超效率 SBM 模型原理、手算推导与 DEA Performance 软件计算验证（含非期望产出）

一、引言

在数据包络分析（DEA）的科研应用中，超效率 SBM 模型是标杆排序、绿色效率评价领域的核心工具。相较于传统 CCR/BCC 模型，它解决了径向偏差问题；相较于普通 SBM 模型，它实现了对有效决策单元（DMU）的进一步区分排序。

但多数使用者仅停留在「输入数据 – 导出结果」的黑箱操作层面，对模型底层逻辑、求解过程缺乏认知，甚至会将「超效率不可行解」误判为软件报错。

本文从经典模型定义出发，以 6 个 DMU 的标准测试集为样本，完整拆解含非期望产出的超效率 SBM 模型手算全过程，并通过本土化 DEA 工具「DEA Performance」进行多场景同步计算验证，既帮助读者吃透模型原理，也验证软件计算结果的学术准确性。

二、超效率 SBM 模型理论基础

2.1 传统 SBM 模型的局限

传统 SBM（Slack-Based Measure，松弛测度模型）由 Tone 于 2001 年提出，核心优势是将投入产出的松弛变量直接纳入目标函数，解决了 CCR/BCC 等径向模型忽略非径向松弛、高估效率值的问题。

但传统 SBM 的效率值范围为

(

0

,

1

]

(0,1]

(0,1]，所有处于生产前沿面的有效 DMU 效率值均为

1

1

1，无法对多个有效单元进行进一步的优劣排序，这也是超效率 SBM 模型的核心改进方向。

2.2 超效率 SBM 模型的核心定义

超效率 SBM 的核心逻辑是：评价某一 DMU 时，将其自身从参考集中剔除，通过剩余 DMU 构造参考前沿面。若该 DMU 本身为有效单元，则其效率值将大于

1

1

1，数值越大代表标杆性越强；若为无效单元，效率值与普通 SBM 结果一致。

以投入导向、CRS 不变规模报酬的超效率 SBM 为例，原始分式规划形式如下：

min

⁡

ρ

=

1

−

1

m

∑

i

=

1

m

s

i

−

x

i

k

1

+

1

s

∑

r

=

1

s

s

r

+

y

r

k

\\min \\quad \\rho = \\frac{1 – \\frac{1}{m}\\sum_{i=1}^{m}\\frac{s_i^-}{x_{ik}}}{1 + \\frac{1}{s}\\sum_{r=1}^{s}\\frac{s_r^+}{y_{rk}}}

minρ=1+s1​∑r=1s​yrk​sr+​​1−m1​∑i=1m​xik​si−​​​

s

.

t

.

{

∑

j

=

1

,

j

≠

k

n

λ

j

x

i

j

+

s

i

−

=

x

i

k

,

i

=

1

,

2

,

.

.

.

,

m

∑

j

=

1

,

j

≠

k

n

λ

j

y

r

j

−

s

r

+

=

y

r

k

,

r

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

λ

j

≥

0

,

s

i

−

≥

0

,

s

r

+

≥

0

s.t. \\begin{cases} \\sum_{j=1,j\\neq k}^{n}\\lambda_j x_{ij} + s_i^- = x_{ik}, & i=1,2,…,m \\\\ \\sum_{j=1,j\\neq k}^{n}\\lambda_j y_{rj} – s_r^+ = y_{rk}, & r=1,2,…,s \\\\ \\lambda_j \\geq 0, \\quad s_i^- \\geq 0, \\quad s_r^+ \\geq 0 \\end{cases}

s.t.⎩

⎨

⎧​∑j=1,j=kn​λj​xij​+si−​=xik​,∑j=1,j=kn​λj​yrj​−sr+​=yrk​,λj​≥0,si−​≥0,sr+​≥0​i=1,2,…,mr=1,2,…,s​ 其中：

• $m$
• $x_{ik}$
• ${\lambda }_j$
• 约束中 $j\ne k$

若为 VRS 可变规模报酬，仅需额外添加约束

∑

j

=

1

,

j

≠

k

n

λ

j

=

1

\\sum_{j=1,j\\neq k}^{n}\\lambda_j = 1

∑j=1,j=kn​λj​=1；若为产出导向，目标函数转为最大化形式，逻辑对称。

2.3 含非期望产出的超效率 SBM-U 模型

针对绿色效率评价中污染、损耗等非期望产出场景，Tone 于 2003 年提出 SBM-Undesirable 模型，将非期望产出纳入模型体系，基于弱可处置性假设，非期望产出与期望产出相伴相生，需同步缩减。

投入导向下，含非期望产出的超效率 SBM 目标函数修正为：

min

⁡

ρ

=

1

−

1

m

+

s

2

(

∑

i

=

1

m

s

i

−

x

i

k

+

∑

t

=

1

s

2

s

t

b

b

t

k

)

1

+

1

s

1

∑

r

=

1

s

1

s

r

g

y

r

k

\\min \\quad \\rho = \\frac{1 – \\frac{1}{m+s_2}\\left( \\sum_{i=1}^{m}\\frac{s_i^-}{x_{ik}} + \\sum_{t=1}^{s_2}\\frac{s_t^b}{b_{tk}} \\right)}{1 + \\frac{1}{s_1}\\sum_{r=1}^{s_1}\\frac{s_r^g}{y_{rk}}}

minρ=1+s1​1​∑r=1s1​​yrk​srg​​1−m+s2​1​(∑i=1m​xik​si−​​+∑t=1s2​​btk​stb​​)​ 新增约束：

∑

j

=

1

,

j

≠

k

n

λ

j

b

t

j

+

s

t

b

=

b

t

k

,

t

=

1

,

2

,

.

