08.进制转换下篇：二、八、十六进制速转与补码表示

08.进制转换下篇：二、八、十六进制速转与补码表示

二进制、八进制和十六进制之间不必每次都经过十进制。因为 8 = 2^3、16 = 2^4，一个八进制位恰好对应 3 个二进制位，一个十六进制位恰好对应 4 个二进制位。本文系统讲解整数与小数的分组转换、八进制与十六进制互转，并补充位、字节、C 语言进制字面量、格式化输出、字符串解析、补码和位运算。

一、为什么可以直接分组转换

八进制和十六进制的基数都是 2 的整数次幂：

8 = 2^3
16 = 2^4

因此：

• 1 个八进制位可以完整表示 3 个二进制位；
• 1 个十六进制位可以完整表示 4 个二进制位；
• 二进制与八/十六进制之间的转换，本质上只是重新分组和替换符号，数值不会发生近似。

例如十进制 7 的二进制是 111，刚好是最大的三位二进制数，所以它也是最大的单个八进制数码。十进制 15 的二进制是 1111，对应最大的单个十六进制数码 F。

二、八进制与三位二进制对照表

这张表不必机械死记。三位二进制的位权是 4、2、1，例如：

101 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 5
110 = 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 6

三、十六进制与四位二进制对照表

四位二进制的位权是 8、4、2、1。例如：

1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 = B
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 = E

