5G NR 以 **CP-OFDM（循环前缀正交频分复用）** 作为基础波形，下行必选，上行可选 CP-OFDM 或 DFT-s-OFDM。OFDM 的数学本质是：**用一组相互正交的子载波并行传输数据，并通过 IFFT/FFT 在离散域高效实现；插入循环前缀（CP）后，多径线性卷积被转化为循环卷积，从而在频域用单抽头均衡即可恢复信号。**
下面从连续时间模型出发，逐步推导到 5G 的实际离散实现与参数配置。
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## 1. 基本参数与连续时间信号模型
设：
– 子载波间隔：\\(\\Delta f\\)
– 子载波数：\\(N\\)
– OFDM 符号有效时长：\\(T_u = \\frac{1}{\\Delta f}\\)
– 系统带宽：\\(B = N \\Delta f\\)
第 \\(k\\) 个子载波的基函数为：
\\[
\\phi_k(t)=e^{j2\\pi k \\Delta f t},\\quad 0\\le t < T_u,\\quad k=0,1,\\dots,N-1
\\]
发送的复基带 OFDM 符号为：
\\[
s(t)=\\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\\pi k \\Delta f t},\\quad 0\\le t < T_u
\\]
其中 \\(X_k\\) 是第 \\(k\\) 个子载波上承载的星座符号（如 QPSK、16QAM 等）。
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## 2. 子载波正交性推导
任意两个子载波 \\(m,n\\) 的内积为：
\\[
\\int_0^{T_u} \\phi_m(t)\\phi_n^*(t)\\,dt
= \\int_0^{T_u} e^{j2\\pi (m-n)\\Delta f t}\\,dt
\\]
令 \\(\\Delta f = \\frac{1}{T_u}\\)，则：
\\[
\\int_0^{T_u} e^{j2\\pi (m-n)\\frac{t}{T_u}}\\,dt
=
\\begin{cases}
T_u, & m=n \\\\
0, & m\\ne n
\\end{cases}
\\]
即：
\\[
\\int_0^{T_u} \\phi_m(t)\\phi_n^*(t)\\,dt = T_u \\delta_{m,n}
\\]
**结论**：当子载波间隔等于符号有效时长的倒数时，各子载波在积分区间内严格正交。接收端用相同频率的复正弦相乘并积分，即可无干扰地分离出 \\(X_k\\)：
\\[
X_k = \\frac{1}{T_u}\\int_0^{T_u} s(t)e^{-j2\\pi k \\Delta f t}\\,dt
\\]
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## 3. 从连续到离散：IFFT/FFT 实现
实际系统在数字域实现。以采样率 \\(f_s = N\\Delta f\\) 对 \\(s(t)\\) 采样，采样间隔：
\\[
T_s = \\frac{1}{f_s} = \\frac{1}{N\\Delta f}
\\]
在 \\(t = nT_s,\\; n=0,1,\\dots,N-1\\) 处采样：
\\[
s[n]=s(nT_s)
=\\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\\pi k \\Delta f \\cdot nT_s}
=\\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\\pi k \\Delta f \\cdot \\frac{n}{N\\Delta f}}
\\]
于是：
\\[
\\boxed{s[n]=\\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\\pi \\frac{k n}{N}}}
\\]
这正是 **N 点离散傅里叶逆变换（IDFT）** 的形式。因此，发送端只需对频域符号 \\(X_k\\) 做 IFFT，即可得到时域 OFDM 符号。
