文章目录
- 1、单自由度系统理论推导
- 2、冲击响应谱的分析计算
- 3、总结
- 最后
上篇文章《理论分享 | 响应谱分析（1）：模态叠加与模态组合的理论基础》中，介绍了响应谱（或称之为冲击响应谱）的基本概念——它是线性单自由度系统在给定时间历程载荷（如地震加速度时程）作用下，最大响应（位移、速度、加速度）与单自由度系统固有频率的关系曲线。其中，所考虑的最大响应既可以是振动的绝对值，也可以是振动的相对值，若考虑的是绝对加速度，则称之为绝对加速度响应谱，此外常见的还有相对位移响应谱、相对速度响应谱、伪速度响应谱、伪加速度响应谱。本文结合理论推导和分析计算，尝试解释不同类型的响应谱之间的区别与联系，为进一步认识响应谱提供参考。
1、单自由度系统理论推导
以上图所示连接到动基座的单自由度系统为例进行介绍，在没有外力的作用下，系统动力学方程可以表示为： 
其中
u
u
u为质量块
m
m
m的绝对位移，
u
b
u_b
ub为动基座的运动位移，对方程进行移项及归一化处理得到： 
其中，
ω
0
=
k
m
\\omega_0=\\sqrt{\\frac{k}{m}}
ω0=mk
为单自由度系统的无阻尼固有频率，
ζ
=
c
2
k
m
\\zeta=\\frac{c}{2\\sqrt{km}}
ζ=2km
c为系统阻尼比，可见动基座对系统来说是一个强迫运动项。若选择质量块与动基座之间的相对位移进行分析，则上述方程可以表达为： 
其中，
u
r
=
u
−
u
b
u_r=u-u_b
ur=u−ub为质量块与动基座之间的相对位移。可见，基座加速度以等效重力载荷的形式作用于系统。由于系统内部的弹性力与阻尼力取决于相对位移和相对速度，而且已知条件通常是基座运动的加速度时程曲线，故更适合通过相对位移进行分析。
当系统的无阻尼固有频率、阻尼比、基座运动加速度时程曲线给定时，求解上述瞬态动力学方程，即得到相对位移、相对速度、相对加速度的时程响应。相应地，相对位移响应谱、相对速度响应谱、相对加速度响应定义为所求得时程响应过程中的最大值，即： 
以上为相对响应谱，类似地，通过对绝对位移、绝对速度、绝对加速度进行时程响应求解，即得到绝对响应谱。
基于相对位移响应谱
S
d
,
r
S_{d,r}
Sd,r，可以定义所谓的伪速度谱
S
v
,
p
=
ω
0
S
d
,
r
S_{v,p} = \\omega_0 S_{d,r}
Sv,p=ω0Sd,r和伪加速度谱
S
a
,
p
=
ω
0
2
S
d
,
r
S_{a,p} = \\omega_0^2 S_{d,r}
Sa,p=ω02Sd,r。
特别地，对于无阻尼系统，可以推导出伪加速度谱和绝对加速度谱是一致的： 
值得说明的是，在对响应谱的计算中，虽然均以振动响应的最大值作为取值依据，但根据所选取的最大值类型不同，可区分为不同类别：若取输出信号绝对值的最大值，称为最大冲击响应谱；若仅取最大正峰值，则称为正冲击响应谱；若仅取最大负峰值，则称为负冲击响应谱。此外，输出信号可分为两个阶段：在激励信号作用期间的部分称为初始部分，激励信号结束后剩余的部分称为残余部分。根据所采用的输出信号阶段不同，SRS又可进一步区分为初始冲击响应谱与残余冲击响应谱，本文介绍的是最大冲击响应谱的分析计算过程。
2、冲击响应谱的分析计算
计算冲击响应谱所使用的单自由度系统是理想化和标准化的模型。**这意味着，冲击响应谱本质上是冲击载荷本身的属性，它与该载荷所作用的具体结构完全解耦。**换言之，只要冲击载荷确定，其响应谱就唯一确定（仅与设定的阻尼比有关）。因此，冲击响应谱可以作为已知的载荷条件输入不同的工程分析，具有普适性。尽管大多数情况下，工程师通常直接使用给定的设计谱，但了解响应谱的计算生成过程对于理解其内在含义至关重要。
以下通过半正弦冲击响应谱的计算为例进行说明。对于给定的基座加速度时程
u
¨
b
(
t
)
\\ddot{u}_b(t)
