CAD程序设计——UCS（用户坐标系）体系设计分析

UCS（用户坐标系）体系设计分析

摘要：在 CAD 制图中，世界坐标系（WCS）难以直接支撑斜视图、局部斜坐标与任意方向制图。既有系统仅以 Plane {XY, YZ, XZ} 表示三投影面，且该枚举仅用于状态显示，完全不参与坐标换算，导致全代码库隐式假设坐标系恒为世界 XY。本文提出一套静态命名 UCS（用户坐标系）体系，将 UCS 形式化为二维刚性变换群 $SE(2)$ 的子集，由原点 $o$ 与绕 $Z$ 轴旋转角 $\theta$ 唯一确定。设计遵循“插入层 = 输入/显示层，绝不碰存储层”的铁律，使 Element.pts 始终保存世界坐标，存档格式零改动。通过单一换算入口 SketchModel::toWorld()/toUcs() 收口所有坐标变换，并在 Snap、GraphicsView、命令解析、状态栏等模块按 UCS 轴对齐，同时保持约束求解器以世界系为唯一基准。新增 t_ucs 自测 24 条 CHECK，覆盖数学恒等、命令定义、极轴/正交/栅格、读数切换与不入档断言。全量自测零回归。本文进一步给出动态 UCS 的扩展路径、零回归设计模式与架构决策的形式化论证。

关键词：用户坐标系；UCS；二维刚性变换；世界坐标；坐标换算；零回归；CAD 制图；动态 UCS

0 引言

在计算机辅助设计（CAD）中，世界坐标系（World Coordinate System, WCS）为所有几何对象提供全局基准。然而，实际制图常需在斜视图、局部斜坐标或任意方向工作面上操作。若系统仅支持世界 XY 平面，用户不得不通过繁琐的坐标心算或辅助线完成斜向绘制，效率低且易错。

用户坐标系（User Coordinate System, UCS）允许用户定义局部原点与旋转方向，使输入、显示、捕捉、极轴、正交与读数均以局部系为基准，而底层存储仍保持世界坐标。这一“输入/显示变换、存储不变”的架构，既能满足斜向制图需求，又能保证存档兼容与既有算法无感。

本文对既有代码进行彻底勘察，发现三个关键问题：

本文的核心设计思想是：

将 UCS 建模为二维刚性变换，插入到输入/显示边界，存储层始终为世界坐标。

形式化地，设世界坐标为 $p_w\in {\mathbb{R}}^2$，UCS 局部坐标为 $p_u\in {\mathbb{R}}^2$，UCS 由原点 $o\in {\mathbb{R}}^2$ 与旋转角 $\theta \in [0,2\pi )$ 定义。则正变换 $T_{u\to w}$ 与逆变换 $T_{w\to u}$ 为：

$$p_w=T_{u\to w}(p_u)=o+R(\theta )p_u$$

$$p_u=T_{w\to u}(p_w)=R(-\theta )(p_w-o)$$

其中旋转矩阵：

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

满足正交性：

$$R(\theta {)}^{\top }R(\theta )=I,R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^{\top }=R(-\theta )$$

因此往返变换恒等：

$$T_{w\to u}(T_{u\to w}(p_u))=p_u$$

误差仅来自浮点舍入，自测要求 $\le 10^{-9}$。

本文贡献如下：

1 现状勘察与问题定义

1.1 Plane 空头机制

既有代码中：

enum class Plane { XY, YZ, XZ };

SketchModel::plane_ 仅用于状态栏或 HUD 显示，不参与任何坐标换算。所有几何算法、渲染、捕捉、约束求解均隐式假设世界 XY 平面。因此，plane 命令虽可切换显示，但不会改变实际坐标语义。

