全文 - Adaptive Aborting Schemes for Quantum Error Correction Decoding

量子纠错解码的自适应终止方案

arXiv: 2602.16929v1 [quant-ph]

发表日期: 2026年2月18日
翻译说明: 本文为中文翻译，仅供学习参考。

摘要

量子纠错（Quantum Error Correction, QEC）对于实现容错量子计算至关重要。当前的 QEC 控制器在执行解码前，会完成所有预定的综合征（syndrome，即奇偶校验比特）测量轮次，即使早期的综合征数据已经表明该次运行将导致错误。由此产生的多余测量增加了解码器的工作负载和系统延迟。为了规避这一问题，我们引入了一个自适应终止（adaptive-abort）模块，它能够同时提升解码器开销效率并抑制表面码和颜色码的逻辑错误率，且无需修改现有的 QEC 控制器。

核心思想是：初始的综合征信息允许控制器在额外资源被消耗之前提前终止高风险的运行（shot）。一个有效的方案能够平衡进一步测量的成本与重启成本之间的权衡，从而提高解码器效率。自适应终止方案利用实时综合征信息，动态调整每次运行中的综合征测量轮次数。我们考虑了三种方案：固定深度（Fixed-depth, FD）解码——当前最先进 QEC 控制器使用的标准非自适应方法，以及两种自适应方案 AdAbort 和 单步前瞻（One-Step Lookahead, OSLA）解码。

在现实的电路级退极化噪声模型下，对于表面码和颜色码，AdAbort 显著优于 OSLA 和 FD，在广泛的码距范围内实现了更高的解码器效率（decoder efficiency）。数值结果表明，随着码距从 5 增加到 15，AdAbort 对表面码的提升从 5% 增加到 35%，对颜色码的提升从 7% 增加到 60%。

据我们所知，这些是为 QEC 考虑的首批自适应终止方案。我们的结果凸显了终止规则在提升效率方面的潜在重要性，这将有助于我们扩展到大规模资源密集型量子架构。

1. 引言

量子计算机有潜力解决当今超级计算机无法企及的问题。然而，量子计算机的硬件极为脆弱：量子比特（qubits）高度敏感，即使是与周围环境的微小相互作用也会通过退相干（decoherence）抹除量子信息。此外，每个逻辑操作（即施加于编码量子比特的门）都会产生显著的开销，因为它必须用多轮重复的综合征测量和经典解码来保护。因此，这些综合征测量轮次不仅增加了解码器必须处理的综合征数据量，还增加了解码器必须运行的次数——这显著增加了解码器的工作负载并降低了解码器效率（定义为单位执行时间内正确解码的逻辑输出数量）。

因此，更大的量子算法不仅增加了退相干的机会，还消耗了更多稀缺的解码器和测量资源。为解决这一问题，我们探索了自适应提前终止方案，在无望的运行到达解码器之前中止它们，从而减轻解码器的负担并提高解码器效率。

量子纠错（QEC）对于保持量子信息存活足够长的时间以进行有用的量子计算至关重要。与经典纠错码（ECC）将逻辑比特冗余编码到多个物理比特上类似，QEC 将单个逻辑量子比特冗余编码到多个物理量子比特上。这样，QEC 可以检测和纠正单个物理量子比特上的错误。与经典 ECC 类似，为使 QEC 发挥作用，硬件必须支持低于某个逻辑量子比特阈值（logical qubit threshold 或简称 threshold）的错误率，确保即使多个物理量子比特发生错误，原始逻辑状态仍可恢复。

图 1(a) 展示了当前最先进的 QEC 分层架构，图 1(b) 展示了增加自适应终止模块后的 QEC 控制器架构。自适应终止模块位于**运行编排层（shot orchestration layer）**内，介于 QEC 解码器和物理量子比特之间，持续评估解码置信度并发出提前终止指令。

当今最先进的 QEC 控制器实现了一种固定深度（FD）方案，其中每次运行总是执行预定数量的综合征测量轮次，然后才进行解码，没有任何提前终止机制。图 1(a) 展示了从底部物理量子比特、经过运行编排层和 QEC 解码器、到逻辑量子比特指令和高层量子算法框架的分层架构。在传统的纯 FD 设计中，无论最终成功与否，每次运行都必须支付所有综合征测量轮次的费用，这增加了解码器的数据处理量和工作负载。

与其等到所有综合征测量完成，不如我们将综合征提取视为噪声下的序贯决策问题。关于自适应综合征测量的研究工作正在不断增长；然而，本文似乎是第一篇聚焦于受控执行、吞吐量和效率（而非纯粹逻辑错误降低）的工作。具体而言，在每一轮之后，控制器已经观察到了部分综合征，已经可以评估最终解码成功的可能性。由于完整执行和解码操作代价高昂，原则上可以通过提前终止一个没有希望的综合征测量序列来节省资源。我们聚焦于控制器层面的自适应终止决策。在每一步，系统必须决定是否有足够的证据来证明继续进行额外的综合征测量是合理的，还是接受到目前为止已产生的损失并重启过程更为可取。

我们的洞察是，这可以自然地被视为一个最优停止问题（optimal stopping problem），其目标是最大化解码器效率。虽然激进的终止存在丢弃可恢复执行的风险，但当前设计引入了不必要的延迟和资源使用。我们的目标是优化这种权衡。

为克服传统纯 FD 设计的缺点，我们开发了自适应终止方案，根据迄今为止观察到的综合征动态调整每次运行中执行的综合征测量轮次数（参见图 2(b)）。如果早期轮次表明某次运行极有可能导致不可恢复的逻辑错误，系统可以终止当前运行并开始一次新运行。终止没有希望的运行至关重要，因为在容错运行中，测量和解码需要大量的时间和硬件资源。通过减少这些没有希望的运行，解码器可以处理更少的综合征数据并进行更少的调用，使其在单位时间内完成更多有用的解码。在解码器受限的设置中，这还可以通过释放量子比特时间和解码周期来减少总体运行时间。

