[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 03：线性代数下

[简化版 GAMES 101] 计算机图形学03：线性代数下

• Bilibili同步视频
• 一、向量叉乘：突破平面的向量运算💫
• • 1. 叉乘的核心定义
  • 2. 叉乘的关键性质
  • 3. 图形学中的核心应用🎯
  • • （1）构建三维右手坐标系
    • （2）判定左右与内外部关系
• 二、矩阵运算：图形变换的通用工具🔧
• • 1. 矩阵的基础认知
  • 2. 矩阵乘法的核心规则
  • 3. 矩阵运算的核心性质
  • 4. 图形学中的特殊矩阵与操作
  • • （1）矩阵与向量相乘
    • （2）矩阵转置
    • （3）单位矩阵
    • （4）矩阵的逆
• 三、向量运算的矩阵形式：数与形的统一📐
• 四、后续学习指引：从基础到进阶🚀
• 写在最后📝

Bilibili同步视频

[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 03：线性代数下

✨ 图形学的世界里，线性代数是当之无愧的底层基石，而向量叉乘与矩阵运算更是其中的核心工具。从三维坐标系的构建到图形内外部的判定，从简单的向量变换到复杂的相机运动模拟，这些基础运算始终贯穿其中。今天，我们就从图形学应用视角，拆解向量叉乘与矩阵运算的定义、性质及实战价值，为后续的图形学学习筑牢根基。✨

一、向量叉乘：突破平面的向量运算💫

提到向量运算，点积是大家的老熟人，但叉乘作为另一种乘法运算，与点积有着本质区别——点积的结果是标量，而叉乘的结果是全新的向量，这一特性也让它成为处理三维空间问题的关键。

1. 叉乘的核心定义

叉乘的输入是两个三维向量

a

⃗

\\vec{a}

a

和

b

⃗

\\vec{b}

b

，输出的向量

c

⃗

=

a

⃗

×

b

⃗

\\vec{c}=\\vec{a}×\\vec{b}

c

=a

×b

有着明确的几何特征：

c

⃗

\\vec{c}

c

同时垂直于

a

⃗

\\vec{a}

a

和

b

⃗

\\vec{b}

b

，也就意味着

c

⃗

\\vec{c}

c

垂直于

a

⃗

\\vec{a}

a

和

b

⃗

\\vec{b}

b

所在的整个平面，是跳出原平面的三维向量。

从大小来看，

c

⃗

\\vec{c}

c

的模长为

∣

a

⃗

∣

×

∣

b

⃗

∣

×

s

i

n

θ

|\\vec{a}|×|\\vec{b}|×sinθ

∣a

∣×∣b

∣×sinθ （

θ

θ

θ 为

a

⃗

\\vec{a}

a

与

b

⃗

\\vec{b}

b

的夹角）；而方向的判定，需要借助右手螺旋定则：伸出右手，四指沿

a

⃗

\\vec{a}

a

旋转至

b

⃗

\\vec{b}

b

的方向，大拇指所指的方向，就是

c

⃗

\\vec{c}

c

的方向。

2. 叉乘的关键性质

叉乘的运算性质是其应用的基础，几个核心特性需要牢牢掌握：

• ❌不满足交换律：

  a

  ⃗

  ×

  b

  ⃗

  =

  −

  (

  b

  ⃗

  ×

  a

  ⃗

  )

  \\vec{a}×\\vec{b} = -(\\vec{b}×\\vec{a})