1.2 无集中坐标换算入口

点解析 CommandContext::tryParsePoint 仅支持绝对 x,y[,z]，不支持：

• @dx,dy 相对笛卡尔坐标；
• dist<angle 绝对极坐标；
• @dist<angle 相对极坐标。

DYN 动态输入 commitDynInput 直接对世界 X 轴计算：

$$\Delta p=\ell \cdot (\cos \alpha ,\sin \alpha )$$

未考虑 UCS 旋转。

1.3 硬编码世界轴

1.4 问题形式化

设真实存储坐标为 $p_{\text{store}}$，用户输入坐标为 $p_{\text{in}}$，显示坐标为 $p_{\text{disp}}$。理想 UCS 体系应满足：

$$p_{\text{store}}=T_{u\to w}(p_{\text{in}})$$

$$p_{\text{disp}}=T_{w\to u}(p_{\text{store}})$$

且存档格式不变：

$${\mathrm{JSON}}_{\text{new}}={\mathrm{JSON}}_{\text{old}}$$

在顶层键集上完全一致。既有系统因缺少统一 $T$，导致输入、显示、捕捉各自为政，斜向制图无法正确工作。

2 核心设计决策

2.1 UCS = 二维刚性变换

定义 UCS 结构：

struct Ucs {
QString name;
Vec3 origin; // 原点（世界坐标）
double angleRad; // 绕 Z 轴旋转角
};

派生轴向量：

$$x_{\text{axis}}=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$$

$$y_{\text{axis}}=(-\sin \theta ,\cos \theta ,0)$$

二者单位正交，且 $z$ 分量直通，不改变 Z 语义。正逆变换：

$$p_w=o+R(\theta )p_u$$

$$p_u=R(-\theta )(p_w-o)$$

默认 UCS = 世界系：

$$o=(0,0,0),\theta =0$$

此时：

$$R(0)=I,T_{u\to w}=T_{w\to u}=\mathrm{id}$$

既有 963 条自测零回归。
旋转矩阵正交可逆，因此：

$$T_{w\to u}(T_{u\to w}(p))=p$$

自测覆盖往返误差 $\le 10^{-9}$。

2.2 插入层 = 输入/显示层，绝不碰存储层

铁律：Element.pts 始终是世界坐标。

UCS 只存在于两道转换边界上：

用户输入（命令行/DYN/鼠标）──toWorld──▶ 世界坐标 ──▶ Element.pts（存储，不变）
Element.pts（世界）──toUcs──▶ 显示（网格/极轴/读数/HUD）

由此保证：

• 存档格式零改动，旧档/新档完全兼容；
• 既有渲染、导出、约束求解全部无感；
• 几何算法不感知 UCS，避免大规模回归。

2.3 世界 ↔ 用户换算收口到唯一入口

SketchModel::toWorld() / toUcs() 是唯一换算入口，内联转发 currentUcs_。所有输入与显示路径均消费它，杜绝“同一处换算散落多处导致方向不一致”。

形式化地，令所有输入路径集合为 ${\mathcal{P}}_{\text{in}}$，显示路径集合为 ${\mathcal{P}}_{\text{disp}}$，则：

$$\forall p\in {\mathcal{P}}_{\text{in}},p_w=\mathrm{SketchModel}::\mathrm{toWorld}(p)$$

$$\forall p\in {\mathcal{P}}_{\text{disp}},p_u=\mathrm{SketchModel}::\mathrm{toUcs}(p)$$

不存在旁路。

2.4 命名 UCS 表不序列化

ucsTable_ 存内存（QMap），不入 toDrawingJson / Memento。理由：

该决策可形式化为：

$$\mathrm{Keys}({\mathrm{JSON}}_{\text{new}})=\mathrm{Keys}({\mathrm{JSON}}_{\text{old}})$$

且：

$$\text{"ucs"}\notin \mathrm{Keys}({\mathrm{JSON}}_{\text{new}})$$

$$\text{"ucsTable"}\notin \mathrm{Keys}({\mathrm{JSON}}_{\text{new}})$$

2.5 plane 命令原样保留

既有 plane xy|yz|xz 三态行为不变。UCS 与 Plane 是并行概念，状态栏同时呈现：

平面:XY
⌖ WCS/UCS名 角度°

3 数学原理与公式

3.1 二维刚性变换群

二维刚性变换群 $SE(2)$ 元素可表示为：

$$T(o,\theta )=\left(\begin{array}{cc}R(\theta )& o\\ 0^{\top }& 1\end{array}\right)$$

