线代真题｜分块矩阵求伴随矩阵-171主机测评

线代真题｜分块矩阵求伴随矩阵

题目

设 $A, B$ 均为2阶矩阵， $A^*,B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，若 $∣ A ∣ = 2, ∣ B ∣ = 3$ ，则分块矩阵
$M=(0AB0)M=\\begin{pmatrix} 0 & A \\\\ B & 0 \\end{pmatrix}$
的伴随矩阵为（）
(A) $(03B∗2A∗0)\\begin{pmatrix}0 & 3B^*\\\\2A^* & 0\\end{pmatrix}$
(B) $(02B∗3A∗0)\\begin{pmatrix}0 & 2B^*\\\\3A^* & 0\\end{pmatrix}$
© $(02B3A0)\\begin{pmatrix}0 & 2B\\\\3A & 0\\end{pmatrix}$
(D) $(03B2A0)\\begin{pmatrix}0 & 3B\\\\2A & 0\\end{pmatrix}$

答案：B

核心公式

结论1：伴随矩阵定义公式
$M∗=∣M∣⋅M−1\\boldsymbol{M^*=|M|\\cdot M^{-1}}$
结论2：分块对角矩阵求逆
$(0AB0)−1=(0B−1A−10)\\begin{pmatrix}0 & A\\\\B & 0\\end{pmatrix}^{-1}= \\begin{pmatrix}0 & B^{-1}\\\\A^{-1} & 0\\end{pmatrix}$
结论3：方阵求逆与伴随关系： $A∗=∣A∣A−1\\boldsymbol{A^{-1}=\\dfrac{1}{|A|}A^* \\implies A^*=|A|A^{-1}}$

分步计算

步骤1：计算分块矩阵 $M$ 的行列式

$A, B$ 都是2阶方阵
$|M|=\\begin{vmatrix}0&A\\\\B&0\\end{vmatrix}=(-1)^{2\\times2}|A||B|=(-1)^4|A||B|=|A||B|=2\\times3=6$

分块交换行列式符号规则： $∣OABO∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\\begin{vmatrix}O&A\\\\B&O\\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$ ， $m, n$ 是A、B的阶数，这里 $m = 2, n = 2$

步骤2：求 $M$ 的逆矩阵

$$
M^{-1}=
\\begin{pmatrix}
0 & A \\
B & 0
\\end{pmatrix}^{-1}

\\begin{pmatrix}
0 & B^{-1} \\
A^{-1} & 0
\\end{pmatrix}
$$

步骤3：代入伴随公式 $M^*=|M|M^{-1}$

$$
M^* = 6\\cdot
\\begin{pmatrix}
0 & B^{-1} \\
A^{-1} & 0
\\end{pmatrix}

\\begin{pmatrix}
0 & 6B^{-1}\\
6A^{-1} & 0
\\end{pmatrix}
$$

步骤4：用 $A^*=|A|A^{-1}$ 替换逆矩阵

$A−1=12A∗A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1} \\implies \\boldsymbol{A^{-1}=\\dfrac12 A^*}$
$B−1=13B∗B^*=|B|B^{-1}=3B^{-1} \\implies \\boldsymbol{B^{-1}=\\dfrac13 B^*}$

代入：
$6B^{-1}=6\\cdot \\frac13 B^*=2B^*$
$6A^{-1}=6\\cdot \\frac12 A^*=3A^*$

得到：
$M^*=\\begin{pmatrix} 0 & 2B^*\\\\ 3A^* & 0 \\end{pmatrix}$
对应选项B。

易错点总结

分块矩阵

(OABO)\\begin{pmatrix}O&A\\\\B&O\\end{pmatrix}

求逆，不是直接

(O,A−1B−1,O)\\begin{pmatrix}O,A^{-1}\\\\B^{-1},O\\end{pmatrix}

，A、B位置互换！

行列式符号

1)^{mn}

，

m, n

是两个子矩阵的阶数，不要忘记这个

(- 1)

幂次。

A^*

和

A^{-1}

的转换：

A^*=|A|A^{-1}

是这道题的核心桥梁。

速记结论

$\\boldsymbol{\\begin{pmatrix}O&A\\\\B&O\\end{pmatrix}^* =\\begin{pmatrix}O & |A|B^*\\\\|B|A^* & O\\end{pmatrix}}$

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