  a

  ×b

  =−(b

  ×a

  ) ，交换两个向量的顺序，结果向量方向完全相反，仅需添加负号即可转换。

• ⭕自身叉乘为0向量：任意向量与自身叉乘，因夹角

  θ

  =

  0

  °

  θ=0°

  θ=0° ，

  s

  i

  n

  θ

  =

  0

  sinθ=0

  sinθ=0 ，结果为长度为0的0向量（注意是向量，而非数字0）。

• ✅满足分配律与结合律：与常规运算一致，叉乘的分配律和结合律均成立，为复杂运算的化简提供了可能。

3. 图形学中的核心应用🎯

叉乘并非单纯的数学概念，在图形学中有着极强的实战意义，两大核心应用更是贯穿图形学基础开发：

（1）构建三维右手坐标系

这是叉乘最基础的应用，在三维空间中，若给定x轴和y轴的单位向量，通过

x

⃗

×

y

⃗

\\vec{x}×\\vec{y}

x

×y

​ 即可直接得到z轴的单位向量，以此构建的坐标系即为右手坐标系（图形学教学中主流的坐标系形式）。同理，

y

⃗

×

z

⃗

=

x

⃗

\\vec{y}×\\vec{z}=\\vec{x}

y

​×z

=x

，

z

⃗

×

x

⃗

=

y

⃗

\\vec{z}×\\vec{x}=\\vec{y}

z

×x

=y

​ ，只需掌握右手螺旋定则，即可快速推导。

小贴士：部分图形学API（如OpenGL）采用左手坐标系，

x

⃗

×

y

⃗

=

−

z

⃗

\\vec{x}×\\vec{y}=-\\vec{z}

x

×y

​=−z

，开发时需注意坐标系类型的区分。

（2）判定左右与内外部关系

这是叉乘在图形学中最常用的实战技巧，本质是利用叉乘结果的符号判断向量相对位置，核心适用于XY平面（z轴为叉乘结果方向）：

• 左右判定：计算

  a

  ⃗

  ×

  b

  ⃗

  \\vec{a}×\\vec{b}

  a

  ×b

  ，若结果z分量为正，说明

  b

  ⃗

  \\vec{b}

  b

  在

  a

  ⃗

  \\vec{a}

  a

  的左侧；若z分量为负，说明

  b

  ⃗

  \\vec{b}

  b

  在

  a

  ⃗

  \\vec{a}

  a

  的右侧。

• 内外部判定：这是三角形光栅化、像素着色的基础！对于逆时针/顺时针排列的三角形ABC和待判定点P，分别计算

  A

  B

  ⃗

  ×

  A

  P

  ⃗

  \\vec{AB}×\\vec{AP}

  AB

  ×AP

  、

  B

  C

  ⃗

  ×

  B

  P

  ⃗

  \\vec{BC}×\\vec{BP}

  BC

  ×BP

  、

  C

  A

  ⃗

  ×

  C

  P

  ⃗

  \\vec{CA}×\\vec{CP}

  CA

  ×CP

  ，若三个结果的符号一致（均正或均负），则P在三角形内部；若存在符号不同的结果，则P在外部。

特殊情况：若叉乘结果为0，属于图形学中的corner case，可自行定义点在内部或外部，如光线擦过三角形边的相交判定，无统一标准。

二、矩阵运算：图形变换的通用工具🔧

如果说叉乘解决了三维空间的几何判定问题，那么矩阵运算就是图形学中实现所有变换的核心载体——平移、旋转、缩放、错切，所有图形的位置和形态变化，都可以通过矩阵运算来描述和实现。

1. 矩阵的基础认知

矩阵本质是按行和列排列的数值集合，用

m

×

n

m×n

m×n 表示其维度（m行n列）。矩阵的基础运算中，数乘（矩阵所有元素同乘一个数）较为简单，而矩阵乘法是核心，也是难点。

2. 矩阵乘法的核心规则

两个矩阵能进行乘法运算的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数（如

3

×

2

3×2

3×2 矩阵可与

2

×

4

2×4

2×4 矩阵相乘，中间的2为匹配维度）。

相乘后的结果矩阵维度为第一个矩阵的行数 × 第二个矩阵的列数（如

3

×

2

3×2

3×2 ×

2

×

4

2×4

2×4 =

3

×

4

3×4

3×4 ）。

而结果矩阵中任意元素的计算，可借助向量点积快速记忆：求结果矩阵第i行第j列的元素，只需取第一个矩阵的第i行、第二个矩阵的第j列，将两个行/列向量做点积即可。

3. 矩阵运算的核心性质

与叉乘类似，矩阵乘法的性质直接决定了运算的逻辑，核心记住这几点：

• ❌不满足交换律：

  A

  ×

  B

  ≠

  B

  ×

  A

  A×B ≠ B×A

  A×B=B×A ，矩阵乘法的顺序直接决定结果，图形变换中顺序的改变会导致完全不同的变换效果。

• ✅满足结合律与分配律：

  (

  A

  ×

  B

  )

  ×

  C

  =

  A

  ×

  (

  B

  ×

  C

  )

  (A×B)×C = A×(B×C)