这种方法特别有利，因为在许多量子平台上，对辅助量子比特和数据量子比特进行快速物理重置比完成一整轮综合征测量要便宜得多。

在实践中，终止模块是一个控制器级系统，可以在不修改量子计算堆栈其余部分的情况下实现。因此，我们的提议可以以最小的开销提高效率。此外，该系统与所使用的解码和编码机制无关。它只需要对传入的综合征信息做出自适应反应，这样做可以带来一个更有效的系统，特别是在系统规模增长时。

我们的结果凸显了提前终止解码是任何容错量子计算的一个简单而强大的模块。

1.1 论文结构

本文的其余部分组织如下：

• 第 2 节：讨论解码问题的相关工作
• 第 3 节：理解 QEC 编码所需的背景知识（特别是表面码和颜色码）
• 第 4 节：描述具体的系统模型
• 第 5 节：讨论本文考虑的自适应终止解码方案
• 第 6 节：数据生成和训练模型的评估
• 第 7 节：QEC 基准测试
• 第 8 节：表面码和颜色码的评估结果
• 第 9 节：结论

2. 相关工作

最近，平面 QEC 编码的解码在 QEC 社区中受到了广泛关注，特别是在速度、准确性和实时实现方面。多项工作探索了平面编码解码策略的不同方面。最小权重完美匹配（Minimum-Weight Perfect-Matching, MWPM）解码器仍然是表面码的基础，提供了速度和准确性之间的平衡。替代的经典解码器如 Union-Find 解码器和置信传播方法也在拓扑编码上证明了有效性。最近，机器学习和强化学习方法已被应用于解码问题，在中等码距上产生了有前景的结果。然而，这些 ML/RL 解码器随着码距的增长，训练和部署成本越来越高。

相比之下，我们的工作聚焦于一个互补的问题：不是替换解码器本身，而是引入一个轻量级的终止模块，与任何现有解码器并排工作。

关于表面码解码器的更多细节，请参阅相关综述。

最近的几项工作探索了通过卸载或预处理简单错误模式来加速 QEC 解码器：

• Promatch 引入了一种预解码器，在芯片上预匹配简单的综合征模式，减轻了完整 MWPM 解码器的负担，并将实时解码扩展到更大的码距。
• 有研究提出了一种两层团（clique）解码器，在芯片上完全处理平凡情况，削减了 70-99% 的片外工作负载而不损失准确性。
• Lilliput 是一种紧凑的片上查找表解码器，可以在几个时钟周期内处理低权重错误模式，仅在罕见情况下使用 MWPM。查找表通过在软件解码器上对每个可能的检测事件模式进行离线预填充。

这些先前的工作聚焦于加速全深度解码；它们在单次运行的全部综合征数据可用后，减少了运行 MWPM 的成本（或在常见/简单情况下完全避免它）。相比之下，我们的自适应终止方法在流程的更早阶段节省工作。不是仅在所有轮次测量完成后才使解码更快，而是利用传入的综合征流来预测某次运行是否不太可能恢复，并在完成剩余测量轮次或调用解码器之前终止该运行。

3. 量子纠错背景

在本节中，我们回顾理解 QEC 所需的背景知识，包括错误检测和错误纠正。在描述基本概念和术语后，我们介绍表面码和颜色码——QEC 中两种标准的编码方案。

QEC 编码通过重复测量一组稳定子（stabilizer）——即相互对易的 Pauli 算符，其联合 +1 本征空间定义了码空间——来保护逻辑信息。在每一轮综合征测量中，对于每个稳定子，一个辅助量子比特被初始化（Z-校验用 $|0⟩$，X-校验用 $|+⟩$），通过 CNOT 门按照该稳定子的要求与数据量子比特纠缠，然后被测量。测量结果就是综合征比特（syndrome bit），它标记了被测量的稳定子是否经历了奇校验错误。在收集完所有综合征比特后，经典解码器处理完整的综合征模式，以推断数据量子比特上最可能的比特翻转和相位翻转错误模式，并输出一组纠正性的 Pauli 算符。应用这些纠正后，编码恢复到其逻辑状态。最后，辅助量子比特被重置，为下一轮做准备。

3.1 术语

一个 QEC 方案由测量轮次（measurement rounds）组成；一系列测量轮次构成一次运行（shot），即一次完整的电路执行尝试。在自适应方案中，一次运行可能被终止。参见图 2(b)。

具体地，一次**综合征测量轮次（syndrome measurement round）**包括测量每个稳定子一次所需的所有操作。在每一轮中，辅助量子比特首先被初始化，然后通过 CNOT 门与数据量子比特纠缠（与每个稳定子相关），最后被测量以产生指示错误可能发生位置的综合征比特。

一次**运行（shot）**是从第一轮综合征测量开始，经过任何后续轮次，直到解码、纠正和最终读出的单次执行尝试。在自适应方案中，运行可能在任何一轮之后被终止；如果没有，运行将继续通过所有轮次，然后到解码、纠正和最终读出，产生一组完整的测量结果。

3.2 使用表面码的量子纠错

**旋转表面码（rotated surface code）**是一种定义在二维晶格上的拓扑 QEC 编码。它以码距 $d$ 将单个逻辑量子比特编码到 $d^2$ 个数据量子比特中。数据量子比特排列在旋转方形网格的顶点上，辅助量子比特放置在每个 plaquette（面）的中心用于综合征提取。总共有 $n=2d^2-1$ 个物理量子比特。

