中国研究生数学建模竞赛（华为杯）学习笔记——TOPSIS评价法

文章目录

• TOPSIS简介
• 方法和原理
• • 数学定义
  • • 数学语言描述
    • 现实案例
  • 正负理想解
  • • 定义
    • 实例
  • 量纲
• TOPSIS法的算法步骤
• • 1.用向量规范化的方法求得规范决策矩阵
  • 2.构成加权规范阵
  • 3.确定正负理想解的距离
  • 4.计算各方案到正理想解与负理想解的距离
  • 5.计算各方案的综合评价指数
  • 6.排列方案的优劣次序
• 实战应用
• • 例题
  • 解答步骤
  • • 数据的预处理
    • 属性值线性规划归一化
• 完整代码

TOPSIS简介

客观评价方法中的一种,亦称为理想解法，是一种有效的多指标评价方法。这种方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度，即靠近止理想解和远离负理想解的程度，来对方案进行排序，从而选出最优方案。

方法和原理

数学定义

数学语言描述

设多属性决策方案集为D={d₁,d₂,…,d_m}，衡量方案优劣的属性变量为x₁,…,x_n,，这时方案集D中的每个方案d_i( i= 1,…,m )的n个属性值构成的向量是[A_i1,…,A_in]，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案d_i。

现实案例

例如评价经济的发展水平 d1代表山东，d2代表江苏，d3代表北京……就是一共有m个待评价方案。 x1是绿化面积，x2是人均GDP，x3是经济总量……共有n个属性值。 其中能够展现山东的经济发展水平有绿化面积、人均GDP、经济总量等n个指标。而Ai1就是山东绿化的总面积、Ai2为山东GDP总量……

正负理想解

定义

正理想解C是一个方案集D中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好值;而负理想解C⁰则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。在n维空间中，将方案集D中的各备选方案d_i与正理想解C和负理想解C⁰的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集D中的最佳方案;并可以据此排定方案集D中各备选方案的优先序。

实例

评价表中哪五个研究生院更好，可以虚构一个最好的研究生院标准，该虚构的研究生院的数据全为最优值，例如： 虚构研究生院6，其中它的人均专著x₆₁为1.2，生师比x₆₂为5(生师比为学生和老师的比值，它的值必须保持适度，适当的生师比可以促进老师和学生良好的互动，该值过高过低都不好)，科研经费x₆₃为10000，预期毕业率x₆₄为1.8。此时，研究生院6就是正理想解C*，同理构建虚拟的最差方案负理想解C⁰。

量纲

确定好正负理想解后，就可以以此来判断判断不同研究生院的优劣。下面开始描述每个研究生院与正负理想解的距离。 那么距离应该怎么算呢？当量纲不同时，方案不同数据的波动会很大，因此在计算距离时首先要排除量纲的影响,进行非量纲化。

非量纲化定义 多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性,采用不同的计量单位,表中的数值也就不同。在用各种多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化。

TOPSIS法的算法步骤

1.用向量规范化的方法求得规范决策矩阵

设多属性决策问题的决策矩阵A=(a_ij )_m*n，规范化决策矩阵B=(b_ij)_m*n，其中

2.构成加权规范阵

设由决策人给定各属性的权重向量为 w=[w₁,w₂,…,w_n] ， 则 c_ij = w_j*b_ij 其中 i=1,2,…,m， j =1,2,…,n.

在评价过程中，每项评价标准占比不同，让重要的指标影响大一点，不重要的指标影响小一点。 类似于成绩的计算，比较重要的语数英总分数高一些，其他副科的总分数低一些。

3.确定正负理想解的距离

理想解属性大致可以分为效益型、成本型和区间型三种，其中 正理想解：

效益最大值和成本最小值，当属性为区间型的时候要判断在哪个区间最佳。

负理想解：

效益最小值和成本最大值

4.计算各方案到正理想解与负理想解的距离

备选方案d_i到正理想解的距离为：

备选方案d_i到负理想解的距离为：

可类比两点间距离公式，该距离为n维空间内的距离

5.计算各方案的综合评价指数

计算综合评价指数公式的分子为方案到负理想解的距离，分母为为方案到负理想解的距离与方案到正理想解的距离之和，所以综合评价指数越大越好。

6.排列方案的优劣次序

按综合评价指数由大到小排列方案的优劣次序即可

实战应用

例题

研究生院试评估 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量,国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估,表1是所给出的部分数据。

