【C++】AVL树实现

AVL树的概念

• AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树
• AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树： 它的子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1
• AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡
• AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标⼀样
• AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比二叉搜索树效率有了本质的提升

AVL树的实现

AVL树的结构

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K,V>* _left;
AVLTreeNode<K,V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//balance factor

AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{ }
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};

AVL树的插入

AVL树插入一个值的大概过程

平衡因子的更新

• 更新原则： 1.平衡因子=右子树高度-左子树高度 2.新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子– 3.parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

• 更新停止条件： 1.更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent子树一边高一边低的，且新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以更新结束 2.更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的节点插入后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所在的子树仍符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新 3.更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，且新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求了，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡；2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束 4.不断更新，最坏情况更新到根，跟的平衡因子是1或-1所以也停止了

插入结点及更新平衡因子的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first > parent->_kv.first)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;

//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf—;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == –1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == –2)
{
//旋转
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}

旋转

旋转的概念

• 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋
• 旋转的原则: 1.保持搜索树的规则 2.让旋转的树从不平衡变平衡的同时也降低树的高度

右单旋

右单旋操作理解

下图展示的是10为根的树，把a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。

上图a,b,c三棵子树比较抽象，不便理解，要理解旋转，可以从具体的例子开始，逐步理解 可以看出，具体的形态有很多种很复杂，但是旋转的操作很简单，根据上面的具体场景，我们可以把右单旋的场景抽象概括表示

右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* parentparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
if (parentparent == nullptr)
{
_root = subL;
}
else
{
if (parentparent->_left == parent)
{
parent->_left = subL;
}
else
{
parent->_right = subL;
}
}
subL->_parent = parentparent;
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

左单旋

左单旋操作理解

与右单旋完全类似，只不过从左边高变成右边高

左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* parentparent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
subR->_left = parent;
if (parentparent == nullptr)
{
_root = subR;
}
else
{
if (parentparent->_left == parent)
{
parent->_left = subR;
}
else
{
parent->_right = subR;
}
}
subR->_parent = parentparent;
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

左右双旋

左右双旋操作理解

通过下图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。 右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行⼀个左单旋（把10为根的子树变成单纯的左边高），再以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了，如下图 下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析： 另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树e和右子树f，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论： 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。 左右双旋从最后结果来看，就是把左右的左子树给左的右子树，左右的右给parent的左

左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = –1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == –1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else
{
assert(false);
}
}

右左双旋

右左双旋操作理解

跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论： 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = –1;
}
else if (bf == –1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}

AVL树的平衡检测

检测我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
int diff = rightHeight – leftHeight;
if (abs(diff) > 1)
{
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
return false;
}
return IsBalanceTree(root->_left) && IsBalanceTree(root->_right);
}

AVL树的查找

二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}