日拱一卒之FMCW雷达基本原理4

FMCW雷达第三部分：设计指南

布鲁姆分类法描述了一个人在某领域达到的掌握水平。其最后两个阶段是综合（Synthesis）和评价（Evaluation）。这就是区分大师与专家的地方。例如，在工作面试中，评判候选人能力的一个好方法是询问他们所讨论的系统在何处会出现问题。

一知半解是件危险的事

要么深入钻研，要么别碰皮埃里亚泉水

浅尝辄止使头脑昏醉

博采众长才能使我们清醒

在FMCW雷达系列的前两部分讨论了较低层次的内容后，第三部分将介绍系统评估框架。

• 在第一部分中，我们描述了雷达如何估计一个或多个静止目标的距离。
• 在第二部分中，我们讨论了如何通过形成雷达数据立方体结构来估计多个运动目标的速度和方向。
• 在第三部分中，我们将讨论FMCW雷达框架的系统参数、其限制和设计指南。

我们从快速傅里叶变换(FFT)分辨率开始，这将有助于评估许多系统参数。

FFT分辨率

我们从连续信号和离散信号两个角度来描述这个主题。

连续时间

由于一个chirp信号持续时间为

T

C

T_C

TC​秒，在此期间能够表示的最低频率（例如在FFT输出中）是由一个正弦波完成的——在此期间仅完成一个完整周期。因此，其频率为

FFT分辨率

=

1

T

C

 Hz

\\begin{equation} \\text{FFT分辨率} = \\frac{1}{T_C} ~\\text{Hz} \\end{equation}

FFT分辨率=TC​1​ Hz​​

上述表达式的直接后果是，为了获得更好的分辨率需要增加扫描时间，如下图所示。

在顶部图中，一个正弦波在

T

C

T_C

TC​秒内完成一个完整周期，而另一个完成1.5个周期。它们的频率分别为

1

/

T

C

1/T_C

1/TC​ Hz和

1.5

/

T

C

1.5/T_C

1.5/TC​ Hz。因此，它们在FFT输出中无法通过单个主瓣区分开。

另一方面，将chirp持续时间加倍后，两个正弦波的频率分别变为

2

/

T

C

2/T_C

2/TC​ Hz和

3

/

T

C

3/T_C

3/TC​ Hz，它们是基频的整数倍。可以在上图的底部看到两个峰值。一般来说，FMCW雷达中的观测间隔或chirp持续时间越长，FFT分辨率就越好。

离散时间

现在假设在一次扫描期间（chirp持续时间

T

C

T_C

TC​）以

F

s

=

1

/

T

s

F_s = 1/T_s

Fs​=1/Ts​的速率采集

N

N

N个样本。因此，

T

C

=

N

T

s

T_C = NT_s

TC​=NTs​

在这种情况下，能够表示的最低频率（例如在FFT输出中）是由一个正弦波完成的——在此期间

N

T

s

NT_s

NTs​秒内仅完成一个完整周期。

2

π

1

N

T

S

t

∣

t

=

n

T

S

=

2

π

N

T

S

n

T

S

=

2

π

N

n

2\\pi \\frac{1}{NT_S}t\\bigg|_{t=nT_S} = \\frac{2\\pi}{NT_S}nT_S = \\frac{2\\pi}{N}n

2πNTS​1​t

​t=nTS​​=NTS​2π​nTS​=N2π​n

因此，频率分辨率由以下公式给出

FFT分辨率

=

2

π

N

 radians/sample

\\begin{equation} \\text{FFT分辨率} = \\frac{2\\pi}{N}~ \\text{radians/sample} \\end{equation}