.

.

,

s

2

\\sum_{j=1,j\\neq k}^{n}\\lambda_j b_{tj} + s_t^b = b_{tk}, \\quad t=1,2,…,s_2

j=1,j=k∑n​λj​btj​+stb​=btk​,t=1,2,…,s2​ 其中

s

1

s_1

s1​ 为期望产出数量，

s

2

s_2

s2​ 为非期望产出数量，

b

t

k

b_{tk}

btk​ 为被评价 DMU 的第

t

t

t 项非期望产出，

s

t

b

s_t^b

stb​ 为非期望产出松弛。

2.4 Charnes-Cooper 分式线性化转换

上述模型为分式规划，无法直接用线性规划求解器计算，因此需要通过 Charnes-Cooper 变换，引入变量

t

>

0

t>0

t>0，令

Λ

j

=

t

λ

j

\\Lambda_j = t\\lambda_j

Λj​=tλj​，

S

i

−

=

t

s

i

−

S_i^- = t s_i^-

Si−​=tsi−​，

S

r

+

=

t

s

r

+

S_r^+ = t s_r^+

Sr+​=tsr+​，

S

t

b

=

t

s

t

b

S_t^b = t s_t^b

Stb​=tstb​，将分式规划转化为等价的线性规划形式。

转换后投入导向 SBM-U 的线性规划模型为：

min

⁡

t

−

1

m

+

s

2

(

∑

i

=

1

m

S

i

−

x

i

k

+

∑

t

=

1

s

2

S

t

b

b

t

k

)

\\min \\quad t – \\frac{1}{m+s_2}\\left( \\sum_{i=1}^{m}\\frac{S_i^-}{x_{ik}} + \\sum_{t=1}^{s_2}\\frac{S_t^b}{b_{tk}} \\right)

mint−m+s2​1​(i=1∑m​xik​Si−​​+t=1∑s2​​btk​Stb​​)

s

.

t

.

{

t

+

1

s

1

∑

r

=

1

s

1

S

r

g

y

r

k

=

1

∑

j

≠

k

Λ

j

x

i

j

+

S

i

−

=

t

x

i

k

∑

j

≠

k

Λ

j

y

r

j

−

S

r

g

=

t

y

r

k

∑

j

≠

k

Λ

j

b

t

j

+

S

t

b

=

t

b

t

k

Λ

j

≥

0

,

S

i

−

≥

0

,

S

r

g

≥

0

,

S

t

b

≥

0

,

t

>

0

s.t. \\begin{cases} t + \\frac{1}{s_1}\\sum_{r=1}^{s_1}\\frac{S_r^g}{y_{rk}} = 1 \\\\ \\sum_{j\\neq k}\\Lambda_j x_{ij} + S_i^- = t x_{ik} \\\\ \\sum_{j\\neq k}\\Lambda_j y_{rj} – S_r^g = t y_{rk} \\\\ \\sum_{j\\neq k}\\Lambda_j b_{tj} + S_t^b = t b_{tk} \\\\ \\Lambda_j \\geq 0, \\quad S_i^- \\geq 0, \\quad S_r^g \\geq 0, \\quad S_t^b \\geq 0, \\quad t > 0 \\end{cases}

s.t.⎩

⎨

⎧​t+s1​1​∑r=1s1​​yrk​Srg​​=1∑j=k​Λj​xij​+Si−​=txik​∑j=k​Λj​yrj​−Srg​=tyrk​∑j=k​Λj​btj​+Stb​=tbtk​Λj​≥0,Si−​≥0,Srg​≥0,Stb​≥0,t>0​ 求解得到最优目标函数值为超效率值

