多元函数与平面点集
二元函数
概念
解释：
这里需要再理解一下定义域的表示，就需要再理解一下点与面的关系
某点与面的关系（这部分考试不太考察，但，是后面计算的基础）
解释：
这里规定，某定义域是图中蓝色范围和P4点，称为E，严格定义如下：
举个说人话的例子，比如P1，判断P1点周围是否存在某个很小的“圈”，能让这个圈里的任意点都在定义域E里，如果存在，就视作P1在E内，称为内点
注意，必须要圈内任意点都在E内，只有一些点（比如在边界上的P2,P3）甚至只有那个点本身（比如属于定义域的P5）称为边界点，全都不在的就叫外点
E的内点一定属于E，E的外点一定不属于E，E的边界点不确定，可能属于（P3，P4），也可能不属于（P2）
聚点：（包含内点和非孤立的边界点）
人话：解释2.的基础上，将很小的圈的圆心去掉，剩下的部分里是否存在无穷多个属于E的点。E的内点一定是聚点，E的外点一定不是聚点，边界点可能是聚点（比如P3,P2）也可能不是聚点（比如P4的去心领域是空的）
平面点集E的类别（这部分考试不太考察，但，是后面计算的基础）
解释：
多元函数极限与连续
背景
这个知识点是后面全微分的基础，同样是高数的一个难点。理解上可以类比一元函数的极限
概念：
注意：
求极限不存在的方法：
1.单路径：
如果分母可以取0（分母在（0,0）的去心领域内总能取到0，几何意义上就是沿x轴y=0或者沿y轴x=0等路径去接近某点），此时只需证明该路径下极限为∞，则该极限不存在。路径可以由令分母=0时得到的式子，并加一个次数高于分子的数更加方便的计算。
2.万能路径：
通过代入y=kx（直线路径）计算，如果结果与k有关，则极限不存在，如果结果与k无关（比如恒为0），则不确定是否存在，需要继续验证。
3.特殊路径
如果直线路径结果一致，则需要代入非直线路径，常见的抛物线路径（y=x²，x=y²等），绝对值路径（y = |x|），高频震荡路径比如y=xsin(1/x)（x->0）
4.极坐标代换：
极坐标是坐标的另一种表示，不同于(x,y)用到数轴的距离，而是(r,θ)，r为到原点的距离，θ与x轴的夹角。
5.快速算法：
满足特殊形式可以方便计算：
求极限的方法：
1.由连续性直接代入f(x) – > f(x0)
以下三张图片可以了解一下
说人话就是，遇到了多元初等函数，代入x->x0与y->y0后式子有意义，不是未定式，那根据连续性此处的函数值就是极限值
2.等价无穷小代换，四则运算
常用的等价无穷小如下：
注意
这里的x是指广义上的一个项数，至于这个项数是单独的x还是xy无所谓，只要求能在一个整体里
3.有界变量 * 无穷小 – > 无穷小：
这个可以在看完下面的夹逼定理后再回来看一下
跟下面的流程相似，只是不用放缩，再拆开后，用于 y / 根号下(x²+y²) 的值肯定是有界的，那有界变量×无穷小还是无穷小
这个是比较常用的
4.夹逼定理：
该定理内容：如果一个目标函数（或数列）被另外两个函数（或数列）“夹”在中间，并且这两个“边界”函数在某个点（或无穷远处）的极限相同，那么被夹在中间的目标函数在该点的极限也必然等于这个相同的值。
再补充一点：仅限于0，当lim x->x0 |f(x)| = 0时，lim x-> x0 f(x)=0成立
适用范围：分子是分母的一部分，比如：
此时可以先套上绝对值（便于放缩），通过放缩，化简成 0<= 原式 <= |x| （因为 y / 根号下(x²+y²)），由lim x->0 |x| = 0与夹逼定理可得原函数极限也是0.
注意，做放缩的时候，不要乱动分母，可能会导致条件不一样
5. 极坐标：
和上面讲过的极坐标类似，适合在一些齐次方啊之类的场景下使用
二重积分和二次积分的区别
前者x与y可以同步变化，后者则具有先后顺序，由此产生的极限效果可能截然不同