四、二进制转八进制

转换规则：

1. 整数示例

把 (1010110)_2 转成八进制：

原数： 1010110
从右分组：1 | 010 | 110
左侧补零：001 | 010 | 110
对应八进制：1 | 2 | 6

因此：

(1010110)_2 = (126)_8

补在最左侧的 0 不改变数值，因为：

001010110 = 1010110

2. 带小数部分的示例

把 (110101.10111)_2 转成八进制：

整数部分：110 | 101 -> 6 | 5
小数部分：101 | 11 -> 101 | 110 -> 5 | 6

小数部分最后一组不足 3 位，要在右侧补 0：

(110101.10111)_2 = (65.56)_8

注意补零方向：

• 整数部分在最左侧补 0；
• 小数部分在最右侧补 0；
• 绝不能在靠近小数点的一侧随意补 0，否则会改变位权。

五、八进制转二进制

八进制转二进制更直接：把每个八进制数码替换成对应的 3 位二进制。

例如：

(572)_8
5 7 2
101 111 010

所以：

(572)_8 = (101111010)_2

带小数示例：

(17.34)_8
1 7 . 3 4
001 111 . 011 100

去掉整数部分无意义的前导 0：

(17.34)_8 = (1111.011100)_2

小数末尾的 0 可以省略而不改变数值：

(1111.011100)_2 = (1111.0111)_2

不过在表示固定宽度字段时，前导或尾随 0 可能具有格式意义，此时不应随意省略。

六、二进制转十六进制

规则与二进制转八进制相同，只是改为每 4 位一组。

1. 整数示例

把 (1010110)_2 转成十六进制：

原数： 1010110
从右分组：101 | 0110
左侧补零：0101 | 0110
对应十六进制： 5 | 6

所以：

(1010110)_2 = (56)_16

这与课堂笔记中十进制 86 的结果一致：

(86)_10 = (1010110)_2 = (126)_8 = (56)_16

2. 带小数部分的示例

仍使用 (110101.10111)_2：

整数部分：11 | 0101 -> 0011 | 0101 -> 3 | 5
小数部分：1011 | 1 -> 1011 | 1000 -> B | 8

因此：

(110101.10111)_2 = (35.B8)_16

和上一节结合可得：

(65.56)_8 = (110101.10111)_2 = (35.B8)_16

七、十六进制转二进制

把每个十六进制数码替换为固定 4 位二进制即可。

例如：

(A3F)_16
A 3 F
1010 0011 1111

所以：

(A3F)_16 = (101000111111)_2

带小数示例：

(2F.A)_16
2 F . A
0010 1111 . 1010

省略整体整数部分最前面的无意义 0 后：

(2F.A)_16 = (101111.1010)_2

十六进制的每一位始终展开为 4 位。即使 2 的普通二进制写法是 10，在分组中也要写成 0010，否则各组边界会错位。

八、八进制与十六进制怎样互转

八进制和十六进制之间没有整数个数码一一对应，因为 3 位与 4 位的分组边界不同。最稳妥的路线是：

八进制 -> 二进制 -> 十六进制
十六进制 -> 二进制 -> 八进制

1. 八进制转十六进制

把 (735)_8 转为十六进制。

先转成二进制：

7 3 5
111 011 101

再从右向左按 4 位分组：

111011101
= 0001 | 1101 | 1101
= 1 | D | D

所以：

(735)_8 = (1DD)_16

2. 十六进制转八进制

把 (2F.A)_16 转为八进制。

先转成二进制：

(2F.A)_16 = (00101111.1010)_2

再以小数点为界按 3 位分组：

整数：00 | 101 | 111 -> 0 | 5 | 7
小数：101 | 0 -> 5 | 0

去掉无意义的首尾 0：

(2F.A)_16 = (57.5)_8

全过程只补 0 和重新分组，没有使用十进制近似，所以对有限二进制小数是精确转换。

九、前导零、尾随零和补零位置

理解 0 的位置可以避免大量分组错误。

1. 可以不改变值的 0

00101 = 101
0.10100 = 0.101

整数部分左侧的前导零、小数部分右侧的尾随零不改变数值。

2. 会改变值的 0

101 != 1010
0.101 != 0.0101

整数部分右侧加 0 相当于乘以基数；小数点后靠左插入 0 会降低原有数码的位权。

3. 分组时的统一规则

可以记成一句话：

从小数点向两侧分组，不足位数时在最外侧补 0。

“最外侧”就是远离小数点的一侧。

十、位、字节与十六进制

1. 位和字节

bit 是二进制位，每位只能是 0 或 1。C 标准规定一个字节包含 CHAR_BIT 个比特，常见平台上 CHAR_BIT 为 8，可以通过 <limits.h> 查看。

#include <limits.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
printf("CHAR_BIT = %d\\n", CHAR_BIT);
return 0;
}

不要把“1 字节必然等于 8 位”当成所有 C 实现的绝对规则，不过现代桌面、服务器和大多数嵌入式平台确实如此。

2. 为什么调试时常用十六进制

在 8 位字节的平台上：

1 个十六进制位 = 4 bit
2 个十六进制位 = 8 bit = 1 byte

一个字节的范围可以紧凑地写成：

二进制：00000000 ~ 11111111
十六进制：00 ~ FF
十进制：0 ~ 255

32 位值用二进制要写 32 个字符，用十六进制只需 8 个数码。例如：

11011110101011011011111011101111
= DEADBEEF

十六进制既紧凑，又能无损对应每 4 个比特，因此广泛用于地址、寄存器值、颜色、协议字段和机器码。

十一、C 语言中的进制整数常量

C 源代码通过前缀区分常见整数常量：

例如：

unsigned int decimal_value = 86U;
unsigned int octal_value = 0126U;
unsigned int hex_value = 0x56U;

它们的书写形式不同，但保存的数值相同。

二进制前缀需要格外注意：0b/0B 已进入 C23，而较旧 ISO C 标准没有这种语法；部分 GCC 版本和 GNU 模式早已把它作为扩展支持。追求旧标准可移植性时，可以继续使用十六进制，或用移位表达式表示位模式。

1. 八进制前导零陷阱

int a = 10; /* 十进制 10 */
int b = 010; /* 八进制 10，即十进制 8 */

因此，不要为了“对齐位数”随意给十进制整数常量补前导零。08 和 09 也不是合法的传统八进制整数常量，因为八进制没有数码 8 和 9。

2. 类型后缀

整数常量还可以带后缀：

U 或 u unsigned
L 或 l long
LL 或 ll long long

例如：

0xFFU
1000L
0xFFFFFFFFULL

进制前缀决定数值写法，类型后缀影响常量参与表达式时的候选类型，两者作用不同。

十二、使用 printf 输出不同进制

同一个整数可以按不同进制格式输出：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
unsigned int value = 86U;

printf("decimal = %u\\n", value);
printf("octal = %o\\n", value);
printf("hex lower = %x\\n", value);
printf("hex upper = %X\\n", value);
printf("octal alt = %#o\\n", value);
printf("hex alt = %#X\\n", value);

return 0;
}

输出：

decimal = 86
octal = 126
hex lower = 56
hex upper = 56
octal alt = 0126
hex alt = 0X56

