J语言矩阵可视化，极简语句绘制谢尔宾斯基地毯

文章目录

• • 安装与初步使用
  • 谢尔宾斯基地毯
  • 计算原理

安装与初步使用

viewmat是J语言的矩阵可视化工具，可将数值数组直接渲染为图像窗口，类似于有些语言的imshow。点击菜单栏【Tools】->【Package Manager】，找到【graphics/viewmat】，勾选后点击左下角【install】即可。

安装完成后，在J语言输入框中load即可使用，下面绘制一个简单的矩阵

绘图代码如下

load 'viewmat'
viewmat (i.100) +/ i.100

代码中，(i.100)用于生成

[

0

,

100

)

[0,100)

[0,100)范围内的自然数序列，【+/】为数组外积，若

A

=

b

⊕

c

A=b\\oplus c

A=b⊕c，则矩阵

A

A

A的元素为

A

i

j

=

b

i

+

c

j

A_{ij}=b_i+cj

Aij​=bi​+cj。

谢尔宾斯基地毯

谢尔宾斯基地毯是一种经典平面分型，其构造规则为

效果如下

这是Gallery中的第一个示例程序，代码如下，简单得令人发指

Y=: 3&#. ^:_1 i.243
(255 255 0,0 0 255,:192 128 0) viewmat Y +./ . *. |: Y

首先看第一行，其运算顺序从右到左，依次是

• 【i.243】生成$[0,243)$
• 【^:_1】为二元运算符，对右侧值做左侧函数的逆运算
• 【3&#】三进制转十进制，其逆运算即为十进制转三进制

所以，Y的计算结果就是用三进制表示的从0到242的数组，最后几位分别是

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

2

2

2

1

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

\\begin{matrix} \\cdots&\\cdots&\\cdots&\\cdots&\\cdots\\\\ 2&2&2&1&2\\\\ 2&2&2&2&0\\\\ 2&2&2&2&1\\\\ 2&2&2&2&2\\\\ \\end{matrix}

⋯2222​⋯2222​⋯2222​⋯1222​⋯2012​

其中，0，1，2分别表示每次九等分时所在的相对位置

• 0：左侧或下侧三分之一区间
• 1：中间三分之一区间
• 2：右侧或上侧三分之一区间

然后再看第二行，在这里，viewmat成了二元运算符，其左侧输入为调色板，三种颜色分别是黄色、蓝色、橄榄色。下面详细解读【 Y +./ . *. |: Y】这段代码。

计算原理

【Y +./ . *. |: Y】是经典的三进制数位过滤法，其运算顺序为【Y (+./ . *.) |: Y】，其中【|:】用于转置，也就是说，对Y和Y的转置进行这个【+./ . *.】运算，

其中比较关键的两个运算符是

• 【*.】 求最大公约数(GCD)
• 【+.】 最小公倍数(LCM)，【+./】表示将该运算插入到列表中去，在J语言中叫归约

由于Y由三进制表示，此时GCD 与 LCM 表现出极强的逻辑门特性，其真值表如下

有了【+./】可以保证上一级是0，则后面所有级都为0。

【+./ . *.】的完整称呼是，以 GCD 为元素运算、以 LCM 为归约运算的内积，对于【A(+./ . *.)B】而言，其具体计算次序为