取偶数
n
n
n），则：
∣
a
n
−
A
∣
=
∣
a
n
∣
+
∣
A
∣
=
1
+
∣
A
∣
≥
1
=
ε
|a_n – A| = |a_n| + |A| = 1 + |A| \\geq 1 = \\varepsilon
∣an−A∣=∣an∣+∣A∣=1+∣A∣≥1=ε
故对任意
A
A
A，均存在
ε
=
1
\\varepsilon = 1
ε=1 满足发散条件，数列
(
−
1
)
n
(-1)^n
(−1)n 发散,所以任意的
A
A
A都不是
a
n
a_n
an的极限。