在旋转表面码中，每个 plaquette 被分配一个 X-型稳定子或一个 Z-型稳定子，这两种类型在相邻面上交替。图 3(a) 展示了最小的非平凡实例——$[[9,1,3]]$ 旋转表面码，其中红色圆圈是数据量子比特，黑色圆圈是用于稳定子测量的辅助量子比特，蓝色 plaquette 是 Z-稳定子，灰色 plaquette 是 X-稳定子。

要测量一个给定 plaquette 上的 X-稳定子（图 3(a) 中灰色），我们执行一个辅助控制的奇偶校验，作用于围绕该面的四个数据量子比特，有效地应用它们 Pauli-X 算符的乘积（见图 3(b)）。类似地，Z-稳定子（图 3(a) 中蓝色）测量它们 Pauli-Z 算符的组合奇偶性。

因为每个 X-型稳定子与每个 Z-型稳定子在偶数个量子比特上重叠，所有稳定子对易，并联合定义了码空间。通过在 all plaquettes 上重复这些测量，编码将任何局部错误转换为独特的综合征模式。经典解码器读取该综合征模式以定位并纠正错误，而不会坍缩逻辑量子态。

在距离-$d$ 的旋转表面码中，编码可以检测任何少于 $d$ 个物理错误的错误模式。然而，一旦…

3.3 量子颜色码

量子颜色码（quantum color code）也是一种平面拓扑 QEC 编码，定义在三价（trivalent）3-可着色晶格上——其中每个顶点的度数为 3，面被染成三种颜色（红、绿、蓝），使得没有两个相邻的面共享相同颜色（参见图 4）。数据量子比特位于晶格的顶点上，每个面 $f$ 产生两个 Pauli 校验稳定子：$S_f^X$（X-型稳定子）和 $S_f^Z$（Z-型稳定子），作用于面 $f$ 的边界数据量子比特集合上。

在实践中，颜色码通常使用两种类型的平面 patch 实现：三角形 patch 和六边形 patch。一个三角形 patch 由紧凑的六边形面三角形排列组成，具有三个不同颜色的边界，在距离 $d$ 时编码一个逻辑量子比特。

三角形颜色码中的逻辑算符 ${\bar{X}}_L$ 和逻辑算符 ${\bar{Z}}_L$ 由沿三个彩色边界之一的单量子比特 Pauli 串实现。如图 4 所示，逻辑 ${\bar{Z}}_L$ 算符由沿三角形 patch 的红色边界上每个数据量子比特作用的 Pauli-Z 算符的连通串实现。

颜色码的一个重要性质是整个 Clifford 群都是横贯实现的（transversal）：逻辑 Hadamard 就是逐位的 $H$，逻辑相位 $S$ 就是逐位的 $S$，逻辑 CNOT 是两个编码块之间匹配量子比特的一层物理 CNOT。

图 4：$[[7,1,3]]$ 三角形颜色码。数据量子比特（红色圆圈）位于顶点上，三个三角形面分别用红、绿、蓝色着色。顶部（红色）面上的一个 X-型稳定子 $S_f^X$ 示例。逻辑 Z 算符 ${\bar{Z}}_L$ 由沿任一彩色边界上三个量子比特的 Z 乘积实现，在此图示中为底部红色边。

3.4 解码错误模式

一旦我们从稳定子测量中获得综合征比特，经典解码算法就可以用于预测数据量子比特上最可能的错误模式。平面码常用的解码器是 MWPM。数据量子比特上的错误会在相邻校验位置点亮一对综合征测量比特。利用这些比特，可以构建一个图，其顶点是观察到的缺陷位置，边连接每对缺陷，权重为它们在对偶晶格上的最短路径长度（曼哈顿距离）。解码器然后使用 Edmonds 的花算法找到这些缺陷的匹配，使得没有错误顶点未连接且边权重之和最小。匹配的边定义了错误链，当作为纠正应用时，最有可能将逻辑量子比特的状态恢复到码空间而不导致任何逻辑错误。

4. 系统模型

令 $T_d$ 表示码距 $d$ 的运行中综合征测量轮次的数量。在我们的模型中，我们在离散轮次中执行综合征测量，标记为 $t=1,2,\dots ,T_d$。在每一轮 $t>0$ 中，我们收集一个综合征比特向量 ${\mathbf{s}}_t\in \{0,1{\}}^{n_{\text{checks}}}$，其中 $n_{\text{checks}}$ 是稳定子生成元测量的总数（对于距离 $d$ 的旋转表面码，$n_{\text{checks}}=d^2-1$）。我们假设所有 $n_{\text{checks}}$ 个稳定子在轮次 $t$ 中并行测量，因此完成一轮所需的时间不随 $n_{\text{checks}}$ 增长。我们将直到轮次 $t$ 的综合征测量历史记为 ${\mathbf{X}}_t=({\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2,\dots ,{\mathbf{s}}_t)$。

如果没有发生提前终止，我们继续直到 $t=T_d$，然后将完整历史 ${\mathbf{X}}_{T_d}$ 传递给经典解码器 $\mathcal{D}$，由其推断数据量子比特上最可能的比特翻转和相位翻转错误模式。本文介绍的解码方案在任何经典解码器 $\mathcal{D}$ 之前应用，因此与解码器的选择无关。

每轮综合征测量需要固定的执行时间 $M$（以适当单位）。具体地，$M$ 包括一层并行 CNOT 的执行时间、辅助量子比特读出以及所有辅助量子比特的快速重置。我们假设每轮有恒定的测量时间，与稳定子数量无关。

