拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：为什么它能把微分方程变简单？

第一次看拉普拉斯变换，很多人都会被一堆公式劝退。其实刚开始不用急着把公式表全背下来，先理解它到底在做什么。

简单说，拉普拉斯变换就是把原本在时间域里的函数 $f(t)$，转换到另一个更方便计算的 $s$ 域里：

$$f(t)\to F(s)$$

这样做最大的好处是：原来方程里麻烦的求导、积分，到了 $s$ 域里会变成更容易处理的代数运算。

所以这篇文章先不追求把所有公式都讲完，而是先抓住几个最核心的点：

$$f(t)\to F(s)$$

$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$$

在零初始条件下，可以简单理解为：

$$\text{微分}\to \text{乘以 }s$$

$$\text{积分}\to \text{除以 }s$$

$$u(t),t,t^n,e^{\pm at},\sin \omega t,\cos \omega t$$

其中正弦、余弦很重要，后面控制系统、电路分析、信号分析都会大量用到。

一、拉普拉斯变换是什么？

在时间域中，我们研究的是 $f(t)$。

经过拉普拉斯变换后，它会变成 $F(s)$，记作：

$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$$

其中：

• $t$：时间变量；
• $s$：复频域变量；
• $f(t)$：原函数；
• $F(s)$：拉氏变换后的函数，也叫像函数。

简单说就是：

$$\text{时间域问题}\to \text{s 域问题}$$

这样做的好处是：很多复杂的微分、积分运算，在 $s$ 域中可以变成普通代数运算。

二、常用公式是怎么来的？

公式表看起来很多，但它不是凭空背出来的。

所有拉氏变换公式，本质上都来自定义：

$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$$

也就是把不同的 $f(t)$ 代进去积分。

新手不需要每个公式都完整推导，但要理解几个典型公式。

1. 单位阶跃函数 $u(t)$

当 $t\ge 0$ 时：

$$u(t)=1$$

所以：

$$\mathcal{L}[u(t)]={\int }_0^{+\infty }{e}^{-st}dt$$

积分得：

$$\mathcal{L}[u(t)]={\left[-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right]}_0^{+\infty }$$

当 $t\to +\infty$ 时，$e^{-st}\to 0$，所以：

$$\mathcal{L}[u(t)]=0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}$$

因此：

$$\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s}$$

2. 指数函数 $e^{-at}$

代入定义：

$$\mathcal{L}[e^{-at}]={\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}{e}^{-st}dt$$

指数相乘：

$$e^{-at}{e}^{-st}=e^{-(s+a)t}$$

所以：

$$\mathcal{L}[e^{-at}]={\int }_0^{+\infty }{e}^{-(s+a)t}dt=\frac{1}{s+a}$$

因此：

$$\mathcal{L}[e^{-at}]=\frac{1}{s+a}$$

同理：

$$\mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}$$

这个地方容易记反：

$$e^{-at}\to \frac{1}{s+a}$$

$$e^{at}\to \frac{1}{s-a}$$

可以这样记：

指数里是负号，分母里变加号；指数里是正号，分母里变减号。

3. 一次函数 $t$

由定义：

$$\mathcal{L}[t]={\int }_0^{+\infty }t{e}^{-st}dt$$

用分部积分可以得到：

$$\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$$

进一步推广：

$$\mathcal{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}$$

例如：

$$\mathcal{L}[t^2]=\frac{2}{s^3}$$

所以：

$$\mathcal{L}\left[\frac{1}{2}{t}^2\right]=\frac{1}{s^3}$$

4. 正弦和余弦函数

正弦和余弦非常重要，可以用欧拉公式理解：

$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$

先求：

$$\mathcal{L}[e^{j\omega t}]$$

根据指数函数的结果：

$$\mathcal{L}[e^{j\omega t}]=\frac{1}{s-j\omega }$$

分母有理化：

$$\frac{1}{s-j\omega }=\frac{s+j\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

也就是：

$$\frac{1}{s-j\omega }=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}+j\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

又因为：

$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$

所以实部对应余弦，虚部对应正弦：

$$\mathcal{L}[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

$$\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

这两个公式一定要熟：

$$\sin \omega t\to \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

$$\cos \omega t\to \frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

三、新手必须掌握的核心表

刚开始不用背太多，先掌握这张表即可。

四、指数乘正弦、余弦：用位移性质推

后面经常会遇到：

$$e^{-at}\sin \omega t$$

$$e^{-at}\cos \omega t$$

这类公式不建议死背，用位移性质更清楚。

如果：

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

那么：

$$\mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a)$$

也就是说，乘上 $e^{-at}$，就把原公式里的 $s$ 换成 $s+a$。

例如：

$$\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

所以：

$$\mathcal{L}[e^{-at}\sin \omega t]=\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$

