进制代数（原创数学理论，全网独一份，严禁抄袭）

起源

最近看到了一个二进制转十进制问题
$$(111111{)}_2\Rightarrow 十进制$$ $$\Downarrow$$ $$2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5$$
又看到了数学题

$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5=37449的解$$

传统方法

先判断$x>0：$左边每一项都是非负数，和为正数，x负数时交替正负，很难得到大正数 37449，优先试正整数。
从小整数代入试探：
$x=1：1+1+1+1+1+1=6\ne 37449$
$x=2：1+2+4+8+16+32=63$
$x=3：1+3+9+27+81+243=364$
$x=4：1+4+16+64+256+1024=1365$
$x=5：1+5+25+125+625+3125=3936$
$x=6：1+6+36+216+1296+7776=9331$
$x=7：1+7+49+343+2401+16807=19608$
$x=8：1+8+64+512+4096+32768=37449$
刚好等于右边，得整数解 $x=8$ 。

可以看出，这个方法简直就是简直就是拉完了（烂爆了）。

新方法与其原理

于是我深受二进制转十进制的启发。
$lo{g}_{2}x$ 为整数说明 $x$ 是$2$ 的平方数，因此我们可以把左边视为一个 $x$ 进制数 $(111111{)}_x$（$(111111{)}_x=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5$ 见权位累加法），然后再将右边转成二进制，即 $(37449{)}_{10}=(1001001001001001{)}_2{，}_{(见短除法)}$

也就是 $$(111111{)}_x=(1001001001001001{)}_2$$
那么由权位累加法可以看出，最后一位的1，分别代表 $1\times x^0$ 和 $1\times 2^0$ ，即 $1$ 和 $1$ 。因此这一位并无差别。
再看倒数第二个 $1$ ，分别代表 $x^1$ 和 $2^3$ ，并且后续规律也非常统一（即两个零和一个一循环）。所以就可以得出 $$x^1=2^3$$ $$即：x=8$$并且这种规律性是 $x$ 为 $2$ 的平方数所导致的必然结果。

总结一下我们的解题流程

$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5=37449的解$$
$$解：(111111{)}_x=(1001001001001001{)}_2$$
$$由lo{g}_{2}x为整数可得x可以表示为2^k(k为整数)$$
$$得：x=2^3=8$$

三步搞定，就问简不简单，数学本来就尊崇简洁之美，按简洁定义，这个方法简直美到了极致。不过，更惊艳的还在后面。

简化与改进

没错，还能简化，如果遇到了一个很大的数字，转二进制实在是麻烦至极。因此，我们再进行一下优化。

由于 因 $x$ 是 $2$ 的平方数导致的规律性。我们其实用不到这整个二进制数。比如刚才的过程，只用到了倒数第二个一，而我们转二进制也是从后往前的，因此，我们可以再转二进制时只要看到第二个1时就停止转换过程。

那么，刚才的过程就可以优化为：

$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5=37449的解$$
$$解：(111111{)}_x=(\dots 1001{)}_2$$
$$由lo{g}_{2}x为整数可得x可以表示为2^k(k为整数)$$
$$得：x=2^3=8$$

是不是看着舒服太多了，如果把数字换大一点，还能使差距更明显。
例如:
$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+\dots +x^{10}=1171221845949812801的解$$
如果用优化之前的方法来做这道题，就要：

$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+\dots +x^{10}=1171221845949812801的解$$
$$解：(11111111111{)}_x=(1000001000001000001000001000001000001000001000001000001000001{)}_2$$
$$由lo{g}_{2}x为整数可得x可以表示为2^k(k为整数)$$
$$得：x=2^6=64$$

这个二进制数字是不是看的令人头皮发麻，而且其主要问题在于计算量太大。现在用优化方法写一下

$$已知lo{g}_{2}x为整数，求方程x^0+x^1+x^2+x^3+\dots +x^{10}=1171221845949812801的解$$
$$解：(11\dots 11{)}_x=(\dots 1000001{)}_2$$
$$由lo{g}_{2}x为整数可得x可以表示为2^k(k为整数)$$
$$得：x=2^6=64$$

不难看出其运算量降低到了原方法的 $\frac{1}{10}$ 以下。

结语

现代教学主要注重传统方式与课本内容，若在作业本上使用此方法，较为死板的老师们大概率会给你打上一个亮眼的叉叉。所以，请慎重使用。
本文到这里就结束了，感谢大家的浏览。