智能优化算法：吕佩尔狐优化算法

文章目录

• • 1.RFO 算法简介
  • • 1.1 初始化
    • 1.2 白天搜索猎物
    • 1.3 夜间搜索猎物
    • 1.4 利用嗅觉定位猎物
    • 1.5 向最优狐狸移动
    • 1.6 最差情况下的动物行为
  • 2.算法结果
  • 3.Matlab&&Python
  • 4.参考文献

1.RFO 算法简介

Rüppell’s Fox Optimizer (RFO) 是一种新的基于种群、受自然启发的元启发式方法，旨在解决全局优化问题。该算法的灵感来源于 Rüppell’s 狐狸在白天和夜晚的智能群体觅食行为。RFO 算法通过数学方式模拟了 Rüppell’s 狐狸利用其敏锐的视觉、听觉和嗅觉进行狩猎的多种主要觅食活动，以在整个优化过程中兼顾探索和利用两个方面。该算法模拟了 Rüppell’s 狐狸眼睛可旋转至约

260

∘

260^\\circ

260∘ 视野的特性，以及耳朵可旋转至约

150

∘

150^\\circ

150∘ 听域的特性。通过对 Rüppell’s 狐狸动态模式和活动的数学建模，研究者创建了一个高效的全局优化器，用于解决优化问题并最终产生可行的解决方案。

1.1 初始化

作为一个基于种群的算法，RFO 通过随机创建一组初始解来开始优化过程。初始种群在搜索域内使用均匀随机初始化生成，公式如下：

y

j

i

=

l

j

+

r

×

(

u

j

−

l

j

)

(2)

y_j^i = l_j + r \\times (u_j – l_j) \\tag{2}

yji​=lj​+r×(uj​−lj​)(2) 其中

y

j

i

y_j^i

yji​ 是第i只 Rüppell’s 狐狸在维度j的初始向量，

u

j

u_j

uj​ 和

l

j

l_j

lj​ 分别是搜索域在维度j的上界和下界，

r

r

r 是在

[

0

,

1

]

[0,1]

[0,1]范围内生成的随机值。

1.2 白天搜索猎物

在白天，Rüppell’s 狐狸更多利用视觉而非听觉来定位猎物。当它们利用视觉进行搜索时，其位置根据与猎物位置相关的运动活动而改变，该行为的模型如下：

y

k

+

1

i

=

x

k

i

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

x

_

r

a

n

d

−

x

k

i

)

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

(3)

y_{k+1}^i = x_k^i + r\\_index \\times (x\\_rand – x_k^i) + r\\_index \\times (fbest_k – x_k^i) \\tag{3}

yk+1i​=xki​+r_index×(x_rand−xki​)+r_index×(fbestk​−xki​)(3) 此公式在

(

p

−

0.5

)

≥

0

,

s

≥

h

,

r

a

n

d

≥

0.25

(p – 0.5) \\ge 0,\\ s \\ge h,\\ rand \\ge 0.25

(p−0.5)≥0, s≥h, rand≥0.25 时适用。其中，

y

k

+

1

i

y_{k+1}^i

yk+1i​ 是第i只狐狸在第

(

k

+

1

)

(k + 1)

(k+1) 次迭代的位置，

f

b

e

s

t

k

fbest_k

fbestk​ 是全局最优位置向量，

x

k

i

x_k^i

xki​ 是当前位置向量。

p

p

p 是一个在

[

0

,

1

]

[0, 1]

[0,1] 范围内的随机值，

s

s

s 和

h

h

h 分别代表视觉和听觉的力量。由于 Rüppell’s 狐狸眼睛可旋转至

260

∘

260^\\circ

260∘，当它们利用眼睛的旋转特性进行搜索时，行为由以下公式模拟：

y

k

+

1

i

=

y

r

o

t

a

t

e

i

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

×

f

l

a

g

(9)

y_{k+1}^i = y_{rotate}^i + \\beta \\times randn(1,d) \\times flag \\tag{9}

yk+1i​=yrotatei​+β×randn(1,d)×flag(9) 此公式在

(

p

−

0.5

)

≥

0

,

s

≥

h

,

r

a

n

d

<

0.25

(p – 0.5) \\ge 0,\\ s \\ge h,\\ rand < 0.25

(p−0.5)≥0, s≥h, rand<0.25 时适用。这里

y

r

o

t

a

t

e

i

y_{rotate}^i

yrotatei​ 是旋转后的位置，

β

\\beta

β 是随机游走的步长限制，旋转角度

θ

e

\\theta_e

θe​ 由

r

a

n

d

×

(

2

×

260

∘

×

π

/

360

∘

)

rand \\times (2 \\times 260^\\circ \\times \\pi / 360^\\circ)

rand×(2×260∘×π/360∘) 确定。在白天，狐狸也会利用听觉，其搜索行为由以下公式描述：

y

k

+

1

i

=

x

k

i

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

x

_

r

_

r

a

n

d

−

x

k

i

)