FFT分辨率=N2π​ radians/sample​​

虽然增加

N

N

N会提高离散频率分辨率，但采样时间

T

s

T_s

Ts​会成比例地缩小，实际频率的分辨率保持为

1

/

T

C

1/T_C

1/TC​不变。

现在我们探讨这些结果对距离分辨率的影响。

距离分辨率

在第一部分中，我们看到目标的距离出现在可以通过FFT操作检测的拍频中。问题是两个目标在多么接近时，FMCW雷达会将它们识别为单个物体，见下图。

根据第一部分的这个方程，拍频表示为

f

b

=

μ

2

d

0

c

=

B

T

C

2

d

0

c

f_b = \\mu \\frac{2d_0}{c} = \\frac{B}{T_C} \\frac{2d_0}{c}

fb​=μc2d0​​=TC​B​c2d0​​

因为chirp速率

μ

\\mu

μ定义为

B

/

T

C

B/T_C

B/TC​。距离分辨率取决于我们区分两个拍频

Δ

f

\\Delta_f

Δf​的能力。

Δ

f

=

B

T

C

2

Δ

d

c

>

1

T

C

\\Delta_f = \\frac{B}{T_C} \\frac{2\\Delta_d}{c} > \\frac{1}{T_C}

Δf​=TC​B​c2Δd​​>TC​1​

因为两个拍频只有在相隔

1

/

T

C

1/T_C

1/TC​时才能被区分，见方程(1)。由此得到距离分辨率为

Δ

d

>

c

2

B

\\begin{equation} \\Delta_d > \\frac{c}{2B} \\end{equation}

Δd​>2Bc​​​

总之，距离分辨率仅取决于chirp带宽

B

B

B！带宽越大，我们区分两个近距离目标的能力就越精细。例如，一个带宽为1 GHz的毫米波雷达可实现15厘米的距离分辨率。

从FFT分辨率方程(1)来看，似乎更长的chirp持续时间会产生更精细的距离分辨率，但事实并非如此。请记住，带宽

B

B

B由

μ

T

C

\\mu T_C

μTC​给出。因此，chirp持续时间更长且chirp速率

μ

\\mu

μ相应减小，最终提供的带宽相同，因此距离分辨率也相同。

现在让我们找出可以通过这种技术估计的最大距离。

最大距离

FMCW雷达前端中的低通滤波器会消除

F

b

,

m

a

x

F_{b,max}

Fb,max​之外的所有频谱分量，如下图所示。

这意味着采样率

F

s

F_s

Fs​必须高于拍频，信号才能通过，这最终决定了FMCW雷达能够看到的最大距离。由于对于复信号有

F

s

>

B

F_s>B

Fs​>B，因此

F

s

>

f

b

,

m

a

x

或

F

s

>

μ

2

d

0

,

m

a

x

c

F_s>f_{b,max} \\qquad \\text{或}\\qquad F_s > \\mu \\frac{2d_{0,max}}{c}

Fs​>fb,max​或Fs​>μc2d0,max​​

其中拍频被上述相同表达式替代。由此得到

d

0

,

m

a

x

<

c

F

s

2

μ

\\begin{equation} d_{0,max} < \\frac{cF_s}{2\\mu} \\end{equation}

d0,max​<2μcFs​​​​

现在我们将注意力转向速度分辨率。

速度分辨率

为了找出多普勒FFT输出端的速度分辨率，我们需要找出最小的离散频率间隔。使用第二部分的方程中的相位差

Δ

ϕ

\\Delta_\\phi

Δϕ​和方程(2)，我们可以写出

2

π

2

v

T

C

λ

>

2

π

N

2\\pi \\frac{2vT_C}{\\lambda} > \\frac{2\\pi}{N}

2πλ2vTC​​>N2π​

由此得到

v

r

e

s

=

λ

2

N

T

C

=

λ

2

T

f

\\begin{equation} v_{res} = \\frac{\\lambda}{2NT_C} = \\frac{\\lambda}{2T_f} \\end{equation}

vres​=2NTC​λ​=2Tf​λ​​​

其中

T

f

T_f

Tf​是

N

N

N个连续chirp的帧持续时间。如下图所示。注意，单个扫描时间

T

C

T_C

TC​并不重要。较短的chirp可以通过增加

N

N

N（即延长帧）来实现相同的分辨率。

接下来，我们推导FMCW雷达可以测量的最大速度。

最大速度

类似于距离的情况，我们想从第二部分的方程中的相位差

Δ

ϕ

\\Delta_\\phi

Δϕ​推导最大速度。

Δ

ϕ

=

2

π

2

v

T

C

λ

\\Delta_\\phi = 2\\pi \\frac{2vT_C}{\\lambda}

Δϕ​=2πλ2vTC​​

为了避免任何歧义，这个相位差应在

−

π

-\\pi

−π到

+

π

+\\pi

+π之间，如下图所示。如果下一次扫描的相位已经跨过

π

\\pi

π（如橙色弧线所示），则这被称为混叠，雷达会出现虚假速度。这类似于违反采样定理时出现虚假频谱的情况。

因此，我们可以写出

2

π

2

v

T

C

λ

<

π

,

或

v

m

a

x

=

λ

4

T

C

\\begin{equation} 2\\pi \\frac{2vT_C}{\\lambda} < \\pi, \\qquad \\text{或}\\qquad v_{max} = \\frac{\\lambda}{4T_C} \\end{equation}

