DOA估计中的虚拟阵列与高阶协方差矩阵：突破物理极限的两种核心手段-171主机测评

DOA估计中的虚拟阵列与高阶协方差矩阵：突破物理极限的两种核心手段

一、引言

在阵列信号处理中，波达方向（Direction of Arrival, DOA）估计是一个经典而核心的问题。以MUSIC、ESPRIT为代表的子空间类高分辨算法，其估计精度和分辨能力与阵列孔径和可处理信源数直接挂钩。然而，物理阵列的阵元数量、成本和空间尺寸总是有限的，这构成了一个难以逾越的“物理天花板”。

为了突破这一限制，研究者们发展出了两种强大的数学工具：虚拟阵列（Virtual Array）和高阶协方差矩阵（High-order Covariance Matrix）。它们并非物理上增加阵元，而是通过巧妙的信号处理手段，在数据域上“无中生有”地创造出额外的自由度。

本文将从原理和应用场景出发，深入探讨为何在DOA问题中要使用这两种技术，以及它们为何常常被结合使用。

二、虚拟阵列：在数据域“无中生有”

2.1 什么是虚拟阵列

虚拟阵列的概念源于对阵列接收数据协方差矩阵的深度挖掘。对于由

$M$ 个物理阵元组成的阵列，其接收数据的协方差矩阵

R_x

$R_{x}$ 包含的信息远不止

$M$ 个阵元的直接输出。

核心思想：通过对协方差矩阵或接收数据进行特定的数学变换（如Khatri-Rao积、共轭重构等），可以构造出一个包含更多“阵元”的虚拟阵列。这些虚拟阵元并不存在于物理空间中，但其对应的导向矢量与真实阵元具有完全相同的形式，因此可以像真实阵元一样用于DOA估计。

2.2 虚拟阵列如何工作：以Khatri-Rao积为例

一种经典的虚拟阵列构造方法基于Khatri-Rao (KR) 积变换。考虑

$M$ 元阵列接收

$K$ 个信号的模型：

X = A S + N

$X = A S + N$

其中

∈

A \\in \\mathbb{C}^{M \\times K}

$A \in C^{M \times K}$ 为阵列流型矩阵，

∈

S \\in \\mathbb{C}^{K \\times L}

$S \in C^{K \times L}$ 为信号矩阵，

$N$ 为噪声。

对接收数据协方差矩阵

[

]

R_x = E[X X^H]

$R_{x} = E [X X^{H}]$ 进行向量化操作：

vec

(

)

vec

(

)

vec

(

)

z = \\text{vec}(R_x) = \\text{vec}(A R_s A^H) + \\text{vec}(\\sigma_n^2 I)

$z = vec (R_{x}) = vec (A R_{s} A^{H}) + vec (σ_{n}^{2} I)$

利用KR积的性质

vec

(

)

(

∗

⊙

)

⋅

vec

(

)

\\text{vec}(A R_s A^H) = (A^* \\odot A) \\cdot \\text{vec}(R_s)

$vec (A R_{s} A^{H}) = (A^{*} ⊙ A) \cdot vec (R_{s})$ ，其中

⊙

\\odot

$⊙$ 表示Khatri-Rao积，得到：

(

∗

⊙

)

⋅

vec

(

)

z = (A^* \\odot A) \\cdot p + \\sigma_n^2 \\cdot \\text{vec}(I)

$z = (A^{*} ⊙ A) \cdot p + σ_{n}^{2} \cdot vec (I)$

这里

vec

(

)

p = \\text{vec}(R_s)

$p = vec (R_{s})$ 包含了信号功率信息。关键在于，矩阵

∗

⊙

A^* \\odot A

$A^{*} ⊙ A$ 的每一列可以看作是一个“虚拟阵列”的导向矢量。

具体地，若原阵列的阵元位置为

{

}

\\{d_i\\}_{i=1}^M

${d_{i}}_{i = 1}^{M}$ ，则KR积产生的虚拟阵列的阵元位置为：

−

⋯

d_{ij} = d_i – d_j, \\quad i, j = 1, 2, \\cdots, M

$d_{ij} = d_{i} - d_{j}, i, j = 1, 2, \dots, M$

这个虚拟阵列包含了

M^2

$M^{2}$ 个“虚拟阵元”，远多于物理阵元数

$M$ 。由此，原本只能分辨最多

−

M-1

$M - 1$ 个信源的阵列，通过虚拟阵列技术可以分辨远多于物理阵元数的信号源。

2.3 为什么要用虚拟阵列

物理限制虚拟阵列的突破

阵元数	虚拟阵列可提供 $M^2 M2 量级的虚拟阵元，可分辨更多信源$
物理孔径受空间尺寸限制	虚拟阵列的孔径可远超物理孔径
均匀线阵要求阵元间距 $\\leq \\lambda/2 ≤λ/2 以避免模糊$	稀疏阵列（如互质阵、嵌套阵）通过虚拟阵列可实现欠定DOA估计
相干信号导致协方差矩阵秩亏损	虚拟阵列结合空间平滑可解相干