如果在某轮 $t<T_d$ 我们决定终止运行而非继续到轮次 $t+1$，我们需要支付额外的重置时间成本 $R_{\text{reset}}>0$，用于终止运行并重新初始化逻辑量子比特。在实践中，$R_{\text{reset}}$ 小于 $M$，因为重置逻辑量子比特和重新初始化辅助量子比特比运行一整轮更便宜。因此，如果在 $t=\tau$ 终止运行，该运行花费的总时间为 $\tau M+R_{\text{reset}}$。

我们还包含一个非零的解码器失败成本 $D_{\text{fail}}$，因为到达解码器但仍失败的运行会带来超出简单测量和重置时间的开销。在实践中，逻辑失败会触发额外的经典处理来检测和诊断错误，并延迟重新初始化编码晶格。通过对每次解码器失败的尝试收取额外成本 $D_{\text{fail}}$，我们的模型反映了不成功解码带来的惩罚，而不是将所有失败视为无成本的。

备注 1：在自适应终止方案中，当运行被停止时，它立即被终止，其综合征被丢弃。因此，不应用解码或恢复。只有持续到完整深度 $T_d$ 的综合征轮次的运行才会被传递给解码器，并被计入解码器效率（稍后会正式定义）。

5. 自适应终止方案

为了减少解码器的延迟，我们动态调整每次运行中的综合征测量轮次数，而不是总是使用固定的 $T_d$。如果早期综合征数据表明当前运行很可能以高概率产生逻辑错误，系统可以立即终止它。通过终止一次失败的运行、重置逻辑量子比特并开始一次新的执行运行，我们可以避免在终止的运行中花费额外轮次的时间。在本工作中，我们提出了两种自适应解码方案，并将其性能与现有 FD 方案进行比较。

5.1 固定深度（FD）解码

固定深度（Fixed-depth, FD）解码是当今最先进 QEC 控制器使用的标准非自适应方案。在 FD 中，每次运行总是执行预定数量的综合征测量轮次 $T_d$，然后才进行解码，没有提前终止的机制。这是比较的基线。

5.2 单步前瞻（OSLA）解码

单步前瞻（One-Step Lookahead, OSLA）解码是一种轻量级的自适应方案。在每一轮 $t$，它根据当前可用的综合征信息比较两个选项：

决策规则为：如果 $c+m_t>g_t$，则终止运行；否则继续。

算法 1：OSLA 解码

• 输入：$T_d$ 轮，训练好的 $g(\cdot )$ 和 $m(\cdot )$ 模型，常数 $c<0$
• 子程序：measure()，reset()，decode(${\mathbf{X}}_{T_d}$)
• 对于每次运行 shot = 1 到 N：
  • 设置 aborted = false
  • 对于 $t=1$ 到 $d-1$：
    • ${\mathbf{s}}_t$ ← measure()（执行综合征测量）
    • 将 ${\mathbf{s}}_t$ 追加到 ${\mathbf{X}}_t$
    • $g_t$ ← $g({\mathbf{s}}_t)$（立即停止的失败概率）
    • $m_t$ ← $m({\mathbf{s}}_t)$（再测一轮的失败概率）
    • 如果 $c+m_t>g_t$：
      • aborted = true
      • reset()（重置并开始下一次运行）
      • 跳出循环
  • 如果没有被终止：
    • ${\mathbf{s}}_d$ ← measure()
    • 追加到 ${\mathbf{X}}_{T_d}$
    • result ← decode(${\mathbf{X}}_{T_d}$)
    • 记录结果

5.2.1 预测 $g(\cdot )$ 和 $m(\cdot )$ 的模型

为了用"停止"和"继续"两种动作训练 OSLA 解码方案，我们在噪声模型下模拟综合征历史。这直接编码了两种决策场景——立即停止 vs 再测一轮——因此模型可以在每一步比较它们的预期总成本。

由于神经网络需要固定大小的输入，长度为 1 的每条轨迹被填充到最大长度（2 轮），使用适当的填充值。然后构造两个标签目标，都设置为综合征轨迹末端观察到的真实逻辑错误结果。用于 OSLA 的神经网络（表 1）有两个 sigmoid 输出：

• 立即停止 sigmoid 输出（预测 $g(\cdot )$）：估计如果立即停止的逻辑失败概率
• 下一步 sigmoid 输出（预测 $m(\cdot )$）：估计再进行一轮综合征测量后的逻辑失败概率

两个头联合训练，使网络学习 OSLA 每步决策所需的成本估计。

表 1：OSLA 模型架构

5.3 AdAbort 解码

注意，OSLA 解码方案基于立即停止与恰好再进行一轮测量之间的成本权衡来做决策。这使 OSLA 非常轻量，只需要更简单的训练数据和简单模型。然而，它也是固有短视的，因为它无法预测两轮或更多轮之后可能发生什么。

因此，我们在本工作中考虑的第二种自适应解码方案是用于图 1(b) 所示终止模块的基于机器学习的 AdAbort。AdAbort 解码方案使用神经网络函数逼近器来近似最终轮次 $T_d$ 处逻辑错误的条件概率，该网络以当前综合征历史 ${\mathbf{X}}_t$ 为输入，输出一个估计的错误概率。我们将其记为：

$${\hat{p}}_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)=\mathrm{Pr}(\text{在轮次 }{T}_d\text{ 处逻辑错误}\mid {\mathbf{X}}_t)$$

在每一轮综合征测量 $t\le T_d$，AdAbort 方案首先计算 ${\hat{p}}_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)$ 并将其与阈值 $\theta \in (0,1)$ 比较。如果 ${\hat{p}}_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)\ge \theta$，当前运行被终止。在这种情况下，已完成 $t$ 轮（执行时间 $tM$）并支付重置成本 $R_{\text{reset}}$，终止运行的总执行时间为 $tM+R_{\text{reset}}$。终止运行后，逻辑量子比特被重置，开始一次新运行的执行。另一方面，如果 $p_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)<\theta$，我们进入下一轮。如果在 $t=T_d$ 之前没有发生终止，则完成所有 $T_d$ 轮，总执行时间为 $T_{d}M$，并使用解码器 $\mathcal{D}({\mathbf{X}}_{T_d})$ 进行解码。