接收端对 \\(s[n]\\) 做 N 点 DFT：
\\[
\\boxed{X_k = \\frac{1}{N}\\sum_{n=0}^{N-1} s[n] e^{-j2\\pi \\frac{k n}{N}}}
\\]
这就是 **FFT**。IFFT/FFT 将原本需要 \\(N^2\\) 次复数乘法的 DFT 降低到 \\(O(N\\log N)\\)，使 OFDM 在 5G 中实用化。
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## 4. 循环前缀与多径信道
### 4.1 多径导致的 ISI 与 ICI
无线信道可建模为多径冲激响应：
\\[
h(t)=\\sum_{l=0}^{L-1} a_l \\delta(t-\\tau_l)
\\]
若直接发送 \\(s(t)\\)，接收信号为：
\\[
r(t)=\\sum_{l=0}^{L-1} a_l s(t-\\tau_l)+w(t)
\\]
相邻 OFDM 符号会因多径时延而重叠，产生 **符号间干扰（ISI）**；同时，FFT 窗口内若包含非整数周期，还会破坏子载波正交性，产生 **子载波间干扰（ICI）**。
### 4.2 循环前缀的插入
设 IFFT 输出 \\(x[n],\\; n=0,\\dots,N-1\\)。取末尾 \\(N_{\\text{cp}}\\) 个样本复制到前面，形成扩展序列：
\\[
x_{\\text{cp}}[n]=x[(n-N_{\\text{cp}})\\bmod N],\\quad n=0,1,\\dots,N+N_{\\text{cp}}-1
\\]
即：
\\[
x_{\\text{cp}}[0,\\dots,N_{\\text{cp}}-1]=x[N-N_{\\text{cp}},\\dots,N-1]
\\]
\\[
x_{\\text{cp}}[N_{\\text{cp}},\\dots,N+N_{\\text{cp}}-1]=x[0,\\dots,N-1]
\\]
只要最大多径时延扩展 \\(\\tau_{\\max}\\) 满足：
\\[
T_{\\text{cp}} \\ge \\tau_{\\max}
\\]
即 \\(N_{\\text{cp}} \\ge L-1\\)，则前一个符号的多径拖尾只会落入当前符号的 CP 内，不会干扰到当前符号的有效数据部分。
### 4.3 循环卷积的推导
接收端去掉 CP，取 \\(n=N_{\\text{cp}},\\dots,N+N_{\\text{cp}}-1\\) 的 \\(N\\) 个样本。设离散信道冲激响应为 \\(h[l],\\; l=0,\\dots,L-1\\)，且 \\(L\\le N_{\\text{cp}}+1\\)。
接收信号（无噪声）为：
\\[
y_{\\text{cp}}[n]=\\sum_{l=0}^{L-1} h[l] x_{\\text{cp}}[n-l]
\\]
去掉 CP 后：
\\[
y[n]=y_{\\text{cp}}[n+N_{\\text{cp}}]
=\\sum_{l=0}^{L-1} h[l] x_{\\text{cp}}[n+N_{\\text{cp}}-l]
\\]
由于 \\(x_{\\text{cp}}\\) 是 \\(x\\) 的周期扩展，周期为 \\(N\\)，因此：
\\[
x_{\\text{cp}}[n+N_{\\text{cp}}-l]=x[(n-l)\\bmod N]
\\]
所以：
\\[
\\boxed{y[n]=\\sum_{l=0}^{L-1} h[l] x[(n-l)\\bmod N]}
\\]
这正是 \\(h[n]\\) 与 \\(x[n]\\) 的 **N 点循环卷积**：
\\[
y[n]=h[n]\\circledast x[n]
\\]
**关键结论**：CP 将多径线性卷积转化为循环卷积，这是 OFDM 频域均衡成立的前提。
### 4.4 频域均衡
对 \\(y[n]\\) 做 N 点 DFT：
\\[
Y[k]=\\text{DFT}\\{h[n]\\circledast x[n]\\}=H[k]X[k]
\\]
其中：
\\[
H[k]=\\sum_{l=0}^{L-1} h[l]e^{-j2\\pi \\frac{k l}{N}}
\\]
考虑噪声 \\(w[n]\\)：
\\[