三、高阶协方差矩阵：超越二阶统计量

3.1 为什么二阶统计量不够用

传统的子空间类DOA估计算法基于接收数据的二阶协方差矩阵

[

]

R_x = E[X X^H]

$R_{x} = E [X X^{H}]$ 。二阶方法在以下场景中暴露出明显缺陷：

问题一：高斯噪声无法被抑制

当接收数据中包含高斯有色噪声时，二阶协方差矩阵无法区分信号和高斯噪声成分，导致DOA估计性能严重下降。

问题二：无法处理相干信号

当多个信号源完全相干时，信号协方差矩阵

R_s

$R_{s}$ 出现秩亏损，

A R_s A^H

$A R_{s} A^{H}$ 的秩小于

$K$ ，信号子空间坍缩，算法失效。

问题三：自由度受限于阵元数

二阶方法的最大可分辨信源数受限于物理阵元数

$M$ ，无法突破这一瓶颈。

3.2 高阶累积量的数学定义

对于一个零均值的复随机过程

(

)

x(t)

$x (t)$ ，其

$p$ 阶累积量定义为信号矩的某种非线性组合。对于零均值信号，四阶累积量（Fourth-order Cumulant）的定义为：

(

)

[

]

−

[

]

[

]

−

[

]

[

]

−

[

]

[

]

C_4(x_1, x_2, x_3, x_4) = E[x_1 x_2 x_3 x_4] – E[x_1 x_2]E[x_3 x_4] – E[x_1 x_3]E[x_2 x_4] – E[x_1 x_4]E[x_2 x_3]

$C_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = E [x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}] - E [x_{1} x_{2}] E [x_{3} x_{4}] - E [x_{1} x_{3}] E [x_{2} x_{4}] - E [x_{1} x_{4}] E [x_{2} x_{3}]$

对于阵列接收数据，四阶累积量矩阵

C_4

$C_{4}$ 的元素为：

(

)

Cum

(

∗

)

C_4(i, j, k, l) = \\text{Cum}(x_i, x_j^*, x_k, x_l^*)

$C_{4} (i, j, k, l) = Cum (x_{i}, x_{j}^{*}, x_{k}, x_{l}^{*})$

3.3 高阶累积量的关键性质

高阶累积量具有以下对DOA估计极为重要的性质：

性质一：高斯噪声不敏感性

对于高斯过程（无论白噪声还是有色噪声），其二阶以上的累积量恒为零：

(

Gaussian

)

∀

≥

C_p(\\text{Gaussian}) = 0, \\quad \\forall p \\geq 3

$C_{p} (Gaussian) = 0, \forall p \geq 3$

这意味着，基于四阶及以上累积量的DOA估计算法天然免疫于高斯噪声的干扰，无需预知噪声的统计特性。

性质二：孔径扩展能力

高阶累积量具有天然的孔径扩展性质。对于一个

$M$ 元阵列，其四阶累积量矩阵可以等效为一个虚拟阵列的协方差矩阵，该虚拟阵列的阵元数可达

M^2

$M^{2}$ 量级。这正是高阶累积量与虚拟阵列之间的深刻联系。

性质三：对非高斯信号的敏感性

高阶累积量仅对非高斯信号有响应。这一特性使其在存在强高斯干扰的环境中具有天然的选择性。

3.4 为什么要用高阶协方差矩阵

二阶方法的局限高阶累积量的突破

无法抑制高斯有色噪声	四阶及以上累积量对任意高斯噪声为零
相干信号导致秩亏损	高阶累积量可恢复秩，实现解相干
可分辨信源数 $\\leq M-1 ≤M−1$	四阶累积量可提供 $M^2 M2 量级的虚拟阵元$
需要预知噪声统计特性	无需任何噪声先验信息