u¨b(t)，可采用解析法、杜哈梅积分或数值积分方法，求得不同频率单自由度系统的瞬态响应，并基于此瞬态响应提取不同类型响应（如相对位移、绝对加速度等）的最大值，将各频率点对应的最大值连接起来，即形成冲击响应谱曲线。 
对于如下图所示的半正弦冲击，本文假设其持续时间为50ms（频率约20Hz），幅值为10g（按照不同设计标准，冲击曲线还可以是三角波或矩形波等，幅值和冲击持续时间也可以是不同的值）: 
分别取阻尼比为0.05和0.2，计算不同阻尼比下1-100Hz的半正弦冲击响应谱如下所示： 
可见，无论是加速度谱还是伪加速度谱，其最大值均出现在输入信号的主要频率成分附近。整条响应谱曲线可从三个频段理解：在低频段，弹簧振子很软，难以带动质量块有效运动，故加速度趋近于零；在高频段，振子趋近刚体，质量块几乎跟随基座运动，因此响应谱值收敛于基座峰值加速度；在输入信号频率附近，振子发生共振，呈现明显的动力放大效应。实际工程中，输入信号（如地震动）往往具有复杂时程与多峰频谱。
正如前文所说，对于无阻尼系统，伪加速度谱与绝对加速度谱在理论上完全一致；在小阻尼系统中二者仍近似相等；但在大阻尼系统中，两者存在差异，且绝对加速度谱值恒不小于伪加速度谱值。 该结论可从两者的物理定义出发予以说明：伪加速度与由最大相对位移产生的最大弹性恢复力相对应，而绝对加速度则对应于作用在质量块上的最大惯性力。 
由于惯性力由弹性恢复力与阻尼力共同组成，当相对位移达到最大时，速度为零，此时阻尼力为零，惯性力完全由弹性恢复力平衡，故在该瞬时两者大小相等。然而在整个振动过程中，惯性力的最大值通常不低于弹性恢复力的最大值，因此有
S
a
≥
S
a
,
p
S_a \\ge S_{a,p}
Sa≥Sa,p。
基于此，可进一步理解响应谱与谐响应分析中频响函数的区别与联系：频响函数描述的是固定系统在不同频率谐波激励下的稳态响应，而响应谱则描述给定激励作用于不同固有频率的单自由度系统时，各系统响应最大值的集合。两者的共同之处在于，均在激励频率接近系统固有频率时表现出动力放大效应。
在实际工程应用中，伪加速度谱
S
a
,
p
S_{a,p}
Sa,p 直接对应于结构最大弹性内力（
F
k
=
k
⋅
u
r
F_k = k \\cdot u_r
Fk=k⋅ur），适用于评估构件强度或位移需求；绝对加速度谱
S
a
S_a
Sa 则直接反映惯性力（
F
I
=
m
⋅
u
¨
F_I = m \\cdot \\ddot{u}
FI=m⋅u¨），更适用于评估整体动力响应或人体舒适度等问题。由于
S
a
≥
S
a
,
p
S_a \\ge S_{a,p}
Sa≥Sa,p，在结构载荷等效或抗震设计中采用绝对加速度谱作为输入条件通常更为保守。
3、总结
- 对于基础激励的单自由度系统，其运动方程可转化为以相对位移为变量的形式。结果表明，基础的加速度时程相当于以等效惯性力（重力载荷形式）作用于系统质量块上。由于系统的弹性力和阻尼力取决于相对运动，因此通常基于相对位移进行求解；
- 冲击响应谱本质上是冲击载荷本身的一种固有属性，它由载荷的时程特征和预设的系统阻尼比唯一确定，而与承受该载荷的具体结构无关。这一特性使其能够作为标准化的载荷条件，普遍应用于不同结构的分析与设计；
- 通过相对位移响应谱，可以派生出伪速度谱和伪加速度谱，对于无阻尼系统，伪加速度谱与绝对加速度谱在数值上一致。在工程意义上，绝对加速度谱直接对应惯性载荷，而伪加速度谱与结构内力联系更紧，其中绝对加速度谱恒不小于伪加速度谱，因此采用前者进行分析更为保守。
最后
以上内容是本人结合相关理论，对不同类型冲击响应谱之间区别与联系的一些理解。在撰写过程中参考了诸多相关资料，由于资料来源较多，这里就不列举了，在此一并进行感谢！由于个人水平有限，文章内容难免存在不足之处，如有错误或疏漏，欢迎大家指正。
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