在深入学习数据结构之前，掌握算法的复杂度分析是至关重要的一步。这不仅有助于我们理解算法的性能，还能指导我们在实际编程中选择和优化算法。
主要内容
1.算法效率
2.时间复杂度
3.空间复杂度
1.算法效率
我们如何来衡量一个算法的好坏呢？难道越简洁越好吗?
我们来看一个例子：
思路一递归：
我们可以看到这是可以运行的但是我们提交代码来看一下
它提醒我们时间超出了限制，这表明代码简洁并不代表效率越高。
我们来看另一个思路
此时我们的结果是通过的
那么由此来看，一个算法的好坏并不是通过代码的简洁程度来看的。
算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2.时间复杂度
2.1时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
我们来看一个例子
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}//n*n即n^2次
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
//2*n次
int M = 10;
while (M–)
{
++count;
}
//M次，即10次
printf("%d\\n", count);
}
Func1 执行的基本操作次数 ：
F(N) = N^2 + 2*N + 10
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
- N = 10 F(N) = 100
- N = 100 F(N) = 10000
- N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
平均情况：N/2次找到
最坏情况：N次找到
#include<stdio.h>
int foundX(int *arr,int sz,int X)
{
int i = 0;
for (i = 0;i < sz;i++)
{
if (arr[i] == X)
return i;
}
return -1;
}
int main()
{
int arr[9] = { 11,34,56,67,89,75,43,21,59};
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
//最好情况：O(1)
int a = foundX(arr, sz , 11);
printf("最好情况:%d\\n", a);
//O(N/2)
int b = foundX(arr,sz, 89);
printf("平均情况:%d\\n", b);
//最坏情况O(N)
int c = foundX(arr, sz ,59);
printf("最坏情况:%d\\n", c);
return 0;
}
输出结果：
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3常见时间复杂度的计算方法
2.3.1一层循环
计算方法
1.列出循环趟数t及每轮循环i的变化值
2.找到t与n的关系
3.确定循环停止的条件
4.两式联立，解方程
int i = n * n;
while(i != 1)
{
i/2;
}
int i=0;
while(i*i*i<=n)
{
i++;
}
2.3.2两层循环
计算方法
int m=0,i,j;
for(i=0;i<=n;i++)
for(j=0;i<2*i;j++)
m++;
通过等差求和得T=O(n^2)
2.3.3一些常见代码的时间复杂度
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M–)
{
++count;
}
printf("%d\\n", count);
}
k=0,k要递增到2*N，才能结束
M=10,要计算十次
次数 2*N+10
T=O(N)
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\\n", count);
}
第一个for循环，要执行M次
第二个for循环，要执行N次
次数：M+N
若M=N,T=O(M)或O(N)
若M远大于N,T=O(M)
若M远小于N,T=O(N)
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\\n", count);
}
循环100次就停止循环，那么T=O(100)吗？不是
当时间复杂度是明确的次数时，我们用 O(1) 表示
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
我们这里可以联系到前面的在一个长度为N数组中搜索一个数据x，这里最坏的结果是在字符串的最后一个字母找到或者没有找到
T=O(N)
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; –end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
这里我们根据二层循环的计算方法可得T=O(N^2)
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}
根据折半的思想我们可得当我们折半到最后一个数时我们才找到我们要查找的数那么这时有关系式：N/2/2/2……/2=1
T=O(logN)
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
T=O(N)
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
如图所示，右边的一部分会提前结束，我们称之为M
递归总次数：Fib(N)=2^0+2^1+2^2+……2^(N-1)-M
由等比数列求和公式得Fib(N)=2^N
2.4时间复杂度排序
3.空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; –end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
在此我们创建里end exchang i 三个变量，这俩空间复杂度为O(1)
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
我们类比这个图得空间复杂度为O(N)