四、虚拟阵列 + 高阶协方差矩阵：1+1>2

4.1 两者结合的内在逻辑

虚拟阵列和高阶协方差矩阵并非两种独立的技术，而是天然耦合的：

高阶累积量本身就能产生虚拟阵列：四阶累积量矩阵的特定排列可以自然地映射到一个虚拟阵列的协方差矩阵。这意味着，计算高阶累积量这一行为本身，就已经在构造虚拟阵列。

虚拟阵列需要高阶统计量来填充：由KR积等方法构造的虚拟阵列，其“数据”来源于协方差矩阵的向量化。若使用二阶协方差矩阵，虚拟阵列的构造受限于二阶统计量的信息量；而使用四阶或六阶累积量，则可以构造出更大、更丰富的虚拟阵列。

两者共同突破自由度极限：物理阵元数为

$M$ 的阵列，通过四阶累积量虚拟阵列扩展，可以估计出远多于

$M$ 个的非高斯独立信号源的方向角和仰角。

4.2 具体实现框架

基于高阶累积量虚拟阵列扩展的DOA估计方法通常遵循以下步骤：

步骤一：计算高阶累积量矩阵

由实际阵列的接收数据

(

)

y(t)

$y (t)$ ，计算四阶（或六阶）累积量矩阵

C_4

$C_{4}$ 。

步骤二：构造虚拟阵列

利用高阶累积量的孔径扩展性质，由实际阵元的坐标与方向矢量直接计算出虚拟阵元的坐标与方向矢量。

具体地，若实际阵列的阵元坐标为

{

}

\\{d_i\\}_{i=1}^M

${d_{i}}_{i = 1}^{M}$ ，则四阶累积量对应的虚拟阵元坐标为：

−

⋯

d_{ijkl} = d_i – d_j + d_k – d_l, \\quad i, j, k, l = 1, 2, \\cdots, M

$d_{ij k l} = d_{i} - d_{j} + d_{k} - d_{l}, i, j, k, l = 1, 2, \dots, M$

这个虚拟阵列的阵元数可达

M^4

$M^{4}$ 量级（去除冗余后仍有

(

)

O(M^2)

$O (M^{2})$ 量级）。

步骤三：去除冗余项

四阶累积量矩阵中包含大量冗余项。需要去除与虚拟扩展阵列导向矢量不对应的行和列，保留对应的行和列，得到虚拟扩展后的数据协方差矩阵。

步骤四：应用子空间算法

对虚拟阵列的协方差矩阵应用MUSIC、ESPRIT等子空间类算法进行DOA估计。

4.3 实际应用场景

虚拟阵列与高阶协方差矩阵的结合在以下场景中具有不可替代的优势：

欠定DOA估计：信源数多于物理阵元数的场景
强高斯噪声环境：高阶累积量天然抑制高斯噪声
相干信号环境：多径传播导致信号相干的雷达、通信场景
稀疏阵列：互质阵、嵌套阵等稀疏阵列需要虚拟阵列技术来填满孔洞

五、总结

技术手段核心原理主要解决的问题关键公式/操作

虚拟阵列	KR积 / 共轭重构	突破阵元数限制，增加自由度	$(A^* \\odot A) \\cdot p z=(A∗⊙A)⋅p$
高阶累积量	四阶/六阶累积量	抑制高斯噪声、解相干、扩展孔径	$C_4 = \\text{Cum}(x_i, x_j^, x_k, x_l^) C4=Cum(xi,xj∗,xk,xl∗)$
两者结合	高阶累积量直接产生虚拟阵列	同时实现噪声抑制、解相干和自由度突破	由实际阵元坐标计算虚拟阵元坐标

虚拟阵列技术通过在数据域“创造”额外的阵元，突破了物理阵元数的限制；高阶协方差矩阵通过利用信号的非高斯特性，突破了二阶统计量的信息瓶颈。两者结合使用时，高阶累积量不仅提供了对高斯噪声的“免疫力”，其本身的孔径扩展性质还天然地构造了虚拟阵列，使得DOA估计能够在欠定、强干扰、相干的复杂环境中实现高精度、高分辨率的参数估计。

理解这两种技术的本质，是设计和应用先进DOA估计算法的关键。它们共同指向一个核心思想：算法的分辨率不仅取决于你拥有多少物理阵元，更取决于你如何挖掘数据中隐藏的结构信息。

DOA估计中的虚拟阵列与高阶协方差矩阵：突破物理极限的两种核心手段