其中 $o\in {\mathbb{R}}^2$，$R(\theta )\in SO(2)$。本文 UCS 即为 $SE(2)$ 的子集，但限制 $z$ 分量直通，且仅绕 $Z$ 轴旋转。

3.2 正逆变换

正变换：

$$p_w=o+R(\theta )p_u$$

逆变换：

$$p_u=R(-\theta )(p_w-o)$$

展开为分量形式：

$$
\\begin{pmatrix} x_w \\ y_w \\end{pmatrix}

\\begin{pmatrix} x_o \\ y_o \\end{pmatrix}
+
\\begin{pmatrix}
\\cos\\theta & -\\sin\\theta \\
\\sin\\theta & \\cos\\theta
\\end{pmatrix}
\\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\end{pmatrix}
$$

$$
\\begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\end{pmatrix}

\\begin{pmatrix}
\\cos\\theta & \\sin\\theta \\
-\\sin\\theta & \\cos\\theta
\\end{pmatrix}
\\begin{pmatrix} x_w – x_o \\ y_w – y_o \\end{pmatrix}
$$

3.3 正交性与往返恒等

旋转矩阵满足：

$$R(\theta {)}^{\top }R(\theta )=I$$

$$\det R(\theta )=1$$

因此：

$$R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^{\top }=R(-\theta )$$

往返恒等：

$$T_{w\to u}(T_{u\to w}(p_u))=R(-\theta )(o+R(\theta )p_u-o)=p_u$$

3.4 极坐标与相对坐标

绝对极坐标：

$$p_u=o+d\cdot (\cos (\alpha +\theta ),\sin (\alpha +\theta ))$$

其中 $d$ 为距离，$\alpha$ 为相对 UCS X 轴的角度。

相对笛卡尔：

$$p_u=p_{\text{base},u}+(\Delta x,\Delta y)$$

相对极坐标：

$$p_u=p_{\text{base},u}+d\cdot (\cos (\alpha +\theta ),\sin (\alpha +\theta ))$$

3.5 误差界

浮点往返误差主要来自矩阵乘法与加减。设机器精度为 ${\epsilon }_m$，则：

$$\Vert T_{w\to u}(T_{u\to w}(p))-p\Vert \le C{\epsilon }_m\Vert p\Vert$$

自测要求：

$$\Vert T_{w\to u}(T_{u\to w}(p))-p\Vert \le 10^{-9}$$

45° 正向算例要求 $\le 10^{-12}$。

3.6 零回归条件

默认 UCS = 世界系时：

$$o=0,\theta =0$$

此时：

$$T_{u\to w}(p)=p,T_{w\to u}(p)=p$$

所有新增带默认值的 UCS 参数取缺省值时，旧调用路径逐位等价。

4 各模块改动清单

4.1 新增 src/core/Ucs.h

• struct Ucs：name/origin/angleRad + xAxis() / yAxis() / toWorld() / toUcs() / isWorld() / describe()。

4.2 SketchModel (core)

• 状态：
  • currentUcs_：默认世界；
  • ucsTable_：内存表；
  • coordDisplayUcs_：读数模式；
  • lastInputPointWorld_：相对坐标基准点。
• API：
  • setCurrentUcs() / currentUcs()；
  • toWorld() / toUcs()；
  • parsePointToWorld(s, base, out)；
  • displayCoord()；
  • ucsSave/ucsDelete/ucsSetCurrent/ucsHas/ucsGet/ucsNames/ucsCount。
• 信号：ucsChanged()，状态栏 / 视图联动；setCurrentUcs 另发 viewChanged 驱动重绘。

4.3 点解析（UCS 感知）

SketchModel::parsePointToWorld 支持四种语法，均经 toWorld 收口。

接线点：

• CommandLine::onReturn：键盘坐标输入改走 parsePointToWorld，基准 = lastInputPointWorld()；UCS = 世界时与旧 tryParsePoint 行为逐位一致；
• GraphicsView::injectPoint：提交后回写 lastInputPointWorld_，链式 @ 基准；
• commitDynInput：偏移改沿 ucs.xAxis()/yAxis() 分解，updateDynBox 预填角减去 UCS 旋转角，显示口径 = 提交口径。