AdAbort 解码方案的伪代码在算法 2 中给出。

被终止的运行成本为 $tM+R_{\text{reset}}$，而运行全部 $T_d$ 轮的运行成本为 $T_{d}M$（解码前）。

备注 2：阈值 $\theta$ 平衡速度和保真度：降低 $\theta$ 会更早终止更多运行（更快但完成的运行更少），而增加 $\theta$ 会保留更多运行到完整解码（更高保真度但更长延迟）。通过校准 $\theta$，可以保证逻辑错误率保持在任何目标以下。例如，设置 $\theta =0.05$ 意味着任何预测失败概率超过 5% 的运行都会被终止，确保最多 5% 的完成运行遭受逻辑错误（至少 95% 的保真度），同时仍然尽早终止许多无望的运行以节省延迟。

算法 2：AdAbort 解码

• 输入：$T_d$ 轮，训练好的 ${\hat{p}}_{\text{err}}(\cdot )$ 模型，阈值 $\theta$
• 子程序：measure()，reset()，decode(${\mathbf{X}}_{T_d}$)
• 对于每次运行 shot = 1 到 N：
  • 设置 aborted = false
  • 对于 $t=1$ 到 $T_d$：
    • ${\mathbf{s}}_t$ ← measure()（执行综合征轮次）
    • 将 ${\mathbf{s}}_t$ 追加到 ${\mathbf{X}}_t$
    • ${\hat{p}}_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)$ ← model.predict(${\mathbf{X}}_t$)
    • 如果 $\hat{p}({\mathbf{X}}_t)\ge \theta$：
      • aborted = true
      • reset()（重置逻辑量子比特）
      • 跳出循环
  • 如果没有被终止：
    • result ← decode(${\mathbf{X}}_{T_d}$)
    • 记录结果

5.3.1 用于 AdAbort 的模型架构

AdAbort 使用一个轻量级卷积神经网络（CNN），其架构如下：

表 2：AdAbort 模型架构

6. 训练数据生成、标注和模型评估

对于每个码距 $d$，我们使用 Stim 生成每轮运行 $T_d$ 轮的综合征提取，其中设 $T_d=d$，遵循基于综合征解码的标准选择：重复稳定子测量 $d$ 轮提供了一个足够深度的时空体积来可靠地识别和纠正错误，与距离 $d$ 的容错标准一致。

然后我们模拟一个电路级退极化噪声模型。具体地，在每次综合征测量轮次之前，每个数据量子比特独立地受到单量子比特退极化通道的作用，概率为 $p$。在用于稳定子测量的每个纠缠 CNOT 门之后，我们应用独立的双量子比特退极化通道，概率为 $p$。

6.1 逻辑错误定义和标签构造

逻辑错误被定义为这样一种失败事件：在存储实验结束时，解码后的逻辑可观测值与制备的逻辑状态不同。例如，在 memory-X 实验中（制备逻辑 $|+{⟩}_L$ 状态并在最后测量逻辑 X 算符），如果最终测量的逻辑 X 本征值相对于理想结果翻转，则发生逻辑错误。

在我们的实现中，为了匹配下游解码流程，我们额外计算所选经典解码器（表面码用 MWPM）是否能从测量的检测器事件中正确预测逻辑可观测值。具体地，对于每次运行 $i$，我们在检测器结果上运行经典解码器以获得预测的逻辑可观测值 ${\hat{o}}_i$，并将其与模拟器产生的真实可观测值 $o_i$ 比较。然后分配一个二进制标签：

$$y_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{如果 }{\hat{o}}_i=o_i\text{（解码器成功）}\\ 0& \text{如果 }{\hat{o}}_i\ne o_i\text{（解码器失败）}\end{array}$$

这使训练目标直接反映了完整深度解码是否会成功，这正是终止模块设计来预测的。

6.2 AdAbort 解码的数据生成

对于固定码距 $d$ 和轮次数 $T_d$，每次蒙特卡洛运行 $i$ 产生一个二进制综合征历史 ${\mathbf{S}}_i\in \{0,1{\}}^{T_d\times n_{\text{checks}}}$，其中第二维是每轮的校验结果数（对于旋转表面码，$n_{\text{checks}}=d^2-1$）。

每次运行还产生一个二进制最终结果标签 $y_i\in \{0,1\}$，指示该运行是否以逻辑失败结束。

AdAbort 需要在任何中间轮次 $t$ 后进行预测，因此我们将每次完整运行转换为 $T_d$ 个监督示例，使用所有综合征前缀并将其填充到固定形状。具体地，对于具有综合征矩阵 ${\mathbf{S}}_i$ 和最终标签 $y_i$ 的运行 $i$，我们为每个 $t=1,\dots ,T_d$ 构造：

$${\mathbf{X}}_{i,t}=\text{pad}({\mathbf{S}}_i[1:t])\in {\mathcal{A}}^{T_d\times n_{\text{checks}}}$$

其中 ${\mathbf{S}}_i[1:t]$ 表示前 $t$ 轮综合征轮次的子矩阵，$\text{pad}(\cdot )$ 在轮次 $(t+1,\dots ,T_d)$ 中填充指定的填充值 $s_{\text{pad}}$，使输入形状在所有 $t$ 上保持恒定。这里 $\mathcal{A}\triangleq \{0,1\}\cup \{s_{\text{pad}}\}$ 是包含填充符号的扩展字母表。我们将相同的最终标签分配给每个前缀：$\text{label}({\mathbf{X}}_{i,t})=y_i$。

