复变函数与积分变换学习教程，从入门到精通，级数 — 知识点详解(4）

级数 — 知识点详解

一、复数列的极限

1.1 复数列的定义

设 $\{z_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为一复数列，其中 $z_n=x_n+i{y}_n$，$x_n,y_n\in \mathbb{R}$。

1.2 复数列极限的定义

定义： 设 $z_0=a+ib$ 为一复常数。若对任意 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，恒有

$$|z_n-z_0|<\epsilon$$

则称复数列 $\{z_n\}$ 收敛于 $z_0$，记作 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z_0$。

1.3 复数列极限与实部虚部极限的关系（核心定理）

定理： 设 $z_n=x_n+i{y}_n$，$z_0=a+ib$，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_0⟺\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\text{ 且 }\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=b$$

证明：

（$\Rightarrow$）设 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z_0$，即对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时

$$|z_n-z_0|<\epsilon$$

注意到

$$|z_n-z_0|=|(x_n-a)+i(y_n-b)|=\sqrt{(x_n-a{)}^2+(y_n-b{)}^2}$$

由于

$$|x_n-a|=\sqrt{(x_n-a{)}^2}\le \sqrt{(x_n-a{)}^2+(y_n-b{)}^2}=|z_n-z_0|<\epsilon$$

同理 $|y_n-b|\le |z_n-z_0|<\epsilon$。

故 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$。

（$\Leftarrow$）设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$。对任意 $\epsilon >0$：

存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时 $|x_n-a|<\frac{\epsilon }{\sqrt{2}}$；

存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时 $|y_n-b|<\frac{\epsilon }{\sqrt{2}}$。

取 $N=\max (N_1,N_2)$，当 $n>N$ 时

$$|z_n-z_0|=\sqrt{(x_n-a{)}^2+(y_n-b{)}^2}<\sqrt{\frac{{\epsilon }^2}{2}+\frac{{\epsilon }^2}{2}}=\epsilon$$

故 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z_0$。 $■$

1.4 复数列极限的运算法则

若 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=A$，${\lim }_{n\to \infty }{w}_n=B$，则：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(z_n\pm w_n)=A\pm B$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(z_n\cdot w_n)=A\cdot B$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{z_n}{w_n}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

乘法法则的证明：

设 $z_n=x_n+i{y}_n$，$w_n=u_n+i{v}_n$，$A=a+ib$，$B=c+id$。

由已知：$x_n\to a,y_n\to b,u_n\to c,v_n\to d$。

$$z_n{w}_n=(x_n{u}_n-y_n{v}_n)+i(x_n{v}_n+y_n{u}_n)$$

由实数列极限的运算法则：

$$x_n{u}_n-y_n{v}_n\to ac-bd$$
$$x_n{v}_n+y_n{u}_n\to ad+bc$$

因此 $z_n{w}_n\to (ac-bd)+i(ad+bc)=(a+ib)(c+id)=AB$。 $■$

1.5 复数列收敛的充要条件（Cauchy准则）

定理（Cauchy收敛准则）： 复数列 $\{z_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，当 $m,n>N$ 时

$$|z_m-z_n|<\epsilon$$

二、复数项级数及其审敛法

2.1 复数项级数的基本概念

设 $\{z_n\}$ 为复数列，称表达式

$$\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n=z_1+z_2+z_3+\cdots$$

为复数项级数。

部分和： $S_n={\sum }_{k=1}^n{z}_k=z_1+z_2+\cdots +z_n$

收敛与发散：

• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$（有限复数），则称级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛，$S$ 为其和。
• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 不存在或为 $\infty$，则称级数发散。

级数收敛的必要条件： 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=0$。

证明： 设 $S_n\to S$，则

$$z_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0(n\to \infty )$$

$■$

逆否命题： 若 $z_n\nrightarrow 0$，则 $\sum z_n$ 发散。

2.2 复数项级数收敛的判定

设 $z_n=x_n+i{y}_n$，$S={\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$，则

$$S_n=\sum _{k=1}^n{x}_k+i\sum _{k=1}^n{y}_k$$

由复数列极限与实部虚部的关系：

定理：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n\text{ 收敛}⟺\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\text{ 收敛且 }\sum _{n=1}^{\infty }{y}_n\text{ 收敛}$$

且当收敛时

$$\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n+i\sum _{n=1}^{\infty }{y}_n$$

2.3 绝对收敛与条件收敛

定义：

• 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|z_n|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ 绝对收敛。
• 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|z_n|$ 发散，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}_n$ 条件收敛。

定理： 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。

证明： 设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|z_n|$ 收敛。记 $z_n=x_n+i{y}_n$，则

$$|x_n|\le |z_n|,|y_n|\le |z_n|$$

由正项级数的比较判别法，$\sum |x_n|$ 和 $\sum |y_n|$ 均收敛，从而 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 均收敛，因此 $\sum z_n$ 收敛。 $■$

2.4 常用审敛法

由于 $|z_n|$ 是非负实数，所有实数项级数中正项级数的审敛法均可用于判别 $\sum z_n$ 的绝对收敛性。

（1）比值审敛法（达朗贝尔判别法）

设 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}$（当极限存在时），则：

• $\rho <1$ 时，级数绝对收敛
• $\rho >1$ 时，级数发散
• $\rho =1$ 时，无法判定

（2）根值审敛法（柯西判别法）

设 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|z_n|}$（当极限存在时），则：

• $\rho <1$ 时，级数绝对收敛
• $\rho >1$ 时，级数发散
• $\rho =1$ 时，无法判定

（3）比较审敛法

若 $|z_n|\le M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum z_n$ 绝对收敛。