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

(19)

y_{k+1}^i = x_k^i + r\\_index \\times (x\\_r\\_rand – x_k^i) + r\\_index \\times (fbest_k – x_k^i) \\tag{19}

yk+1i​=xki​+r_index×(x_r_rand−xki​)+r_index×(fbestk​−xki​)(19) 此公式在

(

p

−

0.5

)

≥

0

(p – 0.5) \\ge 0

(p−0.5)≥0 且

r

a

n

d

≥

0.75

rand \\ge 0.75

rand≥0.75 时适用。此外，利用耳朵可旋转

150

∘

150^\\circ

150∘ 的特性，狐狸可以在最佳解周围的圆形轨迹中发现猎物，这种行为由以下公式模拟：

y

k

+

1

i

=

y

r

o

t

a

t

e

i

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

×

f

l

a

g

(20)

y_{k+1}^i = y_{rotate}^i + \\beta \\times randn(1,d) \\times flag \\tag{20}

yk+1i​=yrotatei​+β×randn(1,d)×flag(20) 此公式在

(

p

−

0.5

)

≥

0

,

s

<

h

,

r

a

n

d

<

0.75

(p – 0.5) \\ge 0,\\ s < h,\\ rand < 0.75

(p−0.5)≥0, s<h, rand<0.75 时适用，其旋转角度

θ

c

\\theta_c

θc​ 由

r

a

n

d

×

(

150

∘

×

π

/

360

∘

)

rand \\times (150^\\circ \\times \\pi / 360^\\circ)

rand×(150∘×π/360∘) 确定。

1.3 夜间搜索猎物

在夜间，Rüppell’s 狐狸更多依赖听觉而非视觉来寻找猎物。当它们利用听觉进行搜索时，位置更新模型如下：

y

k

+

1

i

=

x

k

i

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

y

_

r

a

n

d

−

x

k

i

)

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

(23)

y_{k+1}^i = x_k^i + r\\_index \\times (y\\_rand – x_k^i) + r\\_index \\times (fbest_k – x_k^i) \\tag{23}

yk+1i​=xki​+r_index×(y_rand−xki​)+r_index×(fbestk​−xki​)(23) 此公式在

(

p

−

0.5

)

<

0

,

h

≥

s

,

r

a

n

d

≥

0.25

(p – 0.5) < 0,\\ h \\ge s,\\ rand \\ge 0.25

(p−0.5)<0, h≥s, rand≥0.25 时适用。这里的参数与白天搜索模型中的类似，但

y

_

r

a

n

d

y\\_rand

y_rand 表示狐狸随机选择其最优位置。与白天类似，夜间搜索也包括利用耳朵和眼睛的旋转特性进行随机定位。当利用耳朵旋转进行搜索时，位置更新遵循以下公式：

y

k

+

1

i

=

y

r

o

t

a

t

e

i

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

×

f

l

a

g

(26)

y_{k+1}^i = y_{rotate}^i + \\beta \\times randn(1,d) \\times flag \\tag{26}

yk+1i​=yrotatei​+β×randn(1,d)×flag(26) 此公式在

(

p

−

0.5

)

<

0

,

h

≥

s

,

r

a

n

d

<

0.25

(p – 0.5) < 0,\\ h \\ge s,\\ rand < 0.25

(p−0.5)<0, h≥s, rand<0.25 时适用。当利用视觉搜索时，位置更新遵循以下公式：

y

k

+

1

i

=

x

k

i

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

x

r

a

n

d

−

x

k

i

)

+

r

_

i

n

d

e

x

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

(27)

y_{k+1}^i = x_k^i + r\\_index \\times (x_rand – x_k^i) + r\\_index \\times (fbest_k – x_k^i) \\tag{27}

yk+1i​=xki​+r_index×(xr​and−xki​)+r_index×(fbestk​−xki​)(27) 此公式在

(

p

−

0.5

)

<

0

,

s

>

h

,

r

a

n

d

≥

0.75

(p – 0.5) < 0,\\ s > h,\\ rand \\ge 0.75

(p−0.5)<0, s>h, rand≥0.75 时适用。当利用眼睛旋转特性时，则遵循以下公式：

y

k

+

1

i

=

y

r

o

t

a

t

e

i

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

×

f

l

a

g

(28)

y_{k+1}^i = y_{rotate}^i + \\beta \\times randn(1,d) \\times flag \\tag{28}

yk+1i​=yrotatei​+β×randn(1,d)×flag(28) 此公式在

(

p

−

0.5

)

<

0

,

s

>

h

,

r

a

n

d

<

0.75

(p – 0.5) < 0,\\ s > h,\\ rand < 0.75

(p−0.5)<0, s>h, rand<0.75 时适用。

1.4 利用嗅觉定位猎物

除了敏锐的听觉和视觉，Rüppell’s 狐狸还利用其非凡的嗅觉在白天和夜晚寻找猎物。当狐狸无法通过视觉或听觉定位猎物时，它们被迫在随机区域和方向上搜寻。这种行为的数学模拟如下：