这从 $N$ 次模拟运行中产生 $N\times T_d$ 个训练样本。对于每个 $(d,p)$，我们模拟 $N$ 次独立运行以获得综合征标签对 $\{({\mathbf{S}}_i,y_i){\}}_{i=1}^N$。我们将运行分为训练集和验证集，将每次运行扩展为填充前缀 $\{{\mathbf{X}}_{i,t}{\}}_{t=1}^{T_d}$，并训练一个分类器以输出相应标签的概率估计。性能在验证集上使用 ROC-AUC 度量报告。

6.3 OSLA 解码的数据生成

对于每个物理错误率 $p$ 和码距 $d$，OSLA 在长度为 1 或 2 轮的短、变长综合征轨迹上训练。训练集构造如下：

对于每次训练运行 $i\in \{1,\dots ,N\}$，我们抽取一个整数轮次数 $r_i\sim \text{Uniform}\{r_{\text{min}},r_{\text{max}}\}$，其中 $r_{\text{min}}=1$，$r_{\text{max}}=2$。这产生了一个混合数据集，包含一轮和两轮运行。

这种构造是必要的，因为 OSLA 是单步前瞻策略：在给定时间 $t$，它必须通过比较使用当前可用综合征信息 ${\mathbf{s}}_t$ 的估计逻辑失败概率（使用公式 (1)）与获取下一轮 ${\mathbf{s}}_{t+1}$ 后的估计逻辑失败概率（使用公式 (2)）来决定是立即停止还是再进行一轮综合征测量。因此，训练集必须包含单轮和两轮运行，以便模型可以在相同噪声条件下学习来自 $t$ 轮的立即停止估计和来自 $t+1$ 轮的多测一轮估计。

然后我们用 Stim 的检测器采样器模拟恰好 $r_i$ 轮的距离 $d$ 存储实验。这返回一个长度为 $r_i\cdot n_{\text{checks}}$ 的扁平二进制检测器事件向量和一个用作训练标签的单可观测翻转比特 $y_i\in \{0,1\}$。检测器事件向量被重塑为轮次对轮的综合征向量 ${\mathbf{S}}_i\in \{0,1{\}}^{r_i\times n_{\text{checks}}}$，为了获得神经网络的固定输入形状，我们用位于有效综合征字母表 $\{0,1\}$ 之外的适当填充值将 ${\mathbf{S}}_i$ 后填充到 $(r_{\text{max}},n_{\text{checks}})$。

6.4 训练成本和可扩展性

AdAbort 和 OSLA 的训练成本都由数据生成而非神经网络大小主导，并且随码距多项式缩放。

对于距离 $d$ 的 AdAbort（表面码），每次运行产生形状为 $T_d\times (d^2-1)$ 的综合征历史，其中 $T_d=d$；增强然后将每次运行转换为 $T_d$ 个监督示例，因此总训练示例数随 $N$ 次运行缩放为 $O(N\cdot d)$，而每次运行的综合征缩放为 $O(d^3)$。AdAbort 使用的 CNN 是轻量级的（固定滤波器大小和少量层），因此其参数量不随 $d$ 指数增长；运行时间增加主要是因为更大的 $d$ 意味着每轮更多的校验和每次运行更多的轮次。

相比之下，OSLA 将运行限制在一轮或两轮。双头 MLP 也很小，训练通常收敛很快，因为数据集更简单且序列长度固定为二。在实践中，对于两种方案，移动到更大码距的增量成本主要由每轮稳定子结果数量的增加驱动，而非模型复杂性的爆炸性增长，只要为每个 $d$ 生成足够的运行，就支持该方法的可扩展性。

7. QEC 基准测试

7.1 模拟设置

为了对我们的解码策略进行基准测试，我们模拟了两族拓扑编码：旋转表面码和三角形 patch 颜色码。对于每族编码，我们考虑码距 $d\in \{3,5,7,9,11,15\}$。表面码模拟使用标准 MWPM 解码器，而颜色码基准使用为三角形 patch 优化的级联 MWPM 解码器。

对于每个编码和每个物理错误率 $p$，我们使用 Stim 构建一个距离 $d$ 的综合征提取电路，在每次轮次之前施加单量子比特退极化噪声，在每个 Clifford 门（包括纠缠 CNOT）之后施加双量子比特退极化噪声（两者概率均为 $p$）。然后我们执行每轮运行 $T_d=d$ 轮稳定子测量，并重复此过程进行 $N$ 次独立运行以收集综合征历史和逻辑翻转结果。这些数据集然后在 FD、OSLA 和 AdAbort 评估流程中使用。

7.2 性能指标

为了比较三种解码方案，我们使用解码器效率，定义为到达解码器的运行中正确解码器输出的比例，除以每次运行的平均时间。

假设我们为容错任务运行 $N$ 次运行，其中 $N_s$ 次运行被 $\mathcal{D}$ 成功解码，$N_f$ 次运行到达解码但失败，$N_a$ 次运行被提前终止（未到达解码器）。我们将完成条件下的成功率定义为 $S_{\text{rate}}=N_s/(N_s+N_f)$，即任何到达解码器的运行被正确解码的概率。

同时，每次运行——无论是提前终止还是运行到完整深度——都使用其综合征轮次的测量时间，如果被终止，还有额外的重置时间。将所有 $N$ 次运行的总执行时间（包括测量时间、重置时间和解码器失败时间）记为 $T(N)$，其期望值为 $\mathbb{E}[T(N)]$。然后我们将解码器效率（${\eta }_{\text{dec}}$）定义为正确解码的运行比例除以每次尝试运行的平均时间：

$${\eta }_{\text{dec}}=\frac{S_{\text{rate}}}{(\mathbb{E}[T(N)]/N)}$$

量 ${\eta }_{\text{dec}}$ 捕获了正确性与资源使用之间的权衡：它奖励既保持高条件成功概率又保持低每次运行成本的方案。我们不是优化原始逻辑保真度，而是优化逻辑解码吞吐量。

