深度学习周报（3.2~3.8）-171主机测评

摘要

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1 克里金法

1.1 核心问题

1.2 方法及实现

1.2.1 变异函数

1.2.2 理论变异函数模型

1.2.3 克里金方程组求解与预测

1.3 变体、优点与局限

2 总结

摘要

本周主要对克里金法进行了学习，了解了它所面对的核心问题、所用到的方法步骤以及优缺点等，重点理解了经验变异函数值的计算，学习了块金值、基台值和变程三个参数以及克里金方程组的求解。

Abstarct

This week, I primarily focused on learning about Kriging. I gained an understanding of the core problems it addresses, the methods and steps involved, as well as its advantages and disadvantages. I placed particular emphasis on comprehending the calculation of empirical variogram values, studying the three key parameters—the nugget, sill, and range—and learned about the derivation of the Kriging equations.

1 克里金法

1.1 核心问题

克里金法是一种高级的地理空间统计插值方法，它的名字来源于南非矿产工程师 Daniel Krige，主要解决的是在空间分布不规则且有限的观测点基础上，科学地、量化地预测整个连续空间区域内未知点值的问题。

对于这个问题，传统方法只考虑距离而不考虑数据自身的分布模式，无法告知结果可靠性，当数据存在明显聚集或趋势时，还容易导致预测偏差。克里金法则将空间数据视为由结构性和随机性两种成分构成的区域化变量，目的就是通过对已知点之间空间自相关关系的建模，来最优地分解这两种成分，从而进行预测和不确定性量化。

p.s. 结构性成分由空间自相关决定，反映宏观趋势；随机性成分则由局部、不可预测的变异构成。

1.2 方法及实现

克里金法主要依赖两个关键工具：变异函数与理论变异函数模型。

1.2.1 变异函数

变异函数的核心目标是精确度量空间自相关的结构，它描述了一对空间数据点数值差异的平方期望值如何随它们之间的距离变化，其公式如下：

$\\gamma (h) = \\frac{1}{2N(h)} \\sum [z(x_i)-z(x_i + h)]^{2}$

其中， N(h) 指的是距离为 h 的所有点对数量； z(x_i) 代表在位置 x_i 处的观测值；公式结果越小代表两点之间差异小，反之则越大。

它的计算步骤大致如下：首先，确定步长与容差。步长（lag）是设定的、用于计算经验变异函数的距离间隔，它决定了在哪些目标距离上进行计算；容差（tolerance）是围绕每个目标距离 h_k 的允许距离偏差范围，它会定义一个以 h_k 为中心的距离区间，所有落在这个区间内的点对，都被视为近似相距 h_k ，并用于计算该点的变异函数值。

其次，计算每个目标距离上的变异函数值，具体计算示例如下：

最后，以对应的目标距离为横坐标，计算的变异函数值为纵坐标绘制散点图，此图可能杂乱，但能显示一定的趋势。对于上述计算则如下所示：

1.2.2 模型与参数

变异函数的计算依赖于实际存在且数量有限的数据点对，并且只能按固定的距离区间来计算，故最终只能得到一组离散的经验点，只有将它们通过模型拟合，才能得到光滑的变异函数曲线，进而能够定义三个重要的结构性参数：块金值、基台值与变程。

块金值是指变异函数曲线在 h 趋近于 0 时的截距，用 $C_{0}$ 表示，虽然在理论上，当距离 h 为 0 时， $\\gamma (h)$ 也为 0，但实际上曲线通常会趋近一个大于 0 的值。它的值越大，意味着空间数据中不可预测的随机成分越多，某一层面上也意味着数据采集的不精确性。

基台值是变异函数曲线最终趋于平稳的那个值，代表了区域化变量 z(x) 的总变异（方差），记为 $C_{0} + C$ ，即块金值与结构方差的和。当点对距离超过某个范围后，它们之间不再有空间相关性，其差异的平方期望就等于总方差。

p.s. 结构方差即由空间自相关过程引起的可解释的变异。

变程是变异函数从块金值增长到基台值所对应的距离 a，是克里金法中最重要的参数之一，代表空间自相关的最大作用范围，定义了克里金插值中邻域搜索的合理半径。对于距离小于变程的两点，它们彼此之间存在空间相关性，可用于相互预测；而对于距离大于变程的两点，它们在空间上相互独立，在普通克里金框架下，一个点的信息对预测另一个点没有帮助。