γ

k

+

1

i

=

{

x

k

i

+

ρ

×

(

x

_

r

a

n

d

1

−

x

k

i

)

×

r

2

+

ρ

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

×

r

3

r

1

≥

s

m

e

l

x

_

r

a

n

d

1

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

r

1

<

s

m

e

l

\\gamma_{k+1}^i = \\begin{cases} x_k^i + \\rho \\times (x\\_rand1 – x_k^i) \\times r_2 + \\rho \\times (fbest_k – x_k^i) \\times r_3 & r_1 \\ge smel \\\\ x\\_rand1 + \\beta \\times randn(1,d) & r_1 < smel \\end{cases}

γk+1i​={xki​+ρ×(x_rand1−xki​)×r2​+ρ×(fbestk​−xki​)×r3​x_rand1+β×randn(1,d)​r1​≥smelr1​<smel​ 其中

r

1

,

r

2

,

r_1, r_2,

r1​,r2​, 和

r

3

r_3

r3​ 是在

[

0

,

1

]

[0, 1]

[0,1] 范围内的随机值，

x

_

r

a

n

d

1

x\\_rand1

x_rand1 是一个随机选择的已知最优位置向量。

ρ

\\rho

ρ 是一个均匀分布的随机值，而

s

m

e

l

smel

smel 是一个随迭代次数变化的函数，用于模拟狐狸的嗅觉能力。公式的第一部分表示狐狸根据气味追踪猎物，而第二部分表示当气味追踪失败时，它会随机搜索附近的位置。

1.5 向最优狐狸移动

Rüppell’s 狐狸在觅食时表现出集体行为，它们会朝向群体中位置最好的狐狸移动，因为这只狐狸最接近猎物。为了模拟这种行为，开发了以下公式：

y

k

+

1

i

=

{

x

˙

k

i

+

c

0

×

(

x

_

r

a

n

d

−

x

˙

k

i

)

×

r

1

+

c

1

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

˙

k

i

)

×

r

2

r

a

n

d

≥

0.

(

x

˙

k

i

+

x

k

i

)

/

2

r

a

n

d

<

0.

y_{k+1}^i = \\begin{cases} \\dot{x}_k^i + c_0 \\times (x\\_rand – \\dot{x}_k^i) \\times r_1 + c_1 \\times (fbest_k – \\dot{x}_k^i) \\times r_2 & rand \\ge 0. \\\\ (\\dot{x}_k^i + x_k^i)/2 & rand < 0. \\end{cases}

yk+1i​={x˙ki​+c0​×(x_rand−x˙ki​)×r1​+c1​×(fbestk​−x˙ki​)×r2​(x˙ki​+xki​)/2​rand≥0.rand<0.​ 其中

c

0

c_0

c0​ 和

c

1

c_1

c1​ 是正常数，

x

˙

k

i

\\dot{x}_k^i

x˙ki​ 是第i只狐狸相对于猎物位置更新后的位置，该位置的计算考虑了全局最优解和局部最优解的影响，其公式如下：

x

˙

k

i

=

x

k

i

+

a

0

×

(

f

b

e

s

t

k

−

x

k

i

)

×

r

a

n

d

+

a

1

×

(

l

b

e

s

t

k

i

(

F

)

−

l

b

e

s

t

k

i

)

×

r

a

n

d

(35)

\\dot{x}_k^i = x_k^i + a_0 \\times (fbest_k – x_k^i) \\times rand + a_1 \\times (lbest_k^i(F) – lbest_k^i) \\times rand \\tag{35}

x˙ki​=xki​+a0​×(fbestk​−xki​)×rand+a1​×(lbestki​(F)−lbestki​)×rand(35) 这里

a

0

a_0

a0​ 和

a

1

a_1

a1​ 是正常数，

F

F

F 是一组随机值。这个模型模仿了狐狸群的集体行为，扩大了进一步探索和利用的可能性。

1.6 最差情况下的动物行为

在最差情况下，如果 Rüppell’s 狐狸在邻近区域找不到猎物，它们会深入搜索区域，并试图移动到有希望的区域，远离最差的区域。为了在数学上模拟这种深入搜索，开发了以下公式：

y

k

+

1

w

o

r

s

t

=

y

k

w

o

r

s

t

+

β

×

r

a

n

d

n

(

1

,

d

)

f

l

a

g

=

1

(37)

y_{k+1}^{worst} = y_k^{worst} + \\beta \\times randn(1,d) \\quad flag = 1 \\tag{37}

yk+1worst​=ykworst​+β×randn(1,d)flag=1(37) 该公式描述了 RFO 算法为进一步探索搜索空间而采取的集体行为。具体来说，它揭示了如果附近没有可以听到、闻到或看到的猎物，Rüppell’s 狐狸会在搜索空间内随机寻找猎物。

2.算法结果

3.Matlab&&Python

4.参考文献

[1]Braik, M., Al-Hiary, H. Rüppell’s fox optimizer: A novel meta-heuristic approach for solving global optimization problems. Cluster Comput 28, 292 (2025). https://doi.org/10.1007/s10586-024-04950-1.