STLG-14-4_沪教版七年级数学

册次

主要章节

核心知识

7A 上册

整式、整式的加减、整式的乘除、因式分解、分式、图形的运动

单项式与多项式、幂的运算、乘法公式、提取公因式与公式法、分式运算与分式方程、平移旋转翻折

7B 下册

实数、相交线与平行线、三角形、平面直角坐标系

平方根与立方根、平行线的判定与性质、全等与等腰三角形、点的坐标与运动

思想方法

内涵

典型应用

数形结合

把数与图形相互转化

实数在数轴上的表示、坐标系中点的运动

分类讨论

按不同情况分别讨论

绝对值的化简、含参方程、等腰三角形讨论

转化思想

把复杂问题转化为已知问题

分式方程去分母转化为整式方程

方程思想

用等式建立数量关系

列方程解应用题、几何中的等量关系

整体思想

把某一部分看作整体

整体代入求值、换元法

概念

定义

示例

单项式

由数与字母的积组成的代数式

3x²、－5ab、7

单项式的系数

单项式中的数字因数

3x² 的系数是 3

单项式的次数

所有字母的指数和

3x²y 的次数是 3

多项式

几个单项式的和

x²＋2x＋1

多项式的项

多项式中的每个单项式

x²、2x、1

同类项

所含字母相同且相同字母的指数也相同的项

3x² 与 5x²；－2ab 与 4ab

【合并同类项法则】

把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

例：3x²＋2x²＝(3＋2)x²＝5x²；　5ab－2ab＝3ab

【整式加减法则】

去括号（注意括号前是负号时，括号内各项都要变号）→ 合并同类项。

例：(2x²＋3x－1)－(x²－x＋2)＝2x²＋3x－1－x²＋x－2＝x²＋4x－3

运算

公式

示例

同底数幂相乘

aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ

x²·x³＝x⁵

幂的乘方

(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ

(x²)³＝x⁶

积的乘方

(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ

(2x)²＝4x²

同底数幂相除

aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m＞n）

x⁵÷x²＝x³

零指数幂

a⁰＝1（a≠0）

3⁰＝1

【整式乘法】

单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘。2x²·3x³＝6x⁵

单项式×多项式：用单项式去乘多项式的每一项再相加。a(b＋c)＝ab＋ac

多项式×多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再相加。

【整式除法】

单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除。6x⁴÷3x²＝2x²

多项式÷单项式：用多项式的每一项除以单项式再相加。

【平方差公式】

(a＋b)(a－b)＝a²－b²

例：(x＋3)(x－3)＝x²－9；　(2a＋1)(2a－1)＝4a²－1

【完全平方公式】

(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²　　(a－b)²＝a²－2ab＋b²

例：(x＋5)²＝x²＋10x＋25；　(x－3)²＝x²－6x＋9

【因式分解与整式乘法互逆】

x²＋2x＋1＝(x＋1)²（因式分解）　　(x＋1)²＝x²＋2x＋1（整式乘法）

方法

适用情形

示例

提取公因式法

各项有公因式

6x²y－4xy²＝2xy(3x－2y)

平方差公式

两项平方差

x²－9＝(x＋3)(x－3)

完全平方公式

三项、首末平方中间两倍

x²＋6x＋9＝(x＋3)²

十字相乘法

二次三项式 x²＋px＋q

x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)

【一提二套三检查】

一提：先看能否提取公因式；

二套：再看能否套用平方差或完全平方公式；

三检查：分解到不能再分解为止，注意因式分解要彻底。

概念

定义

示例

分式

形如 A/B（B 中含有字母且 B≠0）的式子

x/(x＋1)、3/a

分式有意义

分母不等于 0

x/(x－2) 中 x≠2

分式的值

分子为 0 且分母不为 0 时，分式值为 0

当 x＝3 时，(x－3)/(x＋1)＝0

基本性质

分子分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变

a/b＝ac/(bc)（c≠0）

【约分与通分】

约分：把分子分母的公因式约去。6x²y/(3xy)＝2x

通分：把几个异分母分式化成同分母分式。

【分式的乘除】

乘：分子乘分子，分母乘分母；除：除以一个分式等于乘以它的倒数。

a/b × c/d＝ac/(bd)；　a/b ÷ c/d＝a/b × d/c＝ad/(bc)

