DEA Performance 方向距离函数 (DDF-NIRS) 模型计算结果准确性验证

摘要

方向距离函数（DDF）是数据包络分析中处理非期望产出的核心模型之一，非递增规模报酬（NIRS）设定广泛应用于规模报酬递减区间判定、拥挤效率分析等场景。本文基于 20 组决策单元的标准测试数据集，对 DEA Performance 软件中 DDF-NIRS 模块的投入导向与产出导向计算结果进行系统性验证。通过理论推导、全样本手动验算与结果合理性分析三重校验，证实软件计算结果与线性规划理论解完全一致，计算逻辑自洽，数值精度满足学术研究与工程应用要求。本文同时梳理了 DDF-NIRS 模型的数学定义与效率换算口径，给出完整的测试数据集与计算结果集，为同类软件结果校验提供参考范式。

关键词：数据包络分析；方向距离函数；非递增规模报酬；DEA Performance；结果验证；非期望产出

一、引言

在环境效率、能源效率等包含非期望产出的 DEA 评价场景中，方向距离函数（Directional Distance Function, DDF）能够同时实现 “缩减投入、扩大期望产出、削减非期望产出” 的多维度优化，是当前应用最广泛的模型框架之一。根据规模报酬假设的不同，DDF 模型可分为不变规模报酬（CRS）、可变规模报酬（VRS）、非递增规模报酬（NIRS）与非递减规模报酬（NDRS）四种形式，其中 NIRS 设定通过约束权重和不大于 1，可用于识别决策单元所处的规模报酬阶段、分析生产拥挤效应，在产业效率评价中具有重要应用价值。

DEA Performance 作为一款专注于数据包络分析的专业计算工具，内置了全系列 DDF 模型与多维度高级分析功能。对于正在寻找论文用 DEA 软件推荐的研究者而言，计算结果的准确性是评价软件可靠性的核心标准，直接决定实证结论的可信度。为确保软件计算结果的可靠性，本文采用具有明确单调特征的标准测试数据集，对 DDF-NIRS 模型的投入导向与产出导向两种计算模式进行全面的准确性验证。验证过程从理论定义出发，通过线性规划解析推导与全样本数值验算结合的方式，逐一对软件输出结果进行交叉校验，为软件的学术应用提供严谨的准确性支撑。

二、DDF-NIRS 模型理论基础

2.1 基本符号定义

设共有 n 个决策单元（DMU），每个单元包含 m 种投入、

s

g

s_g

sg​ 种期望产出与

s

b

s_b

sb​ 种非期望产出：

• 投入矩阵：$X=(x_{ij}{)}_{n\times m}$
• 期望产出矩阵：$Y_g=(y_{good,ir}{)}_{n\times s_g}$
• 非期望产出矩阵：$Y_b=(y_{bad,ir}{)}_{n\times s_b}$
• 权重变量：${\lambda }_i$
• 方向距离系数：$\beta$

2.2 非递增规模报酬 (NIRS) 约束

非递增规模报酬假设下，生产技术不允许规模报酬递增，即决策单元无法通过扩大规模实现同比例的产出提升。对应的线性约束为：

∑

i

=

1

n

λ

i

≤

1

\\sum_{i=1}^n \\lambda_i \\le 1

∑i=1n​λi​≤1

该约束意味着参考集只能由小于等于当前规模的单元组合而成，是判定规模报酬递减区间的核心约束条件。

2.3 投入导向 DDF-NIRS 数学模型

投入导向模式以 “同比例缩减投入与非期望产出、保持期望产出不变” 为优化方向，模型的线性规划形式如下：

max

⁡

β

s.t.

∑

i

=

1

n

λ

i

x

i

j

≤

(

1

−

β

)

x

k

j

,

j

=

1

,

2

,

.

.

.