解答步骤

数据的预处理

数据的预处理又称属性值的规范化

属性值具有多种类型,包括效益型、成本型和区间型等。这三种属性,效益型属性越大越好,成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。

判断每个属性的数据是越大越好还是越小越好，当属性为区间型的时候判断在哪个区间最佳。 判断完成以后将它们进行规范化处理。

数据规范化处理的作用

1.属性值有多种类型,上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对数据进行预处理,使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。

2.非量纲化,多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性,采用不同的计量单位,表中的数值也就不同。在用各种多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化。

3.归一化,属性值表中不同指标的属性值的数值人小差别很大，为了直观，更为了便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化,即把表中数值均变换到[0，1]区间上。

即将上述三种属性全部转化为效益型，这个数值分布在[0，1]区间上，该值越大越好。

属性值线性规划归一化

为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0，可以进行标准0-1变换。

1.对效益型属性x_j，令

当a_ij为最小值时，b_ij为0，当a_ij为最大值时，b_ij为1。

2.对成本型属性x_j， 计算公式可套用效益型的公式，在求正负理想解的时候记得要颠倒一下。

3.对区间型属性x_j，设给定的最优属性区间为[

a

j

0

a^0_j

aj0​,

a

j

∗

a^*_j

aj∗​]，

a

j

，

a^，_j

aj，​为无 法容忍下限,

a

j

”

a^”_j

aj”​为无法容忍上限，则

例如例题中的生师比，它最好的区间应为[5,6],最差应不低于2，高于12，当该属性值在最有区间时为1，当超过或等于能容忍上下限时为0。

完整代码

import numpy as np

# 输入数据
a = np.array([
[0.1, 5, 5000, 4.7],
[0.2, 6, 6000, 5.6],
[0.4, 7, 7000, 6.7],
[0.9, 10, 10000, 2.3],
[1.2, 2, 400, 1.8]
], dtype=float)

m, n = a.shape

def interval_transform(interval, lower_bound, upper_bound, x):
"""
区间型指标正向化：
位于最优区间内时取1，区间外按距离线性递减。
"""
left, right = interval
result = np.zeros_like(x, dtype=float)

# 左侧递增区间
mask_left = (x >= lower_bound) & (x < left)
result[mask_left] = 1 – (left – x[mask_left]) / (left – lower_bound)

# 最优区间
mask_middle = (x >= left) & (x <= right)
result[mask_middle] = 1

# 右侧递减区间
mask_right = (x > right) & (x <= upper_bound)
result[mask_right] = (
1 – (x[mask_right] – right) / (upper_bound – right)
)

return result

# 对属性2进行区间型指标正向化
interval = [5, 6]
lower_bound = 2
upper_bound = 12

a[:, 1] = interval_transform(
interval,
lower_bound,
upper_bound,
a[:, 1]
)

# 向量规范化
column_norms = np.linalg.norm(a, axis=0)
b = a / column_norms

# 指标权重
w = np.array([0.2, 0.3, 0.4, 0.1])

# 加权规范化矩阵
c = b * w

# 正理想解
c_star = np.max(c, axis=0)

# 第4个属性为成本型指标，越小越好
c_star[3] = np.min(c[:, 3])

# 负理想解
c_zero = np.min(c, axis=0)

# 第4个属性为成本型指标，其负理想值取最大值
c_zero[3] = np.max(c[:, 3])

# 各方案到正、负理想解的欧氏距离
s_star = np.linalg.norm(c – c_star, axis=1)
s_zero = np.linalg.norm(c – c_zero, axis=1)

# TOPSIS综合得分
f = s_zero / (s_star + s_zero)

# 按综合得分降序排列
indices = np.argsort(f)[::–1]
sorted_scores = f[indices]

print("正理想解：")
print(c_star)

print("\\n负理想解：")
print(c_zero)

print("\\n各方案综合得分：")
print(f)

print("\\n排序后的得分：")
print(sorted_scores)

# Python下标加1，转换为MATLAB式方案编号
print("\\n方案排序：")
print(indices + 1)

得出结果 各方案的从优到劣的次序为4,3,2,1,5