【Python神技巧】一行代码判断质数，数学题秒杀神器！

前言

大家好，这里是 Charming讲Python编码小技巧 系列专栏。每天分享一个 30-seconds-of-python 仓库中的神级写法，助你告别“屎山”代码，写出让人眼前一亮的 Pythonic 风格！

小技巧内容描述

质数（素数）是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数。在编程面试和算法题中，判断质数是一个常见问题。今天教你一个高效且优雅的解决方案，短短几行代码就能搞定！

from math import sqrt

def is_prime(n):
if n <= 1 or (n % 2 == 0 and n > 2):
return False
return all(n % i for i in range(3, int(sqrt(n)) + 1, 2))

就这么简单！让我来详细解释一下为什么这么写。

为什么这么用？

核心原理：数学优化的魔力

这个技巧的核心在于利用数学性质进行优化，避免不必要的计算：

举个栗子

# 基础测试
print(is_prime(2)) # True (唯一的偶质数)
print(is_prime(3)) # True
print(is_prime(11)) # True
print(is_prime(17)) # True
print(is_prime(97)) # True

# 非质数
print(is_prime(1)) # False
print(is_prime(4)) # False
print(is_prime(15)) # False
print(is_prime(100)) # False
print(is_prime(121)) # False (11*11)

理解检查范围

以 is_prime(17) 为例：

• sqrt(17) ≈ 4.12
• range(3, 5, 2) = [3]
• 检查：17 % 3 = 2 ≠ 0
• all() 返回 True → 17是质数

以 is_prime(15) 为例：

• sqrt(15) ≈ 3.87
• range(3, 4, 2) = [3]
• 检查：15 % 3 = 0
• all() 返回 False → 15不是质数

更多实用场景

场景一：密码学应用 – 生成大质数

import random

def generate_large_prime(bits=64):
"""生成指定位数的大质数"""
while True:
# 生成一个奇数
n = random.getrandbits(bits) | 1
if is_prime(n):
return n

# 测试
large_prime = generate_large_prime(32)
print(f"生成的32位质数: {large_prime}")
print(f"验证: {is_prime(large_prime)}") # True

场景二：密码强度检测 – 质数密码奖励

def check_password_with_bonus(password):
"""检查密码，如果是质数长度给予奖励"""
password_len = len(password)

if password_len < 8:
print("密码长度不足8位")
return False

if is_prime(password_len):
print(f"密码长度 {password_len} 是质数！获得'数学达人'徽章！")
return True
else:
print(f"密码长度 {password_len} 位，注册成功")
return True

# 测试
check_password_with_bonus("abc12345") # 长度8 (非质数)
check_password_with_bonus("abc1234567") # 长度10 (非质数)
check_password_with_bonus("abc12345678") # 长度11 (质数！)

场景三：数据分页优化 – 质数页码

def optimize_page_numbers(total_items, items_per_page):
"""优化分页，优先显示质数页码"""
total_pages = (total_items + items_per_page – 1) // items_per_page

# 获取所有质数页码
prime_pages = [p for p in range(1, total_pages + 1) if is_prime(p)]

print(f"总页数: {total_pages}")
print(f"质数页码: {prime_pages}")

# 返回推荐页码（优先质数）
return prime_pages

# 测试
optimize_page_numbers(100, 10) # 10页，质数页: [2, 3, 5, 7]

场景四：找质数对 – 哥德巴赫猜想验证

def find_prime_pairs(n):
"""找出所有两个质数之和等于n的组合"""
pairs = []
for i in range(2, n // 2 + 1):
if is_prime(i) and is_prime(n – i):
pairs.append((i, n – i))
return pairs

# 验证哥德巴赫猜想（每个大于2的偶数可以表示为两个质数之和）
for even_num in [10, 14, 20, 28, 100]:
pairs = find_prime_pairs(even_num)
print(f"{even_num} = {pairs}")

性能对比

让我们看看这个方法和其他方法相比性能如何：

import time

# 方法1：使用sqrt优化（推荐）
def method1(n):
if n <= 1 or (n % 2 == 0 and n > 2):
return False
return all(n % i for i in range(3, int(sqrt(n)) + 1, 2))

# 方法2：暴力检查所有数
def method2(n):
if n <= 1:
return False
for i in range(2, n):
if n % i == 0:
return False
return True

# 方法3：检查到n，但不使用all()
def method3(n):
if n <= 1:
return False
for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
if n % i == 0:
return False
return True

# 性能测试
test_number = 9999991 # 一个大质数

# 测试方法1
start = time.time()
result1 = method1(test_number)
print(f"方法1(sqrt优化): {time.time() – start:.6f}秒, 结果: {result1}")

# 测试方法2
start = time.time()
result2 = method2(test_number)
print(f"方法2(暴力): {time.time() – start:.6f}秒, 结果: {result2}")

# 测试方法3
start = time.time()
result3 = method3(test_number)
print(f"方法3(循环): {time.time() – start:.6f}秒, 结果: {result3}")

结果对比：

• 方法1（sqrt优化）：最快，简洁优雅
• 方法2（暴力）：最慢，对于大数几乎不可用
• 方法3（循环）：次快，但代码较长

进阶技巧：找出指定范围内的所有质数

方法1：简单遍历

def find_primes_in_range(start, end):
"""找出指定范围内的所有质数"""
return [n for n in range(start, end + 1) if is_prime(n)]

# 找出1到100的所有质数
primes = find_primes_in_range(1, 100)
print(f"1到100的质数: {primes}")
print(f"共 {len(primes)} 个")

方法2：埃拉托斯特尼筛法（更高效）

def sieve_of_eratosthenes(n):
"""埃拉托斯特尼筛法找出小于等于n的所有质数"""
if n < 2:
return []

sieve = [True] * (n + 1)
sieve[0] = sieve[1] = False

for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
if sieve[i]:
sieve[i*i : n+1 : i] = [False] * len(sieve[i*i : n+1 : i])

return [i for i, is_prime in enumerate(sieve) if is_prime]

# 测试
primes = sieve_of_eratosthenes(100)
print(f"1到100的质数: {primes}")
print(f"共 {len(primes)} 个")

# 性能对比
import time

n = 1000000

start = time.time()
primes1 = find_primes_in_range(1, n)
print(f"简单遍历法: {time.time() – start:.4f}秒")

start = time.time()
primes2 = sieve_of_eratosthenes(n)
print(f"筛法: {time.time() – start:.4f}秒")

质数趣味知识

总结

这个"判断质数"的技巧之所以如此优雅，是因为：

下次遇到需要判断质数的场景，不妨试试这个技巧，让你的代码既简洁又高效！

今日小技巧： all(n % i for i in range(3, int(sqrt(n)) + 1, 2)) – 高效判断质数

适用场景： 密码学、算法题、数据验证、数学计算等

点赞收藏，每天学一个Python神技巧！