,

m

∑

i

=

1

n

λ

i

y

g

o

o

d

,

i

r

≥

y

g

o

o

d

,

k

r

,

r

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

g

∑

i

=

1

n

λ

i

y

b

a

d

,

i

r

≤

(

1

−

β

)

y

b

a

d

,

k

r

,

r

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

b

∑

i

=

1

n

λ

i

≤

1

λ

i

≥

0

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

β

≥

0

\\begin{aligned} \\max \\quad & \\beta \\\\ \\text{s.t.} \\quad & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i x_{ij} \\le (1-\\beta) x_{kj}, \\quad j=1,2,…,m \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i y_{good,ir} \\ge y_{good,kr}, \\quad r=1,2,…,s_g \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i y_{bad,ir} \\le (1-\\beta) y_{bad,kr}, \\quad r=1,2,…,s_b \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i \\le 1 \\\\ & \\lambda_i \\ge 0, \\quad i=1,2,…,n \\\\ & \\beta \\ge 0 \\end{aligned}

maxs.t.​βi=1∑n​λi​xij​≤(1−β)xkj​,j=1,2,…,mi=1∑n​λi​ygood,ir​≥ygood,kr​,r=1,2,…,sg​i=1∑n​λi​ybad,ir​≤(1−β)ybad,kr​,r=1,2,…,sb​i=1∑n​λi​≤1λi​≥0,i=1,2,…,nβ≥0​

其中 k 为当前被评价的决策单元。

2.4 产出导向 DDF-NIRS 数学模型

产出导向模式以 “同比例扩大期望产出、保持投入与非期望产出不变” 为优化方向，模型的线性规划形式如下：

max

⁡

β

s.t.

∑

i

=

1

n

λ

i

x

i

j

≤

x

k

j

,

j

=

1

,

2

,

.

.

.

,

m

∑

i

=

1

n

λ

i

y

g

o

o

d

,

i

r

≥

(

1

+

β

)

y

g

o

o

d

,

k

r

,

r

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

g

∑

i

=

1

n

λ

i

y

b

a

d

,

i

r

≤

y

b

a

d

,

k

r

,

r

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

b

∑

i

=

1

n

λ

i

≤

1

λ

i

≥

0

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

n

β

≥

0

\\begin{aligned} \\max \\quad & \\beta \\\\ \\text{s.t.} \\quad & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i x_{ij} \\le x_{kj}, \\quad j=1,2,…,m \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i y_{good,ir} \\ge (1+\\beta) y_{good,kr}, \\quad r=1,2,…,s_g \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i y_{bad,ir} \\le y_{bad,kr}, \\quad r=1,2,…,s_b \\\\ & \\sum_{i=1}^n \\lambda_i \\le 1 \\\\ & \\lambda_i \\ge 0, \\quad i=1,2,…,n \\\\ & \\beta \\ge 0 \\end{aligned}

maxs.t.​βi=1∑n​λi​xij​≤xkj​,j=1,2,…,mi=1∑n​λi​ygood,ir​≥(1+β)ygood,kr​,r=1,2,…,sg​i=1∑n​λi​ybad,ir​≤ybad,kr​,r=1,2,…,sb​i=1∑n​λi​≤1λi​≥0,i=1,2,…,nβ≥0​

2.5 效率值换算公式

为统一不同导向下的效率值表达口径，DEA Performance 采用标准化的效率换算方式，将方向距离系数

β

\\beta

β 转换为 0~1 区间的效率值：

T

E

=

1

1

+

β

TE = \\frac{1}{1+\\beta}

TE=1+β1​

当

β

=

0

\\beta=0

β=0 时，效率值为 1，表示决策单元处于生产前沿面上；

β

\\beta

β 越大，效率值越低，表示改进空间越大。

注：部分文献中投入导向 DDF 直接采用

T

E

=

1

−

β

TE=1-\\beta

TE=1−β 作为效率值，二者口径不同但逻辑自洽，使用时需注意换算关系。

三、测试数据集构建

3.1 指标选取与数据特征

为便于验证结果的理论可推导性，本文构建了一组具有严格单调特征的测试数据集，包含：

• 投入指标：2 项（投入 1、投入 2），数值随 DMU 序号严格递增
• 期望产出：1 项（产出 1），数值随 DMU 序号严格递减
• 非期望产出：1 项（产出 2），数值随 DMU 序号严格递减
• 决策单元数量：20 个（DMU1~DMU20）

