Unity Shader 最详细的正交矩阵和透视矩阵推导！

本文梳理透视投影矩阵的推演逻辑：为什么常把透视投影拆成两步，以及这两步分别解决什么问题。目标不是背公式，而是把矩阵结构与几何约束对应起来，形成可复用的理解框架。

1. 透视投影的核心需求：产生 “1/z” 关系

在相机空间（或观察空间）中，一个点写作 ((x, y, z))。透视投影需要满足“近大远小”，因此屏幕上的横纵坐标应随深度变化：

$$x^{\prime }\propto \frac{x}{z},y^{\prime }\propto \frac{y}{z}$$

问题在于：线性变换（矩阵乘法）无法直接产生除法。因此图形学引入齐次坐标，通过“齐次除法”把除法纳入流程。

2. 齐次坐标解决了什么：把除法推迟到最后一步

把点写成齐次坐标：

(xyz1)
\\begin{pmatrix}
x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1
\\end{pmatrix}
​xyz1​​

经过一个 4×4 矩阵变换得到：

(x′y′z′w′)
\\begin{pmatrix}
x' \\\\ y' \\\\ z' \\\\ w'
\\end{pmatrix}
​x′y′z′w′​​

随后进行齐次除法：

$$(x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc})=\left(\frac{x^{\prime }}{w^{\prime }},\frac{y^{\prime }}{w^{\prime }},\frac{z^{\prime }}{w^{\prime }}\right)$$

只要让 (w’ = z)，那么齐次除法自然会产生：

$$\frac{x^{\prime }}{z},\frac{y^{\prime }}{z}$$

结论：透视效果的根源不是“神秘矩阵”，而是齐次除法产生的 (1/z)。

3. 为什么拆成两步：把“透视”与“归一化”分开处理

常见分解方式：

$$M_{persp}=M_{ortho}\cdot M_{persp\to ortho}$$

拆分的动机是工程上非常清晰的两件事：

这样每一步都有明确几何目标，避免把最终矩阵当作黑盒记忆。

4. M_{persp\\to ortho}：负责“透视本身”

4.1 目标

M_{persp\\to ortho} 的职责可以概括为：

• 在齐次坐标里编码透视关系（让 (w’=z)，从而得到 (x/z, y/z)）；
• 通过对 near/far 的约束，构造深度项的映射形式；
• 将视锥体转为后续可按“盒子”思路处理的中间结果。

4.2 关键设计：第四行令 w'=z

为了让齐次除法产生 (1/z)，需要：

$$w^{\prime }=z$$

因此矩阵的第四行必须形如：

$$(0010)$$

使得：
$$w^{\prime }=1\cdot z$$

4.3 为什么第三行必须是 (0 0 A B)

第三行若写成一般形式 ((a,b,c,d))，则：

$$z^{\prime }=ax+by+cz+d$$

但深度映射应只依赖 (z)，不应与 (x,y) 混入。因此必须令：

$$a=0,b=0$$

于是第三行只能写为：

$$(00AB)$$

即：
$$z^{\prime }=Az+B$$

4.4 解出 A、B（由 near/far 约束）

为了让 near/far 在后续归一化前具有正确的深度关系，常对 (z) 施加两条约束（具体右手/左手系与深度范围会影响符号，但解法一致）。一种常见写法是：

$$An+B=n^2,Af+B=f^2$$

两式相减得：

$$A(f-n)=f^2-n^2=(f-n)(f+n)\Rightarrow A=f+n$$

代回可得：

$$B=-nf$$

因此第三行为：

$$(00n+f-nf)$$

4.5 一个常见形式

Mpersp→ortho=(n0000n0000n+f−nf0010)
M_{persp\\to ortho} =
\\begin{pmatrix}
n & 0 & 0 & 0 \\\\
0 & n & 0 & 0 \\\\
0 & 0 & n+f & -nf \\\\
0 & 0 & 1 & 0
\\end{pmatrix}
Mpersp→ortho​=​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​​

要点：它不负责把范围映射到 ([-1,1])，它主要负责透视关系 + 深度项构造。

5. M_{ortho}：负责“正交归一化”

5.1 目标

正交投影矩阵的任务更“朴素”：把任意视景盒 ([l,r]\\times[b,t]\\times[n,f]) 映射到标准立方体：

$$x,y,z\in [-1,1]$$

5.2 为什么可以写成“平移 + 缩放”

这是一个纯仿射问题：把一个盒子变成标准盒子只需要两步。

Step 1：平移中心到原点

盒子中心：
$$\left(\frac{r+l}{2},\frac{t+b}{2},\frac{n+f}{2}\right)$$

平移矩阵：
T=(100−r+l2010−t+b2001−n+f20001)
T =
\\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\\frac{r+l}{2} \\\\
0 & 1 & 0 & -\\frac{t+b}{2} \\\\
0 & 0 & 1 & -\\frac{n+f}{2} \\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{pmatrix}
T=​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​​

Step 2：缩放到边长 2（映射到 [-1,1]）

缩放矩阵：
S=(2r−l00002t−b00002n−f00001)
S =
\\begin{pmatrix}
\\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\\\
0 & \\frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\\\
0 & 0 & \\frac{2}{n-f} & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 1
\\end{pmatrix}
S=​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​​

于是：
$$M_{ortho}=S\cdot T$$

说明：具体 (\\frac{2}{n-f}) 的符号与深度正方向、NDC 的 z 范围约定有关，但“先平移再缩放”的结构不变。

6. 合在一起：每一步负责一件可解释的事

最终：
$$M_{persp}=M_{ortho}\cdot M_{persp\to ortho}$$

• M_{persp\\to ortho}：负责透视（让 (w’=z)，在齐次除法处产生 (1/z)），并构造深度项；
• M_{ortho}：负责把范围归一化到标准裁剪空间，便于统一裁剪与后续光栅化。

一句话记忆：先做透视，再做标准化。

7. 常见理解误区（工程向）

• 误区 1：以为“透视投影矩阵本身完成了除法”。
  实际上除法发生在齐次除法阶段；矩阵只是把 (w’) 构造成需要的量。

• 误区 2：把 M_{ortho} 当作“只用于正交相机”。
  它更准确的角色是“把一个盒子归一化到标准裁剪空间”，在分解推导里是必需步骤。

• 误区 3：纠结某个版本矩阵的正负号。
  符号差异通常来自坐标系（左/右手）、相机朝向、以及 NDC 深度范围约定。推导思想不变：w’=z + 盒子归一化。

8. 小结

透视投影矩阵拆分的价值在于：把复杂的最终矩阵分解成两件“可解释且可复用”的事情：

这种拆分不仅有助于理解，也有助于在不同坐标系与 API 约定下快速校验矩阵形式。