ρ

∗

\\rho^*

ρ∗，本文手算与 DEA Performance 软件均采用该线性化形式实现，保证理论一致性。

三、超效率 SBM-U 手算完整实例

3.1 测试数据集说明

采用标准 6 决策单元测试集，包含 2 项投入、2 项期望产出、2 项非期望产出，数据如下表所示：

3.2 算例设定

本次手算选择投入导向 + CRS 不变规模报酬 + 含非期望产出的超效率 SBM-U 模型，以 DMU1 为被评价单元，完整演示求解过程。

3.3 步骤 1：构造超效率参考集

超效率模型核心规则：评价 DMU1 时，将 DMU1 从参考集中剔除，参考集为 DMU2~DMU6 共 5 个单元。

被评价 DMU1 的投入产出向量：

• 投入：$x_0=[14,9]$
• 期望产出：$y_0=[8,3]$
• 非期望产出：$b_0=[2,4]$

3.4 步骤 2：构建线性规划模型

代入 Charnes-Cooper 变换后的线性规划形式，其中

m

=

2

m=2

m=2，

s

1

=

2

s_1=2

s1​=2，

s

2

=

2

s_2=2

s2​=2：

目标函数（最小化）

min

⁡

t

−

1

4

(

S

1

−

14

+

S

2

−

9

+

S

1

b

2

+

S

2

b

4

)

\\min \\quad t – \\frac{1}{4}\\left( \\frac{S_1^-}{14} + \\frac{S_2^-}{9} + \\frac{S_1^b}{2} + \\frac{S_2^b}{4} \\right)

mint−41​(14S1−​​+9S2−​​+2S1b​​+4S2b​​)

约束条件

3.5 步骤 3：线性规划求解与效率值

通过线性规划单纯形法求解上述模型，得到最优目标函数值：

ρ

∗

=

0.179573

\\rho^* = 0.179573

ρ∗=0.179573 该值即为 DMU1 的超效率 SBM-U 效率值，与后续软件计算结果完全一致。

3.6 补充：极端有效单元说明

针对 DMU5、DMU6，剔除自身后剩余参考集无法构造满足「投入

≤

\\leq

≤当前单元、期望产出

≥

\\geq

≥当前单元、非期望产出

≤

\\leq

≤当前单元」的生产前沿面，线性规划模型无可行解（Infeasible）。

在超效率 SBM 理论中，该类单元属于极端有效单元，超效率值为正无穷（

∞

\\infty

∞），代表其处于绝对前沿位置，无对标参考单元，属于正常结果而非计算错误。

四、DEA Performance 软件计算与结果对比

4.1 软件操作流程

DEA Performance 是一款本土化 DEA 分析工具，采用独立模型入口的交互逻辑，超效率 SBM 模型的操作流程为：

点击确定，自动完成逐 DMU 求解，输出效率值、松弛变量、投影值等完整分析结果。

4.2 算例 1：投入导向 + CRS + 含非期望产出

该算例与上文手算场景完全一致，软件计算结果如下：

效率值汇总：

其中 DMU1 的效率值与手算结果完全吻合，验证了软件底层求解逻辑的准确性。

4.3 算例 2：产出导向 + VRS + 无非期望产出

调整参数为产出导向、VRS 可变规模报酬、不包含非期望产出，软件计算结果如下：

效率值汇总：

结果符合产出导向超效率 SBM 的数值特征：无效单元效率值均大于

1

1

1，数值越大代表无效程度越高。

4.4 算例 3：投入导向 + VRS + 含非期望产出

调整参数为投入导向、VRS 可变规模报酬、包含 2 项非期望产出，软件计算结果如下：

效率值汇总：

五、结果一致性分析与模型特性总结

5.1 手算与软件结果完全吻合

核心验证场景（投入导向 CRS-U）中，DMU1 手算结果与软件计算结果均为

0.179573

0.179573

0.179573，完全一致；其余 DMU 的结果均符合线性规划求解逻辑，证明 DEA Performance 的超效率 SBM 模型实现严格遵循 Tone 经典定义，计算结果具备学术可靠性。

5.2 规模报酬规律验证

对比 CRS 与 VRS 场景的投入导向效率值，VRS 场景下所有无效单元的效率值均

≥

\\geq

≥CRS 场景的对应值，完全符合 DEA 基础理论：VRS 纯技术效率剔除了规模因素的影响，数值必然大于等于 CRS 综合技术效率，进一步验证了模型实现的正确性。

5.3 导向逻辑自洽

投入导向与产出导向的无效单元排序基本反向：投入导向下 DMU3 效率最低（无效程度最高），产出导向下 DMU3 效率最高（无效程度最高），完全符合两类导向的定义逻辑，模型内部逻辑闭环。

5.4 极端有效判定合理

DMU5、DMU6 在三类场景下均判定为极端有效，符合数据特征：DMU5 的投入为全样本最低、期望产出 2 为全样本最高；DMU6 的非期望产出为全样本最低、期望产出 1 为全样本最高。剔除自身后均无法构造有效参考前沿，判定符合超效率模型的理论特性。

六、结语

超效率 SBM 模型的核心价值在于对有效单元的标杆排序能力，而手算推导是彻底理解模型逻辑、避免黑箱操作的最佳方式。

本文通过完整的理论推导、手算实例与多场景软件验证，确认 DEA Performance 工具的超效率 SBM 模块计算准确、逻辑严谨，且中文交互、非期望产出独立录入、论文化结果输出等特性更适配国内硕博科研的使用习惯，是 DEA 实证分析的可靠本土化工具。

DEA Performance 下载地址：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802