【分式的加减】

同分母：分母不变，分子相加减；异分母：先通分再加减。

【解分式方程步骤】

去分母：方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；

解整式方程；

验根：把解代入最简公分母，若最简公分母为 0，则是增根，应舍去。

例：解 1/(x－1)＋2＝3/(x－1)，解得 x＝2，代入最简公分母 x－1≠0，x＝2 是原方程的解。

运动

概念

关键性质

平移

图形沿某一方向移动一定距离

对应点连线平行且相等；图形形状大小不变

旋转

图形绕某一点转动一定角度

对应点到旋转中心距离相等；旋转角相等；形状大小不变

翻折

图形沿一条直线对折

翻折前后图形关于直线对称；对应点连线被对称轴垂直平分

类型

定义

特征

轴对称图形

沿一条直线对折后两部分完全重合

这条直线是对称轴；有对称轴

中心对称图形

绕某一点旋转 180° 后与自身重合

这个点是对称中心；有对称中心

【实数的分类】

实数 ─ 有理数（整数、分数）　　无理数（无限不循环小数）

数轴上的点与实数一一对应，实数的相反数、绝对值概念与有理数相同。

概念

定义

示例

平方根

若 x²＝a（a≥0），则 x 是 a 的平方根

9 的平方根是 ±3

算术平方根

非负的平方根

√9＝3，√0＝0

立方根

若 x³＝a，则 x 是 a 的立方根

³√8＝2，³√(－8)＝－2

n 次方根

若 xⁿ＝a，则 x 是 a 的 n 次方根

正数有偶次方根 ±，任何数有奇次方根

【运算性质】

√a·√b＝√(ab)（a≥0，b≥0）　　√a÷√b＝√(a/b)（a≥0，b＞0）

√a²＝|a|（先算平方再开方得绝对值）

无理数之间、无理数与有理数之间可以进行加、减、乘、除、乘方等运算。

概念

定义

性质

对顶角

两条直线相交形成的相对的两对角

对顶角相等

邻补角

有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角

邻补角互补（和为 180°）

垂线

两条直线相交成直角

垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度

【平行线的判定（由角的关系推线平行）】

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行。

【平行线的性质（由线平行推角的关系）】

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补。

概念

内容

示例

三角形的三边关系

任意两边之和大于第三边

3、4、5 能构成三角形，1、2、4 不能

三角形内角和

三角形三个内角之和等于 180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°

三角形外角

外角等于与它不相邻的两个内角之和

∠ACD＝∠A＋∠B

三角形的分类

按角分：锐角、直角、钝角三角形

—

【全等三角形的判定】

SSS：三边对应相等；

SAS：两边及夹角对应相等；

ASA：两角及夹边对应相等；

AAS：两角及其中一角的对边对应相等；

HL：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等（仅直角三角形）。

【等腰三角形的性质】

两腰相等，两底角相等（等边对等角）；

顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；

等边三角形三个角都等于 60°。

【等腰三角形的判定】

两角相等，则所对的两边相等（等角对等边）。

概念

定义

示例

坐标轴

互相垂直的两条数轴，水平为 x 轴，竖直为 y 轴

—

点的坐标

用 (x, y) 表示，x 为横坐标，y 为纵坐标

点 P(3, 2)

象限

坐标轴分平面为四个象限

第一象限 (＋,＋)、第二象限 (－,＋)、第三象限 (－,－)、第四象限 (＋,－)

坐标轴上的点

x 轴上 y＝0，y 轴上 x＝0，原点 (0, 0)

—

【点的平移】

左右平移变横坐标：向右平移 a 个单位 (x＋a, y)，向左平移 a 个单位 (x－a, y)；

上下平移变纵坐标：向上平移 b 个单位 (x, y＋b)，向下平移 b 个单位 (x, y－b)。

【点的对称】

关于 x 轴对称：(x, y)→(x, －y)；

关于 y 轴对称：(x, y)→(－x, y)；

关于原点对称：(x, y)→(－x, －y)。

板块

核心公式/定理

整式

同类项合并：系数相加，字母及指数不变

幂的运算

aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ；(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ；aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ

乘法公式

(a＋b)(a－b)＝a²－b²；(a±b)²＝a²±2ab＋b²

因式分解

提取公因式；平方差公式；完全平方公式；十字相乘

分式

a/b±c/d＝(ad±bc)/bd；分式方程需验根

实数

√a·√b＝√ab；√a÷√b＝√(a/b)；√a²＝|a|

三角形

内角和 180°；外角等于不相邻两内角之和；全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL

等腰三角形

等边对等角；三线合一；等角对等边

坐标系

点左右平移变 x，上下平移变 y；对称变换坐标规则

易错点

错误理解→正确理解

教学建议

去括号变号

－(x－2)＝－x－2→－x＋2

强调括号前负号各项变号

幂运算混淆

(a²)³＝a⁵→a⁶

区分乘（指数加）与乘方（指数乘）

完全平方漏项

(a＋b)²＝a²＋b²→a²＋2ab＋b²

结合图形验证中间项

因式分解不彻底

x⁴－1＝(x²＋1)(x²－1)→(x²＋1)(x＋1)(x－1)

强调“三检查”分解到底

分式增根

解分式方程不验根

强调最简公分母不为 0

平方根混淆

√9＝±3→√9＝3

区分平方根与算术平方根

√a² 化简

√(－3)²＝－3→3

强调√a²＝|a|

SSA 判定

边边角判定全等

强调必须是两边夹一角

等腰分类

未指明时漏讨论

按边、角分类讨论

坐标平移

向右平移横坐标减小→增大

记“右加左减、上加下减”