该数据集的核心特征是：DMU1 具备 “投入最低、期望产出最高、非期望产出最高” 的极端属性，在 NIRS 约束下将成为唯一的前沿参考单元，所有 DMU 的效率值均可通过解析法直接推导，无需复杂的线性规划求解。

3.2 测试数据集详情

软件导入后的界面展示效果如下，完整测试数据见下表。

表 1 DDF-NIRS 模型测试数据集（20 个决策单元）

四、DEA Performance 软件参数配置

4.1 配置流程说明

在 DEA Performance 软件中进行 DDF-NIRS 模型计算的操作流程如下：

4.2 参数配置界面说明

本文分别验证投入导向与产出导向两种模式，核心参数配置如下：

• 规模报酬类型：NIRS 非递增规模报酬
• 计算导向：分别选择「投入导向」与「产出导向」
• 产出设置：前 1 列为期望产出，最后 1 列为非期望产出

图 1 DDF-NIRS 模型参数配置界面截图

五、投入导向 DDF-NIRS 结果与准确性验证

5.1 计算结果概览

投入导向 DDF-NIRS 模型的完整计算结果如下，包含 20 个 DMU 的方向距离系数

β

\\beta

β 与效率值。

图 2 投入导向 DDF-NIRS 计算结果表格截图

图 3 投入导向 DDF-NIRS 效率值柱状图

表 2 投入导向 DDF-NIRS 完整计算结果集

5.2 前沿面理论推导

在 NIRS 约束

∑

λ

i

≤

1

\\sum\\lambda_i \\le 1

∑λi​≤1 下，所有决策单元的参考集只能由规模不大于自身的单元组合而成。由于测试数据集中 DMU1 的期望产出最高、投入最低，任何其他 DMU 都无法通过权重组合得到比 DMU1 更优的生产状态，因此DMU1 是唯一的有效前沿单元。

对于任意 DMU_k，最优解必然取

λ

1

=

y

g

o

o

d

,

k

y

g

o

o

d

,

1

\\lambda_1 = \\frac{y_{good,k}}{y_{good,1}}

λ1​=ygood,1​ygood,k​​（刚好满足期望产出约束），此时非期望产出约束将成为紧约束，由此可直接推导

β

\\beta

β 的解析解：

λ

1

=

y

g

o

o

d

,

k

y

g

o

o

d

,

1

\\lambda_1 = \\frac{y_{good,k}}{y_{good,1}}

λ1​=ygood,1​ygood,k​​

(

1

−

β

)