量 ${\eta }_{\text{dec}}$ 捕获了正确性与资源使用之间的权衡：它奖励既保持高条件成功概率又保持低每次运行成本的方案。从解码角度看，我们关心一组综合征测量输入解码器后产生成功运行的概率。因此，被终止的运行不包含在条件成功概率中，因为它们没有被输入解码器。当然，终止运行也有一些代价。这在时间指标中被考虑了，因为终止运行时我们仍需支付重置系统的时间代价。因此，两个因素都在上述效率指标中得到了考虑。

注意，对于 FD 方案，$N$ 次运行的总执行时间 $T(N)$ 是确定性的，因为每次运行总是运行相同数量的测量轮次。相比之下，OSLA 和 AdAbort 引入了随机停止：一些运行被提前终止，而另一些运行到完整深度，因此 $T(N)$ 是随机变量，我们必须在其期望中使用。

7.3 超导量子比特时序参数

在我们的模拟中，我们考虑了一个超导量子比特硬件的成本模型：每轮综合征测量产生 $M=0.7\mu \text{s}$ 的读出时间，每次终止的运行支付额外的重置开销 $R_{\text{reset}}=0.5\mu \text{s}$，任何解码失败增加经典处理延迟 $D_{\text{fail}}=1\mu \text{s}$。我们模拟大量运行批次并记录解码器效率 ${\eta }_{\text{dec}}$。

因为这个框架唯一的硬件特定输入是三个时序参数 $(M,R_{\text{reset}},D_{\text{fail}})$，所以整个框架可以立即应用于其他平台，如离子阱。

7.4 误差模型

我们在电路级使用两个主要退极化通道建模错误，捕获量子比特空闲和门缺陷。

令 $d$ 为码距，$T_d$ 为综合征测量轮次总数。

在轮次 $t$ 的第一个 CNOT 之前，每个数据量子比特经历独立的单量子比特退极化错误，概率为 $p$。在密度矩阵形式中，数据量子比特状态 $\rho$ 被替换为：

$$(1-p)\rho +\frac{p}{3}(X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z)$$

这里，$X$、$Y$ 和 $Z$ 表示标准 Pauli 算符，其中 $X$ 实现比特翻转，$Z$ 实现相位翻转，$Y$ 实现组合比特和相位翻转。这个轮次前通道代表了空闲错误和之前操作的残余噪声。

在综合征提取电路中的每个 Clifford 操作（包括纠缠 CNOT）之后，我们应用独立概率为 $p$ 的退极化错误噪声。此外，我们通过在每次测量之前立即以概率 $p$ 应用比特翻转来建模测量缺陷。最后，在每次综合征测量轮次开始之前，每个数据量子比特经历独立概率为 $p$ 的单量子比特退极化通道。

在我们的吞吐量比较结果模拟中，我们考虑了 $p=10^{-2}$ 和 $p=10^{-3}$，这是一个预计在相对近期内可达到的区间。此外，对于逻辑错误率缩放结果，我们考虑了 $p\in \{10^{-3},2\times 10^{-3},4\times 10^{-3},6\times 10^{-3},8\times 10^{-3},10^{-2}\}$。

此外，我们假设每个辅助量子比特在 $|0⟩$ 中被完美制备，并在 Z 基中被完美测量。任何明显的综合征读出错误反而来自通过 CNOT 网络传播的先前退极化。测量之后，辅助量子比特被无噪声地重置到 $|0⟩$，为下一轮做准备。

注意，Pauli-X 错误和 Pauli-Z 错误被独立纠正。因此，在我们的模型中，我们只通过在每个综合征轨迹上运行 memory-X 实验来考虑 Pauli-X 失败。在 memory-X 运行中，编码被初始化在逻辑 $|+{⟩}_L$ 状态，并在电路级退极化噪声下经历 $T_d$ 轮综合征提取。在这些轮次结束时，我们测量逻辑 X 算符。该结果的任何翻转都表示逻辑-X 错误，其概率我们记为 $P_L$。

对于 memory-Z 运行，过程完全相同，只是编码被初始化在 $|0{⟩}_L$ 中，然后最终测量逻辑 Z 算符给出逻辑-Z 失败。

我们还假设在综合征提取开始之前理想地制备逻辑 $|0_L⟩$ 状态。如果某次运行在没有提前终止的情况下到达最终轮次 $T_d$，解码器 $\mathcal{D}({\mathbf{X}}_{T_d})$ 使用完整综合征历史 ${\mathbf{X}}_{T_d}$ 来应用纠正性 Pauli 并决定成功或失败。我们将解码器的纠正视为完美的，因此任何逻辑失败反映了未被纠正的 Pauli 错误。

8. 性能评估

8.1 表面码结果

8.1.1 解码器效率 vs 码距

图 5(a) 和图 5(b) 的结果确认了 AdAbort 解码使用学习的失败概率进行提前终止，产生了显著更高的解码器效率，特别是在中到高码距区间。

图 5(a) 展示了 $p=10^{-2}$ 时三种解码方案的比较。所有三条曲线大致随 $d$ 指数下降，反映了测量和解码成本随 $d$ 线性增长的事实。

图 5(b) 我们在更低的物理错误率 $p=10^{-3}$ 下重复相同比较。当错误率降低时，所有三种方案的效率都上升，且随 $d$ 的衰减更为平缓。在小距离 $d=3$ 到 $d=5$ 时，三条曲线重叠，因为提前终止的机会仍然有限。随着 $d$ 增长，AdAbort 利用其在错误不太可能发生时的能力来利用完整的综合征测量历史。OSLA 仍然优于 FD，但 OSLA 和 AdAbort 之间的相对差距在此更低错误率下略有缩小。