\\boxed{Y[k]=H[k]X[k]+W[k]}
\\]
接收端只需对每个子载波做单抽头均衡：
\\[
\\boxed{\\hat{X}[k]=\\frac{Y[k]}{H[k]}}
\\]
即可恢复发送符号。这就是 OFDM 在多径信道下仍能保持高性能的根本原因。
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## 5. 5G NR 的参数集与 OFDM 配置
5G NR 支持可扩展参数集（Numerology），子载波间隔为：
\\[
\\Delta f = 15\\,\\text{kHz}\\times 2^\\mu,\\quad \\mu=0,1,2,3,4
\\]
| \\(\\mu\\) | \\(\\Delta f\\) | 有效符号时长 \\(T_u=1/\\Delta f\\) | 典型场景 |
|—|—|—|—|
| 0 | 15 kHz | 66.67 μs | 广覆盖、eMBB |
| 1 | 30 kHz | 33.33 μs | 通用 eMBB |
| 2 | 60 kHz | 16.67 μs | 低时延、工业物联网 |
| 3 | 120 kHz | 8.33 μs | 毫米波、URLLC |
| 4 | 240 kHz | 4.17 μs | 毫米波、同步信号 |
常规 CP 长度随 \\(\\mu\\) 增大而缩短。以 \\(\\mu=0\\) 为例，第一个 OFDM 符号的 CP 约为 \\(5.2\\,\\mu s\\)，其余符号约为 \\(4.7\\,\\mu s\\)；\\(\\mu=1\\) 时约为 \\(2.3\\,\\mu s\\)。扩展 CP 仅用于 60 kHz，长度约 \\(16.67\\,\\mu s\\)。
每个时隙包含 14 个 OFDM 符号（常规 CP）。时隙长度：
\\[
T_{\\text{slot}}=\\frac{1\\,\\text{ms}}{2^\\mu}
\\]
例如 \\(\\mu=0\\) 时，1 个时隙 = 1 ms；\\(\\mu=1\\) 时，1 个时隙 = 0.5 ms。
FFT 大小 \\(N_{\\text{FFT}}\\) 通常取 2 的幂，满足：
\\[
N_{\\text{FFT}} \\ge \\frac{B}{\\Delta f}
\\]
实际系统会留出保护带，因此 \\(N_{\\text{FFT}}\\) 大于有效子载波数。
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## 6. DFT-s-OFDM 的补充
5G 上行还支持 **DFT-s-OFDM**，用于降低峰均比（PAPR）。其数学过程为：
1. 对 \\(M\\) 个数据符号 \\(d[0,\\dots,M-1]\\) 做 \\(M\\) 点 DFT：
\\[
D[k]=\\sum_{m=0}^{M-1} d[m]e^{-j2\\pi \\frac{k m}{M}}
\\]
2. 将 \\(D[k]\\) 映射到 \\(N\\) 个子载波上（通常连续分配），其余子载波置零。
3. 做 \\(N\\) 点 IFFT，插入 CP 后发送。
接收端先做 \\(N\\) 点 FFT，取出对应子载波，再做 \\(M\\) 点 IDFT，恢复数据符号。由于 DFT 预编码使信号在时域更接近单载波，PAPR 显著降低，但频谱调度灵活性略低于 CP-OFDM。
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## 7. 总结
5G OFDM 的数学推导可归纳为一条清晰的链条：
1. **连续域**：子载波 \\(e^{j2\\pi k\\Delta f t}\\) 在 \\(T_u=1/\\Delta f\\) 内正交。
2. **离散域**：采样后，发送端 IFFT，接收端 FFT。
3. **抗多径**：插入 CP，使线性卷积变为循环卷积。
4. **频域均衡**：\\(Y[k]=H[k]X[k]+W[k]\\)，单抽头除法即可恢复 \\(X[k]\\)。
5. **5G 参数化**：\\(\\Delta f=15\\times 2^\\mu\\) kHz，灵活适配 eMBB、URLLC、mMTC 等场景。
这套数学框架使 OFDM 成为 5G 在宽带、多径、高速移动环境下最稳健、最高效的基带传输方案。