=

λ

1

⋅

y

b

a

d

,

1

y

b

a

d

,

k

(1-\\beta) = \\frac{\\lambda_1 \\cdot y_{bad,1}}{y_{bad,k}}

(1−β)=ybad,k​λ1​⋅ybad,1​​

β

=

1

−

y

g

o

o

d

,

k

⋅

y

b

a

d

,

1

y

g

o

o

d

,

1

⋅

y

b

a

d

,

k

\\beta = 1 – \\frac{y_{good,k} \\cdot y_{bad,1}}{y_{good,1} \\cdot y_{bad,k}}

β=1−ygood,1​⋅ybad,k​ygood,k​⋅ybad,1​​

5.3 典型 DMU 手动验算

选取 DMU1、DMU2 与 DMU20 三个典型样本进行手动验算，与软件输出结果对比。

（1）DMU1 验证

DMU1 自身为前沿单元，取

λ

1

=

1

\\lambda_1=1

λ1​=1 时

β

=

0

\\beta=0

β=0，效率值：

T

E

=

1

1

+

0

=

1.000000

TE = \\frac{1}{1+0} = 1.000000

TE=1+01​=1.000000

与软件计算结果完全一致。

（2）DMU2 验证

已知 DMU2：

y

g

o

o

d

=

11.18

y_{good}=11.18

ygood​=11.18，

y

b

a

d

=

8.56

y_{bad}=8.56

ybad​=8.56；DMU1：

y

g

o

o

d

=

11.42

y_{good}=11.42

ygood​=11.42，

y

b

a

d

=

8.72

y_{bad}=8.72

ybad​=8.72 计算权重：

λ

1

=

11.18

11.42

≈

0.978984

\\lambda_1 = \\frac{11.18}{11.42} \\approx 0.978984

λ1​=11.4211.18​≈0.978984

代入非期望产出约束：

1

−

β

=

0.978984

×

8.72

8.56

≈

0.997283

1-\\beta = \\frac{0.978984 \\times 8.72}{8.56} \\approx 0.997283

1−β=8.560.978984×8.72​≈0.997283

β

=

1

−

0.997283

=

0.002717

\\beta = 1 – 0.997283 = 0.002717

β=1−0.997283=0.002717

效率值：

T

E

=

1

1

+

0.002717

≈

0.997290

TE = \\frac{1}{1+0.002717} \\approx 0.997290

TE=1+0.0027171​≈0.997290

与软件输出结果 beta=0.002717，效率值=0.997290 完全一致。

（3）DMU20 验证

已知 DMU20：

y

g

o

o

d

=

7.02

y_{good}=7.02

ygood​=7.02，

y

b

a

d

=

5.80

y_{bad}=5.80

ybad​=5.80 计算权重：

λ

1

=

7.02

11.42

≈

0.614711

\\lambda_1 = \\frac{7.02}{11.42} \\approx 0.614711

λ1​=11.427.02​≈0.614711

代入非期望产出约束：

1

−

β

=

0.614711

×

8.72

5.80

≈

0.924186

1-\\beta = \\frac{0.614711 \\times 8.72}{5.80} \\approx 0.924186

1−β=5.800.614711×8.72​≈0.924186

β

=

1

−

0.924186

=

0.075814

\\beta = 1 – 0.924186 = 0.075814

β=1−0.924186=0.075814

效率值：

T

E

=

1

1

+

0.075814

≈

0.929529

TE = \\frac{1}{1+0.075814} \\approx 0.929529

TE=1+0.0758141​≈0.929529

与软件输出结果 beta=0.075814，效率值=0.929529 完全一致。

5.4 全样本一致性判定

通过相同的解析公式对全部 20 个 DMU 进行逐一验证，所有样本的

β

\\beta

β 值与效率值均与软件输出结果匹配，误差仅来自浮点运算精度，投入导向 DDF-NIRS 计算结果准确。

六、产出导向 DDF-NIRS 结果与准确性验证

6.1 计算结果概览

产出导向 DDF-NIRS 模型的完整计算结果如下，优化方向调整为扩大期望产出。

图 4 产出导向 DDF-NIRS 计算结果表格截图

图 6 产出导向 DDF-NIRS 效率值柱状图

表 3 产出导向 DDF-NIRS 完整计算结果集

6.2 前沿面理论推导

产出导向模式下，NIRS 约束依然限制权重和不大于 1，DMU1 仍然是唯一的前沿参考单元。对于任意 DMU_k，最优解由非期望产出约束决定最大权重：

λ

1

=

y

b

a

d

,

k

y

b

a

d

,

1

\\lambda_1 = \\frac{y_{bad,k}}{y_{bad,1}}

λ1​=ybad,1​ybad,k​​

此时期望产出约束成为紧约束，由此推导

β

\\beta

β 的解析解：

(

1

+

β

)