4.4 ucs 命令（core/Commands）

五种定义：

便捷：

ucs origin <x,y> [角°]

CRUD：

ucs save|set|restore|delete|list

其中 set 与 restore 同义，WORLD 不可删。

读数切换：

ucs coords wcs|ucs

便捷切换：

ucs <已存在名>

登记于 registerExact("ucs", …)，紧邻 plane。

4.5 Snap 按 UCS 轴对齐（零回归设计）

三个函数追加带默认值的 UCS 参数，缺省 = 世界轴，既有调用零改动：

• polarAngles(cfg, baseDir, ucsOffsetDeg=0)：极轴角基准整体偏移；
• track(…, ucsAngleRad=0)：OTRACK/TK 的水平/垂直对齐线改为在 UCS 局部系内做轴对齐，落点转回世界系；ucsAngleRad=0 时两次变换恒等，逐位等价旧实现；
• applyInputConstraints(…, ucsAngleRad=0)：正交锁轴与栅格量化均转 UCS 局部系执行。

4.6 GraphicsView 按 UCS 渲染

• 网格：UCS ≠ 世界时转 UCS 局部系生成网格线，可见区四角转局部取包围盒保证覆盖，经 painter translate(UCS 原点) + rotate(UCS 角) 映射回世界；UCS = 世界走原快路。
• 坐标轴图标：save/translate/rotate 后绘制，落在 UCS 原点、按 UCS 角旋转；UCS = 世界时变换恒等。
• 极轴射线：与追踪吸附共用同一 polarAngles 入口，传 UCS 偏移，所见即所得。
• 正交引导线：沿 ucs.xAxis()/yAxis() 绘制。
• HUD：显示当前 UCS 名称/原点/旋转角，世界系显示 WCS。
• 坐标读数：cursorMoved 改发 model_->displayCoord(w)，WCS/UCS 随模式。
• 视图矩阵不变式保持：applyTransform 的无旋转映射：

$${\text{screen}}_x=w_x\cdot \mathrm{zoom}+\mathrm{panX}$$

$${\text{screen}}_y=-w_y\cdot \mathrm{zoom}+\mathrm{panY}$$

绝不旋转。UCS 旋转全部用几何层 UCS 基实现，避免破坏大量依赖该不变式的既有自测。

• DYN：提交/预填角均以 UCS X 为 $0^{\circ }$ 基准。

4.7 状态栏 UCS 指示器

• StatusBar::setUcsInfo() 新标签 ⌖ WCS / ⌖ 名称 角度°；
• tooltip 提示 ucs 命令用法；
• ModelMediator 订阅 ucsChanged + 启动回显一次；
• 读数切到 UCS 时附加“（读数 UCS）”提示。

4.8 ConstraintSolver 不动（刻意决策）

t_horizontal/t_vertical/t_angle 等约束自测是世界 X 基准的回归用例。约束层若随 UCS 旋转将全面破坏“约束 = 几何恒等关系”的语义。约束继续以世界系为唯一基准，与“UCS 只是输入/显示变换”的定位一致。

5 自测覆盖（t_ucs，共 24 条 CHECK）

$$p=(100\cos 45^{\circ },100\sin 45^{\circ })$$

误差 $\le 10^{-6}$；另覆盖绝对笛卡尔、绝对极坐标、相对笛卡尔、世界系零回归 4 例；

$$(\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ })$$

世界系回到 $(1,0)$；

6 创新点与讨论

6.1 形式化 UCS 为 $SE(2)$ 子集

本文将 UCS 明确定义为二维刚性变换群 $SE(2)$ 的子集，并给出正逆变换、正交性与误差界。该形式化使坐标换算从工程约定提升为可证明的数学对象。

6.2 插入层 = 输入/显示层

提出“UCS 只存在于输入/显示边界，存储层始终为世界坐标”的架构边界。该边界保证：

• 存档格式零改动；
• 几何算法无感；
• 既有回归零破坏。

可形式化为：

$$\mathrm{Store}=\mathrm{WCS},\mathrm{Input}=T_{u\to w}(\mathrm{UCS}),\mathrm{Display}=T_{w\to u}(\mathrm{WCS})$$

