高数2 综合题｜旋转体侧面积+体积+微分方程 第19题

高数2 综合题｜旋转体侧面积+体积+微分方程 第19题

题目（满分10分）

设 $f(x)$ 是区间 $[0,+\infty )$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f(0)=1$。对任意的 $t\in [0,+\infty )$，直线 $x=0,x=t$，曲线 $y=f(x)$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 $f(x)$ 的表达式。

前置知识点

结论1：绕x轴旋转体体积（圆盘法）
$$V(t)=\pi {\int }_0^t{f}^2(x)dx$$
结论2：绕x轴旋转曲面侧面积公式（不是表面积！不含上下两个圆面）
$$S(t)=2\pi {\int }_0^{t}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$
结论3：等式条件：$S(t)=2V(t)$
结论4：变上限积分等式两边同时对 $t$ 求导，化成一阶微分方程；初始条件：$f(0)=1$

步骤1：代入条件写出积分等式

$$2\pi {\int }_0^{t}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx=2\cdot \pi {\int }_0^t{f}^2(x)dx$$
两边约去 $2\pi$：
$${\int }_0^{t}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx={\int }_0^t{f}^2(x)dx$$

步骤2：两边对t求导（变上限求导）

$$f(t)\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}=f^2(t)$$
题目说 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=1>0$，所以 $f(t)>0$，两边可以除以 $f(t)$：
$$\sqrt{1+[f^{\prime }(t){]}^2}=f(t)$$
去掉根号，整理：
$$1+(y^{\prime }{)}^2=y^2\text{记 }y=f(x)$$
$$y^{\prime }=\sqrt{y^2-1}$$

这里取正号：函数单调递增，$y^{\prime }>0$

步骤3：分离变量解微分方程

$$\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=dx$$
两边积分：
$$\int \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=\int dx$$
左边积分公式：$\int \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=\ln \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)+C$
$$\ln \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)=x+C$$

步骤4：代入初值条件 $x=0,y=f(0)=1$

$$\ln (1+0)=0+C\Rightarrow C=0$$
$$\ln \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)=x$$
等价于：
$$y+\sqrt{y^2-1}=e^x$$
利用共轭式：$y-\sqrt{y^2-1}=e^{-x}$
两式相加：
$$2y=e^x+e^{-x}$$
$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$$

最终结果

$$\boxed{f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$

易错点总结

结论1：旋转侧面积公式不要记混，是 $2\pi \int y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$，很多人错写成和体积一样的圆盘形式。
结论2：侧面积≠表面积，题目只算侧面，不加两端圆形面积。
结论3：求导后开根号，根据单调递增判断 $y^{\prime }>0$，只取正根。
结论4：$\int \frac{1}{\sqrt{y^2-1}}dy$ 的原函数是高频记忆考点，不要算错。
结论5：解出来是双曲余弦，也可以直接写成 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，考研两种写法都认可。