=

λ

1

⋅

y

g

o

o

d

,

1

y

g

o

o

d

,

k

(1+\\beta) = \\frac{\\lambda_1 \\cdot y_{good,1}}{y_{good,k}}

(1+β)=ygood,k​λ1​⋅ygood,1​​

β

=

y

b

a

d

,

k

⋅

y

g

o

o

d

,

1

y

b

a

d

,

1

⋅

y

g

o

o

d

,

k

−

1

\\beta = \\frac{y_{bad,k} \\cdot y_{good,1}}{y_{bad,1} \\cdot y_{good,k}} – 1

β=ybad,1​⋅ygood,k​ybad,k​⋅ygood,1​​−1

6.3 典型 DMU 手动验算

同样选取 DMU1、DMU2 与 DMU20 进行验证。

（1）DMU1 验证

DMU1 自身为前沿单元，

β

=

0

\\beta=0

β=0，效率值为 1.000000，与软件结果一致。

（2）DMU2 验证

计算权重：

λ

1

=

8.56

8.72

≈

0.981651

\\lambda_1 = \\frac{8.56}{8.72} \\approx 0.981651

λ1​=8.728.56​≈0.981651

代入期望产出约束：

1

+

β

=

0.981651

×

11.42

11.18

≈

1.002724

1+\\beta = \\frac{0.981651 \\times 11.42}{11.18} \\approx 1.002724

1+β=11.180.981651×11.42​≈1.002724

β

=

1.002724

−

1

=

0.002724

\\beta = 1.002724 – 1 = 0.002724

β=1.002724−1=0.002724

效率值：

T

E

=

1

1

+

0.002724

≈

0.997283

TE = \\frac{1}{1+0.002724} \\approx 0.997283

TE=1+0.0027241​≈0.997283

与软件输出结果 beta=0.002724，效率值=0.997283 完全一致。

（3）DMU20 验证

计算权重：

λ

1

=

5.80

8.72

≈

0.665138

\\lambda_1 = \\frac{5.80}{8.72} \\approx 0.665138

λ1​=8.725.80​≈0.665138

代入期望产出约束：

1

+

β

=

0.665138

×

11.42

7.02

≈

1.082033

1+\\beta = \\frac{0.665138 \\times 11.42}{7.02} \\approx 1.082033

1+β=7.020.665138×11.42​≈1.082033

β

=

1.082033

−

1

=

0.082033

\\beta = 1.082033 – 1 = 0.082033

β=1.082033−1=0.082033

效率值：

T

E

=

1

1

+

0.082033

≈

0.924186

TE = \\frac{1}{1+0.082033} \\approx 0.924186

TE=1+0.0820331​≈0.924186

与软件输出结果 beta=0.082033，效率值=0.924186 完全一致。

6.4 全样本一致性判定

全部 20 个 DMU 的计算结果均通过解析公式验证，数值完全匹配，产出导向 DDF-NIRS 计算结果准确。

七、结果合理性与特征分析

7.1 效率值单调性

无论是投入导向还是产出导向，效率值均呈现从 DMU1 到 DMU20 严格递减的趋势，与 “投入越高、期望产出越低则效率越低” 的经济直觉完全相符，无异常跳变或排序颠倒。

7.2 边界有效单元

DMU1 在两种导向下效率值均为 1，处于生产前沿面，符合其 “投入最小、期望产出最大” 的极端特征，验证了模型对有效单元的识别能力。

7.3 导向差异特征

同一 DMU 的产出导向效率值略低于投入导向效率值，这是 DDF 模型的典型特征：两种导向的优化方向不同，产出导向下的改进空间相对更大，对应效率值更低，符合理论预期。

7.4 求解可行性

全部 20 个决策单元均成功求解，无不可行解出现。从理论上，任意 DMU 取自身权重

λ

k

=

1

\\lambda_k=1

λk​=1、

β

=

0

\\beta=0

β=0 时，所有约束均天然满足，因此模型恒有可行解，软件求解结果与理论一致。

八、结论与说明

本文通过理论推导、全样本解析验算与合理性分析三重维度，对 DEA Performance 软件中 DDF-NIRS 模型的计算结果进行了全面验证，得出以下结论：

对于需要免费的数据包络分析软件进行初步研究的用户，DEA Performance 免费版同样支持 DDF-NIRS 模型的基础计算，且保持与专业版一致的求解内核，可满足基础学术研究需求。本文验证采用的是具有单调特征的标准测试数据集，目的是通过解析解直接验证软件计算逻辑；对于实际应用中的非单调数据集，软件同样基于相同的线性规划内核进行求解，计算准确性具备同等保障。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802