  (A×B)×C=A×(B×C) ，结合律的存在让复杂变换的矩阵可以提前合并，提升计算效率；分配律

  A

  ×

  (

  B

  +

  C

  )

  =

  A

  ×

  B

  +

  A

  ×

  C

  A×(B+C)=A×B+A×C

  A×(B+C)=A×B+A×C 同样成立。

4. 图形学中的特殊矩阵与操作

在图形学的矩阵应用中，几个特殊矩阵和核心操作是必须掌握的，它们是实现图形变换的基础：

（1）矩阵与向量相乘

图形学中，向量始终被视为列向量（

m

×

1

m×1

m×1 矩阵），矩阵与向量相乘需遵循“矩阵在左，向量在右”，且矩阵的列数等于向量的行数。这一运算也是实现单个向量变换的核心，比如用

[

−

1

0

0

1

]

\\begin{bmatrix}-1&0\\\\0&1\\end{bmatrix}

[−10​01​] 乘以二维向量

[

x

,

y

]

T

[x, y]^T

[x,y]T ，可实现向量沿y轴的镜像变换，结果为

[

−

x

,

y

]

T

[-x, y]^T

[−x,y]T 。

（2）矩阵转置

将矩阵的行和列互换，即为转置操作（记为

A

T

A^T

AT ），如

3

×

2

3×2

3×2 矩阵转置后为

2

×

3

2×3

2×3 矩阵。核心性质：

(

A

×

B

)

T

=

B

T

×

A

T

(A×B)^T = B^T × A^T

(A×B)T=BT×AT ，乘积的转置需先调换矩阵顺序，再分别转置。

（3）单位矩阵

单位矩阵是对角线上元素均为1，其余为0的对角阵（如3×3单位矩阵

I

3

=

[

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

I_3=\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&0&1\\end{bmatrix}

I3​=

​100​010​001​

​ ），其核心作用是“无操作”：

I

×

A

=

A

I×A=A

I×A=A ，

A

×

I

=

A

A×I=A

A×I=A ，是矩阵求逆的基础。

（4）矩阵的逆

若矩阵

A

A

A 与矩阵

B

B

B 相乘的结果为单位矩阵，即

A

×

B

=

B

×

A

=

I

A×B=B×A=I

A×B=B×A=I ，则

A

A

A 与

B

B

B 互逆（记为

B

=

A

−

1

B=A^{-1}

B=A−1 ）。逆矩阵是实现逆变换的关键，比如旋转后的图形可通过旋转矩阵的逆矩阵恢复原位置。核心性质：

(

A

×

B

)

−

1

=

B

−

1

×

A

−

1

(A×B)^{-1} = B^{-1} × A^{-1}

(A×B)−1=B−1×A−1 ，与转置性质类似，乘积的逆需先调换顺序再分别求逆。

三、向量运算的矩阵形式：数与形的统一📐

线性代数的魅力在于其统一性，向量的点乘和叉乘，都可以转化为矩阵运算的形式，这一转换让向量运算可以融入矩阵的统一框架，为复杂的图形学算法推导提供了便利。

四、后续学习指引：从基础到进阶🚀

本次分享的向量叉乘与矩阵运算，是图形学所需线性代数的核心基础，也是相对易懂的部分。后续的图形学学习，将基于这些基础向更复杂的方向推进：

同时，为了让大家更好地上手后续的实战作业，助教也将搭建作业0的框架，帮助大家完成从理论到实践的过渡，为作业1的实战做好准备。

写在最后📝

线性代数作为图形学的“内功”，看似枯燥的公式和性质，实则是解锁所有图形学特效的钥匙。向量叉乘让我们能判定三维空间的几何关系，矩阵运算让我们能实现任意的图形变换，这些基础内容的掌握程度，直接决定了后续图形学学习的效率。

本次的内容只是图形学基础的起点，后续的学习虽会逐渐变难，但只要筑牢这些底层知识，理清运算的逻辑和应用场景，就能一步步解锁图形学的精彩世界。下一期，我们将深入图形变换的世界，从二维旋转开始，探索矩阵运算的实战魅力，敬请期待！

💬 互动区：你在学习向量叉乘和矩阵运算时，遇到过哪些难点？欢迎在评论区留言交流，一起攻克图形学基础难关！