基本定义
一个锦标赛（Tournament）是一个有向完全图：每对不同的顶点之间恰好有一条有向边（表示一场比赛有胜负，没有平局）。
一个锦标赛被称为 k-悖论锦标赛（k-paradoxical tournament），如果对于任意一个包含不超过 k 个顶点的子集 A，都存在至少一个顶点能够支配（dominate）A 中的所有顶点——即这个顶点能"打败"A中的每一个顶点。
为什么叫"悖论"？
这个名字来源于它与直觉的冲突：
- 在普通锦标赛中，如果存在一个"冠军"（能打败所有人的选手），那很简单。
- 但在悖论锦标赛中，不存在任何能打败所有人的选手（这就是 1-悖论，即普通悖论锦标赛）。
- 更进一步，在 2-悖论锦标赛中，甚至不存在任何一对选手是"不可战胜"的——总有人能同时击败他们中的任意两人。
这种结构在投票理论中也有体现：它类似于孔多塞悖论（Condorcet paradox），即群体偏好可能不存在传递性。
1-悖论
在游戏中的应用
最简单的就是剪刀石头布。
| 平局 | 败北 | 胜利 |
| 胜利 | 平局 | 败北 |
| 败北 | 胜利 | 平局 |
剪刀可以打败布，但会被石头打败；石头可以打败剪刀，但会被布打败；布可以打败石头，但会被剪刀打败。这三个选项没有一个是绝对无敌的。
另外，常见火水草相克、光暗互克也采用了1-悖论。
1-悖论一些有趣的性质
-
每个顶点的出度 = 入度 = 1，结构高度对称
-
这个锦标赛是正则的（每个顶点地位等价）
-
不存在"冠军"（没有人能击败所有人）。
-
但如果组合出场将立于不败之地（拿火水草举例，只要拥有其中两种属性，那么最差也是平局）
2-悖论
上图就是最小的 2-悖论锦标赛，由 7 个顶点构成。
构造规则
每个顶点 `v` 向 `(v+1)`, `(v+2)`, `(v+4)` mod 7 发出有向边。其中 `{1, 2, 4}` 恰好是模 7 的二次剩余（即存在某个整数 x 使得 x² ≡ 1, 2, 或 4 mod 7）。
2-悖论性质验证
程序验证了所有 C(7,2)=21 对顶点，每一对都至少存在一个"支配者"：
| （0，1） | 6 | （3，4） | 2 |
| （0，2） | 5 | （3，5） | 1 |
| （0，3） | 6 | （3，6） | 2 |
| （0，4） | 3 | （4，5） | 3 |
| （0，5） | 3 | （4，6） | 2 |
| （0，6） | 5 | （5，6） | 4 |
| （1，2） | 0 | …… | …… |
这意味着：没有任何两个人是"不可战胜"的——总有人能同时击败他们中的任意两人。
2-悖论一些有趣的性质
- 每个顶点的出度 = 入度 = 3，结构高度对称
- 这个锦标赛是正则的（每个顶点地位等价）
- 不存在"冠军"（没有人能击败所有人），也不存在"亚军组合"（没有任何两人组合是不可被第三方同时击败的）
- 这是满足 2-悖论性质的最小锦标赛——6 个顶点无法构造出这样的结构
在游戏中的应用
Paradox 游戏论坛中就曾有人提议用"2-悖论锦标赛"来替代传统的能量/动能/爆炸系统，实现类似"石头剪刀布"但更复杂的循环克制关系。遗憾的是现在并没有那款游戏采用“2-悖论”的设计（如果你知道的话请在评论区告诉我）。
游戏设计
不过只是初期的设想：
- 这是一款棋类的游戏（类似于象棋）
- 两名玩家对战，双方玩家各有七枚棋子
- 七枚棋子采用2-悖论互相克制，只有克制的棋子才能吃掉对方
- 七枚棋子被吃光的玩家败北
- 玩家每回合获得一定费用
- 每回合玩家可以消耗费用来召唤棋子，也可以用来移动棋子。
核心机制框架
1. 克制关系（基于7顶点2-悖论锦标赛）
每个棋子类型对应锦标赛中的一个顶点。克制关系如下：
| 0 | 1，2，4 | 3，5，6 |
| 1 | 2，3，5 | 4，6，0 |
| 2 | 3，4，6 | 1，5，0 |
| 3 | 4，5，0 | 1，2，6 |
| 4 | 1，5，6 | 2，3，0 |
| 5 | 2，6，0 | 1，3，4 |
| 6 | 1，3，0 | 2，4，5 |
关键性质：任意选两个棋子，总存在第三个棋子能同时克制它们。这意味着：
- 不存在"无敌组合"
- 任何优势阵型都有破解之法
- 信息战（猜测对方手牌/场上布局）成为核心策略
2. 费用系统
| 召唤1枚棋子 | 3费 |
| 移动1枚棋子 | 1费 |
| 每回合自然恢复 | +2费（可调整） |
| 费用上限 | 6费 |
设计意图：召唤是重决策（暴露信息+消耗资源），移动是轻决策（微调位置）。费用上限防止囤积爆发。
3. 棋盘设计
A B C D E F G
1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ← 玩家2召唤区（后3排）
2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3 . . . . . . . ← 中立区
4 . . . . . . .
