信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（启发式搜索）

信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（启发式搜索）

一、启发式搜索算法思想

1.1 什么是启发式搜索

启发式搜索是一种利用启发函数（估价函数） 来指导搜索方向的高级搜索算法。相比盲目搜索（如DFS和BFS）在状态空间中无差别地探索所有可能路径，启发式搜索能够通过评估当前状态与目标状态之间的“接近程度”，优先探索最有希望的路径，从而大幅减少无效搜索。

举个直观的例子：想象你在操场上被要求走向国旗。如果你是盲人（盲目搜索），你可能需要走遍整个操场才能找到国旗；但如果你能看到国旗（启发式搜索），你会直接朝着国旗的方向走去，永远不会向相反方向走。这就是启发式搜索的核心思想——用“经验”指导搜索方向。

1.2 估价函数 f(n) = g(n) + h(n)

启发式搜索的核心是估价函数，通常表示为：

f(n) = g(n) + h(n)

• g(n)：从初始状态到当前状态 n 的实际代价（如已走的步数）
• h(n)：从当前状态 n 到目标状态的估计代价（启发函数）
• f(n)：通过当前状态 n 到达目标状态的总代价估计

算法每次选择 f(n) 值最小的节点进行扩展，从而高效地逼近最优解。

1.3 启发函数 h(n) 的设计原则

启发函数的设计是启发式搜索成败的关键，需要满足以下重要性质：

当 h(n) = 0 时，启发式搜索退化为 Dijkstra 算法；当 h(n) 接近于真实代价时，搜索效率最高。

二、A* 算法与 IDA* 算法详解

2.1 A* 算法（结合BFS）

A* 算法将启发式搜索与 BFS 结合，使用优先队列（最小堆）来管理待扩展节点，每次扩展 f(n) 最小的节点。

A 算法流程：*

优点：保证找到最优解；缺点：需要存储大量节点，空间开销大。

2.2 IDA* 算法（结合DFS+迭代加深）

IDA*（Iterative Deepening A*）是 A* 与迭代加深 DFS 的有机结合。它通过逐步加深搜索深度限制的方式，在每次 DFS 中使用启发函数进行剪枝，既保留了 DFS 的低内存占用优势，又继承了 A* 的启发引导能力。

IDA 核心机制*：设当前深度为 depth，启发估计值为 h，当前深度限制为 maxd。若 depth + h > maxd，则直接剪枝——因为即使在理想情况下，剩余所需步数 h 加上已经走过的 depth 步，也超过了允许的最大深度，当前路径不可能在限制内到达目标。

IDA 算法流程：*

2.3 A vs IDA 对比：**

三、案例研究：骑士精神

题目描述

在一个

5

×

5

5\\times 5

5×5 的棋盘上有

12

12

12 个白色的骑士和

12

12

12 个黑色的骑士，且有一个空位。在任何时候一个骑士都能按照骑士的走法（它可以走到和他横坐标相差为

1

1

1，纵坐标相差为

2

2

2 或者横坐标相差为

2

2

2，纵坐标相差为

1

1

1 的格子）移动到空位上。

给定一个初始的棋盘，怎样才能经过移动变成如下目标棋盘

为了体现出骑士精神，他们必须以最小的步数完成任务。

输入格式

第一行有一个正整数

T

T

T（

T

≤

10

T \\le 10

T≤10），表示一共有

T

T

T 组数据。

接下来有

T

T

T 个

5

×

5

5 \\times 5

5×5 的矩阵，0 表示白色骑士，1 表示黑色骑士，* 表示空位。两组数据之间没有空行。

输出格式

对于每组数据都输出一行。如果能在

15

15

15 步以内（包括

15

15

15 步）到达目标状态，则输出步数，否则输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
10110
01*11
10111
01001
00000
01011
110*1
01110
01010
00100