6.3 单一换算入口

所有坐标变换收口到 SketchModel::toWorld() / toUcs()，杜绝方向不一致。该设计可视为“变换单例”模式，在架构上强制唯一性。

6.4 零回归设计模式

新增参数带默认值，默认 UCS = 世界系，旧调用路径逐位等价。该模式可概括为：

$$\text{默认参数}+\text{世界系恒等}\Rightarrow \text{零回归}$$

6.5 刻意不序列化

命名 UCS 表不入档，避免 JSON 顶层键集变化。该决策以自测断言固化：

$$\text{"ucs"}\notin \mathrm{Keys}(\mathrm{JSON})$$

$$\text{"ucsTable"}\notin \mathrm{Keys}(\mathrm{JSON})$$

6.6 动态 UCS 扩展路径

动态 UCS 可在 snapWorld 入口前插入临时 Ucs，复用全部机制：

$$T_{\text{dyn}}=T(o_{\text{dyn}},{\theta }_{\text{dyn}})$$

无需改动存储层与约束层。

7 已知边界与后续可选项

• 动态 UCS：绘制时对临时工作平面自动吸附，列为可选子项，未实现；静态命名 UCS 全链路已正确，动态 UCS 可在 snapWorld 入口前插入临时 Ucs 而复用全部机制。
• 约束求解不随 UCS 旋转；如未来需要“UCS 相对约束”应作为独立约束类型设计。
• UCS 表不持久化是刻意取舍；若需随图保存应走“顶层键只追加”路径并同步黄金样本。
• CommandContext::parsePoint（脚本/命令行整行命令的绝对点）保持世界系语义——键盘交互入口已 UCS 化，脚本参数保持确定性解析，避免既有脚本回归。

8 结论

本文以二维刚性变换为数学基础，构建了静态命名 UCS 体系。通过“插入层 = 输入/显示层”的架构边界、单一换算入口、零回归设计模式与刻意不序列化决策，系统在支持斜视图、局部斜坐标制图的同时，保证存档格式零改动、既有算法无感、全量自测零回归。新增 t_ucs 24 条 CHECK 覆盖数学恒等、命令定义、极轴/正交/栅格、读数切换与不入档断言。动态 UCS 可作为后续可选子项，在现有机制上无缝扩展。

附录 A 符号表

附录 B 公式汇总

正变换：

$$p_w=o+R(\theta )p_u$$

逆变换：

$$p_u=R(-\theta )(p_w-o)$$

旋转矩阵：

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

正交性：

$$R(\theta {)}^{\top }R(\theta )=I,R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^{\top }=R(-\theta )$$

轴向量：

$$x_{\text{axis}}=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$$

$$y_{\text{axis}}=(-\sin \theta ,\cos \theta ,0)$$

绝对极坐标：

$$p_u=o+d\cdot (\cos (\alpha +\theta ),\sin (\alpha +\theta ))$$

零回归条件：

$$o=0,\theta =0\Rightarrow T_{u\to w}=T_{w\to u}=\mathrm{id}$$

不入档断言：

$$\text{"ucs"}\notin \mathrm{Keys}(\mathrm{JSON})$$

$$\text{"ucsTable"}\notin \mathrm{Keys}(\mathrm{JSON})$$

附录 C 自测断言摘要

总结：本文提出并实现了一套静态命名 UCS 体系，以二维刚性变换为数学核心，以“输入/显示边界插入”为架构原则，以“单一换算入口”为一致性保障，以“零回归设计”为工程约束，以“刻意不序列化”为兼容性决策。系统支持斜视图与局部斜坐标制图，同时保持存档格式零改动、既有算法无感、全量自测零回归。动态 UCS 可在现有机制上无缝扩展，为后续斜向制图与临时工作平面提供可复用路径。