同理：

$$\mathcal{L}[e^{-at}\cos \omega t]=\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$$

如果乘的是 $e^{at}$，则把 $s$ 换成 $s-a$。

所以记住：

$$e^{-at}\Rightarrow s\text{ 换成 }s+a$$

$$e^{at}\Rightarrow s\text{ 换成 }s-a$$

五、拉氏变换最重要的性质

1. 线性性质

线性性质就是：

$$\text{加减可以拆开，常数可以提出来}$$

如果：

$$\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(s)$$

$$\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(s)$$

则：

$$\mathcal{L}[a{f}_1(t)+b{f}_2(t)]=a{F}_1(s)+b{F}_2(s)$$

例如：

$$\mathcal{L}[3t+2e^{-t}]=3\mathcal{L}[t]+2\mathcal{L}[e^{-t}]$$

所以：

$$\mathcal{L}[3t+2e^{-t}]=\frac{3}{s^2}+\frac{2}{s+1}$$

2. 微分性质

如果这篇文章只能记住一个性质，那优先记住微分性质。

如果：

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

则：

$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)-f(0)$$

二阶导数为：

$$\mathcal{L}[f^{\prime \prime }(t)]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$$

如果初始条件全为 0，则：

$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)$$

$$\mathcal{L}[f^{\prime \prime }(t)]=s^{2}F(s)$$

这就是拉普拉斯变换最关键的用途：

$$\text{微分运算}\to \text{乘以 }s\text{ 的代数运算}$$

3. 积分性质

如果：

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

则：

$$\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \right]=\frac{F(s)}{s}$$

简单记：

$$\text{微分对应乘 }s$$

$$\text{积分对应除以 }s$$

4. 延迟性质

如果：

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

则：

$$\mathcal{L}[f(t-\tau )u(t-\tau )]=e^{-\tau s}F(s)$$

含义是：

函数延迟 $\tau$ 秒出现，在 $s$ 域中会多乘：

$$e^{-\tau s}$$

六、初值定理和终值定理

1. 初值定理

用于求 $t\to 0^{+}$ 时的值：

$$f(0^{+})=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)$$

2. 终值定理

用于求 $t\to \infty$ 时的最终值：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

但终值定理不能乱用。

如果函数最终不稳定，或者一直振荡，比如：

$$\sin t,\cos t$$

就没有最终值，不能用终值定理。

七、拉氏变换如何把微分方程变成代数方程？

以二阶微分方程为例：

$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0$$

设：

$$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$$

对方程两边取拉氏变换：

$$\underset{s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)}{\mathcal{L}[y^{\prime \prime }(t)]}+3\underset{sY(s)-y(0)}{\mathcal{L}[y^{\prime }(t)]}+2\underset{Y(s)}{\mathcal{L}[y(t)]}=\boxed{0}$$

如果是零初始条件：

$$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$

那么上式变为：

$$\underset{s^{2}Y(s)}{s^{2}Y(s)-s\cdot 0-0}+3\underset{sY(s)}{(sY(s)-0)}+2Y(s)=\boxed{0}$$

整理得：

$$s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=\boxed{0}$$

提取 $Y(s)$：

$$(s^2+3s+2)Y(s)=\boxed{0}$$

这样就把原来的微分方程：

$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0$$

变成了 $s$ 域中的代数方程：

$$(s^2+3s+2)Y(s)=0$$

重点是这三个对应关系：

$$y^{\prime \prime }(t)\to s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)$$

$$y^{\prime }(t)\to sY(s)-y(0)$$

$$y(t)\to Y(s)$$

在零初始条件下，它们会简化成：

$$y^{\prime \prime }(t)\to s^{2}Y(s)$$

$$y^{\prime }(t)\to sY(s)$$

$$y(t)\to Y(s)$$

八、总结

这一篇抓住下面几件事即可：

$$f(t)\to F(s)$$

$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$$

$$\text{把微分方程变成代数方程}$$

$$\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

$$\mathcal{L}[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)-f(0)$$

$$\mathcal{L}[f^{\prime \prime }(t)]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$$

学完拉氏变换后，下一步就是学习 拉氏逆变换：

$$F(s)\to f(t)$$

也就是如何从 $s$ 域回到时间域。