格式说明：

• %u：无符号十进制；
• %o：无符号八进制；
• %x：小写十六进制；
• %X：大写十六进制；
• #：使用“替代形式”，为非零十六进制结果添加 0x/0X，并保证八进制形式以 0 开头。

ISO C 的 printf 没有通用、可移植的 %b 二进制格式控制符。即使某些库提供扩展，也不应假定所有平台可用。

1. 自己输出二进制

#include <limits.h>
#include <stdio.h>

static void print_binary(unsigned int value)
{
int started = 0;
int width = (int)(sizeof(value) * CHAR_BIT);

for (int bit = width – 1; bit >= 0; —bit) {
unsigned int digit = (value >> bit) & 1U;

if (digit != 0U) {
started = 1;
}

if (started || bit == 0) {
putchar(digit != 0U ? '1' : '0');
}
}
}

int main(void)
{
unsigned int value = 86U;

print_binary(value);
putchar('\\n');
return 0;
}

输出：

1010110

如果需要观察固定宽度寄存器，应保留前导零，并明确使用的整数类型宽度，而不是通过 started 省略它们。

十三、把字符串按指定进制解析为整数

用户输入通常是字符串。标准库函数 strtol 可以按 2～36 的基数解析有符号长整数：

#include <errno.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(void)
{
const char *text = "1010110";
char *end = NULL;

errno = 0;
long value = strtol(text, &end, 2);

if (end == text) {
fprintf(stderr, "没有可解析的数字\\n");
return 1;
}

if (*end != '\\0') {
fprintf(stderr, "存在非法字符：%s\\n", end);
return 1;
}

if (errno == ERANGE) {
fprintf(stderr, "数值超出 long 的范围\\n");
return 1;
}

printf("%ld\\n", value);
return 0;
}

这里第三个参数 2 明确指定二进制，因此输出十进制 86。

常见基数：

strtol("126", &end, 8); /* 八进制 */
strtol("86", &end, 10); /* 十进制 */
strtol("5A3B", &end, 16); /* 十六进制 */

基数传 0 时，函数会根据标准支持的前缀自动判断部分进制形式，但前导零可能让输入被解释为八进制。要求输入规则清晰时，显式传入基数通常更安全。

十四、固定宽度下的无符号整数

假设有 n 个二进制位，每一位都用于表示数值，则无符号范围是：

0 ~ 2^n – 1

例如 8 位无符号整数：

最小值：00000000 = 0
最大值：11111111 = 255

无符号整数运算按 2^n 取模。例如在恰好 8 位的无符号类型中：

255 + 1 -> 0

这不是数学整数无限范围下的结果，而是固定宽度机器整数的环绕规则。

C 的 <stdint.h> 在实现提供恰好对应宽度的类型时会定义：

uint8_t
uint16_t
uint32_t
uint64_t

嵌入式开发、二进制协议和硬件寄存器编程中，明确位宽通常比直接假设 int 宽度更可靠。

十五、有符号整数与补码

数学上可以写 -5，但内存中固定宽度整数需要用比特模式编码负数。现代计算机通常使用二进制补码。

1. 8 位补码表示 -5

先写出 +5：

00000101

逐位取反：

11111010

再加 1：

11111011

所以 8 位补码中的 -5 是：

11111011 = FB(十六进制)

同一组 8 位比特：

• 按无符号解释是 251；
• 按 8 位补码有符号整数解释是 -5。

比特没有自带类型，解释方式决定数值。

2. 为什么补码便于运算

在 8 位宽度中：

5 = 00000101
-5 = 11111011
相加 1 00000000

最高位之外的进位被丢弃，低 8 位为 0。加法电路可以统一处理正数和负数，这是补码的重要优势。

3. 补码必须明确位宽

-5 的 8 位和 16 位补码分别是：

8 位： 11111011 = FB
16 位： 1111111111111011 = FFFB

从较窄有符号数扩展到较宽类型时，负数通常进行符号扩展，即用最高符号位 1 填充新增高位。没有位宽，“某负数的补码是多少”就是不完整的问题。

4. 不要把最高位机械地称为负号

补码不是“最高位写 1，再在后面填绝对值”。例如 8 位 -5 是 11111011，而不是 10000101。最高位参与整体位权和补码运算，不能简单删除后把剩余位当绝对值。

十六、十六进制与位运算

十六进制常与掩码、寄存器和协议字段一起使用。

1. 按位与：提取某些位

unsigned int value = 0xABU;
unsigned int low_nibble = value & 0x0FU;

