P1220 关路灯【洛谷算法习题】

P1220 关路灯

网页链接

P1220 关路灯

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了

n

n

n 盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为

1

m

/

s

1m/s

1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：

m

m

m）、功率（

W

W

W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

第一行是两个数字

n

n

n（表示路灯的总数）和

c

c

c（老张所处位置的路灯号）；

接下来

n

n

n 行，每行两个数据，表示第

1

1

1 盏到第

n

n

n 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗（单位：

J

J

J，

1

J

=

1

W

×

s

1J=1W\\times s

1J=1W×s）。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

输出 #1

270

说明/提示

样例解释

此时关灯顺序为 3 4 2 1 5。

数据范围

1

≤

n

≤

50

1\\le n\\le50

1≤n≤50，

1

≤

c

≤

n

1\\le c\\le n

1≤c≤n，

1

≤

W

i

≤

100

1\\le W_i \\le 100

1≤Wi​≤100，

1

≤

路灯位置

≤

100

1 \\leq \\text{路灯位置} \\leq 100

1≤路灯位置≤100

解题思路

解题思路

本题是区间动态规划的经典问题。老张关灯的过程可以看作是在一条直线上不断扩展已关灯的连续区间，因此可以用区间 DP 来求解最小功耗。

1. 问题等价转化

• 路灯按位置升序排列，老张从第 $c$
• 老张关灯后可能停在区间的左端点 $i$
• 功耗 = 时间 × 功率。老张行走速度为 $1\text{m/s}$

2. 动态规划设计

• 状态定义：
  • F[i][j][0]：关掉区间 $[i,j]$
  • F[i][j][1]：关掉区间 $[i,j]$
• 前缀和：S[i] 表示前 $i$
• 转移方程（区间长度 len 从 $2$
• 边界条件：
  • 初始状态：F[c][c][0] = F[c][c][1] = 0（只有第 $c$
  • 其他所有 F 初始化为一个极大值（代码中用 memset(F, 127, sizeof(F)) 实现，即将每个字节设为 0x7f，对 long long 而言是一个很大的数）。
• 最终答案：min(F[1][n][0], F[1][n][1])，即关掉所有灯后，无论老张停在左端还是右端的最小功耗。

3. 复杂度分析

• 时间复杂度：状态数为 $O(n^2)$
• 空间复杂度：需要存储三维 DP 数组 F[60][60][2] 以及位置、功率、前缀和数组，空间复杂度 $O(n^2)$

总结

将关灯过程建模为区间扩展，用两个状态分别表示老张停在区间左端或右端。转移时考虑从相邻区间扩展而来，并乘以当前未关路灯的总功率（即剩余灯仍在耗电）。通过前缀和快速计算未关灯总功率，实现

O

(

1

)

O(1)

O(1) 转移。该方法思路清晰，是区间 DP 在资源调度类问题中的典型应用。

代码内容

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<vector<ll>> vvt;
typedef pair<ll,ll> pll;
const ll N=1e3+10;
const ll INF=1e18;
const ll M=1e6+10;
const ll mod=1e9+7;

const ll MAXM=60;
ll X[MAXM],Y[MAXM],S[MAXM],n,c;
ll F[MAXM][MAXM][2];

int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
scanf("%lld%lld",&n,&c);
memset(F,127,sizeof(F));
for(ll i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld",&X[i],&Y[i]);
S[i]=S[i–1]+Y[i];
}
F[c][c][0]=F[c][c][1]=0;
for(ll len=2;len<=n;len++)
{
for(ll i=1;i+len–1<=n;i++)
{
ll j=i+len–1;
F[i][j][0]=min(F[i+1][j][0]+(X[i+1]–X[i])*(S[i]+S[n]–S[j]),F[i+1][j][1]+(X[j]–X[i])*(S[i]+S[n]–S[j]));
F[i][j][1]=min(F[i][j–1][0]+(X[j]–X[i])*(S[i–1]+S[n]–S[j–1]),F[i][j–1][1]+(X[j]–X[j–1])*(S[i–1]+S[n]–S[j–1]));
}
}
ll ans=min(F[1][n][0],F[1][n][1]);
printf("%lld",ans);
return 0;
}