虽然基台值对应块金值与结构方差的和，变程对应变异函数从块金值增长到基台值的距离，但结构方差与变程并不是同一个东西。结构方差衡量空间自相关过程本身强度，在变异函数图中表现为基台值与块金值之间的垂直距离，越大（相对于块金值），空间结构信号越强，越依赖邻近点，反之则更趋向于全局均值，会影响克里金插值中权重的分配比例；而变程衡量空间自相关过程影响范围，在变异函数图中对应曲线从块金值上升到基台值所对应的水平距离，主要影响搜索邻域的大小和参与计算的样本范围。

常用的模型包括球状模型、指数模型与高斯模型。

其中，球状模型最为常用，也最稳健，它在变程内能够线性增长，在变程处恰好达到基台值，适用于空间相关性在有限距离内明确存在，并在该距离外消失的现象，如矿体品位。其公式为：

$\\gamma (h) =\\left\\{\\begin{matrix} C_0 + C[1.5(\\frac{h}{a}) - 0.5(\\frac{h}{a})^3]&h \\leq a\\\\ C_0 + C & h > a \\end{matrix}\\right.$

指数模型则在理论上永远不达到基台值，而是渐近逼近，更适用于空间相关性随距离衰减，但即使在较远距离仍存在微弱相关性的现象，如大气污染。其公式为：

$\\gamma (h) =C_0 + C[1 - exp( - \\frac{3h}{a})]$

前两者在原点处均呈线性增长，只是初始斜率有所差异，高斯模型则在原点处呈抛物线形，即非常平缓地离开原点，适用于空间变化非常平缓、连续的现象，如地形高程。若用于拟合具有线性或突变行为的现象，可能导致克里金预测出现不现实的平滑效应。其公式为：

$\\gamma (h) = C_0 + C[1 - exp( - \\frac{3h^2}{a^2})]$

1.2.4 方程组求解与预测

模型拟合的意义在于将数据的空间结构特征（变程、基台值、块金值）参数化，这也是克里金方程组求解和预测的基础。

首先，对于某个待预测的位置，构建克里金方程组，方程组需要满足无偏性（权重之和为1）与最优性（估计方差最小），系数由已知点之间以及已知点与预测点之间的变异函数值构成，后者根据拟合的理论变异函数模型计算得出；

其次，求解得到各已知点的最优权重和拉格朗日乘子，再使用权重对已知点的观测值进行加权平均，得到预测值，计算该预测点的克里金方差；

最后，对所有待预测点重复上述步骤，得到整个区域的预测表面和克里金方差表面（不确定性表面）。

1.3 变体、优点与局限

由于数据特征和假设的不同，克里金法除最通用的基础模型外，还有许多的不同的变体。

比如，简单克里金，相较于最通用的普通克里金（假设数据均值在局部区域内是未知但恒定的），它假设整个研究区域的全局均值已知且恒定，是普通克里金的理论简化版，但实际应用较少；泛克里金，通常在数据存在明显趋势或漂移时使用，会将趋势作为模型的一部分；协同克里金，除了主要变量，还利用其他相关的辅助变量来提高预测精度，能够利用更多信息；指示克里金，通常用于处理类别变量或二进制数据，能够估计某属性出现”或“超过某值的概率，适用于风险评估和矿产边界圈定等情况。

克里金法的优点在于它能够提供在无偏约束下的最小方差估计，且尊重数据内在的空间模式，预测更符合地质或地理规律。其独有的克里金方差输出，也是许多场景风险评估和决策支持的关键。但克里金法需为每个预测点求解一次方程组，大数据集时计算成本高，结果质量也高度依赖于理论变异函数模型的拟合优劣，此外，虽然它的内蕴假设较宽松，但严重违反平稳性的数据仍会导致一定的偏差。

2 总结

本周主要学习了克里金法，了解了它的方法、变体与优缺点等基础知识，不过感觉对方程组构建求解部分还不是很清晰，下周打算继续学习，进行对应代码训练，同时继续论文的阅读。

深度学习周报（3.2~3.8）

摘要

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