0x0F 的二进制是 00001111，按位与后保留低 4 位：

10101011 0xAB
& 00001111 0x0F
———–
00001011 0x0B

2. 按位或：设置某些位

flags |= 0x04U;

0x04 只有第 2 位为 1，因此该操作把对应位设置为 1，同时保留其他位。

3. 按位异或：翻转某些位

flags ^= 0x04U;

掩码为 1 的位被翻转，掩码为 0 的位保持不变。

4. 按位取反：翻转全部位

value = ~value;

结果取决于整数类型的实际宽度，并会受整数提升影响。操作窄类型时应特别注意转换后的类型和最终掩码。

5. 左移和右移

unsigned int mask = 1U << 5; /* 第 5 位设为 1 */
unsigned int part = value >> 4; /* 把高位字段移到低位 */

对可表示范围内的无符号值，左移 n 位与乘以 2^n 有紧密关系，右移 n 位相当于向下取整除以 2^n。移位数量不能为负，也必须小于提升后左操作数类型的位宽。

十七、进制、数据类型和字节序不是一回事

这三个概念经常混淆：

• 进制决定人如何书写数值；
• 数据类型决定比特宽度、范围和解释方式；
• 字节序决定多字节值在内存中的字节排列顺序。

例如数值 0x12345678 无论在大端还是小端机器上，打印为十六进制时仍是 12345678。差别只在内存地址从低到高排列为：

大端：12 34 56 78
小端：78 56 34 12

每个字节内部的位通常仍按正常数值理解。不能因为内存是小端，就把十六进制文本本身倒写成 87654321。

十八、在 Linux 终端快速验证

Bash 的 printf 可以辅助检查常见整数转换：

printf '%d\\n' 0x56
printf '%o\\n' 86
printf '%x\\n' 86

典型输出：

86
126
56

Python 也可以快速显示带前缀的结果：

python3 -c "n=86; print(bin(n), oct(n), hex(n))"

输出类似：

0b1010110 0o126 0x56

工具适合验证，但最好先理解分组与位权原理。否则遇到补码、固定位宽、小数精度或非法数码时，仍然难以判断工具结果的含义。

十九、常见错误与排查

1. 二进制分组方向错误

必须从小数点向外分组。没有小数点的整数从最右侧开始，不是从最左侧随意每 3 位或 4 位切开。

2. 补零补在靠近小数点的一侧

整数在左侧补，小数在右侧补。补错方向会改变位权和数值。

3. 八进制或十六进制展开时丢掉组内前导零

单个八进制位必须展开成 3 位，单个十六进制位必须展开成 4 位。中间组的前导零不能省略，否则后续重新分组会错位。

4. 把文本形式和内存形式混为一谈

字符串 "0x56" 在内存中是字符 '0'、'x'、'5'、'6' 的编码序列，不是一个字节数值 0x56。需要用 strtol 等函数解析后，才得到整数值。

5. 用 %d 输出无符号或不同宽度类型

printf 格式必须与实际参数类型匹配。普通 unsigned int 使用 %u、%o、%x；固定宽度类型可以使用 <inttypes.h> 提供的格式宏，避免跨平台宽度差异。

6. 忘记补码的位宽

负数的补码必须在固定宽度下讨论。FB 可以表示 8 位有符号的 -5，也可以作为更宽无符号数中的十进制 251；脱离类型和宽度无法唯一判断。

7. 把进制转换当成数值变化

(86)_10、(126)_8、(56)_16、(1010110)_2

表示的是同一个数学数值，只是书写方式不同。真正会改变结果的是溢出、截断、舍入或数据类型重新解释，而不是单纯换一种进制显示。

二十、总结

二进制与八进制、十六进制能够快速互转，是因为基数分别满足 8 = 2^3 和 16 = 2^4。从小数点向外按 3 位或 4 位分组，不足位数在最外侧补 0，就能完成整数和小数的精确转换。八进制与十六进制之间则以二进制作为桥梁重新分组。

进入 C 语言后，还要把“数值的进制写法”与“整数类型和内存编码”分开理解。前缀 0、0x、0b 控制源代码中的字面量写法，%o、%x 控制输出格式，strtol 负责把字符串解析为数值；补码、位宽和字节序则描述数值在机器中的编码与排列。理解这些边界，才能在嵌入式寄存器、网络协议、文件格式和位运算中正确使用二进制数据。