5 . . . . . . .
6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ← 玩家1召唤区（后3排）
7 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- 7×7棋盘（呼应7枚棋子/7种类型）
- 召唤只能在己方的"~"区域进行
- 棋子进入对方"~"区域可造成"压制"（可选机制：每回合对对方费用造成干扰）
4. 吃子规则
只有当 A 克制 B 时，A 才能吃掉 B
同类型棋子不能互吃（平局，互相阻挡）
关键策略点：由于克制是单向的，你需要：
- 用克制对方的棋子去接触
- 避免被对方的克制棋子包围
- 利用2-悖论性质：对方两枚棋子在一起时，你手里可能有第三枚能同时克制它们
战术与进阶机制设想
5. 2-悖论的战术体现：三角围剿
因为任意两枚棋子都有第三枚能同时克制它们，所以：
对方场上：A 和 B 相邻
你手牌中有 C（C同时克制A和B）
你可以移动C到能同时接触A和B的位置
A和B被迫分开，否则C可以任选其一吃掉
这是2-悖论性质在游戏中的直接战术翻译。
6. 终局机制：棋子耗尽≠立即失败
当前设计是"七枚棋子被吃光就输"，但可以考虑：
| 经典版 | 吃光7枚即败 |
| 王冠版 | 7枚中指定1枚为"王冠"，王冠被吃则败，其他棋子可无限召唤（费用递增） |
| 占点版 | 棋盘上有3个"圣地"，控制2个以上圣地持续3回合获胜 |
平衡性分析
为什么2-悖论适合作为游戏基础？
| 无绝对强势 | 没有棋子能吃掉所有其他类型（出度=3，入度=3） |
| 无绝对安全组合 | 任何两枚棋子都有被第三方同时克制的风险 |
| 信息价值极高 | 知道对方手牌/位置可以精准打击 |
| 不存在"最优解 | 纳什均衡是混合策略，鼓励变化 |
潜在问题与解决方案
| 新手难以记忆克制关系 | 棋盘边缘显示克制环；UI高亮可吃/被吃的棋子 |
| 对局时间过长 | 缩小棋盘到5×5；减少初始棋子到5枚 |
| 先手优势 | 后手第一回合额外+1费；或先手第一回合不能召唤 |
| 僵局（互相不敢接触） | 引入"费用衰减"——每3回合未发生战斗，双方费用恢复速度+1 |
一个具体的开局示例
回合1（玩家1，3费）：
召唤 棋子0 到 (6,D) 消耗3费
回合1（玩家2，3费）：
召唤 棋子3 到 (2,D) 消耗3费
（3克制0，形成对位压制）
回合2（玩家1，2+2=4费）：
召唤 棋子5 到 (6,C) 消耗3费
移动 棋子0 到 (5,D) 消耗1费
（5克制3，反压制！）
回合2（玩家2，2+2=4费）：
召唤 棋子1 到 (2,E) 消耗3费
（1克制5，形成三角…）
