1、双曲正弦和双曲余弦的推导
由单位双曲线推导而来，首先单位双曲线的公式为x2−y2=1x^{2}-y^{2}=1×2−y2=1,图像是：
这里有个假设和猜想，单位双曲线图像和反比例函数类似。反比例函数像是单位双曲线逆时针旋转45°得到的图像：
猜想：反比例函数的K值为12\\frac{1}{2}21。函数为下图所示
将反比例函数的坐标定义为(x,12x)(x,\\frac{1}{2x})(x,2×1),旋转向量为下图所示，旋转后的坐标为下图所示，当旋转后的坐标代入单位双曲线，完美吻合。所以这个猜想是正确的。
所以下图中的面积是相等的。
这样双曲线的横坐标就变成了OX的长度，而纵坐标就变成了AX的长度。
由于反比例函数上的点和o点组成的三角形的面试是个固定值。所以三角形OPP'的面积和三角形OAA'的面积相等。除去白色的阴影部分面积，OAP围成的面积和PP'A'A的面积相等。而PP'A'A的面积可以用积分计算。
求积分得到面积为花体A，这样可以得到OA'的长度为：
a=22e2Aa=\\frac{\\sqrt{2}}{2}e^{2A}a=22e2A
化简后得到：
至此得到了OX和AX值，这里花体A的值是下图紫色面积的2倍。
所以得到了双曲正弦和双曲余弦的表达式：
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