17. 统计过程控制（SPC）与控制图原理及应用规范

统计过程控制（SPC）与控制图原理及应用规范

统计过程控制（SPC）是借助统计方法对过程状态进行量化判定、实时监控并预警异常的核心技术体系，而控制图是SPC最具代表性的可视化工具。本文基于过程统计特性，系统阐述控制图的构建逻辑、数据校准、

X

ˉ

−

s

\\bar{X}-s

Xˉ−s图与

X

ˉ

−

R

\\bar{X}-R

Xˉ−R图差异、实施误区及判异基础，为工业过程稳定管控提供理论与操作依据。

一、SPC与控制图的核心定位

SPC的本质是基于统计分布对过程稳定性做持续假设检验：假定受控过程的输出服从稳定概率分布

p

(

x

)

p(x)

p(x)（通常为正态分布），其总体均值

μ

\\mu

μ与总体标准差

σ

\\sigma

σ不随时间变化；通过抽样获取样本均值

x

ˉ

\\bar{x}

xˉ与样本标准差

s

s

s，并绘制时序图，以分布特征划定接受域，判断过程处于受控或失控状态。

控制图则是将这一逻辑落地的时序统计图，核心由三条线构成：

• 中心线（CL）：过程基准水平
• 上控制限（UCL）、下控制限（LCL）：过程正常波动边界

引用：NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 2025，控制图被定义为“过程波动的统计边界与实时检验工具”。

二、控制图的抽样与统计量计算

控制图采用子组抽样（Subgroup Sampling），在时间间隔

Δ

t

\\Delta t

Δt内抽取容量为

n

n

n的样本，计算子组统计量：

三、控制图构建的两阶段法（Phase 1 + Phase 2）

控制图必须遵循先校准、后监控原则，严禁用监控数据反推控制限。

1. Phase 1：基准校准阶段（历史数据阶段）

• 采集过程稳定时的历史数据，子组数量建议$m\ge 20$
• 计算总均值、平均标准差，划定中心线与控制限。
• 校验分布正态性与数据平稳性，避免用非受控数据建立基准。

2. Phase 2：实时监控阶段

• 按固定间隔采集新子组，计算${\bar{x}}_j$
• 依据点位与控制限的位置关系、趋势特征判定过程状态。

四、控制限的统计原理与常用设定

控制限本质是统计置信区间，对应假设检验的拒绝域，直接决定第一类错误（

α

\\alpha

α）风险。

1. 主流控制限规则

• 美式惯例：$\pm 3\sigma$
• 欧洲常用：$99\%$
• 辅助判异：可增设$\pm 1\sigma$

2. $\bar{X}$

样本标准差

s

s

s为

σ

\\sigma

σ的有偏估计，需修正系数

C

4

(

n

)

C_4(n)

C4​(n)：

σ

^

=

s

ˉ

C

4

\\hat{\\sigma} = \\frac{\\bar{s}}{C_4}

σ^=C4​sˉ​

CL

X

ˉ

=

x

ˉ

ˉ

\\text{CL}_{\\bar{X}} = \\bar{\\bar{x}}

CLXˉ​=xˉˉ

UCL

X

ˉ

=

x

ˉ

ˉ

+

3

s

ˉ

C

4

n

,

LCL

X

ˉ

=

x

ˉ

ˉ

−

3

s

ˉ

C

4

n

\\text{UCL}_{\\bar{X}} = \\bar{\\bar{x}} + \\frac{3\\bar{s}}{C_4\\sqrt{n}},\\quad \\text{LCL}_{\\bar{X}} = \\bar{\\bar{x}} – \\frac{3\\bar{s}}{C_4\\sqrt{n}}

UCLXˉ​=xˉˉ+C4​n

​3sˉ​,LCLXˉ​=xˉˉ−C4​n

​3sˉ​

3. $s$

s

s

s不服从正态分布，其波动与

1

−

C

4

2

\\sqrt{1-C_4^2}

1−C42​

​相关：

CL

s

=

s

ˉ

\\text{CL}_s = \\bar{s}

CLs​=sˉ

UCL

s

=

s

ˉ

+

3

s

ˉ

⋅

1

−

C

4

2

C

4

,

LCL

s

=

max

⁡

(

0

,

s

ˉ

−

3

s

ˉ

⋅

1

−

C

4

2

C

4

)

\\text{UCL}_s = \\bar{s} + 3\\bar{s}\\cdot\\frac{\\sqrt{1-C_4^2}}{C_4},\\quad \\text{LCL}_s = \\max\\left(0,\\ \\bar{s} – 3\\bar{s}\\cdot\\frac{\\sqrt{1-C_4^2}}{C_4}\\right)

UCLs​=sˉ+3sˉ⋅C4​1−C42​

​​,LCLs​=max(0, sˉ−3sˉ⋅C4​1−C42​

​​)

五、$\bar{X}-s$

1. $\bar{X}-R$

• 统计量：极差$R=\max (x)-\min (x)$
• 标准差估计：$\hat{\sigma }=\bar{R}/d_2$
• 优势：无计算器时代计算简便
• 缺陷：仅利用极值信息，效率低于$s$

2. $\bar{X}-s$

• 利用全部样本信息，估计效率更高
• 适配计算机自动计算，为NIST推荐首选方法

六、控制图实施的关键禁忌与误区

七、受控状态的统计特征

理想受控过程应满足：

• 点位随机分布在中心线两侧，无系统性偏向
• 无连续多点单侧、无持续上升/下降趋势
• 无超出UCL/LCL的点
• 波动幅度与历史基准一致，无突然放大/缩小

八、控制图构建流程（Mermaid）

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是

否

过程稳定运行

Phase1: 采集历史子组数据 m≥20

计算总均值 x̄̄ 与平均标准差 s̄

查表获取C4系数

计算 UCL/LCL/CL

Phase2: 实时子组抽样 n个样本

计算 x̄ⱼ 与 sⱼ

绘制控制图并打点

点位是否在限内、无趋势

过程受控

过程失控: 排查特殊原因

九、总结

控制图是SPC的核心可视化假设检验工具，通过

X

ˉ

−

s

\\bar{X}-s

Xˉ−s双图实现过程位置与离散程度的同步监控。其关键原则是Phase 1独立校准、Phase 2实时检验，严格区分正常波动与异常波动，为过程改进、质量稳定与成本控制提供量化依据。

引用：Montgomery, D. C. (2019). Introduction to Statistical Quality Control（8th ed.），明确控制图两阶段法为SPC标准实施范式。

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