2πλ2vTC​​<π,或vmax​=4TC​λ​​​

这个结果也是有道理的。为了测量更高的速度，应该更频繁地采集相位角。这导致chirp持续时间

T

C

T_C

TC​更短。

角度分辨率

这是速度分辨率的类似情况。两个目标在角度FFT输出中作为两个独立峰值出现的最小角度是多少？如下图所示。

使用第二部分的方程，

2

π

d

sin

⁡

(

θ

+

Δ

θ

)

−

sin

⁡

θ

λ

≈

2

π

d

cos

⁡

θ

Δ

θ

λ

2\\pi \\frac{d\\sin(\\theta+\\Delta\\theta) -\\sin\\theta}{\\lambda} \\approx 2\\pi \\frac{d\\cos \\theta \\Delta \\theta}{\\lambda}

2πλdsin(θ+Δθ)−sinθ​≈2πλdcosθΔθ​

因为正弦的导数是余弦。回顾方程(\\ref{equation-fmcw-fft-resolution-discrete})，这变为

2

π

d

cos

⁡

θ

Δ

θ

λ

>

2

π

N

2\\pi \\frac{d\\cos \\theta \\Delta \\theta}{\\lambda} > \\frac{2\\pi}{N}

2πλdcosθΔθ​>N2π​

因此角度分辨率表示为

Δ

θ

=

λ

N

d

cos

⁡

θ

\\begin{equation} \\Delta\\theta = \\frac{\\lambda}{Nd\\cos\\theta} \\end{equation}

Δθ=Ndcosθλ​​​

观察以下几点：

• 与速度不同，分辨率本身取决于角度$\theta$
• 与速度分辨率类似，速度分辨率与帧长度$T_f=N{T}_C$

通常，此分辨率是针对

θ

=

0

\\theta=0

θ=0和最大视场给出的，或

d

=

λ

/

2

d=\\lambda/2

d=λ/2。

Δ

θ

=

2

N

\\Delta\\theta = \\frac{2}{N}

Δθ=N2​

接下来，我们描述阵列的角度视场。

角视场(FOV)

这是最大速度的类似情况。从第二部分的方程中的相位差

Δ

ϕ

\\Delta_\\phi

Δϕ​可提取的最大角度为

Δ

ϕ

=

2

π

d

sin

⁡

θ

λ

\\Delta_\\phi = 2\\pi \\frac{d\\sin\\theta}{\\lambda}

Δϕ​=2πλdsinθ​

为了避免任何歧义，这个相位差应在

−

π

-\\pi

−π到

+

π

+\\pi

+π之间，如上图所示。因此，对于两个天线，我们可以写出

2

π

d

sin

⁡

θ

λ

<

π

,

或

θ

m

a

x

=

sin

⁡

−

1

λ

2

d

\\begin{equation} 2\\pi \\frac{d\\sin\\theta}{\\lambda} < \\pi, \\qquad \\text{或}\\qquad \\theta_{max} = \\sin^{-1}\\frac{\\lambda}{2d} \\end{equation}

2πλdsinθ​<π,或θmax​=sin−12dλ​​​

这个结果也是有道理的。为了测量更大的角度，应该更频繁地采集相位值。这导致天线间距

d

d

d更短。注意与最大速度计算的相似性，最大速度与chirp持续时间

T

C

T_C

TC​成反比。

当天线间距

d

=

λ

/

2

d=\\lambda/2

d=λ/2时，视场最大，此时

θ

m

a

x

\\theta_{max}

θmax​等于

±

90

∘

\\pm 90^\\circ

±90∘，这是多种实现中采用的间距。

总结

当给定产品需求（如距离和速度分辨率以及最大距离和速度）时，可以使用这些方程来设置系统参数。

示例

计算一个77 GHz FMCW雷达的参数，要求距离分辨率为10 cm，速度分辨率为1 m/s，最大距离为100 m，最大速度为90 km/h。

• 根据方程(3)，10 cm的距离分辨率对应于带宽$B=1.5$
• 根据方程(6)，90 km/h的最大速度意味着chirp持续时间$T_C\approx 40$
• 根据方程(5)，1 km/h的速度分辨率意味着帧持续时间应为7毫秒。
• 由于chirp速率$\mu =B/T_C$
• 根据方程(4)，ADC采样率$F_s$

请记住，上述某些要求可能与硬件冲突（例如滤波器带宽、ADC采样率），需要与射频部分协同调整。

关于FMCW雷达工作原理的讨论到此结束。最后给出了设计参数限制的综述。

结论

下表总结了FMCW雷达中的设计参数。

参考文献

[1] M. Jankiraman, FMCW Radar Design, Artech House, 2018.

[2] S. Rao, Introduction to mmwave Sensing: FMCW Radars, Texas Instruments (TI) mmWave Training Series, 2017 – e2e.ti.com.