输出 #1

7
-1

说明/提示

样例中第二个数据的初始情况对应该图：

思路分析

题目要求：给定一个5×5棋盘，上有12个白骑士(0)、12个黑骑士(1)和一个空格(*)，每次可将一个骑士按“日”字形移动到空格位置。问最少多少步能变成目标棋盘，若步数>15则输出-1。

解题思路：IDA（迭代加深A）**

• 状态空间极大（5×5棋盘，但骑士颜色固定数量），但深度限制很小（≤15），适合迭代加深。
• 迭代加深：从小到大尝试最大深度 maxd（0~15），在深度限制内进行DFS，如果找到解则输出当前maxd。
• 启发函数：计算当前棋盘与目标棋盘不同位置的数量（包括空格）。因为每次移动最多只能将一个棋子放到正确位置，但空格移动也可能改变差异数，实际每次移动最多减少1个差异（有时甚至会增多）。严格来说，启发值 h() 是剩余最少需要移动的步数下限，满足 h() ≤ 实际剩余步数。经典写法：d + h() – 1 > maxd 剪枝（因为若当前差异数为h，至少需要h-1步才能完成？这里要仔细分析：实际上移动一次最多减少2个差异（交换空格和骑士可能同时修正两个位置），所以更保守的剪枝是 d + h() > maxd 或 d + h() – 1 > maxd。经验上 d + h() – 1 > maxd 能AC）。
• 移动规则：8个方向，交换空格与骑士位置。
• 剪枝：深度+启发值超过maxd则回溯。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 目标棋盘布局（固定）
const char goal[5][5] = {
{'1','1','1','1','1'},
{'0','1','1','1','1'},
{'0','0','*','1','1'},
{'0','0','0','0','1'},
{'0','0','0','0','0'}
};

// 骑士的8个移动方向（行增量，列增量）
const int dx[8] = {–2, –1, 1, 2, 2, 1, –1, –2};
const int dy[8] = {1, 2, 2, 1, –1, –2, –2, –1};

int T; // 测试数据组数
char a[5][5]; // 当前棋盘

// 启发函数：返回当前棋盘与目标棋盘不同位置的个数（包括空格）
int h() {
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < 5; ++i)
for(int j = 0; j < 5; ++j)
if(a[i][j] != goal[i][j]) cnt++;
return cnt;
}

// 深度优先搜索（IDA*核心）
// d: 当前已走步数
// x, y: 空格当前坐标
// maxd: 允许的最大深度
bool dfs(int d, int x, int y, int maxd) {
int hv = h(); // 当前差异数
if(d + hv – 1 > maxd) return false; // 剪枝：剩余步数不足以修正所有差异
if(hv == 0) return true; // 到达目标状态
if(d == maxd) return false; // 已达深度上限但未成功

// 枚举8个移动方向
for(int i = 0; i < 8; ++i) {
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
if(nx < 0 || nx >= 5 || ny < 0 || ny >= 5) continue; // 越界跳过
// 移动：交换空格与骑士
swap(a[x][y], a[nx][ny]);
if(dfs(d+1, nx, ny, maxd)) return true; // 递归搜索
swap(a[x][y], a[nx][ny]); // 回溯
}
return false;
}

int main() {
ios::sync_with_stdio(false); // 加速输入输出
cin.tie(0);

cin >> T;
while(T—) {
// 读入5行棋盘（每行字符串）
for(int i = 0; i < 5; ++i) {
string s;
cin >> s;
for(int j = 0; j < 5; ++j)
a[i][j] = s[j];
}
// 找到空格的初始位置
int sx, sy;
for(int i = 0; i < 5; ++i)
for(int j = 0; j < 5; ++j)
if(a[i][j] == '*') { sx = i; sy = j; break; }

int ans = –1; // 默认无解
// 迭代加深：尝试深度上限从0到15
for(int maxd = 0; maxd <= 15; ++maxd) {
if(dfs(0, sx, sy, maxd)) {
ans = maxd; // 找到最小步数
break;
}
}
cout << ans << '\\n'; // 输出结果
}
return 0;
}

功能分析

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using namespace std;
int main(){
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