高数｜参数方程+变上限积分求切线（第9题）
题目
曲线 {x=∫01−te−u2duy=t2ln(2−t2)\\begin{cases}x=\\int_{0}^{1-t}e^{-u^2}du\\\\ y=t^2\\ln(2-t^2)\\end{cases}{x=∫01−te−u2duy=t2ln(2−t2) 在 t=1t=1t=1 处的切线方程为________。
答案：y=2x\\boldsymbol{y=2x}y=2x
核心公式
结论1：参数方程求导
dydx= dydt dxdt\\frac{dy}{dx}=\\frac{\\;\\dfrac{dy}{dt}\\;}{\\dfrac{dx}{dt}}dxdy=dtdxdtdy
结论2：变上限积分求导
ddt∫0φ(t)f(u)du=f(φ(t))⋅φ′(t)\\frac{d}{dt}\\int_{0}^{\\varphi(t)}f(u)du=f(\\varphi(t))\\cdot\\varphi'(t)dtd∫0φ(t)f(u)du=f(φ(t))⋅φ′(t)
结论3：点斜式切线 y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)y−y0=k(x−x0)
分步计算
步骤1：求切点 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)
x(1)=∫00e−u2du=0x(1)=\\int_{0}^{0}e^{-u^2}du=0x(1)=∫00e−u2du=0
y(1)=12ln(2−1)=ln1=0y(1)=1^2\\ln(2-1)=\\ln1=0y(1)=12ln(2−1)=ln1=0
切点：(0,0)\\boldsymbol{(0,0)}(0,0)
步骤2：求 dxdt\\dfrac{dx}{dt}dtdx
上限 φ(t)=1−t\\varphi(t)=1-tφ(t)=1−t，φ′(t)=−1\\varphi'(t)=-1φ′(t)=−1
dxdt=e−(1−t)2⋅(−1)=−e−(1−t)2\\frac{dx}{dt}=e^{-(1-t)^2}\\cdot(-1)=-e^{-(1-t)^2}dtdx=e−(1−t)2⋅(−1)=−e−(1−t)2
代入 t=1t=1t=1：
dxdt∣t=1=−e0=−1\\left.\\frac{dx}{dt}\\right|_{t=1}=-e^{0}=-1dtdxt=1=−e0=−1
步骤3：求 dydt\\dfrac{dy}{dt}dtdy（乘积法则）
y=t2ln(2−t2)y=t^2\\ln(2-t^2)y=t2ln(2−t2)
dydt=2tln(2−t2)+t2⋅−2t2−t2\\frac{dy}{dt}=2t\\ln(2-t^2)+t^2\\cdot\\frac{-2t}{2-t^2}dtdy=2tln(2−t2)+t2⋅2−t2−2t
代入 t=1t=1t=1：
dydt∣t=1=2⋅1⋅ln1+1⋅−21=0−2=−2\\left.\\frac{dy}{dt}\\right|_{t=1}=2\\cdot1\\cdot\\ln1+1\\cdot\\frac{-2}{1}=0-2=-2dtdyt=1=2⋅1⋅ln1+1⋅1−2=0−2=−2
步骤4：求斜率
k=dydx∣t=1=−2−1=2k=\\left.\\frac{dy}{dx}\\right|_{t=1}=\\frac{-2}{-1}=2k=dxdyt=1=−1−2=2
步骤5：写切线方程
y−0=2(x−0) ⟹ y=2xy-0=2(x-0)\\implies \\boldsymbol{y=2x}y−0=2(x−0)⟹y=2x