从图 5(a) 和图 5(b) 可以清楚地看出，FD 解码方案具有最低的解码器效率，因为它总是支付完整 $T_d$ 轮综合征测量的费用。OSLA 通过在每轮执行单步前瞻并在下一轮的失败概率超过决策阈值时终止来改善这一点。相比之下，AdAbort 使用神经网络估计逻辑错误概率 ${\hat{p}}_{\text{err}}({\mathbf{X}}_t)$，并在该估计超过调优的终止阈值 $\theta$ 时终止。对于每个距离 $d$，我们对 $\theta$ 进行扫描（如 8.2.3 节所述）并选择最大化效率的值。因此，AdAbort 始终实现最高的解码器效率。

在更高的噪声率 $p=10^{-2}$（图 5(a)），AdAbort 相对于 FD 的提升约为：

• $d=3$：约 4%
• $d=5$：25%
• $d=7$：42%
• $d=15$：近 50%

即使在更低的噪声率 $p=10^{-3}$（图 5(b)），错误更为罕见的情况下，它仍然在小和中等距离恢复 1%-9% 的延迟（$d=5$ 时为 5%），在 $d=15$ 时高达 35%。

8.1.2 逻辑错误率缩放

我们还在图 6 中比较了逻辑错误数量随码距 $d$ 的函数。随着 $d$ 增加，FD 解码表现最差：其逻辑错误数从 $d=3$ 时约 $4\times 10^3$ 上升到 $d=11$ 时超过 $10^4$。OSLA 和 AdAbort 方案的错误率也随 $d$ 增长，但比 FD 慢得多。在整个距离范围内，AdAbort 实现了最少的逻辑失败。

图 6：$p=10^{-2}$ 时逻辑错误数随码距的函数。每点通过运行 $5\times 10^6$ 次获得。

8.1.3 不同解码器比较

图 7 比较了不同解码器（相关匹配 C 和 Harmony H）下的性能。

8.1.4 终止阈值敏感性

在图 8 中，我们绘制了 AdAbort 的吞吐量随终止阈值 $\theta$ 的函数，针对几个码距和两个物理错误率。

如表面码的情况，颜色码的最优 $\theta$ 窗口取决于噪声率 $p$ 和码距 $d$。随着 $d$ 增加，峰值吞吐量向更高的 $\theta$ 值移动，表明更大的编码需要更高的终止阈值。相反，降低物理错误率 $p$ 将最优窗口移向更低的 $\theta$。

图 8(a) $p=10^{-2}$：图 8(b) $p=10^{-3}$：

在高错误率下（$p=10^{-2}$），综合征较早点亮，因此预测的逻辑失败概率会很高。因此，通过选择中等范围的阈值，我们可以在广泛范围内实现接近峰值的吞吐量。相比之下，在低错误率（$p=10^{-3}$）下，失败更为罕见，预测的 ${\hat{p}}_t$ 会过低。捕获这些少数真实失败的唯一方法是将 $\theta$ 设得极低，吞吐量峰值会坍塌到非常窄的范围。此外，在两个区间中，更大的码距都需要更高的 $\theta$ 值。

8.2 颜色码性能

对于三角形颜色码基准，我们使用 Stim 生成综合征提取电路，如文献所述，改变码距 $d$ 以产生每轮运行 $T_d=d$ 轮校验测量。每条综合征轨迹然后由级联 MWPM 解码器解码。

我们展示了提前终止策略在颜色码上产生了更高的解码器效率和更高的逻辑错误抑制，意味着它们在拓扑 QEC 编码家族中的广泛适用性。

注意，解码方案 FD、OSLA 和 AdAbort 的性能顺序将与表面码相同。此外，不同图表的解释，如效率随码距的函数、逻辑错误率缩放和终止阈值敏感性，也是类似的。因此，我们简洁地提供三角形颜色码的图表，解释较少。

图 9：$p=10^{-3}$ 时三角形颜色码的解码器效率随码距的函数。

从图 9 可以看出，AdAbort 在颜色码的所有码距上始终优于 FD 解码。对于 $p=10^{-3}$，即使在最小距离 $d=3$，AdAbort 也提供了近 3% 的解码器效率增益；随着编码增长，收益上升到 $d=15$ 时近 60% 的吞吐量增益。

9. 结论

在本工作中，我们引入了自适应终止模块，用于终止可能在解码时产生逻辑错误的运行。使用该终止模块，我们展示了在广泛的码距和错误区间上，FTQC 操作的解码器效率增益。通过跟踪综合征历史并应用 AdAbort 或 OSLA 解码方案，终止模块可以终止无望的运行，节省了否则会浪费在测量和解码时间上的精密量子硬件执行时间。

我们对旋转表面码和三角形颜色码在真实电路级退极化噪声下的模拟显示了以下结果：

展望未来，我们期望通过改进 AdAbort 使用的学习预测器（例如更好的架构、校准或训练目标）以及开发能够更直接高效地从部分综合征信息预测最终逻辑失败的替代自适应方案，来进一步提高解码器效率。另一个重要方向是将自适应终止扩展到超出存储实验的完整容错量子算法执行，其中提前终止和重启策略可以与算法结构交互。最后，研究分布式设置（如模块化或网络化量子架构）中的自适应终止策略也将是有趣的，其中终止决策可能需要跨节点协调，并可能减少通信、同步和解码开销。

致谢

本研究由 EPSRC 资助的 INFORMED-AI 项目 EP/Y028732/1 资助。

参考文献